高中数学沪教版高中二年级 第一学期7.7数列的极限学案设计

7.8 (2) 无穷等比数列的各项和（2）

　一、教学内容分析

本小节的重点是无穷等比数列的各项和的公式的应用.教材在上一节已经介绍了无穷等比数列的各项和的公式，在此基础上进一步利用公式解决实际中的一些求和问题，将所学的理论知识应用到实际生活中.教材这样处理，体现了数学知识自身的科学性：理论知识来源于实际又进一步应用于实际中去，让学生深刻体会数学知识的内在规律和所学知识的应用价值.

本小节的难点是正确把握无穷等比数列的各项和公式中的隐含条件：,突破难点的关键在于对等比数列的前n项和与极限概念的深刻理解，有助于逻辑思维能力的发展.

二、教学目标设计

进一步理解和掌握无穷等比数列的各项和的公式；利用无穷等比数列的各项和公式解决一些实际应用问题;发展逻辑思维能力，强化应用意识.

三、教学重点及难点

无穷等比数列的各项和公式的应用;

无穷等比数列的各项和公式中的隐含条件.

四、教学流程设计

五、教学过程设计          

一、复习回顾

思考并回答下列问题：

1.无穷等比数列的各项和公式的回顾:

2.无穷等比数列的各项和公式中的隐含条件:

当且仅当无穷等比数列的公比满足时，其前n项和的极限才存在，在此基础上定义无穷等比数列的各项和,进一步得出计算公式.

二、讲授新课

1. 无穷等比数列的各项和概念的进一步强化

例题1  已知无穷等比数列{an}的各项之和为4，求首项a1的取值范围.

    分析：无穷等比数列的各项和定义的前提条件是.

解：设无穷等比数列{an}的公比为q ，

由题设知  ，得

又， 故 ，

解得，

   所以.

另解： （），利用一次函数的值域来求解.

[说明]（1） 数学概念的深刻理解；

（2） 两种解法的比较：不等式的求解与函数思想.

    2.无穷等比数列的各项和的实际应用

例题2 如图（见课本第48页 图7-13）在内有一系列的正方形，它们的边长依次为，若，求所有正方形的面积之和.

分析：解决该实际问题的关键在于转化成一个无穷等比数列的各项和.

解：由题设知：，解得.

由，得

所以正方形的面积是一个首项为，公比为的无穷等比数列，于是所有正方形的面积之和为:

.

另解：所有正方形的面积之和等于的面积减去所有内部的三角形的面积之和，而第n个正方形的面积与内部对应的第n个三角形的面积之比为4：1,所以所有正方形的面积之和等于面积的 .

[说明] （1）问题的实质：所有正方形的面积是一个无穷等比数列的各项和；

（2）另解的关键在于图形中正方形与三角形的对应分析.

三、巩固练习

1. 课本练习 课本第48页 练习7.8 (2)第1,2,3题

2. 补充练习 如图P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形P3  ，P4 ，… ,Pn ,…,记纸板Pn的周长、面积分别为、，

求（1） ； （2） .

分析：纸板Pn的周长等于n个半圆的周长（依次构成一个等比数列）与一条线段的长度的和，即是一个无穷等比数列的各项和; 纸板Pn的面积等于一个半圆面积减去n-1个半圆的面积（依次构成一个等比数列）的和，即是一个半圆面积减去一个无穷等比数列的各项和所得的差.

略解：（1） ；

（2） .

[说明] 问题的关键在于转化为无穷等比数列的各项和.

四、课堂小结

1. 无穷等比数列的各项和公式：S=()的理解；

2．如何将某些实际问题转化为一个无穷等比数列的各项和；

3．学会表达：等比数列无穷等比数列的前n项和无穷等比数列的各项和.

五、课后作业

1、书面作业：第21页 习题7.8 A组第4，6，7题

第22页 习题7.8 B组第3，4题

2、思考题：无穷等比数列中，首项，公比，前n项和为，记，求.

（提示：根据公比q的不同取值范围讨论）

六、教学设计说明

1．本节课的设计意图体现了数学教学中的一个常见模式：学习了一个新的数学概念或公式后从什么角度进一步加深拓宽和应用；

2．本节课的关键在于在上一节课的基础上强化概念和公式，深刻地理解数学概念的本质所在，并且将所学的知识应用到实际问题中去；

3．教学过程中要注重逻辑思维能力的发展和应用意识的强化.