2020-2021学年3.2立体几何中的向量方法教案

第二课时： 3.2立体几何中的向量方法（二）

教学要求：向量运算在几何证明与计算中的应用．掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题．

教学重点：向量运算在几何证明与计算中的应用．

教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用．

教学过程：

一、复习引入

 讨论：将立体几何问题转化为向量问题的途径？

（1）通过一组基向量研究的向量法，它利用向量的概念及其运算解决问题；

（2）通过空间直角坐标系研究的坐标法，它通过坐标把向量转化为数及其运算来解决问题.

二、例题讲解

1. 出示例1： 如图，在正方体中，E、F分别是、CD的中点，求证：平面ADE．

证明：不妨设已知正方体的棱长为１个单位长度，且设＝i，＝j，＝k．以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系D－xyz，则

∵＝(-1,0,0)，＝(0,,-1)，∴·＝(-1,0,0)·(0,,-1)＝0，

∴AD．

　又  ＝(0,1,)，∴·＝(0,1,)·(0,,-1)＝0，　　∴ AE．

　又　，　　∴平面ADE．

说明：⑴“不妨设”是我们在解题中常用的小技巧，通常可用于设定某些与题目要求无关的一些数据，以使问题的解决简单化．如在立体几何中求角的大小、判定直线与直线或直线与平面的位置关系时，可以约定一些基本的长度．⑵空间直角坐标些建立，可以选取任意一点和一个单位正交基底，但具体设置时仍应注意几何体中的点、线、面的特征，把它们放在恰当的位置，才能方便计算和证明．

2. 出示例2：课本P116  例3

  分析：如何转化为向量问题？进行怎样的向量运算？

3. 出示例3：课本P118  例4

  分析：如何转化为向量问题？进行怎样的向量运算？

4. 出示例4：证：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行．

改写为：已知：直线OA⊥平面α，直线BD⊥平面α，O、B为垂足．求证：OA//BD．

证明：以点O为原点，以射线OA为非负z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，i,j,k为沿x轴，y轴，z轴的坐标向量，且设＝．

∵BD⊥α，　∴⊥i，⊥j，　

∴·i＝·(1,0,0)＝x＝0，·j＝·(0,1,0)＝y＝0,

∴＝(0,0,z)．∴＝zk．即//k．由已知O、B为两个不同的点，∴OA//BD．

5. 法向量定义：如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α．如果a⊥α，那么向量a叫做平面α的法向量．

6. 小结：

向量法解题“三步曲”：（1）化为向量问题 →（2）进行向量运算 →（3）回到图形问题.

三、巩固练习  作业：课本P120、  习题A组  1、2题.