2020-2021学年2.3.2圆的一般方程教案

圆的一般方程

教学目标：

1． 圆的一般方程及一般方程的特点；

2． 圆的一般方程和标准方程的互化；

3． 待定系数法求圆的方程；

4． 数形结合思想，方程思想，分析和解决问题的能力。

教学重点：圆的一般方程及特点。

教学难点：圆的一般方程的特点及待定系数法求圆的方程。

教学过程：

一．              复习引入

1． 前面我们已经学习了圆的标准方程，圆心 ,半径r。

问题1：确定一个圆，有哪些方法？

①     圆心，半径； ②过不在同一直线上三点。

问题2：求过三点的圆的方程。

生：可以求圆心和半径,再写出圆的方程。

师：对，但是比较麻烦，是否还有更简单的方法呢？圆的方程是否还有其他的形式呢？本节课我们就来学习圆的一般方程。首先请同学们解决下列问题：

练习1：试判断下列方程分别表示什么图形？

（1）

（2）

（3）

（学生一般会用配方法进行判断，通过学生相互之间的补充完成。）

二．              新课

  1．

  问题2：方程表示什么图形？

  （创设一种鼓励的宽松的氛围，让学生充分发表自己的观点，教师适当引导，如时如何？时如何？）

  配方得

(1) 当时，方程表示以为圆心，为半径的圆；

(2) 当时，方程只有实数解，所以表示一个点

(3) 当时，方程没有实数解，因而方程不表示任何图形。

板书：圆的一般方程：（其中）

指出：①圆心，半径，

②标准方程的优点在于它明确指出了圆心及半径，而一般方程突出了形式上的特点。

  2．

  练习2：下列方程各表示什么图形？

学生练习并回答：

(1)点（0，0）；                 （2）圆；圆心（1，－2）半径

，当时表示圆，圆心（－a，0）半径；

当时表示点（0，0）。

（4）不是圆。

问题3：能否通过改变（4）中方程的系数，使之成为圆的方程？怎么改？

学生分析各种可能性，并得出结论：的系数相等且不等于0。

问题4：二元二次方程表示圆的方程必须具备哪些条件？

引导学生对比圆的一般方程的系数，得出下列3种结论：

（1）的系数相等且不等于0，（2）没有xy这样的项，（3）。

3

练习2：求下列各圆的半径和圆心坐标，并画出图形：

（1）；；

.

学生练习得出答案：

（1）       r＝3，圆心（3，0）  (2)r=,圆心（0，－b） （3）r＝，圆心（-）。

   问题5：观察图形，你能发现什么？

（学生思考，相互讨论，教师引导发现。）

  （1）是与y轴相切于原点的圆；（2）是与x轴相切于原点的圆；（3）是与y轴相切且圆心在直线上的圆。

  问题6：①若圆与y轴相切于原点，则D、E、F应满足什么条件？②若圆与y轴相切呢？

  学生讨论，各抒己见，相互补充，完善结论：①E=0,F=0,D≠0;②.

  我们还可以继续探究：如当圆①与x轴相切；②过原点；③原点在圆内；……等情况时，系数D、E、F应满足的条件。（若时间不够，则作为课外作业）

  圆的一般方程体现了方程形式上的特点，而标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径，两种方程中都有3个变量，根据这一特点，求圆的方程，需要3个独立的条件，请看下题：

4

  例1求过三点的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标。

  解：（法1）设所求的圆的方程为

用待定系数法，根据所给条件来确定D、E、F。

因为在圆上，所以它们的坐标是方程的解，把它们的坐标依次代入上面的方程，得到关于D、E、F的三元一次方程组

  解这个方程组，得F=0,D=-8,E=6.于是得到所求的圆的方程

由前面的讨论可知，所求圆的半径r＝=5,圆心坐标是（4，－3）。

（法2）：设圆的方程为

因为在圆上，所以它们的坐标是方程的解，把它们的坐标依次代入上面的方程，得到关于D、E、F的三元二次方程组

解方程得

（法3）：线段的垂直平分线方程为：,…①

线段的垂直平分线方程为：…②

  由①②可得圆心坐标（4，－3）

  r＝＝5

引申 若已知圆过点A（－1，5）、B（6，－2）、C（2，a）问：

⑴当a为何值时，点M（5，5）在圆上？

⑵是否存在a的值，使得圆过点N（1，3）？

解：⑴设圆的方程为

因为点A、B、M在圆上，所以它们的坐标满足圆的方程，则有

解方程组得

所以圆的方程为

又点C在圆上，所以

⑵因为三点共线，所以不存在。

三 小结

本节课我们学习了圆的一般方程，和标准方程相比较，它们各有优劣，在解题时，我们要根据题目的具体要求，合理选择圆的方程的形式；一般来说，与圆心、半径有关的问题可以考虑用圆的标准方程，与方程、圆上的点有关的问题可以用一般方程。

四 作业

 1．（必做题）

2．研究性作业：当圆在直角坐标系的不同位置时，D、E、F应满足什么条件。