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    《平面直角坐标系中的基本公式》如何避免直线问题中的斜率讨论 文字素材6(人教B版必修2)教案

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    高中数学人教版新课标B必修22.1.2平面直角坐标系中的基本公式教案及反思

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    这是一份高中数学人教版新课标B必修22.1.2平面直角坐标系中的基本公式教案及反思,共3页。教案主要包含了利用向量垂直的充要条件,利用直线系方程,利用“设而不求”法等内容,欢迎下载使用。
    如何避免直线问题中的斜率讨论 直线一定有倾斜角,但不一定有斜率,很多利用直线斜率解决的问题,都要分斜率存在与不存在两种情况讨论.如果你轻视斜率不存在这种特殊情况,往往会导致错误;如果你避免设斜率而求解,有时又可能会出现妙解.下面介绍几种避免对直线斜率讨论的方法.巧设直线方程如果所求直线可能涉及到斜率不存在的情况,则可以将过点(x0,y0)的直线方程设为x-x0=m(y-y0),则可以避免对斜率的讨论.例1求经过点(5,10),且与原点的距离为5的直线方程.解析:x-5=m(y-10),即x-my-5+10m=0,则由点到直线的距离公式,得=5,解得m=或m=0,故所求直线的方程为3x-4y+25=0或x=5.点评:从所求出的两个m的值可以发现m=0对应的情形就是所求直线的斜率不存在的情形.数形结合法在直线方程的五种基本形式中,如果利用选用点斜式或斜截式方程,则还须对直线不存在的情况进行补充.在解题时能作出图形的尽量作图,使隐含的条件直观显现,解答就会更加完备.2直线l经过点P(12),且与两点M(2,-3)N(45)的距离相等,求直线l的方程.解析:因为MN到直线l的距离相等,所以lMN或经过MN的中点,如图所示.kMN,且MN的中点坐标为(1,1),lMN时,直线l的方程为4x-3y+2=0,l经过MN的中点时,直线l的方程为x=1,综上所述,所求直线l的方程为4x-3y+2=0或x=1.点评:本题若按常规解法,则应当考虑所求直线的斜率是否存在,存在时直接设直线的点斜式方程.三、利用向量垂直的充要条件向量垂直的充要条件坐标形式:=(x1,y1),=(x2,y2),则=0x1x2+y1y2=0.对于两条直线互相垂直的问题,如果能根据直线上两点分别确定出所在直线的一个向量,则利用向量垂直的条件可快速求解.例3已知C(a,b)(ab0)是一定点,过C作两条互相垂直的直线l1l2,其中l1交x轴于A,l2交y轴于B,求证:线段AB的中点M在一条定直线上.解析:如图,设点M(xy)由中点坐标公式,得A(2x0)B(02y),(a2xb),(ab2y),a(a2x)b(b2y)0,整理,得2ax2bya2b2=0,即点M在一条定直线上.点评:由于题设条件中有一已知点C,则易考虑利用点斜式方程来解决,但考虑对直线l1l2的斜率是否存在进行分类讨论,而利用向量垂直的充要条件解答,奇妙无比.四、利用直线系方程主要的直线系方程:(1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系为:Ax+By+λ=0(λ为参数);(2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系为:Bx-Ay+λ=0(λ为参数);(3)过已知两条直线l1A1x+B1y+C1=0和l2A2x+B2y+C2=0的交点的直线系为程A1x+B1y+C1λ(A2x+B2y+C2)=0(除去l2).4求过点(35)且与直线3mx+(m+5)y+3m-7=0垂直的直线方程.解析:依题意,设所求直线方程为(m+5)x-3my+C=0,将点(35)代入所求方程,得(m+5)×3-3m×5+C=0,解得C=12m-15.故所求直线方程为(m+5)x-3my+12m-15=0.点评:解此类问题时,当已知直线的斜率确定时,可根据已知直线的斜率写出所求直线的方程;当已知直线的斜率不确定,方程中含有参数时,为了避开讨论,常常通过利用直线系方程来解决.本题若按利用斜率间关系求解,则必须同时考虑已知直线与所求直线的斜率是否存在的情况,其过程较繁.利用两条直线平行与垂直的充要条件已知直线l1A1xB1yC10l2A2xB2yC20,则(1)l1l2的充要条件是A1B2-A2B1=0,且A1C2-A2C1,B1C2-B2C1中至少一个不等于零;(2) l1l2的充要条件是A1B2-A2B1=0.5已知直线l1x+2my-3=0与直线l2(3m-1)x-my+5=0互相平行,求实数m的值.A1B2-A2B1=0,得-m×1-(3m-1)×2m=0,即m(6m-1)=0,解得m=0或m=.当m=0时,A1C2-A2C1=5×1-(3m-1)×(-3)=20,l1l2.当m=时,B1C2-B2C1=5×2m-(-m)×(-3)=0,l1l2.所以m的取值为0和.点评如果利用两条平行直线之间的斜率关系解答,则须考虑两条直线的斜率是否存在,而利用两条直线平行的充要条件可避开.六、利用设而不求设而不求就是指在解题过程中,根据题目的要求设相关的量对应的未知数,但整个过程中并不需要求出这些未知数就可以使问题顺利解决.6已知一条直线l被两条平行直线l13x+4y-7=0和l23x+4y+8=0所截得的线段长为,且经过点(2,3),求直线l的方程.解析:设直线l1l1l2的交点分别为A(x1y1)B(x2y2),则两个方程相减,得3(x2x1)+4(y2y1)+15=0,即y2y1=-(x2x1)-由|AB|=,得(x2x1)2+(y2y1)2=()2,所以(x2x1)2+[(x2x1)+]2=()2即5(x2x1)2+18(x2x1)=0,解得x2x1=0或x2x1=-.x2x1=0,得所求直线方程为x=2,x2x1=-,得y2y1=-,所以所求直线的斜率为,直线方程为7x-24y+58=0.综上知,所求直线的方程为x=2或7x-24y+58=0.点评:本题通过利用设而不求将x2x1y2y1作为整体求解,进而确定所求直线的斜率,这种方法是解析几何中常用的手段和技巧.设而不求的未知数,又叫辅助元素,它是我们为解决问题增设的一些参数,它能起到沟通数量关系,架起连接已知量和未知量的桥梁作用.

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