数学7.7数列的极限教案

数列的极限

【教学目标】

1．理解数列极限的概念，能初步根据数列极限的定义确定一些简单数列的极限。

2．观察运动和变化的过程，初步认识有限与无限、近似与精确、量变与质变的辩证关系，提高的数学概括能力、抽象思维能力和审美能力。

3．利用刘徽的割圆术说明极限，渗透爱国主义教育，增强民族自豪感和数学学习的兴趣。

【教学重难点】

重点：数列极限的概念以及简单数列的极限的求解。

难点：数列极限的定义的理解。

【教学过程】

一、 情景引入

1．创设情境，引出课题。

1．观察。 

教师：在古代有人曾写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。” 哪位同学能解释一下此话意思？

学生：一根一尺长的木棒，第一天取它的一半，第二天取第一天剩下的一半，……，如此继续下去，永远也无法取完。

思考：

教师：如果把每天取得的木棒长度排列起来，会得到一组怎样的数？

学生：。

3．讨论。

教师：随着的增大，数列的项会怎样变化？

学生：慢慢靠近0。

教师：这就是我们今天要学习的数列的极限——引出课题。

二、学习新课

1．观察归纳，形成概念。

（1）直观认识。

教师：请同学们考察下列几个数列的变化趋势。

（1）；

①“项”随的增大而减小；

②但都大于0；

③当无限增大时，相应的项可以“无限趋近于”常数0。

（2）；

①“项”的正负交错地排列，并且随的增大其绝对值减小；

②当无限增大时，相应的项可以“无限趋近于”常数0。

（3）；

①“项”随的增大而增大；

②但都小于1；

③当无限增大时，相应的项可以“无限趋近于”常数1。

教师：用电脑动画演示数列的不同的趋近方式：

（a）从右趋近；（c）从左趋近；（b）从左右。

两方趋近，使学生明白不同的趋近方式。

教师：上面的庄子讲的话体现了极限的思想，其实我们的先辈还会用极限的思想解决问题，我国魏晋时期杰出的数学家刘徽于公元前 263年创立的“割圆术”借助圆内接正多边形的周长，得到圆的周长就是极限思想的一次很好的应用。刘徽把他的操作方法概括这样几个字：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆和体，而无所失矣。”

概念辨析：

教师：归纳数列极限的描述性定义。

学生：一般地，如果当项数无限增大时，数列的项无限的趋近于某一个常数那么就说数列以为极限。

教师：是不是每个数列都有极限呢？

学生1：（思考片刻）不是。如。

学生2：；。

教师：请大家再看一下，下面的数列极限存在吗？如果有，说出极限。

（a）

（b）无穷数列：；

学生1：数列（a）有极限，当是奇数时，数列的极限是0，当是偶数时，数列 的极限是1，数列（b）的极限是0.4。

教师：有不同意见吗？

学生2：数列（b）的极限是0.34；

学生3：数列（b）的极限不存在。

（这时课堂上的学生们都在纷纷议论，大家对数列（b）的极限持有各自不同的观点，但对数列（a）的极限的认识基本赞同学生1的观点。）

教师：数列（a）有极限吗？数列（b）的极限究竟是多少？（学生们沉思。）

学生4：数列（a）没极限，原因是极限的描述性定义中要求趋近与一个常数，数列（b）的极限是。

教师：回答的非常正确（用动画演示数列（b）的逼近过程），同学们对（a）判断错误的原因是对描述性定义还未很好的理解。对（b）判断错误的原因是描述性定义的局限性导致的，数列（b）随着的无限增大，它会趋近于0.4．0.34．0.334，但是接近到一定的程度就不在接近了，所以无限的接近必须有量化的表述。

（2）量化认识。

教师：用什么来体现这种无限接近的过程呢？

学生：用和之间的距离的缩小过程，即趋近0。

教师：现在以数列为例说明这种过程观察：

距离量化：，随着的增大，的值越来越小，不论给定怎样小的一个正数（记为ε），只要充分的大，都有比给定的正数小。

教师：请同桌的两位同学，一个取ε，另一个找。

问题拓展：

学生：老师再来几个其它的数列。

教师：以上我们以提到的和为例，大家可以再操作一下。

教师：（学生问答完毕）大家作了这项活动以后有什么感受？

学生：只要数列有极限，对于给定的正数ε，总可以找到一项，使得它后面的所有的项与数列的极限的差的绝对值小于ε。

教师：顺理成章的给出数列极限的定义：

一般地，设数列是一个无穷数列，是一个常数，如果对于预先给定的任意小的正数ε，总存在正整数N，使得只要正整数，就有，那么就说数列以为极限，记作，或者时。

教师：常数数列的极限如何？

学生：是这个常数本身。

教师：为什么？

学生：因为极限和项的差的绝对值为0，当然比所有给定的正数小。

三、巩固练习

讲授例题：

已知数列。

①把这个数列的前5项在数轴上表示出来。

②写出的解析式。

③中的第几项以后的所有项都满足。

④指出数列的极限。

四、课堂小结

①无穷数列是该数列有极限的什么条件。

②常数数列的极限就是这个常数。

③数列极限的描述性定义。

④数列极限的的定义。