2021学年2.2.3两条直线的位置关系教案设计

两条直线的位置关系

一、选择题(每小题5分，共30分)

1．m＝－1是直线mx＋y－3＝0与直线2x＋m(m－1)y＋2＝0垂直的   (　　)

A．充分不必要条件　　　　 B．必要不充分条件

C．充要条件      D．既不充分又不必要条件

解析：两直线垂直的充要条件是2m＋m(m－1)＝0，解得m＝0或m＝－1，∴m＝－1仅是两直线垂直的充分不必要条件．

答案：A

2．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是                                                                                                                                                                                                                  (　　)

A．[，)       B．(，)

C．(，)       D．[，]

解析：解法1：求出交点坐标，再由交点在第一象限求得倾斜角的范围⇒

∵交点在第一象限，∴，

∴，∴k∈(，＋∞)．

图1

∴倾斜角范围为(，)．

解法2：如图1所示，直线2x＋3y－6＝0过点A(3,0)，B(0,2)，直线l必过点C(0，－)，当直线过A点时，两直线的交点在x轴，当直线l绕C点逆时针旋转时，交点进入第一象限，从而得出结果．

答案：B

3．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是      (　　)

A．x＋2y－1＝0     B．2x＋y－1＝0

C．2x＋y－3＝0     D．x＋2y－3＝0

解析：在直线x－2y＋1＝0上任取两点(1,1)，(0，)，这两点关于直线x＝1的对称点分别为(1,1)，(2，)，

过这两点的直线方程为y－1＝－(x－1)，

即x＋2y－3＝0.所以应选D.

答案：D

4．(2009·上海高考)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是                                                                                                                                                                                                                  (　　)

A．1或3       B．1或5

C．3或5       D．1或2

解析：当k＝4时，直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为1，两直线不平行；当k≠4时，两直线平行的一个必要条件是＝k－3，解得k＝3或k＝5，但必须同时满足≠(截距不相等)才是充要条件，检验知k＝3、k＝5均满足这个条件．故选C.

答案：C

5．光线入射在直线l1：2x－y－3＝0上，经过x轴反射到直线l2上，再经过y轴反射到直线l3上，则l3的直线方程为                                                                                                                                                                        (　　)

A．x－2y＋3＝0     B．2x－y＋3＝0

C．2x＋y－3＝0     D．2x－y＋6＝0

解析：2x－y－3＝0与x轴交点为(，0)

所以2x－y－3＝0关于x轴的对称直线为2x＋y－3＝0,2x＋y－3＝0关于y轴对称的直线为2x－y＋3＝0，所以l3的方程为2x－y＋3＝0.选B.

答案：B

6．设两条平行直线的方程分别为x＋y＋a＝0、x＋y＋b＝0，已知a、b是关于x的方程x2＋x＋c＝0的两个实数根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为                                                                                                                                                                                                                                                            (　　)

A.，       B.，

C.，       D.，

解析：由题意得，|a－b|＝＝，∵0≤c≤，∴|a－b|∈[，1]，∴两直线间的距离d＝∈[，]，∴两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为，.

答案：D

二、填空题(每小题5分，共20分)

7．与直线3x＋4y＋12＝0平行，且与坐标轴构成的三角形面积是24的直线l的方程是__________．

解析：由题意可设直线l：3x＋4y＋c＝0，令x＝0，y＝－，令y＝0，x＝－，∴··＝24⇒c＝±24，

∴直线l：3x＋4y±24＝0.

答案：3x＋4y±24＝0

8．点P(4cosθ，3sinθ)到直线x＋y－6＝0的距离的最小值等于__________．

解析：由点到直线的距离公式可得

d＝＝

∵－5≤5sin(θ＋φ)≤5，

∴－11≤5sin(θ＋φ)－6≤－1.∴dmin＝.

答案：

9．直线l1：a1x＋b1y＋1＝0和直线l2：a2x＋b2y＋1＝0的交点为(2,3)，则过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)的直线方程为__________．

解析：∵(2,3)为两直线l1，l2的交点，

∴2a1＋3b1＋1＝0,2a2＋3b2＋1＝0，由此可知，

点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)都在直线2x＋3y＋1＝0上，

又∵l1与l2是两条不同的直线，

∴a1与a2，b1与b2不可能全相同，

因此Q1，Q2为不同的两点，

∴过两点Q1，Q2的直线方程为2x＋3y＋1＝0.

答案：2x＋3y＋1＝0

10．(2009·全国卷Ⅰ)若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是①15°　②30°　③45°　④60°　⑤75°

其中正确答案的序号是________．(写出所有正确答案的序号)

图2

解析：两平行线间的距离为d＝＝，如图2所示，可知直线m与l1、l2的夹角为30°，l1、l2的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.故填①⑤.

答案：①⑤

三、解答题(共50分)

11．(15分)等腰Rt△ABC的斜边AB所在的直线方程是3x－y＋2＝0，C(，)，求直线AC和直线BC的方程和△ABC的面积．

解：kAB＝3，设与直线AB夹角为45°的直线斜率为k，则＝tan45°＝1.

∴k＝或－2.∴直线AC、BC的方程为

y－＝(x－)和y－＝－2(x－)，

即x－2y－2＝0和2x＋y－6＝0，

又C到直线AB的距离d＝，

∴S△ABC＝|AB|·d＝×2×＝10.

12．(15分)△ABC中，A(1,4)，∠ABC的平分线所在直线方程为x－2y＝0，∠ACB的平分线所在直线的方程为x＋y－1＝0(如图3)，求BC边所在直线的方程．

图3

解：设A点关于直线x－2y＝0的对称点为A1(x1，y1)，则有

，可解得即A1(，－)，

设点A关于x＋y－1＝0的对称点为A2(x2，y2)，

则有

解得.即A2(－3,0)．

则直线A1A2即直线BC的方程为

y＝[x－(－3)]

即4x＋17y＋12＝0.

13．(20分)两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A、B旋转，如果两条平行直线间的距离为d，求：

(1)d的变化范围；

(2)当d取最大值时，两条直线的方程．

解：(1)方法1：①当两条直线的斜率不存在时，即两直线分别为x＝6和x＝－3，则它们之间的距离为9.

②当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为

l1：y－2＝k(x－6)，

l2：y＋1＝k(x＋3)，

即l1：kx－y－6k＋2＝0，l2：kx－y＋3k－1＝0.

∴d＝＝，

即(81－d2)k2－54k＋9－d2＝0.

∵k∈R，且d≠9，d>0，

∴Δ＝542－4(81－d2)(9－d2)≥0，

即0<d≤3且d≠9.

综合①②可知，所求的d的变化范围为(0,3]．

图4

方法2：如图4所示，

显然有0<d≤|AB|.

而|AB|＝

＝3.

故所求的d的变化范围为(0,3]．

(2)由图4可知，当d取最大值时，两直线垂直于AB.

而kAB＝＝，

∴所求的直线的斜率为－3.

故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝

－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.