高一数学北师大版选修2-1 第二章 §6 应用创新演练教案

1．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(2，－1,0)在α内，则P(1,3，－2)到α的距离为(　　)

A．10　　　　　　　　　　 B．3

C.        D.

解析：＝(1，－4,2)，又平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，所以P到α的距离为＝＝.

答案：C

2．正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为2，E是A1C1的中点，则E到AB的距离是(　　)

A．2      B.

C.     D.

解析：建立空间直角坐标系如图，则A(0,0,0)，B(，1,0)，E(0,1,2)， ＝(，1,0)，＝(0,1,2)，

∴·＝1，＝，

则E到AB的距离d＝ ＝＝.

答案：C

3．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则点A1到直线BC1的距离是(　　)

A.a      B．a

C.a      D.

解析：如图所示，取BC1中点O.则A1O⊥BC1，连A1C1，A1B.

在Rt△A1OB中，A1B＝a， BO＝a，

∴A1O＝＝ ＝a.

答案：A

4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为(　　)

A.       B.

C.       D.

解析：如图，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，A1(2,0,4)，B1(2,2,4)，D1(0,0,4)．

∴＝(2,2,0)，＝(2,0，－4)，＝(0,0,4)，

设n＝(x，y，z)是平面AB1D1的一个法向量，

则n⊥，n⊥，∴即

令z＝1，则平面AB1D1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．

∴由在n上射影可得A1到平面AB1D1的距离为d＝＝.

答案：C

5．若三棱锥P－ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝2，则P到平面ABC的距离为________．

解析：如图，以点P为原点，建立空间直角坐标系，可求得平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1)，＝(2,0,0)，则P到平面ABC的距离为＝.

答案：

6.如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为________．

解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A，B(0,1,0)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)，

则＝，＝(0,1,0)，＝(0,1，－1)，设平面ABC1的法向量为n＝(x，y,1)，

则有，解得n＝(，1,1)，

则d＝||＝＝.

答案：

7.如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，求点P到BD的距离．

解：法一：作AH⊥BD，垂足为H，

∵PA⊥平面ABCD，

∴AH为PH在平面ABCD上的投影．由垂直关系得PH⊥BD，

∴PH即为P到BD的距离，

在Rt△ABD中，可得AH＝，

在Rt△PAH中，由勾股定理

可求得PH＝＝，

∴P到BD的距离为.

法二：如上图，分别以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建系，则P(0,0,1)，B(3,0,0)，D(0,4,0)，

∴＝(3,0，－1)，＝(－3,4,0)，

∴＝－，

P到BD的距离d＝

＝ ＝.

∴P到BD的距离为.

8.如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1.

求点C到平面AEC1F的距离．

解：建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(2,4,0)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，E(2,4,1)，C1(0,4,3)．

设n为平面AEC1F的法向量，

显然n不垂直于平面ADF，故可设n＝(x，y,1)．

由得

即∴n＝(1，－，1)．

又＝(0,0,3)．

∴C到平面AEC1F的距离为

d＝＝＝.