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2021年河南省南阳市宛城区中考数学二模试卷 解析版
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这是一份2021年河南省南阳市宛城区中考数学二模试卷 解析版，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年河南省南阳市宛城区中考数学二模试卷
一、选择题：（每小题3分，共30分.）（下列各小题只有一个答案是正确的）
1．（3分）下列各数最小的是（ ）
A．﹣ B．﹣π C．0 D．
2．（3分）芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，将0.00000201用科学记数法表示为（ ）
A．2.01×10﹣8 B．0.201×10﹣7 C．2.01×10﹣6 D．20.1×10﹣5
3．（3分）2021年5月中旬，习总书记南阳行引发热烈反响，某中学为了解本校学生对“南水北调中线工程”和“医圣张仲景”的了解情况，分别进行了下列四种不同的抽样调查，你认为抽样比较合理的是（ ）
A．从八年级随机抽取150名学生
B．从九年级每个班中各随机抽取30名学生
C．从全校随机抽取150名学生
D．从七、八、九年级各随机抽取50名学生
4．（3分）如图是由一些相同的小正方体组合成的几何体的三视图，则小正方体的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（3分）计算：（x•x3）2＝x2•（x3）2＝x2•x6＝x8，其中，第一步运算的依据是（ ）
A．幂的乘方法则 B．同底数幂的乘法法则
C．乘法分配律 D．积的乘方法则
6．（3分）如图，将一根长2m的铁丝首尾相接围成矩形，则围成的矩形的面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．1m2
7．（3分）某班从甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，平行四边形ABCD中，AB＝BC＝2，∠ABC＝45°，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点E、F，作直线EF交BC于点G，连接DG，则线段DG的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．2
9．（3分）对于实数a、b，定义一种运算“※”为：a※b＝a2+ab﹣2，有下列命题：①1※3＝2；②方程x※1＝0的根为：x1＝﹣2，x2＝1；③不等式组的解集为：﹣1＜x＜4；④点（﹣1，0）在函数y＝x※（﹣1）的图象上，其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①③ C．①②③ D．③④
10．（3分）如图①，点C是以点O为圆心、AB为直径的半圆上的一个动点（可以与点A、B重合），过点C作CD⊥AB于D，连结CA，设CA的长为x，CD的长为y，图②是点C运动过程中y与x之间的函数关系的图象，其中最高点M的坐标是（ ）
A．（2，2） B．（2，2） C．（2，3） D．（2，3）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若﹣（m﹣1）0＝0，则实数m应满足的条件是 ．
12．（3分）如图是利用直尺和三角板过直线l外一点P作直线l的平行线的方法，这样做的依据是 ．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E，若点A（1，0），D（0，2），则k的值为 ．
14．（3分）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，点C是OB的中点，过点C作CD⊥OB交于点D，过点D作DE⊥OA于点E，连接BE交CD于点F，若OA＝2，则图中阴影部分的面积为 ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC＝2，D为AB的中点，P是边BC上的一个动点，连接PA、PD，将△ADP沿直线DP折叠，得到△DPA′，当以A′、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形时，线段BP的长为 ．
三、解答题（共8个小题，满分54分）
16．（8分）复习备考时，王老师在黑板上写了一道分式化简题的正确计算结果，随后用手遮住了原题目的一部分，如图：
（﹣a+1）÷＝﹣
（1）求被手遮住部分的代数式，并将其化简；
（2）原代数式的值能等于3吗？请说明理由．
17．（9分）云课堂的最大优点是能够依托网络平台及时反锁学习效果，在一次数学习题课教学上，课前，雷老师让班上每位同学做6道与这节课内容相关的类似练习题，解题情况频数统计如图1所示．课后，雷老师再让学生做6道与这节课内容相关的类似练习题，解题情况统计如表2所示，已知每位学生至少答对1题．
答对题数
频数（人）
1
3
2
4
3
4
4
a
5
12
6
16
合计
b
根据以上信息，回答下列问题：
（1）根据图表信息填空：a＝ ，b＝ ；
（2）该班课前解题时答对题数的众数是 ，课后解题答对题数的中位数是 ；
（3）请选择适当的统计量，从两个不同的角度评价这节数学习题课的教学效果．
18．（9分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．
（1）求证：AD∥EC；
（2）若AB＝3，求线段AE的长．
19．（9分）某班为参加学校的大课间活动比赛，准备购进一批跳绳，已知2根A型跳绳和1根B型跳绳共需56元，1根A型跳绳和2根B型跳绳共需82元．
（1）求一根A型跳绳和一根B型跳绳的售价各是多少元？
（2）学校准备购进这两种型号的跳绳共50根，并且A型跳绳的数量不多于B型跳绳数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
20．（9分）如图，为了测量河对岸古塔AB的高度，在坡度i＝1：2.4的斜坡底C处测得古塔顶端A的仰角为60°，沿斜坡上行26米到达D处，测得古塔顶端A的仰角为37°（已知A、B、C、D在同一竖直平面内），求古塔AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.73）
21．（10分）已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB＝AB，且S△OAB＝．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．
2021年河南省南阳市宛城区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题3分，共30分.）（下列各小题只有一个答案是正确的）
1．（3分）下列各数最小的是（ ）
A．﹣ B．﹣π C．0 D．
【分析】根据实数的大小关系解决此题．
【解答】解：根据实数的大小关系，得．
∴在、﹣π、0、中最小的数为．
故选：A．
2．（3分）芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，将0.00000201用科学记数法表示为（ ）
A．2.01×10﹣8 B．0.201×10﹣7 C．2.01×10﹣6 D．20.1×10﹣5
【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000201＝2.01×10﹣6．
故选：C．
3．（3分）2021年5月中旬，习总书记南阳行引发热烈反响，某中学为了解本校学生对“南水北调中线工程”和“医圣张仲景”的了解情况，分别进行了下列四种不同的抽样调查，你认为抽样比较合理的是（ ）
A．从八年级随机抽取150名学生
B．从九年级每个班中各随机抽取30名学生
C．从全校随机抽取150名学生
D．从七、八、九年级各随机抽取50名学生
【分析】如果抽取的样本得当，就能很好地反映总体的情况，否则抽样调查的结果会偏离总体情况．
【解答】解：A、调查不具代表性，故A不合题意；
B、调查不具广泛性，故B不合题意；
C、调查不具代表性，故C不合题意；
D、调查具有广泛性、代表性，故D符合题意；
故选：D．
4．（3分）如图是由一些相同的小正方体组合成的几何体的三视图，则小正方体的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据三视图，该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有2行3列，故可得出该几何体的小正方体的个数．
【解答】解：综合三视图，我们可得出，
这个几何体的底层应该有4个小正方体，第二层应该有1个小正方体，
因此搭成这个几何体的小正方体的个数为4+1＝5（个），
故选：B．
5．（3分）计算：（x•x3）2＝x2•（x3）2＝x2•x6＝x8，其中，第一步运算的依据是（ ）
A．幂的乘方法则 B．同底数幂的乘法法则
C．乘法分配律 D．积的乘方法则
【分析】根据积的乘方解决此题．
【解答】解：由题意得：（x•x3）2＝x2•（x3）2＝x2•x6＝x8，第一步根据积的乘方法则进行运算．
故选：D．
6．（3分）如图，将一根长2m的铁丝首尾相接围成矩形，则围成的矩形的面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．1m2
【分析】先根据题意列出函数关系式，再求其最值即可．
【解答】解：设矩形的一边长为xm，所以另一边长为（1﹣x）m，矩形的面积为Sm2，
其面积为S＝x（1﹣x）＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，
∴周长为2cm的矩形的最大面积为m2．
故选：A．
7．（3分）某班从甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能情况数和恰好选中甲、乙两位选手的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：根据题意画图如下：
共有12种等可能数，其中恰好选中甲、乙两位选手的有2种，
则恰好选中甲、乙两位选手的概率是＝．
故选：B．
8．（3分）如图，平行四边形ABCD中，AB＝BC＝2，∠ABC＝45°，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点E、F，作直线EF交BC于点G，连接DG，则线段DG的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．2
【分析】连接AG，如图，利用基本作图得到EF垂直平分AB，则根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到∠GAB＝∠B＝45°，所以∠AGB＝90°，AG＝2，接着根据平行四边形的性质和平行线的性质得到AD＝BC＝2，∠DAG＝∠AGB＝90°，然后利用勾股定理可计算出DG的长．
【解答】解：连接AG，如图，
由作法得EF垂直平分AB，
∴GA＝GB，
∴∠GAB＝∠B＝45°，
∴△ABG为等腰直角三角形，
∴∠AGB＝90°，AG＝AB＝，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝2，
∴∠DAG＝∠AGB＝90°，
在Rt△ADG中，DG＝＝＝．
故选：A．
9．（3分）对于实数a、b，定义一种运算“※”为：a※b＝a2+ab﹣2，有下列命题：①1※3＝2；②方程x※1＝0的根为：x1＝﹣2，x2＝1；③不等式组的解集为：﹣1＜x＜4；④点（﹣1，0）在函数y＝x※（﹣1）的图象上，其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①③ C．①②③ D．③④
【分析】①根据新定义计算得1⊗3＝1+1×3﹣2＝2，可对①进行判断；
②根据新定义先得到方程x2+x﹣2＝0，再利用因式分解法解得x1＝﹣2，x2＝1，则可对②进行判断；
③先根据新定义得到不等式组，然后解不等式组，则可对③进行判断；
④把x＝﹣1，y＝0代入解答即可．
【解答】解：1※3＝1+1×3﹣2＝2，所以①正确；
由x※1＝0得x2+x﹣2＝0，解得x1＝﹣2，x2＝1，所以②正确；
③不等式组化为，解集为：﹣1＜x＜4；，所以③正确，；
④y＝x※（﹣1）＝x2﹣x﹣2，
把x＝﹣1，代入y＝x2﹣x﹣2＝1+1﹣2＝0，故④正确；
正确的①②③④，
故选：A．
10．（3分）如图①，点C是以点O为圆心、AB为直径的半圆上的一个动点（可以与点A、B重合），过点C作CD⊥AB于D，连结CA，设CA的长为x，CD的长为y，图②是点C运动过程中y与x之间的函数关系的图象，其中最高点M的坐标是（ ）
A．（2，2） B．（2，2） C．（2，3） D．（2，3）
【分析】先根据图象得出AB的长度，然后求出圆的半径，当点C到点O的正上方时，CD最大，求出此时的x和y的值，即可确定点M的坐标．
【解答】解：由图象得AB＝4，
∴圆O的半径为2，
当点D和点O重合时，CD最大，
此时CD为圆O的半径，
∴y＝2，
当y＝2时，x＝，
∴点M的坐标为（2，2），
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若﹣（m﹣1）0＝0，则实数m应满足的条件是 m≠1 ．
【分析】根据二次根式和零指数幂的运算法则进行分析求解．
【解答】解：∵﹣（m﹣1）0＝0，
∴1﹣（m﹣1）0＝0，
∴（m﹣1）0＝1，
∴m﹣1≠0，即m≠1，
故答案为：m≠1．
12．（3分）如图是利用直尺和三角板过直线l外一点P作直线l的平行线的方法，这样做的依据是 同位角相等，两直线平行 ．
【分析】过直线外一点作已知直线的平行线，只有满足同位角相等，才能得到两直线平行．
【解答】解：由图形得，有两个相等的同位角存在，
这样做的依据是：同位角相等，两直线平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E，若点A（1，0），D（0，2），则k的值为 5 ．
【分析】根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设B（x，2）．利用矩形的性质得出E为BD中点，∠DAB＝90°．根据线段中点坐标公式得出E（x，2）．由勾股定理得出AD2+AB2＝BD2，列出方程12+22+（x﹣1）2+22＝x2，求出x，得到E点坐标，利用待定系数法求出k．
【解答】解：∵BD∥x轴，D（0，2），
∴B、D两点纵坐标相同，都为2，
∴可设B（x，2）．
∵矩形ABCD的对角线的交点为E，
∴E为BD中点，∠DAB＝90°．
∴E（x，2）．
∵∠DAB＝90°，
∴AD2+AB2＝BD2，
∵A（1，0），D（0，2），B（x，4），
∴12+22+（x﹣1）2+22＝x2，
解得x＝5，
∴E（，2）．
∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点E，
∴k＝×2＝5．
故答案为5．
14．（3分）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，点C是OB的中点，过点C作CD⊥OB交于点D，过点D作DE⊥OA于点E，连接BE交CD于点F，若OA＝2，则图中阴影部分的面积为 ﹣ ．
【分析】连接OD、BD，先证得△BOD是等边三角形，得出∠BOD＝60°，即可得出CD＝，∠AOD＝30°，根据平行线分线段成比例定理证得DF＝CF＝，根据S阴影＝S扇形AOD﹣S△EOD+S△EDF即可求得．
【解答】解：连接OD、BD，
∵点C是OB的中点，过点C作CD⊥OB交于点D，
∴OD＝BD，
∵OD＝OB，
∴△BOD是等边三角形，
∴∠BOD＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOD＝30°，
∴CD＝OD＝，
由题意可知四边形EOCD是矩形，
∴ED＝OC＝1，OE＝CD＝，
∵ED∥OB，
∴＝＝1，
∴DF＝CF＝CD＝，
∴S阴影＝S扇形AOD﹣S△EOD+S△EDF＝﹣+＝﹣，
故答案为：﹣．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC＝2，D为AB的中点，P是边BC上的一个动点，连接PA、PD，将△ADP沿直线DP折叠，得到△DPA′，当以A′、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形时，线段BP的长为 或 ．
【分析】分两种情况：当四边形A'BPD是平行四边形时，可得BP＝A'D＝；当四边形A'BDP是平行四边形时，设BP＝x，则CP＝2﹣x，在Rt△ACP中用勾股定理可得BP＝．
【解答】解：当四边形A'BPD是平行四边形时，如图：
∵∠ACB＝90°，BC＝2AC＝2，
∴AB＝＝，
∵D为AB的中点，
∴AD＝AB＝，
∵将△ADP沿直线DP折叠，得到△DPA′，
∴A'D＝AD＝，
∵四边形A'BPD是平行四边形，
∴BP＝A'D＝；
当四边形A'BDP是平行四边形时，如图：
设BP＝x，则CP＝2﹣x，
∵四边形A'BDP是平行四边形，
∴A'P＝BD，
∵D为AB的中点，
∴A'P＝BD＝AB＝，
∵将△ADP沿直线DP折叠，得到△DPA′，
∴AP＝A'P＝，
在Rt△ACP中，CP2+AC2＝AP2，
∴（2﹣x）2+12＝（）2，
解得x＝或x＝（大于BC，舍去），
∴BP＝，
综上所述，BP为或，
故答案为：或．
三、解答题（共8个小题，满分54分）
16．（8分）复习备考时，王老师在黑板上写了一道分式化简题的正确计算结果，随后用手遮住了原题目的一部分，如图：
（﹣a+1）÷＝﹣
（1）求被手遮住部分的代数式，并将其化简；
（2）原代数式的值能等于3吗？请说明理由．
【分析】（1）根据被除式＝商×除式，其中的一个加式＝和﹣另一个加式，列出表示被遮挡部分的算式，然后根据分式混合运算的运算顺序和计算法则进行计算；
（2）根据原式值为3列出分式方程求解，然后结合分式有意义的条件进行分析判断．
【解答】解：（1）被遮挡部分可表示为：
﹣+a﹣1
＝﹣+a﹣1
＝﹣
＝
＝，
∴被遮挡部分的代数式为，
（2）不能，理由如下：
当原式的值为3时，
﹣＝3，
解得：a＝﹣1，
经检验：a＝﹣1是分式方程的解，
又∵a+2≠0，a+1≠0，
∴a≠﹣2且a≠﹣1，
∴原式的值不能为3．
17．（9分）云课堂的最大优点是能够依托网络平台及时反锁学习效果，在一次数学习题课教学上，课前，雷老师让班上每位同学做6道与这节课内容相关的类似练习题，解题情况频数统计如图1所示．课后，雷老师再让学生做6道与这节课内容相关的类似练习题，解题情况统计如表2所示，已知每位学生至少答对1题．
答对题数
频数（人）
1
3
2
4
3
4
4
a
5
12
6
16
合计
b
根据以上信息，回答下列问题：
（1）根据图表信息填空：a＝ 11 ，b＝ 50 ；
（2）该班课前解题时答对题数的众数是 3道 ，课后解题答对题数的中位数是 5道 ；
（3）请选择适当的统计量，从两个不同的角度评价这节数学习题课的教学效果．
【分析】（1）由频数分布直方图可得总人数，再进一步求解可得a的值；
（2）根据众数和中位数的概念求解即可；
（3）可从平均数及中位数的角度分析求解即可．
【解答】解：（1）由频数分布直方图知b＝6+9+12+10+9+4＝50，
则a＝50﹣（3+4+4+12+16）＝11，
故答案为：11、50；
（2）该班课前解题时答对题数的众数是3道，课后解题答对题数的中位数是＝5（道），
故答案为3道，5道；
（3）课前答对题数的平均数为×（1×6+2×9+3×12+4×10+5×9+6×4）＝3.38（道），
课后答对题数的平均数为×（1×3+2×4+3×4+4×11+5×12+6×16）＝4.46（道），
课前答对题数的中位数为＝3（道），
∴课后答对题数的平均数量明显多于课前．
从中位数看，课前答对题数的中位数为3题，课后答对题数的中位数为5题，即课前答对3题及以下的人数有一半以上，而课后有一半以上的人答对5题，这节课的教学效果明显．
18．（9分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．
（1）求证：AD∥EC；
（2）若AB＝3，求线段AE的长．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到∠OCE＝90°，根据圆周角定理得到∠AOC＝90°，根据平行线的判定定理证明结论；
（2）过点A作AF⊥EC交EC于F，根据正弦的定义求出AD，根据正方形的性质求出AF，根据余弦的定义计算即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝90°，
∵∠AOC+∠OCE＝180°，
∴AD∥EC；
（2）如图，过点A作AF⊥EC交EC于F，
∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝60°，
∴∠D＝∠ACB＝60°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴sin∠ADB＝＝，
∴AD＝＝2，
∴OA＝OC＝，
∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，OA＝OC，
∴四边形OAFC是正方形，
∴CF＝AF＝，
∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°，
∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴AE＝＝＝2．
19．（9分）某班为参加学校的大课间活动比赛，准备购进一批跳绳，已知2根A型跳绳和1根B型跳绳共需56元，1根A型跳绳和2根B型跳绳共需82元．
（1）求一根A型跳绳和一根B型跳绳的售价各是多少元？
（2）学校准备购进这两种型号的跳绳共50根，并且A型跳绳的数量不多于B型跳绳数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【分析】（1）设一根A型跳绳售价是x元，一根B型跳绳的售价是y元，根据：“2根A型跳绳和1根B型跳绳共需56元，1根A型跳绳和2根B型跳绳共需82元”列方程组求解即可；
（2）首先根据“A型跳绳的数量不多于B型跳绳数量的3倍”确定自变量的取值范围，然后得到有关总费用和A型跳绳之间的关系得到函数解析式，确定函数的最值即可．
【解答】解：（1）设一根A型跳绳售价是x元，一根B型跳绳的售价是y元，
根据题意，得：
，
解得：，
答：一根A型跳绳售价是10元，一根B型跳绳的售价是36元；
（2）设购进A型跳绳m根，总费用为W元，
根据题意，得：W＝10m+36（50﹣m）＝﹣26m+1800，
∵﹣26＜0，
∴W随m的增大而减小，
又∵m≤3（50﹣m），解得：m≤37.5，
而m为正整数，
∴当m＝37时，W最小＝﹣26×37+1800＝838，
此时50﹣37＝13，
答：当购买A型跳绳37只，B型跳绳13只时，最省钱．
20．（9分）如图，为了测量河对岸古塔AB的高度，在坡度i＝1：2.4的斜坡底C处测得古塔顶端A的仰角为60°，沿斜坡上行26米到达D处，测得古塔顶端A的仰角为37°（已知A、B、C、D在同一竖直平面内），求古塔AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.73）
【分析】过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，则DE＝FB，BE＝FD，先由坡度的定义和勾股定理求出BE＝FD＝10米，CF＝24米，再由锐角三角函数定义求出AB＝BC，设BC＝a米，则AB＝a米，AE＝AB﹣BE＝（a﹣10）米，DE＝FB＝BC+CF＝（a+24）米，然后由锐角三角函数求出a的值，即可解决问题．
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，如图所示：
则DE＝FB，BE＝FD，
∵CD的坡度i＝1：2.4＝5：12，
∴＝，
设FD＝5x（x＞0）米，则CF＝12x米，
由勾股定理得：（5x）2+（12x）2＝262，
解得：x＝2，
∴BE＝FD＝10米，CF＝24米，
∵∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，
∴tan∠ACB＝＝tan60°＝，
∴AB＝BC，
设BC＝a米，则AB＝a米，AE＝AB﹣BE＝（a﹣10）米，DE＝FB＝BC+CF＝（a+24）米，
在Rt△ADE中，∠ADE＝37°，
∵tan∠ADE＝＝tan37°≈0.75，
∴≈，
解得：a≈28.57，
∴AB＝a≈49.4（米），
答：古塔AB的高度约为49.4米．
21．（10分）已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB＝AB，且S△OAB＝．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．
【分析】（1）先求出OB，进而求出AD，得出点A坐标，最后用待定系数法即可得出结论；
（2）分三种情况，①当AB＝PB时，得出PB＝5，即可得出结论；
②当AB＝AP时，利用点P与点B关于AD对称，得出DP＝BD＝4，即可得出结论；
③当PB＝AP时，先表示出AP2＝（9﹣a）2+9，BP2＝（5﹣a）2，进而建立方程求解即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，过点A作AD⊥x轴于D，
∵B（5，0），
∴OB＝5，
∵S△OAB＝，
∴×5×AD＝，
∴AD＝3，
∵OB＝AB，
∴AB＝5，
在Rt△ADB中，BD＝＝4，
∴OD＝OB+BD＝9，
∴A（9，3），
将点A坐标代入反比例函数y＝中得，m＝9×3＝27，
∴反比例函数的解析式为y＝，
将点A（9，3），B（5，0）代入直线y＝kx+b中，，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣；
（2）由（1）知，AB＝5，
∵△ABP是等腰三角形，
∴①当AB＝PB时，
∴PB＝5，
∴P（0，0）或（10，0），
②当AB＝AP时，如图2，
由（1）知，BD＝4，
易知，点P与点B关于AD对称，
∴DP＝BD＝4，
∴OP＝5+4+4＝13，∴P（13，0），
③当PB＝AP时，设P（a，0），
∵A（9，3），B（5，0），
∴AP2＝（9﹣a）2+9，BP2＝（5﹣a）2，
∴（9﹣a）2+9＝（5﹣a）2
∴a＝，
∴P（，0），
即：满足条件的点P的坐标为（0，0）或（10，0）或（13，0）或（，0）．
2021年河南省南阳市宛城区中考数学二模试卷
一、选择题：（每小题3分，共30分.）（下列各小题只有一个答案是正确的）
1．（3分）下列各数最小的是（ ）
A．﹣ B．﹣π C．0 D．
2．（3分）芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，将0.00000201用科学记数法表示为（ ）
A．2.01×10﹣8 B．0.201×10﹣7 C．2.01×10﹣6 D．20.1×10﹣5
3．（3分）2021年5月中旬，习总书记南阳行引发热烈反响，某中学为了解本校学生对“南水北调中线工程”和“医圣张仲景”的了解情况，分别进行了下列四种不同的抽样调查，你认为抽样比较合理的是（ ）
A．从八年级随机抽取150名学生
B．从九年级每个班中各随机抽取30名学生
C．从全校随机抽取150名学生
D．从七、八、九年级各随机抽取50名学生
4．（3分）如图是由一些相同的小正方体组合成的几何体的三视图，则小正方体的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（3分）计算：（x•x3）2＝x2•（x3）2＝x2•x6＝x8，其中，第一步运算的依据是（ ）
A．幂的乘方法则 B．同底数幂的乘法法则
C．乘法分配律 D．积的乘方法则
6．（3分）如图，将一根长2m的铁丝首尾相接围成矩形，则围成的矩形的面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．1m2
7．（3分）某班从甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，平行四边形ABCD中，AB＝BC＝2，∠ABC＝45°，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点E、F，作直线EF交BC于点G，连接DG，则线段DG的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．2
9．（3分）对于实数a、b，定义一种运算“※”为：a※b＝a2+ab﹣2，有下列命题：①1※3＝2；②方程x※1＝0的根为：x1＝﹣2，x2＝1；③不等式组的解集为：﹣1＜x＜4；④点（﹣1，0）在函数y＝x※（﹣1）的图象上，其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①③ C．①②③ D．③④
10．（3分）如图①，点C是以点O为圆心、AB为直径的半圆上的一个动点（可以与点A、B重合），过点C作CD⊥AB于D，连结CA，设CA的长为x，CD的长为y，图②是点C运动过程中y与x之间的函数关系的图象，其中最高点M的坐标是（ ）
A．（2，2） B．（2，2） C．（2，3） D．（2，3）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若﹣（m﹣1）0＝0，则实数m应满足的条件是 ．
12．（3分）如图是利用直尺和三角板过直线l外一点P作直线l的平行线的方法，这样做的依据是 ．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E，若点A（1，0），D（0，2），则k的值为 ．
14．（3分）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，点C是OB的中点，过点C作CD⊥OB交于点D，过点D作DE⊥OA于点E，连接BE交CD于点F，若OA＝2，则图中阴影部分的面积为 ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC＝2，D为AB的中点，P是边BC上的一个动点，连接PA、PD，将△ADP沿直线DP折叠，得到△DPA′，当以A′、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形时，线段BP的长为 ．
三、解答题（共8个小题，满分54分）
16．（8分）复习备考时，王老师在黑板上写了一道分式化简题的正确计算结果，随后用手遮住了原题目的一部分，如图：
（﹣a+1）÷＝﹣
（1）求被手遮住部分的代数式，并将其化简；
（2）原代数式的值能等于3吗？请说明理由．
17．（9分）云课堂的最大优点是能够依托网络平台及时反锁学习效果，在一次数学习题课教学上，课前，雷老师让班上每位同学做6道与这节课内容相关的类似练习题，解题情况频数统计如图1所示．课后，雷老师再让学生做6道与这节课内容相关的类似练习题，解题情况统计如表2所示，已知每位学生至少答对1题．
答对题数
频数（人）
1
3
2
4
3
4
4
a
5
12
6
16
合计
b
根据以上信息，回答下列问题：
（1）根据图表信息填空：a＝ ，b＝ ；
（2）该班课前解题时答对题数的众数是 ，课后解题答对题数的中位数是 ；
（3）请选择适当的统计量，从两个不同的角度评价这节数学习题课的教学效果．
18．（9分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．
（1）求证：AD∥EC；
（2）若AB＝3，求线段AE的长．
19．（9分）某班为参加学校的大课间活动比赛，准备购进一批跳绳，已知2根A型跳绳和1根B型跳绳共需56元，1根A型跳绳和2根B型跳绳共需82元．
（1）求一根A型跳绳和一根B型跳绳的售价各是多少元？
（2）学校准备购进这两种型号的跳绳共50根，并且A型跳绳的数量不多于B型跳绳数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
20．（9分）如图，为了测量河对岸古塔AB的高度，在坡度i＝1：2.4的斜坡底C处测得古塔顶端A的仰角为60°，沿斜坡上行26米到达D处，测得古塔顶端A的仰角为37°（已知A、B、C、D在同一竖直平面内），求古塔AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.73）
21．（10分）已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB＝AB，且S△OAB＝．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．
2021年河南省南阳市宛城区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题3分，共30分.）（下列各小题只有一个答案是正确的）
1．（3分）下列各数最小的是（ ）
A．﹣ B．﹣π C．0 D．
【分析】根据实数的大小关系解决此题．
【解答】解：根据实数的大小关系，得．
∴在、﹣π、0、中最小的数为．
故选：A．
2．（3分）芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，将0.00000201用科学记数法表示为（ ）
A．2.01×10﹣8 B．0.201×10﹣7 C．2.01×10﹣6 D．20.1×10﹣5
【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000201＝2.01×10﹣6．
故选：C．
3．（3分）2021年5月中旬，习总书记南阳行引发热烈反响，某中学为了解本校学生对“南水北调中线工程”和“医圣张仲景”的了解情况，分别进行了下列四种不同的抽样调查，你认为抽样比较合理的是（ ）
A．从八年级随机抽取150名学生
B．从九年级每个班中各随机抽取30名学生
C．从全校随机抽取150名学生
D．从七、八、九年级各随机抽取50名学生
【分析】如果抽取的样本得当，就能很好地反映总体的情况，否则抽样调查的结果会偏离总体情况．
【解答】解：A、调查不具代表性，故A不合题意；
B、调查不具广泛性，故B不合题意；
C、调查不具代表性，故C不合题意；
D、调查具有广泛性、代表性，故D符合题意；
故选：D．
4．（3分）如图是由一些相同的小正方体组合成的几何体的三视图，则小正方体的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据三视图，该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有2行3列，故可得出该几何体的小正方体的个数．
【解答】解：综合三视图，我们可得出，
这个几何体的底层应该有4个小正方体，第二层应该有1个小正方体，
因此搭成这个几何体的小正方体的个数为4+1＝5（个），
故选：B．
5．（3分）计算：（x•x3）2＝x2•（x3）2＝x2•x6＝x8，其中，第一步运算的依据是（ ）
A．幂的乘方法则 B．同底数幂的乘法法则
C．乘法分配律 D．积的乘方法则
【分析】根据积的乘方解决此题．
【解答】解：由题意得：（x•x3）2＝x2•（x3）2＝x2•x6＝x8，第一步根据积的乘方法则进行运算．
故选：D．
6．（3分）如图，将一根长2m的铁丝首尾相接围成矩形，则围成的矩形的面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．1m2
【分析】先根据题意列出函数关系式，再求其最值即可．
【解答】解：设矩形的一边长为xm，所以另一边长为（1﹣x）m，矩形的面积为Sm2，
其面积为S＝x（1﹣x）＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，
∴周长为2cm的矩形的最大面积为m2．
故选：A．
7．（3分）某班从甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能情况数和恰好选中甲、乙两位选手的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：根据题意画图如下：
共有12种等可能数，其中恰好选中甲、乙两位选手的有2种，
则恰好选中甲、乙两位选手的概率是＝．
故选：B．
8．（3分）如图，平行四边形ABCD中，AB＝BC＝2，∠ABC＝45°，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点E、F，作直线EF交BC于点G，连接DG，则线段DG的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．2
【分析】连接AG，如图，利用基本作图得到EF垂直平分AB，则根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到∠GAB＝∠B＝45°，所以∠AGB＝90°，AG＝2，接着根据平行四边形的性质和平行线的性质得到AD＝BC＝2，∠DAG＝∠AGB＝90°，然后利用勾股定理可计算出DG的长．
【解答】解：连接AG，如图，
由作法得EF垂直平分AB，
∴GA＝GB，
∴∠GAB＝∠B＝45°，
∴△ABG为等腰直角三角形，
∴∠AGB＝90°，AG＝AB＝，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝2，
∴∠DAG＝∠AGB＝90°，
在Rt△ADG中，DG＝＝＝．
故选：A．
9．（3分）对于实数a、b，定义一种运算“※”为：a※b＝a2+ab﹣2，有下列命题：①1※3＝2；②方程x※1＝0的根为：x1＝﹣2，x2＝1；③不等式组的解集为：﹣1＜x＜4；④点（﹣1，0）在函数y＝x※（﹣1）的图象上，其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①③ C．①②③ D．③④
【分析】①根据新定义计算得1⊗3＝1+1×3﹣2＝2，可对①进行判断；
②根据新定义先得到方程x2+x﹣2＝0，再利用因式分解法解得x1＝﹣2，x2＝1，则可对②进行判断；
③先根据新定义得到不等式组，然后解不等式组，则可对③进行判断；
④把x＝﹣1，y＝0代入解答即可．
【解答】解：1※3＝1+1×3﹣2＝2，所以①正确；
由x※1＝0得x2+x﹣2＝0，解得x1＝﹣2，x2＝1，所以②正确；
③不等式组化为，解集为：﹣1＜x＜4；，所以③正确，；
④y＝x※（﹣1）＝x2﹣x﹣2，
把x＝﹣1，代入y＝x2﹣x﹣2＝1+1﹣2＝0，故④正确；
正确的①②③④，
故选：A．
10．（3分）如图①，点C是以点O为圆心、AB为直径的半圆上的一个动点（可以与点A、B重合），过点C作CD⊥AB于D，连结CA，设CA的长为x，CD的长为y，图②是点C运动过程中y与x之间的函数关系的图象，其中最高点M的坐标是（ ）
A．（2，2） B．（2，2） C．（2，3） D．（2，3）
【分析】先根据图象得出AB的长度，然后求出圆的半径，当点C到点O的正上方时，CD最大，求出此时的x和y的值，即可确定点M的坐标．
【解答】解：由图象得AB＝4，
∴圆O的半径为2，
当点D和点O重合时，CD最大，
此时CD为圆O的半径，
∴y＝2，
当y＝2时，x＝，
∴点M的坐标为（2，2），
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若﹣（m﹣1）0＝0，则实数m应满足的条件是 m≠1 ．
【分析】根据二次根式和零指数幂的运算法则进行分析求解．
【解答】解：∵﹣（m﹣1）0＝0，
∴1﹣（m﹣1）0＝0，
∴（m﹣1）0＝1，
∴m﹣1≠0，即m≠1，
故答案为：m≠1．
12．（3分）如图是利用直尺和三角板过直线l外一点P作直线l的平行线的方法，这样做的依据是 同位角相等，两直线平行 ．
【分析】过直线外一点作已知直线的平行线，只有满足同位角相等，才能得到两直线平行．
【解答】解：由图形得，有两个相等的同位角存在，
这样做的依据是：同位角相等，两直线平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E，若点A（1，0），D（0，2），则k的值为 5 ．
【分析】根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设B（x，2）．利用矩形的性质得出E为BD中点，∠DAB＝90°．根据线段中点坐标公式得出E（x，2）．由勾股定理得出AD2+AB2＝BD2，列出方程12+22+（x﹣1）2+22＝x2，求出x，得到E点坐标，利用待定系数法求出k．
【解答】解：∵BD∥x轴，D（0，2），
∴B、D两点纵坐标相同，都为2，
∴可设B（x，2）．
∵矩形ABCD的对角线的交点为E，
∴E为BD中点，∠DAB＝90°．
∴E（x，2）．
∵∠DAB＝90°，
∴AD2+AB2＝BD2，
∵A（1，0），D（0，2），B（x，4），
∴12+22+（x﹣1）2+22＝x2，
解得x＝5，
∴E（，2）．
∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点E，
∴k＝×2＝5．
故答案为5．
14．（3分）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，点C是OB的中点，过点C作CD⊥OB交于点D，过点D作DE⊥OA于点E，连接BE交CD于点F，若OA＝2，则图中阴影部分的面积为 ﹣ ．
【分析】连接OD、BD，先证得△BOD是等边三角形，得出∠BOD＝60°，即可得出CD＝，∠AOD＝30°，根据平行线分线段成比例定理证得DF＝CF＝，根据S阴影＝S扇形AOD﹣S△EOD+S△EDF即可求得．
【解答】解：连接OD、BD，
∵点C是OB的中点，过点C作CD⊥OB交于点D，
∴OD＝BD，
∵OD＝OB，
∴△BOD是等边三角形，
∴∠BOD＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOD＝30°，
∴CD＝OD＝，
由题意可知四边形EOCD是矩形，
∴ED＝OC＝1，OE＝CD＝，
∵ED∥OB，
∴＝＝1，
∴DF＝CF＝CD＝，
∴S阴影＝S扇形AOD﹣S△EOD+S△EDF＝﹣+＝﹣，
故答案为：﹣．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC＝2，D为AB的中点，P是边BC上的一个动点，连接PA、PD，将△ADP沿直线DP折叠，得到△DPA′，当以A′、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形时，线段BP的长为 或 ．
【分析】分两种情况：当四边形A'BPD是平行四边形时，可得BP＝A'D＝；当四边形A'BDP是平行四边形时，设BP＝x，则CP＝2﹣x，在Rt△ACP中用勾股定理可得BP＝．
【解答】解：当四边形A'BPD是平行四边形时，如图：
∵∠ACB＝90°，BC＝2AC＝2，
∴AB＝＝，
∵D为AB的中点，
∴AD＝AB＝，
∵将△ADP沿直线DP折叠，得到△DPA′，
∴A'D＝AD＝，
∵四边形A'BPD是平行四边形，
∴BP＝A'D＝；
当四边形A'BDP是平行四边形时，如图：
设BP＝x，则CP＝2﹣x，
∵四边形A'BDP是平行四边形，
∴A'P＝BD，
∵D为AB的中点，
∴A'P＝BD＝AB＝，
∵将△ADP沿直线DP折叠，得到△DPA′，
∴AP＝A'P＝，
在Rt△ACP中，CP2+AC2＝AP2，
∴（2﹣x）2+12＝（）2，
解得x＝或x＝（大于BC，舍去），
∴BP＝，
综上所述，BP为或，
故答案为：或．
三、解答题（共8个小题，满分54分）
16．（8分）复习备考时，王老师在黑板上写了一道分式化简题的正确计算结果，随后用手遮住了原题目的一部分，如图：
（﹣a+1）÷＝﹣
（1）求被手遮住部分的代数式，并将其化简；
（2）原代数式的值能等于3吗？请说明理由．
【分析】（1）根据被除式＝商×除式，其中的一个加式＝和﹣另一个加式，列出表示被遮挡部分的算式，然后根据分式混合运算的运算顺序和计算法则进行计算；
（2）根据原式值为3列出分式方程求解，然后结合分式有意义的条件进行分析判断．
【解答】解：（1）被遮挡部分可表示为：
﹣+a﹣1
＝﹣+a﹣1
＝﹣
＝
＝，
∴被遮挡部分的代数式为，
（2）不能，理由如下：
当原式的值为3时，
﹣＝3，
解得：a＝﹣1，
经检验：a＝﹣1是分式方程的解，
又∵a+2≠0，a+1≠0，
∴a≠﹣2且a≠﹣1，
∴原式的值不能为3．
17．（9分）云课堂的最大优点是能够依托网络平台及时反锁学习效果，在一次数学习题课教学上，课前，雷老师让班上每位同学做6道与这节课内容相关的类似练习题，解题情况频数统计如图1所示．课后，雷老师再让学生做6道与这节课内容相关的类似练习题，解题情况统计如表2所示，已知每位学生至少答对1题．
答对题数
频数（人）
1
3
2
4
3
4
4
a
5
12
6
16
合计
b
根据以上信息，回答下列问题：
（1）根据图表信息填空：a＝ 11 ，b＝ 50 ；
（2）该班课前解题时答对题数的众数是 3道 ，课后解题答对题数的中位数是 5道 ；
（3）请选择适当的统计量，从两个不同的角度评价这节数学习题课的教学效果．
【分析】（1）由频数分布直方图可得总人数，再进一步求解可得a的值；
（2）根据众数和中位数的概念求解即可；
（3）可从平均数及中位数的角度分析求解即可．
【解答】解：（1）由频数分布直方图知b＝6+9+12+10+9+4＝50，
则a＝50﹣（3+4+4+12+16）＝11，
故答案为：11、50；
（2）该班课前解题时答对题数的众数是3道，课后解题答对题数的中位数是＝5（道），
故答案为3道，5道；
（3）课前答对题数的平均数为×（1×6+2×9+3×12+4×10+5×9+6×4）＝3.38（道），
课后答对题数的平均数为×（1×3+2×4+3×4+4×11+5×12+6×16）＝4.46（道），
课前答对题数的中位数为＝3（道），
∴课后答对题数的平均数量明显多于课前．
从中位数看，课前答对题数的中位数为3题，课后答对题数的中位数为5题，即课前答对3题及以下的人数有一半以上，而课后有一半以上的人答对5题，这节课的教学效果明显．
18．（9分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．
（1）求证：AD∥EC；
（2）若AB＝3，求线段AE的长．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到∠OCE＝90°，根据圆周角定理得到∠AOC＝90°，根据平行线的判定定理证明结论；
（2）过点A作AF⊥EC交EC于F，根据正弦的定义求出AD，根据正方形的性质求出AF，根据余弦的定义计算即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝90°，
∵∠AOC+∠OCE＝180°，
∴AD∥EC；
（2）如图，过点A作AF⊥EC交EC于F，
∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝60°，
∴∠D＝∠ACB＝60°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴sin∠ADB＝＝，
∴AD＝＝2，
∴OA＝OC＝，
∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，OA＝OC，
∴四边形OAFC是正方形，
∴CF＝AF＝，
∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°，
∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴AE＝＝＝2．
19．（9分）某班为参加学校的大课间活动比赛，准备购进一批跳绳，已知2根A型跳绳和1根B型跳绳共需56元，1根A型跳绳和2根B型跳绳共需82元．
（1）求一根A型跳绳和一根B型跳绳的售价各是多少元？
（2）学校准备购进这两种型号的跳绳共50根，并且A型跳绳的数量不多于B型跳绳数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【分析】（1）设一根A型跳绳售价是x元，一根B型跳绳的售价是y元，根据：“2根A型跳绳和1根B型跳绳共需56元，1根A型跳绳和2根B型跳绳共需82元”列方程组求解即可；
（2）首先根据“A型跳绳的数量不多于B型跳绳数量的3倍”确定自变量的取值范围，然后得到有关总费用和A型跳绳之间的关系得到函数解析式，确定函数的最值即可．
【解答】解：（1）设一根A型跳绳售价是x元，一根B型跳绳的售价是y元，
根据题意，得：
，
解得：，
答：一根A型跳绳售价是10元，一根B型跳绳的售价是36元；
（2）设购进A型跳绳m根，总费用为W元，
根据题意，得：W＝10m+36（50﹣m）＝﹣26m+1800，
∵﹣26＜0，
∴W随m的增大而减小，
又∵m≤3（50﹣m），解得：m≤37.5，
而m为正整数，
∴当m＝37时，W最小＝﹣26×37+1800＝838，
此时50﹣37＝13，
答：当购买A型跳绳37只，B型跳绳13只时，最省钱．
20．（9分）如图，为了测量河对岸古塔AB的高度，在坡度i＝1：2.4的斜坡底C处测得古塔顶端A的仰角为60°，沿斜坡上行26米到达D处，测得古塔顶端A的仰角为37°（已知A、B、C、D在同一竖直平面内），求古塔AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.73）
【分析】过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，则DE＝FB，BE＝FD，先由坡度的定义和勾股定理求出BE＝FD＝10米，CF＝24米，再由锐角三角函数定义求出AB＝BC，设BC＝a米，则AB＝a米，AE＝AB﹣BE＝（a﹣10）米，DE＝FB＝BC+CF＝（a+24）米，然后由锐角三角函数求出a的值，即可解决问题．
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，如图所示：
则DE＝FB，BE＝FD，
∵CD的坡度i＝1：2.4＝5：12，
∴＝，
设FD＝5x（x＞0）米，则CF＝12x米，
由勾股定理得：（5x）2+（12x）2＝262，
解得：x＝2，
∴BE＝FD＝10米，CF＝24米，
∵∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，
∴tan∠ACB＝＝tan60°＝，
∴AB＝BC，
设BC＝a米，则AB＝a米，AE＝AB﹣BE＝（a﹣10）米，DE＝FB＝BC+CF＝（a+24）米，
在Rt△ADE中，∠ADE＝37°，
∵tan∠ADE＝＝tan37°≈0.75，
∴≈，
解得：a≈28.57，
∴AB＝a≈49.4（米），
答：古塔AB的高度约为49.4米．
21．（10分）已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB＝AB，且S△OAB＝．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．
【分析】（1）先求出OB，进而求出AD，得出点A坐标，最后用待定系数法即可得出结论；
（2）分三种情况，①当AB＝PB时，得出PB＝5，即可得出结论；
②当AB＝AP时，利用点P与点B关于AD对称，得出DP＝BD＝4，即可得出结论；
③当PB＝AP时，先表示出AP2＝（9﹣a）2+9，BP2＝（5﹣a）2，进而建立方程求解即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，过点A作AD⊥x轴于D，
∵B（5，0），
∴OB＝5，
∵S△OAB＝，
∴×5×AD＝，
∴AD＝3，
∵OB＝AB，
∴AB＝5，
在Rt△ADB中，BD＝＝4，
∴OD＝OB+BD＝9，
∴A（9，3），
将点A坐标代入反比例函数y＝中得，m＝9×3＝27，
∴反比例函数的解析式为y＝，
将点A（9，3），B（5，0）代入直线y＝kx+b中，，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣；
（2）由（1）知，AB＝5，
∵△ABP是等腰三角形，
∴①当AB＝PB时，
∴PB＝5，
∴P（0，0）或（10，0），
②当AB＝AP时，如图2，
由（1）知，BD＝4，
易知，点P与点B关于AD对称，
∴DP＝BD＝4，
∴OP＝5+4+4＝13，∴P（13，0），
③当PB＝AP时，设P（a，0），
∵A（9，3），B（5，0），
∴AP2＝（9﹣a）2+9，BP2＝（5﹣a）2，
∴（9﹣a）2+9＝（5﹣a）2
∴a＝，
∴P（，0），
即：满足条件的点P的坐标为（0，0）或（10，0）或（13，0）或（，0）．
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