高中数学人教版新课标A选修2-13.2立体几何中的向量方法当堂达标检测题

第三章   空间向量与立体几何

一、选择题

1．下列各组向量中不平行的是（   ）

A．    B．

C．        D．

2．已知点，则点关于轴对称的点的坐标为（    ）

A．  B．  C．  D．

3．若向量，且与的夹角余弦为，则等于（   ）

A．         B．  

C．或  D．或

4．若A，B，C，则△ABC的形状是（    ）

A．不等边锐角三角形   B．直角三角形 

C．钝角三角形         D．等边三角形

5．若A，B，当取最小值时，的值等于（   ）

A．  B．  C．  D．

6．空间四边形中，，，

则<>的值是（   ）

A．       B．      C．－      D．

二、填空题

1．若向量，则__________________。

2．若向量，则这两个向量的位置关系是___________。

3．已知向量，若，则______；若则______。

4．已知向量若则实数______，_______。

5．若，且，则与的夹角为____________。

6．若，，是平面内的三点，设平面的法向量，则________________。

7．已知空间四边形，点分别为的中点，且，用，，表示，则=_______________。

8．已知正方体的棱长是，则直线与间的距离为       。

空间向量与立体几何解答题精选（选修2--1）

1．已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点。

（Ⅰ）证明：面面；

（Ⅱ）求与所成的角；

（Ⅲ）求面与面所成二面角的大小。

证明：以为坐标原点长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为

.

（Ⅰ）证明：因

由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面.又在面上，故面⊥面.

（Ⅱ）解：因

（Ⅲ）解：在上取一点，则存在使

要使

为

所求二面角的平面角.

2．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形,

平面底面．

   （Ⅰ）证明：平面；

   （Ⅱ）求面与面所成的二面角的大小．

证明：以为坐标原点，建立如图所示的坐标图系.

   （Ⅰ）证明：不防设作，

则， ， 

由得，又，因而与平面内两条相交直线，都垂直.  ∴平面.

   （Ⅱ）解：设为中点，则，

由

因此，是所求二面角的平面角，

解得所求二面角的大小为

3．如图，在四棱锥中，底面为矩形，

侧棱底面，，，， 

为的中点.

   （Ⅰ）求直线与所成角的余弦值；

（Ⅱ）在侧面内找一点，使面，

并求出点到和的距离.

解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，

则的坐标为、

、、、

、，

从而

设的夹角为，则

∴与所成角的余弦值为.

   （Ⅱ）由于点在侧面内，故可设点坐标为，则

，由面可得，

  ∴

即点的坐标为，从而点到和的距离分别为.

4．如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截面而得到的，其中

.

   （Ⅰ）求的长；

   （Ⅱ）求点到平面的距离.

解：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则，

设.

∵为平行四边形，

（II）设为平面的法向量，

的夹角为，则

∴到平面的距离为

5．如图，在长方体，中，，点在棱上移动.（1）证明：；

      （2）当为的中点时，求点到面的距离；

      （3）等于何值时，二面角的大小为.

解：以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则

（1）

（2）因为为的中点，则，从而，

，设平面的法向量为，则

也即，得，从而，所以点到平面的距离为

（3）设平面的法向量，∴

由  令，

∴

依题意

∴（不合，舍去）， .

∴时，二面角的大小为.

6．如图，在三棱柱中，侧面，为棱上异于的一点，，已知，求：

   （Ⅰ）异面直线与的距离；

   （Ⅱ）二面角的平面角的正切值.

解：（I）以为原点，、分别为轴建立空间直角坐标系.

 由于，

 在三棱柱中有

 ,

 设

又侧面，故. 因此是异面直线的公垂线，

则，故异面直线的距离为.

（II）由已知有故二面角的平面角的大小为向量的夹角.

7．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，是上

一点，. 已知

求（Ⅰ）异面直线与的距离；

      （Ⅱ）二面角的大小.

解：（Ⅰ）以为原点，、、分别为

轴建立空间直角坐标系.

由已知可得

设

  由，

即  由，

又，故是异面直线与的公垂线，易得，故异面直线

,的距离为.

（Ⅱ）作，可设.由得

即作于，设，

则

由，

又由在上得

因故的平面角的大小为向量的夹角.

第三章  空间向量  

一、选择题

1．D  而零向量与任何向量都平行

2．A  关于某轴对称，则某坐标不变，其余全部改变

3．C 

4．A  ，，得为锐角；

，得为锐角；，得为锐角；所以为锐角三角形

5．C 

       ，当时，取最小值

6．D

二、填空题

1．  ，

2．垂直  

3．若，则；若，则

4． 

5．

6． 

7．  

8． 

   设

   则，而另可设

   ，