浙教版八年级（上）期末数学试卷4

这是一份浙教版八年级（上）期末数学试卷4，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）在直角坐标系中，已知点P（2，a）在第四象限，则（ ）
A．a＜0B．a≤0C．a＞0D．a≥0
2．（3分）下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）已知y关于x成正比例，且当x＝2时，y＝﹣6，则当x＝1时，y的值为（ ）
A．3B．﹣3C．12D．﹣12
4．（3分）一个三角形的两条边长分别为3和7，则第三边的长可能是（ ）
A．3B．7C．10D．12
5．（3分）不等式组x＞−2x＜−1的解集为（ ）
A．x＞﹣2B．x＜﹣1C．﹣2＜x＜﹣1D．无解
6．（3分）将以点A（﹣3，7），B（﹣3，﹣3）为端点的线段AB向右平移5个单位得到线段A'B′，则线段A'B′的中点坐标是（ ）
A．（2，5）B．（2，2）C．（﹣8，5）D．（﹣8，2）
7．（3分）已知a＜0，则下列不等式中不成立的是（ ）
A．2a＜aB．a2＞0C．1﹣2a＜1D．a﹣2＜0
8．（3分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝9，将△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，折痕交AC于点M，交BC于点N，则线段BN的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
9．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点M，N，P，Q的位置如图所示．若直线y＝kx经过第一、三象限，则直线y＝kx﹣2可能经过的点是（ ）
A．点MB．点NC．点PD．点Q
10．（3分）如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，BD⊥AC于点D；点F是AB的中点，连接DF，EF，设∠DFE＝x°，∠ACB＝y°，则（ ）
A．y＝xB．y=−12x+90C．y＝﹣2x+180D．y＝﹣x+90
二、填空题：本题有6个小题，每小题3分，共18分
11．（3分）点P（2，3）关于x轴的对称点的坐标为 ．
12．（3分）用不等式表示“a的2倍与3的差是非负数”： ．
13．（3分）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，若∠B＝72°，∠DAE＝16°，则∠C＝ 度．
14．（3分）若A（x1，y1），B（x2，y2）是直线y＝3x上不同的两点，记m=x1−x2y1−y2，则函数y＝mx﹣2的图象经过第 象限．
15．（3分）如图，数轴上A点表示数7，B点表示数5，C为OB上一点，当以OC、CB、BA三条线段为边，可以围成等腰三角形时，C点表示数 ．
16．（3分）小婷家与学校之间是一条笔直的公路，小婷从家步行前往学校的途中发现忘记带昨天的回家作业本，便向路人借了手机打给妈妈，妈妈接到电话后，带上作业本马上赶往学校，同时小婷沿原路返回．两人相遇后，小婷立即赶往学校，妈妈沿原路返回家，并且小婷到达学校比妈妈到家多用了5分钟，若小婷步行的速度始终是每分钟100米，小婷和妈妈之间的距离y与小婷打完电话后步行的时间x之间的函数关系如图所示
（1）妈妈从家出发 分钟后与小婷相遇；
（2）相遇后妈妈回家的平均速度是每分钟 米，小婷家离学校的距离为 米．
三、解答题：本题有7小题，共计52分.解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤（本题满分52分）
17．（6分）解不等式组x−2(x−3)＜4x2−(x+1)≤2−x并写出它的整数解．
18．（6分）判断下列命题的真假，若是假命题，请举出反例；若是真命题，请给出证明．
①若a＞b，则a2＞b2；
②三个角对应相等的两个三角形全等．
19．（7分）如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE和CD相交于点O，OB＝OC，连AO，求证：
（1）△ODB≌△OEC；
（2）∠1＝∠2．
20．（7分）已知y是x的一次函数，且当x＝﹣2时，y＝7；当x＝3时，y＝﹣8．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）求当﹣2＜x＜4时y的取值范围．
21．（8分）格点△ABC在直角坐标系中的位置如图所示．
（1）直接写出点A，B，C的坐标和△ABC的面积；
（2）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝3x+1与y轴交于点A．直线l2：y＝﹣x+b与直线l1交于点B（1，m），与y轴交于点C．
（1）求m的值和点C的坐标；
（2）已知点M（a，0）在x轴上，过点M作直线l3∥y轴，分别交直线l1，l2于D，E，若DE＝6，求a的值．
23．（10分）已知△ABC是等边三角形，点D是BC边上一动点，连接AD
（1）如图1，若BD＝2，DC＝4，求AD的长；
（2）如图2，以AD为边作∠ADE＝∠ADF＝60°，分别交AB，AC于点E，F．
①小明通过观察、实验，提出猜想：在点D运动的过程中，始终有AE＝AF，小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法
想法1：利用AD是∠EDF的角平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形的相关知识获证．
想法2：利用AD是∠EDF的角平分线，构造△ADF的全等三角形，然后通过等腰三角形的相关知识获证．
请你参考上面的想法，帮助小明证明AE＝AF．（一种方法即可）
②小聪在小明的基础上继续进行思考，发现：四边形AEDF的面积与AD长存在很好的关系．若用S表示四边形AEDF的面积，x表示AD的长，请你直接写出S与x之间的关系式．
浙教版八年级（上）期末数学试卷4
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）在直角坐标系中，已知点P（2，a）在第四象限，则（ ）
A．a＜0B．a≤0C．a＞0D．a≥0
【分析】直接利用第四象限内点的坐标特点分析得出答案．
【解答】解：∵点P（2，a）在第四象限，
∴a＜0．
故选：A．
【点评】此题主要考查了点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．
2．（3分）下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，本选项错误；
B、不是轴对称图形，本选项错误；
C、不是轴对称图形，本选项错误；
D、是轴对称图形，本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（3分）已知y关于x成正比例，且当x＝2时，y＝﹣6，则当x＝1时，y的值为（ ）
A．3B．﹣3C．12D．﹣12
【分析】先利用待定系数法求出y＝﹣3x，然后计算x＝1对应的函数值．
【解答】解：设y＝kx，
∵当x＝2时，y＝﹣6，
∴2k＝﹣6，解得k＝﹣3，
∴y＝﹣3x，
∴当x＝1时，y＝﹣3×1＝﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式：设正比例函数解析式为y＝kx（k≠0），然后把一个已知点的坐标代入求出k即可．
4．（3分）一个三角形的两条边长分别为3和7，则第三边的长可能是（ ）
A．3B．7C．10D．12
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，进行分析求解．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
第三边应＞4，而＜10．
下列答案中，只有7符合．
故选：B．
【点评】此题考查了三角形的三边关系．
5．（3分）不等式组x＞−2x＜−1的解集为（ ）
A．x＞﹣2B．x＜﹣1C．﹣2＜x＜﹣1D．无解
【分析】根据“大小小大中间找”可确定不等式组的解集．
【解答】解：不等式组x＞−2x＜−1的解集为﹣2＜x＜﹣1，
故选：C．
【点评】本题主要考查不等式的解集，解题的关键是掌握确定不等式组解集的口诀．
6．（3分）将以点A（﹣3，7），B（﹣3，﹣3）为端点的线段AB向右平移5个单位得到线段A'B′，则线段A'B′的中点坐标是（ ）
A．（2，5）B．（2，2）C．（﹣8，5）D．（﹣8，2）
【分析】先求得线段AB的中点坐标，再根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减求解可得．
【解答】解：∵线段AB的中点坐标为（﹣3，2），则线段A'B′的中点坐标是（﹣3+5，2）即（2，2），
故选：B．
【点评】本题主要考查坐标与图形的变化﹣平移，解题的关键是掌握平移变换下点的坐标变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
7．（3分）已知a＜0，则下列不等式中不成立的是（ ）
A．2a＜aB．a2＞0C．1﹣2a＜1D．a﹣2＜0
【分析】直接利用不等式的基本性质分别判断得出答案．
【解答】解：A、∵a＜0，
∴2a＜a，正确，不合题意；
B、∵a＜0，
∴a2＞0，正确，不合题意；
C、∵a＜0，
∴1﹣2a＞1，原式错误，符合题意；
D、∵a＜0，
∴a﹣2＜0，正确，不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了不等式的性质，正确应用不等式基本性质是解题关键．
8．（3分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝9，将△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，折痕交AC于点M，交BC于点N，则线段BN的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】由折叠的性质可得DN＝CN，根据勾股定理可求DN的长，即可求BN的长．
【解答】解：∵D是AB中点，AB＝6，
∴AD＝BD＝3，
∵将△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，
∴DN＝CN，
∴BN＝BC﹣CN＝9﹣DN，
在Rt△DBN中，DN2＝BN2+DB2，
∴DN2＝（9﹣DN）2+9，
∴DN＝5
∴BN＝4，
故选：B．
【点评】本题考查了翻折变换，折叠的性质，勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
9．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点M，N，P，Q的位置如图所示．若直线y＝kx经过第一、三象限，则直线y＝kx﹣2可能经过的点是（ ）
A．点MB．点NC．点PD．点Q
【分析】根据直线y＝kx﹣2的位置，利用排除法即可解决问题．
【解答】解：∵直线y＝kx经过第一、三象限，
∴直线y＝kx﹣2平行直线y＝kx，且经过（0，﹣2），
观察图象可知直线y＝kx﹣2不经过点N、P、Q，
∴直线y＝kx﹣2经过点M，
故选：A．
【点评】本题考查一次函数图象上的点的坐标特征、一次函数的性质、正比例函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10．（3分）如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，BD⊥AC于点D；点F是AB的中点，连接DF，EF，设∠DFE＝x°，∠ACB＝y°，则（ ）
A．y＝xB．y=−12x+90C．y＝﹣2x+180D．y＝﹣x+90
【分析】由垂直的定义得到∠ADB＝∠BEA＝90°，根据直角三角形的性质得到AF＝DF，BF＝EF，根据等腰三角形的性质得到∠DAF＝∠ADF，∠EFB＝∠BEF，于是得到结论．
【解答】解：∵AE⊥BC于点E，BD⊥AC于点D；
∴∠ADB＝∠BEA＝90°，
∵点F是AB的中点，
∴AF＝DF，BF＝EF，
∴∠DAF＝∠ADF，∠EBF＝∠BEF，
∴∠AFD＝180°﹣2∠CAB，∠BFE＝180°﹣2∠ABC，
∴x°＝180°﹣∠AFD﹣∠BFE＝2（∠CAB+∠CBA）﹣180°＝2（180°﹣y°）﹣180°＝180°﹣2y°，
∴y=−12x+90，
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键．
二、填空题：本题有6个小题，每小题3分，共18分
11．（3分）点P（2，3）关于x轴的对称点的坐标为 （2，﹣3） ．
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）得出即可．
【解答】解：∵点P（2，3）
∴关于x轴的对称点的坐标为：（2，﹣3）．
故答案为：（2，﹣3）．
【点评】此题主要考查了关于x轴、y轴对称点的性质，正确记忆坐标规律是解题关键．
12．（3分）用不等式表示“a的2倍与3的差是非负数”： 2a﹣3≥0 ．
【分析】首先表示出a的2倍与3的差为2a﹣3，再表示非负数是：≥0，故可得不等式2a﹣3≥0．
【解答】解：由题意得：2a﹣3≥0．
故答案为：2a﹣3≥0．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是正确理解题意，要抓住题目中的关键词“非负数”正确选择不等号．
13．（3分）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，若∠B＝72°，∠DAE＝16°，则∠C＝ 40 度．
【分析】根据三角形的内角和得出∠BAD＝18°，再利用角平分线得出∠BAC＝68°，利用三角形内角和解答即可．
【解答】解：∵AD是高，∠B＝72°，
∴∠BAD＝18°，
∴∠BAE＝18°+16°＝34°，
∵AE是角平分线，
∴∠BAC＝68°，
∴∠C＝180°﹣72°﹣68°＝40°．
故答案为：40
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，熟悉直角三角形两锐角互余和三角形的内角和等于180°是解题的关键．
14．（3分）若A（x1，y1），B（x2，y2）是直线y＝3x上不同的两点，记m=x1−x2y1−y2，则函数y＝mx﹣2的图象经过第 一、三、四 象限．
【分析】将点A，点B坐标代入解析式，可得y1＝3x1，y2＝3x2，可得m=13，即可求解．
【解答】解：∵A（x1，y1），B（x2，y2）是直线y＝3x上不同的两点，
∴y1＝3x1，y2＝3x2，
∴m=x1−x2y1−y2=x1−x23x1−3x2=13＞0，
∴函数y＝mx﹣2的图象经过第一、三、四象限，
故答案为：一、三、四
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数性质，熟练运用一次函数性质是本题的关键．
15．（3分）如图，数轴上A点表示数7，B点表示数5，C为OB上一点，当以OC、CB、BA三条线段为边，可以围成等腰三角形时，C点表示数 2或2.5或3 ．
【分析】根据等腰三角形的两边相等进行解答即可．
【解答】解：∵数轴上A点表示数7，B点表示数5，
∴BA＝2，
∵以OC、CB、BA三条线段为边围成等腰三角形时，
若CB＝BA＝2，则OC＝5﹣2＝3，所以C点表示数为3，
若OC＝BA＝2，所以C点表示数为2，
若OC＝CB，则OC＝5÷2＝2.5，所以C点表示数为2.5，
故答案为：2或2.5或3．
【点评】本题考查了等腰三角形两边相等的性质，注意分类讨论得出是解题关键．
16．（3分）小婷家与学校之间是一条笔直的公路，小婷从家步行前往学校的途中发现忘记带昨天的回家作业本，便向路人借了手机打给妈妈，妈妈接到电话后，带上作业本马上赶往学校，同时小婷沿原路返回．两人相遇后，小婷立即赶往学校，妈妈沿原路返回家，并且小婷到达学校比妈妈到家多用了5分钟，若小婷步行的速度始终是每分钟100米，小婷和妈妈之间的距离y与小婷打完电话后步行的时间x之间的函数关系如图所示
（1）妈妈从家出发 8 分钟后与小婷相遇；
（2）相遇后妈妈回家的平均速度是每分钟 60 米，小婷家离学校的距离为 2100 米．
【分析】由当x＝8时，y＝0，可得出妈妈从家出发 8分钟后与小婷相遇；
利用速度＝路程÷时间结合小婷的速度，可求出小婷和妈妈相遇后，妈妈回家的速度为60米/分；
根据路程＝1600+小婷步行的速度×（23﹣18），即可得出小婷家离学校的距离．
【解答】解：（1）当x＝8时，y＝0，
故妈妈从家出发8分钟后与小婷相遇，
（2）当x＝0时，y＝1400，
∴相遇后18﹣8＝10分钟小婷和妈妈的距离为1600米，
1600÷（18﹣8）﹣100＝60（米/分），
∴相遇后妈妈回家的平均速度是每分钟60米；
1600+（23﹣18）×100＝2100（米），
∴小婷家离学校的距离为2100米．
故答案为：8；60；2100．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
三、解答题：本题有7小题，共计52分.解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤（本题满分52分）
17．（6分）解不等式组x−2(x−3)＜4x2−(x+1)≤2−x并写出它的整数解．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，再其公共解集内找出符合条件的x的整数解即可．
【解答】解：x−2(x−3)＜4①x2−(x+1)≤2−x②，
由①得x＞2，
由②得x≤6，
故不等式组的整数解为：2＜x≤6，
它的整数解有3，4，5，6．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解答此题的关键．
18．（6分）判断下列命题的真假，若是假命题，请举出反例；若是真命题，请给出证明．
①若a＞b，则a2＞b2；
②三个角对应相等的两个三角形全等．
【分析】①根据乘方法则举例即可；
②根据全等三角形的概念、等边三角形的性质举例．
【解答】解：①若a＞b，则a2＞b2是假命题，
例如：a＝﹣1，b＝﹣2，
a＞b，但a2＜b2；
②三个角对应相等的两个三角形全等是假命题，
例如：两个边长不相等的等边三角形不全等．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
19．（7分）如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE和CD相交于点O，OB＝OC，连AO，求证：
（1）△ODB≌△OEC；
（2）∠1＝∠2．
【分析】（1）根据AAS证明△ODB≌△OEC即可；
（2）利用角平分线的判定定理证明即可；
【解答】证明：（1）∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ODB＝∠OEC＝90°，
在△ODB和△OEC中，
∠ODB=∠OEC∠DOB=∠EOCOB=OC，
∴△ODB≌△OEC（AAS）．
（2）∵△ODB≌△OEC，
∴OD＝OE，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠1＝∠2．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．（7分）已知y是x的一次函数，且当x＝﹣2时，y＝7；当x＝3时，y＝﹣8．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）求当﹣2＜x＜4时y的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）先计算出x＝4时的函数值，然后根据一次函数的性质求解．
【解答】解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，
根据题意得−2k+b=73k+b=−8，解得k=−3b=1，
所以这个一次函数的表达式为y＝﹣3x+1；
（2）当x＝4时，y＝﹣3x+1＝﹣11，
所以当﹣2＜x＜4时y的取值范围为﹣11＜y＜7．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．也考查了一次函数的性质．
21．（8分）格点△ABC在直角坐标系中的位置如图所示．
（1）直接写出点A，B，C的坐标和△ABC的面积；
（2）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．
【分析】（1）由图可得三顶点的坐标，再根据割补法求解可得；
（2）分别作出点A，B，C关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得．
【解答】解：（1）由图知A（2，3），B（3，1），C（﹣2，﹣2），
△ABC的面积为5×5−12×1×2−12×3×5−12×5×4=132；
（2）如图所示，△A1B1C1即为所求．
【点评】此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝3x+1与y轴交于点A．直线l2：y＝﹣x+b与直线l1交于点B（1，m），与y轴交于点C．
（1）求m的值和点C的坐标；
（2）已知点M（a，0）在x轴上，过点M作直线l3∥y轴，分别交直线l1，l2于D，E，若DE＝6，求a的值．
【分析】（1）把点B（1，m）代入y＝3x+1即可得到m的值，然后求出b的值，得到直线L2的函数表达式；
（2）由（1）得到直线l2的解析式为y＝﹣x+4，过点M作直线l3∥y轴，分别交直线l1，l2于D，E，得到D（a，3a+1），E（﹣a+4），列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）把点B（1，m）代入y＝3x+1得，m＝4，
∴B（1，4）
将点B（1，4）代入y＝﹣x+b中，得4＝﹣1+b，
∴b＝5，
令x＝0，得y＝5，
∴点C的坐标为：（0，5）；
（2）由（1）得，直线l2的解析式为：y＝﹣x+5，
∵过点M作直线l3∥y轴，分别交直线l1，l2于D，E，
∴D（a，3a+1），E（a，﹣a+5），
∵DE＝6，
∴|3a+1﹣（﹣a+5）|＝6，
∴a=52或a=−12．
【点评】本题考查了两条直线相交或平行，正确理解直线相交和平行时解析式的关系是解题的关键．
23．（10分）已知△ABC是等边三角形，点D是BC边上一动点，连接AD
（1）如图1，若BD＝2，DC＝4，求AD的长；
（2）如图2，以AD为边作∠ADE＝∠ADF＝60°，分别交AB，AC于点E，F．
①小明通过观察、实验，提出猜想：在点D运动的过程中，始终有AE＝AF，小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法
想法1：利用AD是∠EDF的角平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形的相关知识获证．
想法2：利用AD是∠EDF的角平分线，构造△ADF的全等三角形，然后通过等腰三角形的相关知识获证．
请你参考上面的想法，帮助小明证明AE＝AF．（一种方法即可）
②小聪在小明的基础上继续进行思考，发现：四边形AEDF的面积与AD长存在很好的关系．若用S表示四边形AEDF的面积，x表示AD的长，请你直接写出S与x之间的关系式．
【分析】（1）由等边三角形的性质可求AB＝BC＝6，BG=12BC＝3，DG＝1，由勾股定理可求AG，AD的长；
（2）①想法1：过点A作AM⊥DF于点M，作AH⊥DE，交DE的延长线于点H，由角平分线的性质可得AH＝AM，由“AAS”可证Rt△AHE≌Rt△AMF，可得AE＝AF；
想法2：延长DE至N，使DN＝DF，由“SAS”可证△ADN≌△ADF，可得AN＝AF，∠AFD＝∠N，由四边形内角和为360°，可得∠AEN＝∠AFD＝∠N，可得AN＝AE＝AF；
②由想法1可得S四边形AEDF＝S四边形AHDM＝2S△ADM=34x2．
【解答】解：（1）如图，过点A作AG⊥BC于点G，
∵BD＝2，DC＝4，
∴BC＝6，
∵△ABC是等边三角形，AG⊥BC，
∴AB＝BC＝6，BG=12BC＝3，
∴DG＝BG﹣BD＝3﹣2＝1，
在Rt△ABG中，AG=AB2−BG2=33，
在Rt△ADG中，AD=AG2+DG2=27
（2）①想法1：如图，过点A作AM⊥DF于点M，作AH⊥DE，交DE的延长线于点H，
∵AD平分∠EDF，AH⊥DE，AM⊥DF
∴AH＝AM，
∵∠ADE＝∠ADF＝60°，
∴∠EDF＝120°，
∵∠AED+∠AFD+∠BAC+∠EDF＝360°，
∴∠AED+∠AFD＝180°，且∠AED+∠AEH＝180°，
∴∠AEH＝∠AFD，且AH＝AM，∠H＝∠AMF＝90°，
∴Rt△AHE≌Rt△AMF（AAS）
∴AE＝AF
想法2：如图，延长DE至N，使DN＝DF，
∵DN＝DF，AD＝AD，∠ADE＝∠ADF＝60°，
∴△ADN≌△ADF（SAS）
∴AN＝AF，∠AFD＝∠N，
∵∠ADE＝∠ADF＝60°，
∴∠EDF＝120°，
∵∠AED+∠AFD+∠BAC+∠EDF＝360°，
∴∠AED+∠AFD＝180°，且∠AED+∠AEN＝180°，
∴∠AEN＝∠AFD，
∴∠AEN＝∠N，
∴AN＝AE＝AF，
②如图，
由①中想法1可得Rt△AHE≌Rt△AMF，
∴S△AHE＝S△AMF，
∴S四边形AEDF＝S四边形AHDM，
∵∠ADF＝60°，AM⊥DF，
∴DM=12AD，AM=3DM=32AD，
∴S△ADM=12×DM×AM=38AD2=38x2，
∵AD＝AD，AH＝AM，
∴Rt△ADH≌Rt△ADM（HL）
∴S△ADH＝S△ADM，
∴S四边形AEDF＝S四边形AHDM＝2S△ADM=34x2．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/12/16 15:03:04；用户：初中数学；邮箱：13758217825；学号：31852180

菁优网APP 菁优网公众号 菁优网小程序