2012-2013高二北师大数学选修2-2：第五课时 第三章 导数的应用小结与复习教学设计

第五课时   第三章 导数的应用小结与复习 一、教学目标：1、知识与技能:①利用导数研究函数的切线、单调性、极大（小）值以及函数在连续区间[a，b]上的最大（小）值；②利用导数求解一些实际问题的最大值和最小值。2、过程与方法:①通过研究函数的切线、单调性、极大（小）值以及函数在连续区间[a，b]上的最大（小）值，培养学生的数学思维能力； ② 通过求解一些实际问题的最大值和最小值，培养学生分析问题、解决问题的能力，以及数学建模能力。 3、情感态度、价值观：逐步培养学生养成运用数形结合、等价转化、函数与方程等数学思想方法思考问题、解决问题的习惯。二、教学重难点：通过研究函数的切线、单调性、极大（小）值以及函数在连续区间[a，b]上的最大（小）值，培养学生的数学思维能力； 通过求解一些实际问题的最大值和最小值，培养学生分析问题、解决问题的能力，以及数学建模能力。 三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程:类型一 利用导数研究函数的单调性1.导数的符号与函数单调性关系(1)若f′(x)＞0,则f(x)为增函数；若f′(x)＜0,则f(x)为减函数；若f′(x)=0恒成立,则f(x)为常数函数；若f′(x)的符号不确定,则f(x)不是单调函数.(2)若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增，则f′(x)≥0；若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减，则f′(x)≤0.2.利用导数求函数单调区间的步骤：(1)求f′(x)；(2)求方程f′(x)=0的根，设根为x1,x2,…xn；(3)x1,x2,…xn将给定区间分成n+1个子区间，再在每一个子区间内判断f′(x)的符号，由此确定每一子区间的单调性.3.已知函数的单调性求参数的取值范围有两种思路：(1)转化为不等式在某区间上恒成立问题，即f′(x)≥0(≤0)恒成立，用分离参数求最值或函数性质求解，注意验证使f′(x)=0的参数是否符合题意.(2)构造关于参数的不等式求解，即令f′(x)＞0(＜0)求得用参数表示的单调区间，结合所给区间，利用区间端点列不等式求参数.特别提醒：利用导数研究函数单调区间，注意验证区间端点是否符合题意.【例1】已知x∈R，奇函数f(x)=x3-ax2-bx+c在［1,+∞)上单调，则字母a,b,c应满足的条件是什么？【审题指导】f(x)在［1,+∞)上单调，则f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立，或者［1,+∞)是f(x)单调区间的子集.【规范解答】∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0⇒c=0；f(x)+f(-x)=0⇒a=0.∴f′(x)=3x2-b.方法一：若f(x)在x∈［1,+∞)上是增函数，则f′(x)≥0在［1,+∞)上恒成立，即b≤(3x2)min=3.若f(x)在x∈［1,+∞)上是减函数，则f′(x)≤0在［1,+∞)上恒成立，这样的b不存在.综上可得：a=c=0,b≤3.方法二：若f(x)在x∈［1,+∞)上是增函数，若b≤0,f′(x)=3x2-b≥0恒成立，符合题意;若b＞0，则由f′(x)=3x2-b≥0得,即f(x)的单调区间是所以       0＜b≤3.∴b≤3.若f(x)在x∈［1,+∞)上是减函数，f′(x)≤0恒成立，这样的b不存在.综上可得：a=c=0,b≤3.类型二 利用导数求函数的极值和最值1.导数对于函数极值与最值的作用：函数的极值与最值是函数的重要性质，最值与极值有着密切的关系，而极值是函数在某点处的特殊性质，初等方法难以刻画，因而导数就成为研究函数极值的有力工具.2.求函数f(x)的极值的步骤及注意事项:(1)求导数f′(x);(2)求方程f′(x)=0的根(x为可能的极值点)；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，求出极大值和极小值.3.利用导数求函数f(x)在区间［a,b］上最值的步骤及注意事项:(1)求f(x)在区间［a,b］内的极值(极大值或极小值)；(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、 f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 特别提醒：①当f(x)在区间［a,b］上单调时，最值在端点处取得.②若函数f(x)在区间［a,b］内只有一个极大值(或极小值)，则该极大值(或极小值)即为函数f(x)在区间［a,b］内的最大值(或最小值).【例2】函数f(x)=x3+ax2+bx+c，过曲线y=f(x)上的点P(1，f(1))的切线方程为y=3x+1.(1)若y=f(x)在x=-2时有极值，求f(x)的表达式；(2)在(1)的条件下，求y=f(x)在［-3,1］上的最大值.【审题指导】(1)由切线方程可得f(1)=4，f′(1)=3，又y=f(x)在x=-2时有极值，所以f′(-2)=0，构造三个方程求三个系数a,b,c.(2)求导，求极值，列表求最值.【规范解答】(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c，求导数得f′(x)=3x2+2ax+b，过y=f(x)上的点P(1，f(1))的切线方程为：y-f(1)=f′(1)(x-1)，即为：y-(a+b+c+1)=(3+2a+b)·(x-1)，而过P(1，f(1))的切线方程是y=3x+1，又y=f(x)在x=-2时有极值，∴f′(-2)=0，∴-4a+b=-12，②联立①②解得：a=2，b=-4，c=5，即f(x)=x3+2x2-4x+5.(2)f′ (x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2)，令f′(x)=0,则x=-2或当x在［-3,1］变化时，f(x)、 f′(x)的变化如表：  f(x)极大值=f(-2)=13，又∵f(1)=4，∴f(x)在区间［-3,1］上的最大值是13. 类型三  导数在实际问题中的应用1.利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法：(1)细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系y=f(x)，根据实际问题确定y=f(x)的定义域.(2)求f′(x)，令f′(x)=0，得出所有实数解.(3)比较函数在各个根和区间端点处的函数值的大小，根据实际问题的意义确定函数的最大值或最小值.2.利用导数求实际问题的最大(小)值时，应注意的问题：(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的值应舍去.(2)在实际问题中，由f′(x)=0常常仅解得一个根，若能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值.特别提醒：此类题目易忽视求函数实际意义中的定义域，导致最值求错.【例3】一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小时10公里时，燃料费是每小时6元，而其他和速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1公里所需的费用总和为最小？【审题指导】由条件“速度为每小时10公里时，燃料费是每小时6元”可求燃料费和它的速度的立方成正比的比例系数，再表示出每小时的总费用，除以速度即为每公里所用的费用.【规范解答】设速度为每小时v公里的燃料费是每小时p元，则p=kv3.又∵6=k·103,∴k=0.006,∴p=0.006v3.设行驶1公里所需的总费用为y元， 则 ∴                由y′=0,得v=20(公里/小时).又∵当0＜v＜20时，y′＜0；当v＞20时，y′＞0.∴当速度为每小时20公里时，航行1公里所需的费用总和最小. 类型四 恒成立问题解决恒成立问题常用的方法：(1)函数与方程方法.利用不等式与函数和方程之间的联系，将问题转化成二次方程的根的情况进行研究.有些问题需要经过代换转化成二次函数或二次方程.注意代换后的自变量的范围变化.(2)分离参数法.将含参数的恒成立式子中的参数分离出来，化成形如：a=f(x)或a＞f(x)或a＜f(x)恒成立的形式.则：a=f(x)即a的范围是f(x)的值域；a＜f(x)恒成立即a＜f(x)min；a＞f(x)恒成立即a＞f(x)max.特别提醒：参数范围中区间端点的开闭一定要单独验证来取舍. 【例4】设                        当x∈［-2,2］时，f(x)-m ＜0恒成立，求实数m的取值范围.【审题指导】f(x)-m＜0恒成立即f(x)＜m恒成立，只需m大于f(x)的最大值.【规范解答】f′(x)=3x2-x-2，由f′(x)＞0得3x2-x-2＞0, 即 由f′(x)＜0得3x2-x-2＜0，即             所以函数单调增 区间是                 ；函数的单调减区间是 由f(x)＜m恒成立，∴m大于f(x)的最大值.当x∈［-2,2］时， (1)当x∈           时，f(x)为增函数，所以 = (2)当x∈               时，f(x)为减函数， 所以 (3)当x∈［1,2］时，f(x)为增函数， 所以f(x)max=f(2)=7；因为           从而m＞7.课堂练习1.设y=8x2-lnx，则此函数在区间      和      内分别 (   ) (A)单调递增，单调递减      (B)单调递增，单调递增(C)单调递减，单调递增      (D)单调递减，单调递减【解析】选C.  当x∈        时，y′＜0，y=8x2-lnx为减函数； 当x∈        时，y′＞0，y=8x2-lnx为增函数.2.对于R上可导的任意函数f(x),若f(x)=f(2-x)，且当x∈(-∞，1)时，(x-1)f′(x)＜0，设a= f(0)，c=f(3)，则(   )(A)a＜b＜c          (B)c＜a＜b(C)c＜b＜a          (D)b＜c＜a【解析】选B.由当x∈(-∞，1)时， (x-1)f′(x)＜0，知f(x)在(-∞，1)上为增函数.又由f(x)=f(2-x)得c=f(3)=f(-1)，所以c＜a＜b. 3.若函数                         在(1，+∞)上是增函数，则实数k的取值范围是(   )(A)［-2，+∞)        (B)(-∞，-1)(C)(1，+∞)          (D)(-∞，2］ 【解析】选A.因为                  所以  在(1，+∞)上恒成立，即k≥-2x2在(1，+∞)上恒成立，所以k∈［-2，+∞).4.设底为等边三角形的直棱柱的体积为2，当其表面积最小时，底面边长为(   ) (A)         (B)          (C)2      (D)4【解析】选C.设底面边长为x，则表面积 (x＞0)，             令S′=0，得x=2. 5.已知函数f(x)的导数f′(x)=a(x+1)·(x-a)，若f(x)在x=a处取到极大值，则a的取值范围是_______.【解析】结合二次函数图像知，当a＞0或a＜-1时，在x=a处取得极小值，当-1＜a＜0时，在x=a处取得极大值，故a∈(-1,0).答案：(-1,0)6.当x＞0时，ex-1与x的大小关系是_______.【解析】令f(x)=(ex-1)-x，则f′(x)=ex-1.当x＞0时，f′(x)＞0，所以f(x)在(0，+∞)上为增函数，所以(ex-1)-x＞f(0)=0,即ex-1＞x.答案：ex-1＞x