高中数学人教版新课标A选修2-22.3数学归纳法多媒体教学课件ppt

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理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证题步骤．
本节重点：数学归纳法的原理及步骤．本节难点：用数学归纳法证题的步骤、技巧．
在应用数学归纳法的过程中：第①步，验证n＝n0时结论成立的n0不一定为1，根据题目要求，有时可为2、3等．第②步，证明n＝k＋1时命题也成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法．这两个步骤缺一不可，前一步是递推的基础，后一步是递推的依据，缺了哪一步得出的结论也是错误的．另外，归纳假设中要保证n从第一个数n0开始，即假设n＝k(k≥n0)时结论成立，括号内限制条件改为k>n0就错了．
用数学归纳法证明中一个关键问题就是要抓住项数和项的增减变化，如证明恒等式和不等式中，n＝1时究竟有几项，从n＝k到n＝k＋1的过渡到底项有哪些变化，添了几项，减了几项．
1．数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)证明当n取时命题成立．②(归纳递推)假设．
第一个值n0(n0∈N*)
n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，
证明当n＝k＋1时命题也成立
2．应用数学归纳法时特别注意：(1)用数学归纳法证明的对象是与 有关的命题．(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．
[点评]　证明过程的关键是第二步由n＝k到n＝k＋1的过渡，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形．
[分析]　按照数学归纳法的步骤证明，在由n＝k到n＝k＋1的推证过程中应用了放缩技巧，使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式的常用技巧之一．
[点评]　用数学归纳法证明不等式时常常要用到放缩法，即在归纳假设的基础上，通过放大或缩小技巧变换出要证明的目标不等式．
[例3]　求证：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N*，a∈R.[分析]　证明整除性问题的关键是“凑项”，即采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题得以解决．
[证明]　(1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.由归纳假设知，上式能被a2＋a＋1整除，故当n＝k＋1时命题也成立．由(1)，(2)知，对一切n∈N*，命题都成立．
[点评]　①对于多项式A，B，如果A＝BC，C也是多项式，那么A能被B整除．②在推证n＝k＋1时，为了凑出归纳假设，采用了“加零分项”技巧：a(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1.另外，在推证n＝k＋1命题也成立时，还可以用整除的定义，将归纳假设表示出来，假设n＝k时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则ak＋1＋(a＋1)2k－1＝(a2＋a＋1)q(a)(q(a)为多项式)，
所以(a＋1)2k－1＝(a2＋a＋1)q(a)－ak＋1，所以n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝ak＋2＋(a＋1)2(a＋1)2k－1＝ak＋2＋(a＋1)2[(a2＋a＋1)q(a)－ak＋1]＝ak＋2＋(a＋1)2(a2＋a＋1)q(a)－(a＋1)2ak＋1＝(a＋1)2·(a2＋a＋1)q(a)－ak＋1(a2＋a＋1)，显然能被a2＋a＋1整除，即n＝k＋1时，命题亦成立．
求证：当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除．[证明]　(1)显然，当n＝1时，命题成立，即x1＋y1能被x＋y整除．(2)假设当n＝2k－1(k∈N*)时命题成立，即(x＋y)能整除x2k－1＋y2k－1则当n＝2k＋1时，x2k＋1＋y2k＋1＝x2x2k－1＋x2y2k－1－x2y2k－1＋y2y2k－1＝x2(x2k－1＋y2k－1)－(x＋y)(x－y)y2k－1
∵x＋y能整除(x2k－1＋y2k－1)又x＋y能整除(x＋y)(x－y)y2k－1∴(x＋y)能整除(x2k＋1＋y2k＋1)由(1)、(2)可知当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除.
[例4]　平面内有n个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个及以上的圆交于一点，求证：这n个圆将平面分成n2－n＋2(n∈N*)个区域．[分析]　本题关键是弄清第k＋1个圆与前k个圆的交点个数，以及这些交点又将第k＋1个圆分成了多少段弧，每一段弧又是怎样影响平面区域的划分的．
[证明]　(1)当n＝1时，1个圆将平面分成2个区域，命题显然成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，即k个圆将平面分成k2－k＋2个区域．则当n＝k＋1时，第k＋1个圆交前面k个圆于2k个点，这2k个点将第k＋1个圆分成2k段弧，每段弧将各自所经过的区域一分为二，于是增加了2k个区域，所以这k＋1个圆将平面分成k2－k＋2＋2k个区域，即(k＋1)2－(k＋1)＋2个区域，故当n＝k＋1时，命题也成立．由(1)、(2)可知，对一切n∈N*，命题都成立．
[点评]　用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k＋1个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何中图形来分析，在实在分析不出来的情况下，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何问题的一大技巧．
[例5]　是否存在常数a，b，c使等式1·(n2－12)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝an4＋bn2＋c对一切正整数n成立？证明你的结论．[分析]　先取n＝1,2,3探求a，b，c的值，然后用数学归纳法证明对一切的n∈N*，a，b，c所确定的等式都成立．
[点评]　本题是探索性命题，它通过观察—归纳—猜想—证明这一完整的思路过程去探索和发现问题，并证明所得结论的正确性，这是非常重要的一种思维能力．
已知数列{an}的第一项a1＝5且Sn－1＝an(n≥2，n∈N*)，(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；(2)用数学归纳法证明{an}的通项公式．[解析]　(1)a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20，猜想an＝5×2n－2(n≥2，n∈N*)．
一、选择题1．用数学归纳法证明1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是(　　)A．1　　　　　　　　　　B．1＋3C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4[答案]　C[解析]　当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋3.故应选C.
[答案]　1＋2＋3＋4[解析]　当n＝1时，n＋3＝4，所以等式左边为1＋2＋3＋4.
5．用数学归纳法证明某个命题时，左边为1·2·3·4＋2·3·4·5＋…＋n(n＋1)(n＋2)(n＋3)，从n＝k到n＝k＋1左边需增加的代数式为________．[答案]　(k＋1)(k＋2)(k＋3)(k＋4)[解析]　当n＝k时，左边＝1·2·3·4＋2·3·4·5＋…＋k(k＋1)(k＋2)(k＋3)．当n＝k＋1时，左边＝1·2·3·4＋2·3·4·5＋…＋k(k＋1)(k＋2)(k＋3)＋(k＋1)(k＋2)(k＋3)(k＋4)，所以从n＝k到n＝k＋1左式应增加(k＋1)(k＋2)(k＋3)(k＋4)．