中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第06讲 二次根式（解析版）学案

中考数学一轮复习讲义

考点六：二次根式

聚焦考点☆温习理解

1、二次根式

式子叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。

2、最简二次根式

若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。

化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：

(1)如果被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。学=科网

(2)如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。

3、同类二次根式[来源:学.科.网]

几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。

4、二次根式的性质

(1)

(2)

(3)

(4)

5、二次根式混合运算

二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去括号)。

名师点睛☆典例分类

考点典例一、二次根式概念与性质

【例1】(2019•广东广州•3分)代数式有意义时，x应满足的条件是　x＞8　．

【分析】直接利用分式、二次根式的定义求出x的取值范围．

【解答】解：代数式有意义时，

x﹣8＞0，

解得：x＞8．

故答案为：x＞8．

【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．

【举一反三】

1. (2018武汉常青一中一模)下列各式一定是二次根式的是(     )

A.     B.

C.     D.

【答案】B

2.(2018陕西西安一模)若，则化简________．

【答案】

【解析】．

考点：二次根式性质.

考点典例二、二次根式的运算

【例2】(2019•湖南常德•3分)下列运算正确的是(　　)

A． B． C． D．

【考点】二次根式的运算．

【分析】根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的性质对B、C进行判断；根据分母有理化和二次根式的性质对D进行判断．

【解答】解：A、原式＝+2，所以A选项错误；

B、原式＝2，所以B选项错误；

C、原式＝2，所以C选项错误；

D、原式＝＝，所以D选项正确．故选D．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

【举一反三】

1.计算的结果是　　　　　　．

【答案】.

【解析】

试题分析：

考点：二次根式化简.

2. (2018黄冈中考模拟)如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①，②，③其中正确的是(　　)

A．①②          B．②③          C．①③         D．①②③

【答案】B.

【解析】

试题分析：由ab＞0，a+b＜0先求出a＜0，b＜0，再进行根号内的运算．

试题解析：∵ab＞0，a+b＜0，

∴a＜0，b＜0

①，被开方数应≥0a，b不能做被开方数，(故①错误)，

②(故②正确)，

③(故③正确)．

故选：B．

【点睛】二次根式化简依据：，，本题是考查二次根式的乘除法，解答本题的关键是明确a＜0，b＜0．

考点典例三、二次根式混合运算

【例3】(2019•湖南益阳•4分)观察下列等式：

①3－＝(－1)2，

②5－＝(－)2，

③7－＝(－)2，

…

请你根据以上规律，写出第6个等式          　．

【考点】规律探究---二次根式化简．

【分析】第n个等式左边的第1个数为2n+1，根号下的数为n(n+1)，利用完全平方公式得到第n个等式右边的式子为(－)2(n≥1的整数)．

【解答】解：写出第6个等式为13－2＝(－)2．

故答案为13－2＝(－)2．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

【举一反三】

1. 计算的结果等于__________．

【来源】天津市2018年中考数学试题

【答案】3

【解析】分析：先运用用平方差公式把括号展开，再根据二次根式的性质计算可得．

详解：原式=()2-()2

=6-3

=3，

故答案为：3．

点睛：本题考查了二次根式的混合运算的应用，熟练掌握平方差公式与二次根式的性质是关键．

2. (2018湖北宜昌中考模拟)计算：[来源:Zxxk.Com]

【答案】.

【解析】

试题分析：根据二次根式的乘法法则和零指数幂的意义得到原式=，然后合并即可；

试题解析：原式=

=

=.

考点：二次根式的混合运算

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．

考点典例四、二次根式运算中的技巧

【例4】(德州)若y=-2，则(x+y)y=         

【答案】．

【解析】

试题分析：根据被开方数大于等于0，列式求出x，再求出y，然后代入代数式进行计算即可得解．

试题解析：由题意得，x-4≥0且4-x≥0，
解得x≥4且x≤4，
∴x=4，
y=-2，
∴x+y)y=(4-2)-2=．
考点：二次根式有意义的条件

【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．

【举一反三】

1. (福州)若(m-1)2+=0，则m+n的值是(　　)[来源:学科网]

A．-1      B．0       C．1         D．2

【答案】A．

考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．

2. 观察下列等式：  

①；②；③；……

回答下列问题：

(1)利用你观察到的规律，化简：

(2)计算： +++……+

【答案】(1)-  (2)9

【解析】

试题分析：(1)根据已知的3个等式发现规律： ，把n=22代入即可求解；

(2)先利用上题的规律将每一个分数化为两个二次根式的差的形式，再计算即可．

试题解析：(1)；

(2)计算：

=

=

=10-1

=9.

考点典例五、估算大小

【例5】(2019·重庆A卷)估计的值应在

A．4和5之间       B．5和6之间

C．6和7之间       D．7和8之间

【答案】C

【解析】=2+6=2+，又因为4<<5，所以6<2+<7，故选C．

【举一反三】

1. (2018广州黄埔区一模)估计的运算结果应在(   )之间.

A. 1和2    B. 2和3    C. 3和4    D. 4和5

【答案】C

【解析】

试题解析：=

,1.4<

所以3.1<。

故选C. [来源:学#科#网]

2. (2019·南京)下列整数中，与最接近的是

A．4    B．5    C．6    D．7

【答案】C

【解析】∵9<<16，∴3<<4，∴与最接近的是4，∴与10−最接近的是6．故选C．

课时作业☆能力提升

1.与是同类二次根式的是(　　)

A．   B．   C．   D．

【答案】C.

考点：同类二次根式

2.下列计算正确的是(　　)

A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．

【答案】A．

【解析】

试题分析：A．，正确；

B．，故此选项错误；

C．，故此选项错误；

D．，故此选项错误；

故选A．

考点：二次根式的性质与化简．

3. (2019·济宁)下列计算正确的是

A．  B．  C．  D．

【答案】D

【解析】A．，故此选项错误；B．，故此选项错误；

C．，故此选项错误；D．，正确．故选D．

4. (内江)按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是(　　)

A．14     B．16      C．8+5      D．14+

【答案】C.

【解析】

考点：实数的运算．学科网

6. (湖北省孝感市2018年中考)已知，，则式子的值是(   )

A. 48    B.     C. 16    D. 12

【答案】D

点睛：本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．

7(2017山东寿光一模)一次函数y=ax+b在直角坐标系中的图象如图所示，则化简的结果是(     )

A. 2a    B. －2a    C. 2b    D. －2b

【答案】D

【解析】

试题分析：由图可知a>0，b<0，a+b>0，所以a-b>0，所以=a-b-(a+b)=-2b，

故选D.

8.(2017湖北鄂州联考)已知0≤x≤3，化简= ______ ．

【答案】3

【解析】∵0≤x≤3，

∴x≥0，x−3≤0，

原式=|x|+|x−3|

=x+3−x=3.

故答案为：3.

9. (2019·天津)计算的结果等于__________．

【答案】2

【解析】原式=3-1=2．故答案为：2．

10.计算﹣的结果精确到0.01是(可用科学计算器计算或笔算)(　　)

A．0.30 B．0.31 C．0.32 D．0.33

【答案】C．

【解析】

试题分析：用计算器计算可得≈1.732，≈1.414，所以﹣≈1.732﹣1.414=0.318≈0.32．

故答案选C．

考点：计算器的运用.

11. (2019•鄂尔多斯)计算：(π+1)0+|2|-()-2=__________．

【答案】-1

【解析】(π+1)0+|2|-()-2=1+24=-1，故答案为：-1．

【名师点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

12. (2017辽宁盖州中考模拟)计算：(﹣)×=______．

【答案】8

【解析】

试题分析：原式利用乘法分配律及二次根式乘法法则计算即可得：

试题解析：原式= .故答案为：8.

13.((2019•大连)计算：(2)26．

【解析】原式=3+4-426

=3+4-422

=7．

【名师点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．

14. (2019•上海)计算：|1|8．

【解析】|1|8

1-224

=-3．

【名师点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．