浙教版八年级（上）期末数学试卷3

这是一份浙教版八年级（上）期末数学试卷3，共21页。
浙教版八年级（上）期末数学试卷3
一.选择题：本题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．（3分）在平面直角坐标系中，点P（3，﹣2）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（3分）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　）
A．2cm，5cm，8cm B．3cm，3cm，6cm
C．25cm，24cm，7cm D．1cm，2cm，3cm
3．（3分）下列命题中，真命题是（　　）
A．若 2x＝﹣1，则 x＝﹣2
B．任何一个角都比它的补角小
C．等角的余角相等
D．一个锐角与一个钝角的和等于一个平角
4．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．x＝﹣3是不等式x＞﹣2的一个解
B．x＝﹣1是不等式x＞﹣2的一个解
C．不等式x＞﹣2的解是x＝﹣3
D．不等式x＞﹣2的解是x＝﹣1
5．（3分）若等腰三角形的一边长是4，则它的周长可能是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．8或9
6．（3分）已知3a＞﹣6b，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．a+1＞﹣2b﹣1 B．﹣a＜b C．3a+6b＜0 D．ab＞−2
7．（3分）已知点A的坐标为（a+1，3﹣a），下列说法正确的是（　　）
A．若点A在y轴上，则a＝3
B．若点A在一三象限角平分线上，则a＝1
C．若点A到x轴的距离是3，则a＝±6
D．若点A在第四象限，则a的值可以为﹣2
8．（3分）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点B（﹣6，0），且与正比例函数y=13x的图象交于点A（m，﹣3），若kx−13x＞﹣b，则（　　）

A．x＞0 B．x＞﹣3 C．x＞﹣6 D．x＞﹣9
9．（3分）如图，在△ABC中，∠B＞90°，CD为∠ACB的角平分线，在AC边上取点E，使DE＝DB，且∠AED＞90°．若∠A＝α，∠ACB＝β，则（　　）

A．∠AED＝180°﹣α﹣β B．∠AED＝180°﹣α−12β
C．∠AED＝90°﹣α+β D．∠AED＝90°+α+12β
10．（3分）速度分别为100km/h和akm/h（0＜a＜100）的两车分别从相距s千米的两地同时出发，沿同一方向匀速前行．行驶一段时间后，其中一车按原速度原路返回，直到与另一车相遇时两车停止．在此过程中，两车之间的距离y（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列说法：①a＝60；②b＝2；③c＝b+52；④若s＝60，则b=32．其中说法正确的是（　　）

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
二.填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分.
11．（4分）在△ABC中，∠A＝50°，若∠B比∠A的2倍小30°，则△ABC是　 　三角形．
12．（4分）点A（﹣2，﹣3）向上平移3个单位得到的点的坐标为　 　．
13．（4分）“x的7倍减去1是正数”用不等式表示为　 　．
14．（4分）如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，交BC于点E，CD⊥AC，若AB＝6，CD＝3，则BE＝　 　．

15．（4分）在平面直角坐标系中，点A坐标为（﹣3，m+2），点B坐标为（1，m﹣2），若点C（t+1，n1）和点D（t﹣2，n2）均在直线AB上，则n1﹣n2＝　 　．
16．（4分）如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点O是AC的中点，点D在射线BO上，连接OE，EC，则∠ACE＝　 　°；若AB＝1，则OE的最小值＝　 　．

三.解答题：本题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（6分）解不等式组2x−4＜012(x+8)−2＞0并把解在数轴上表示出来．

18．（8分）如图，△ABC的顶点均在格点上．
（1）分别写出点A，点B，点C的坐标．
（2）若△A'B'C'与△ABC关于y轴对称，在图中画出△A'B'C'，并写出相应顶点的坐标．

19．（8分）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，P为斜边BC上一点（PB＜CP），分别过点B，C作BE⊥AP于点E，CD⊥AP于点D．
（1）求证：AD＝BE；
（2）若AE＝2DE＝2，求△ABC的面积．

20．（10分）2019年1月同一时刻北京时间与英国伦敦时间分别为20：00和12：00．设北京时间为t（时），伦敦时间为y（时）．
（1）请在表格的空格内填入合适的数字；
北京时间
8：30
　 　
22：30
伦敦时间
　 　
12：10
　 　
（2）当8≤t≤24时，请直接写出y关于t的函数表达式；
（3）如果一航班在1月10日于北京时间13：00从上海起飞，到达英国伦敦当地时间为1月10日17：30，求该航班在途中经历了多少时间？
21．（10分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，CE是△ABC的角平分线，它们相交于点P．
（1）若∠B＝40°，∠AEC＝75°，求证：AB＝BC；
（2）若∠BAC＝90°，AP为△AEC边EC上中线，求∠B的度数．

22．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BC延长线上的一点，且BD＝DE．点G是线段BC的中点，连接AG，交BD于点F，过点D作DH⊥BC，垂足为H．
（1）求证：△DCE为等腰三角形；
（2）若∠CDE＝22.5°，DC=2，求GH的长；
（3）探究线段CE，GH的数量关系并用等式表示，并说明理由．

23．（12分）已知一次函数y1＝（a﹣1）x﹣2a+1，其中a≠1．
（1）若点（1，−12）在y1的图象上，求a的值；
（2）当﹣2≤x≤3时，若函数有最大值2，求y1的函数表达式；
（3）对于一次函数y2＝（m+1）（x﹣1）+2，其中m≠﹣1，若对一切实数x，y1＜y2都成立，求a，m需满足的数量关系及a的取值范围．

浙教版八年级（上）期末数学试卷3
参考答案与试题解析
一.选择题：本题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．（3分）在平面直角坐标系中，点P（3，﹣2）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】由平面直角坐标系中点的坐标的符号特点进行判断，因为3＞0，﹣2＜0，所以点P（3，﹣2）在第四象限．
【解答】解：∵3＞0，﹣2＜0，
∴点P（3，﹣2）在第四象限．
故选：D．
【点评】此题主要考查平面直角坐标系中已知点的坐标确定点的位置，比较简单．牢记四个象限的符号特点：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
2．（3分）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　）
A．2cm，5cm，8cm B．3cm，3cm，6cm
C．25cm，24cm，7cm D．1cm，2cm，3cm
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边进行分析即可．
【解答】解：A、2+5＜8，不能组成三角形；
B、3+3＝6，不能组成三角形；
C、7+24＞25，能够组成三角形；
D、1+2＝3，不能组成三角形．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形三边关系．用两条较短的线段相加，如果大于最长哪条就能够组成三角形．
3．（3分）下列命题中，真命题是（　　）
A．若 2x＝﹣1，则 x＝﹣2
B．任何一个角都比它的补角小
C．等角的余角相等
D．一个锐角与一个钝角的和等于一个平角
【分析】根据一元一次方程的解法、余角和补角的概念判断即可．
【解答】解：若 2x＝﹣1，则 x=−12，A是假命题；
90°＝180°﹣90°，则90°的角等于它的补角，B是假命题；
等角的余角相等，C是真命题；
30°+120°＝150°，则一个锐角与一个钝角的和不一定等于一个平角，D是假命题；
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
4．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．x＝﹣3是不等式x＞﹣2的一个解
B．x＝﹣1是不等式x＞﹣2的一个解
C．不等式x＞﹣2的解是x＝﹣3
D．不等式x＞﹣2的解是x＝﹣1
【分析】根据不等式解集和解的概念求解可得．
【解答】解：A．x＝﹣3不是不等式x＞﹣2的一个解，此选项错误；
B．x＝﹣1是不等式x＞﹣2的一个解，此选项正确；
C．不等式x＞﹣2的解有无数个，此选项错误；
D．不等式x＞﹣2的解有无数个，此选项错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查不等式的解集，不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内．
5．（3分）若等腰三角形的一边长是4，则它的周长可能是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．8或9
【分析】分以4为腰和以4为底两种情况即可．
【解答】解：当4是等腰三角形的腰时，周长大于8，
当4是等腰三角形的底时，腰大于2，周长大于8，
所以这个等腰三角形的周长可能是9，
故选：C．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会由分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
6．（3分）已知3a＞﹣6b，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．a+1＞﹣2b﹣1 B．﹣a＜b C．3a+6b＜0 D．ab＞−2
【分析】先将不等式两边都除以3得a＞﹣2b，再两边都加上1知a+1＞﹣2b+1，结合﹣2b+1＞﹣2b﹣1利用不等式的同向传递性可得答案．
【解答】解：∵3a＞﹣6b，
∴a＞﹣2b，
∴a+1＞﹣2b+1，
又﹣2b+1＞﹣2b﹣1，
∴a+1＞﹣2b﹣1，
故选：A．
【点评】本题主要考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
7．（3分）已知点A的坐标为（a+1，3﹣a），下列说法正确的是（　　）
A．若点A在y轴上，则a＝3
B．若点A在一三象限角平分线上，则a＝1
C．若点A到x轴的距离是3，则a＝±6
D．若点A在第四象限，则a的值可以为﹣2
【分析】依据坐标轴上的点、一三象限角平分线上的点以及不同象限内点的坐标特征，即可得出结论．
【解答】解：A．若点A在y轴上，则a+1＝0，解得a＝﹣1，故本选项错误；
B．若点A在一三象限角平分线上，则a+1＝3﹣a，解得a＝1，故本选项正确；
C．若点A到x轴的距离是3，则|3﹣a|＝3，解得a＝6或0，故本选项错误；
D．若点A在第四象限，则a+1＞0，且3﹣a＜0，解得a＞3，故a的值不可以为﹣2；
故选：B．
【点评】本题主要考查了坐标轴上的点、一三象限角平分线上的点以及不同象限内点的坐标特征，解题时注意：横轴上点的纵坐标为0，纵轴上点的横坐标为0．
8．（3分）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点B（﹣6，0），且与正比例函数y=13x的图象交于点A（m，﹣3），若kx−13x＞﹣b，则（　　）

A．x＞0 B．x＞﹣3 C．x＞﹣6 D．x＞﹣9
【分析】先利用正比例函数解析式确定A点坐标，然后利用函数图象，写出一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象在正比例函数图象上方所对应的自变量的范围．
【解答】解：把A（m，﹣3）代入y=13x得13m＝﹣3，解得m＝﹣9，
所以当x＞﹣9时，kx+b＞13x，
即kx−13x＞﹣b的解集为x＞﹣9．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠B＞90°，CD为∠ACB的角平分线，在AC边上取点E，使DE＝DB，且∠AED＞90°．若∠A＝α，∠ACB＝β，则（　　）

A．∠AED＝180°﹣α﹣β B．∠AED＝180°﹣α−12β
C．∠AED＝90°﹣α+β D．∠AED＝90°+α+12β
【分析】在AC上截取CF＝BC，根据全等三角形的性质可得BD＝DF＝DE，可得∠AED＝∠ABC，根据三角形的内角和可求解．
【解答】解：如图，在AC上截取CF＝BC，

∵CD为∠ACB的角平分线，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵CF＝BC，∠ACD＝∠BCD，CD＝CD，
∴△BDC≌△FDC（SAS）
∴∠ABC＝∠CFD，DF＝BD
∵BD＝DE
∴DE＝DF
∴∠DEF＝∠DFE，
∴∠AED＝∠CFD，
∵∠A＝α，∠ACB＝β，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣α﹣β，
∴∠AED＝∠DBC＝180°﹣α﹣β
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是解本题的关键．
10．（3分）速度分别为100km/h和akm/h（0＜a＜100）的两车分别从相距s千米的两地同时出发，沿同一方向匀速前行．行驶一段时间后，其中一车按原速度原路返回，直到与另一车相遇时两车停止．在此过程中，两车之间的距离y（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列说法：①a＝60；②b＝2；③c＝b+52；④若s＝60，则b=32．其中说法正确的是（　　）

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【分析】①利用速度＝路程÷时间可求出两车的速度差，结合快车的速度即可求出a值，结论①正确；②利用时间＝两车之间的距离÷两车速度差可得出b值，由s不确定可得出b值不确定，结论②不正确；③利用两车第二次相遇的时间＝快车转向时的时间+两车之间的距离÷两车的速度之和可得出c值，结论③正确；④由②的结论结合s＝60可得出b值，结论④正确．综上，此题得解．
【解答】解：①两车的速度之差为80÷（b+2﹣b）＝40（km/h），
∴a＝100﹣40＝60，结论①正确；
②两车第一次相遇所需时间s100−60=s40（h），
∵s的值不确定，
∴b值不确定，结论②不正确；
③两车第二次相遇时间为b+2+80100+60=b+52（h），
∴c＝b+52，结论③正确；
④∵b=s40，s＝60，
∴b=32，结论④正确．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的应用，观察函数图象，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
二.填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分.
11．（4分）在△ABC中，∠A＝50°，若∠B比∠A的2倍小30°，则△ABC是　锐角　三角形．
【分析】由已知求出∠B＝70°，由三角形内角和定理求出∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝60°，即可得出△ABC是锐角三角形．
【解答】解：∵∠B比∠A的2倍小30°，
∴∠B＝2×50°﹣30°＝70°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
∴△ABC是锐角三角形，
故答案为：锐角．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
12．（4分）点A（﹣2，﹣3）向上平移3个单位得到的点的坐标为　（﹣2，0）　．
【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．
【解答】解：点A（﹣2，﹣3）向上平移3个单位得到的点的坐标为（﹣2，0），
故答案为（﹣2，0）．
【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣平移，关键是掌握平移规律．
13．（4分）“x的7倍减去1是正数”用不等式表示为　7x﹣1＞0　．
【分析】首先表示“x的7倍”为7x，再表示“减去1”为7x﹣1，最后表示“是正数”为7x﹣1＞0．
【解答】解：“x的7倍减去1是正数”用不等式表示为7x﹣1＞0，
故答案为：7x﹣1＞0．
【点评】此题主要考查了列一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
14．（4分）如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，交BC于点E，CD⊥AC，若AB＝6，CD＝3，则BE＝　655　．

【分析】由线段垂直平分线的性质得出AC＝AB＝6，由勾股定理求出AD，再由三角形面积即可得出答案．
【解答】解：∵AD垂直平分BC，
∴AC＝AB＝6，BE＝CE，
∵CD⊥AC，
∴AD=AC2+CD2=62+32=35，
∵△ACD的面积=12AD×CE=12AC×CD，
∴CE=AC×CDAD=6×335=655，
∴BE=655；
故答案为：655．
【点评】本题考查了勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识；熟练掌握勾股定理和线段垂直平分线的性质是解题的关键．
15．（4分）在平面直角坐标系中，点A坐标为（﹣3，m+2），点B坐标为（1，m﹣2），若点C（t+1，n1）和点D（t﹣2，n2）均在直线AB上，则n1﹣n2＝　﹣3　．
【分析】先求出直线AB的解析式，把点C，点D坐标代入可求解．
【解答】解：设直线AB解析式为：y＝kx+b
m+2=−3k+bm−2=k+b
解得：k＝﹣1，b＝m﹣1
∴直线AB解析式为：y＝﹣x+m﹣1
∵点C（t+1，n1）和点D（t﹣2，n2）均在直线AB上，
∴n1＝﹣t﹣1+m﹣1，n2＝﹣t+2+m﹣1，
∴n1﹣n2＝﹣3
故答案为：﹣3
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是本题的关键．
16．（4分）如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点O是AC的中点，点D在射线BO上，连接OE，EC，则∠ACE＝　30　°；若AB＝1，则OE的最小值＝　14　．

【分析】根据等边三角形的性质可得OC=12AC，∠ABD＝30°，根据“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得∠ACE＝30°＝∠ABD，当OE⊥EC时，OE的长度最小，根据直角三角形的性质可求OE的最小值．
【解答】解：∵△ABC的等边三角形，点O是AC的中点，
∴OC=12AC，∠ABD＝30°
∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴∠ACE＝30°＝∠ABD
当OE⊥EC时，OE的长度最小，
∵∠OEC＝90°，∠ACE＝30°
∴OE最小值=12OC=14AB=14
故答案为：30，14
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
三.解答题：本题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（6分）解不等式组2x−4＜012(x+8)−2＞0并把解在数轴上表示出来．

【分析】分别求出两个不等式的解集，再求其公共解集．
【解答】解：解不等式2x﹣4＜0，得：x＜2，
解不等式12（x+8）﹣2＞0，得：x＞﹣4，
则不等式组的解集为﹣4＜x＜2，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：

【点评】本题考查一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
18．（8分）如图，△ABC的顶点均在格点上．
（1）分别写出点A，点B，点C的坐标．
（2）若△A'B'C'与△ABC关于y轴对称，在图中画出△A'B'C'，并写出相应顶点的坐标．

【分析】（1）根据图形可得三顶点的坐标；
（2）分别作出点A，B，C关于y轴的对称点，再首尾顺次连接可得．
【解答】解：（1）点A（3，4），B（1，2），C（5，1）；

（2）如图所示，△A'B'C'即为所求，

点A′（﹣3，4），B′（﹣1，2），C′（﹣5，1）．
【点评】此题主要考查了作图﹣轴对称变换，根据轴对称的性质正确得出对应点的位置是解题关键．
19．（8分）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，P为斜边BC上一点（PB＜CP），分别过点B，C作BE⊥AP于点E，CD⊥AP于点D．
（1）求证：AD＝BE；
（2）若AE＝2DE＝2，求△ABC的面积．

【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠BAE＝∠ACD，根据“AAS”可证∠BAE＝∠ACD，可得AD＝BE；
（2）由题意可得AD＝1，CD＝2，根据勾股定理可求AC的长，根据三角形面积公式可求△ABC的面积．
【解答】证明：（1）∵∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠CAD＝90°，
∵CD⊥AD，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠BAE＝∠ACD，且AB＝AC，∠AEB＝∠ADC＝90°，
∴△ACD≌△BEA（AAS），
∴AD＝BE．
（2）∵△ACD≌△BEA，∴AE＝CD，
∵AE＝2DE＝2，AE＝AD+DE，
∴AD＝DE＝1，AE＝CD＝2，
在Rt△ACD中，AC=AD2+CD2=5，
∴AB＝AC=5，
∴S△ABC=12×AB×AC=52．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积公式，证明△ACD≌△BEA是解本题的关键．
20．（10分）2019年1月同一时刻北京时间与英国伦敦时间分别为20：00和12：00．设北京时间为t（时），伦敦时间为y（时）．
（1）请在表格的空格内填入合适的数字；
北京时间
8：30
　20：10　
22：30
伦敦时间
　0：30　
12：10
　14：30　
（2）当8≤t≤24时，请直接写出y关于t的函数表达式；
（3）如果一航班在1月10日于北京时间13：00从上海起飞，到达英国伦敦当地时间为1月10日17：30，求该航班在途中经历了多少时间？
【分析】（1）根据题意得出时间关系解答即可；
（2）根据表格得出y关于t的函数表达式即可；
（3）根据关系式得出航班在途中经历的时间．
【解答】解：（1）∵同一时刻北京时间与英国伦敦时间分别为20：00和12：00，则北京时间﹣伦敦时间＝20：00﹣12：00＝8：00，
∴当北京时间为8：30时，伦敦时间为0：30；
当伦敦时间为12：10时，北京时间为20：10；
当北京时间为22：30时，伦敦时间为14：30；
（2）当8≤t≤24时，y关于t的函数表达式为：y＝t﹣8；
（3）当t＝13：00时，y＝13：00﹣8＝5：00，
17：30﹣5：00＝12：30，
答：该航班在途中经历了12小时30分钟．
故答案为：0：30；20：10；14：30．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件进行解答．
21．（10分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，CE是△ABC的角平分线，它们相交于点P．
（1）若∠B＝40°，∠AEC＝75°，求证：AB＝BC；
（2）若∠BAC＝90°，AP为△AEC边EC上中线，求∠B的度数．

【分析】（1）求出∠BAC，∠BCA的度数即可判断；
（2）首先证明∠PAC＝∠PCA＝∠PCD＝30°，推出∠BAD＝60°即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵∠B＝40°，∠AEC＝75°，
∴∠ECB＝∠AEC﹣∠B＝35°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠BCE＝70°，
∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣40°﹣70°＝70°，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝AC．

（2）∵∠BAC＝90°，AP是△AEC边EC上的中线，
∴AP＝PC，
∴∠PAC＝∠PCA，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠PAC＝∠PCA＝∠PCD，
∵∠ADC＝90°，
∴∠PAC＝∠PCA＝∠PCD＝90°÷3＝30°，
∴∠BAD＝60°，
∵∠ADB＝90°，
∴∠B＝90°﹣60°＝30°．
【点评】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BC延长线上的一点，且BD＝DE．点G是线段BC的中点，连接AG，交BD于点F，过点D作DH⊥BC，垂足为H．
（1）求证：△DCE为等腰三角形；
（2）若∠CDE＝22.5°，DC=2，求GH的长；
（3）探究线段CE，GH的数量关系并用等式表示，并说明理由．

【分析】（1）根据题意可得∠CBD=12∠ABC=12∠ACB，由BD＝DE，可得∠DBC＝∠E=12∠ACB，根据三角形的外角性质可得∠CDE=12∠ACB＝∠E，可证△DCE为等腰三角形；
（2）根据题意可得CH＝DH＝1，△ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质可得BG＝GC，BH＝HE=2+1，即可求GH的值；
（3）CE＝2GH，根据等腰三角形的性质可得BG＝GC，BH＝HE，可得GH＝GC﹣HC＝GC﹣（HE﹣CE）=12BC−12BE+CE=12CE，即CE＝2GH．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=12∠ABC=12∠ACB，
∵BD＝DE，
∴∠DBC＝∠E=12∠ACB，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE，
∴∠CDE=12∠ACB＝∠E，
∴CD＝CE，
∴△DCE是等腰三角形
（2）

∵∠CDE＝22.5°，CD＝CE=2，
∴∠DCH＝45°，且DH⊥BC，
∴∠HDC＝∠DCH＝45°
∴DH＝CH，
∵DH2+CH2＝DC2＝2，
∴DH＝CH＝1，
∵∠ABC＝∠DCH＝45°
∴△ABC是等腰直角三角形，
又∵点G是BC 中点
∴AG⊥BC，AG＝GC＝BG，
∵BD＝DE，DH⊥BC
∴BH＝HE=2+1
∵BH＝BG+GH＝CG+GH＝CH+GH+GH=2+1
∴1+2GH=2+1
∴GH=22
（3）CE＝2GH
理由如下：∵AB＝CA，点G 是BC的中点，
∴BG＝GC，
∵BD＝DE，DH⊥BC，
∴BH＝HE，
∵GH＝GC﹣HC＝GC﹣（HE﹣CE）=12BC−12BE+CE=12CE，
∴CE＝2GH
【点评】本题是三角形综合题，考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
23．（12分）已知一次函数y1＝（a﹣1）x﹣2a+1，其中a≠1．
（1）若点（1，−12）在y1的图象上，求a的值；
（2）当﹣2≤x≤3时，若函数有最大值2，求y1的函数表达式；
（3）对于一次函数y2＝（m+1）（x﹣1）+2，其中m≠﹣1，若对一切实数x，y1＜y2都成立，求a，m需满足的数量关系及a的取值范围．
【分析】（1）把（1，−12）代入y1＝（a﹣1）x﹣2a+1中可求出a的值；
（2）讨论：当a﹣1＞0，即a＞1时，根据一次函数的性质得到x＝3时，y＝2，然后把（3，2）代入y1＝（a﹣1）x﹣2a+1中求出a得到此时一次函数解析式；当a﹣1＜0，即a＜1时，利用一次函数的性质得到x＝﹣2时，y＝2，然后把（﹣2，2）代入y1＝（a﹣1）x﹣2a+1中求出a得到此时一次函数解析式；
（3）先整理得到y2＝（m+1）x+m+1，再对一切实数x，y1＜y2都成立，则直线y1与y2平行，且y2在y1的上方，所以a﹣1＝m+1且﹣2a+1＜﹣m+1，从而得到a，m需满足的数量关系及a的取值范围．
【解答】解：（1）把（1，−12）代入y1＝（a﹣1）x﹣2a+1得a﹣1﹣2a+1=−12，
∴a=12；
（2）当a﹣1＞0，即a＞1时，则x＝3时，y＝2，
把（3，2）代入y1＝（a﹣1）x﹣2a+1得3（a﹣1）﹣2a+1＝2，解得a＝4，此时一次函数解析式为y1＝3x﹣7；
当a﹣1＜0，即a＜1时，则x＝﹣2时，y＝2，
把（﹣2，2）代入y1＝（a﹣1）x﹣2a+1得﹣2（a﹣1）﹣2a+1＝2，解得a=14，此时一次函数解析式为y1=−34x+12；
（3）y2＝（m+1）（x﹣1）+2＝（m+1）x﹣m+1，
∵对一切实数x，y1＜y2都成立，
∴a﹣1＝m+1且﹣2a+1＜﹣m+1，
∴a＝m+2且a＞﹣2且a≠1．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数的性质．
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日期：2021/12/16 14:55:18；用户：初中数学；邮箱：13758217825；学号：31852180

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