数学人教版新课标A第二章 数列2.2 等差数列教案

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等差数列·例题解析【例1】  在100以内有多少个能被7个整除的自然数？解  ∵100以内能被7整除的自然数构成一个等差数列，其中a1=7，d＝7，an＝98．代入an＝a1＋(n－1)d中，有98＝7＋(n－1)·7解得n＝14答  100以内有14个能被7整除的自然数．【例2】  在－1与7之间顺次插入三个数a，b，b使这五个数成等差数列，求此数列．解  设这五个数组成的等差数列为{an}由已知：a1＝－1，a5＝7∴7＝－1＋(5－1)d  解出d＝2所求数列为：－1，1，3，5，7．插入一个数，使之组成一个新的等差数列，求新数列的通项．【例4】  在[1000，2000]内能被3整除且被4除余1的整数共有多少个？解  设an=3n，bm＝4m－3，n，m∈N得n＝4k－1 (k∈N)，得{an}，{bm}中相同的项构成的数列{cn}的通项cn＝12n－3(n∈N)．则在[1000，2000]内{cn}的项为84·12－3，85·12－3，…，166·12－3∴n＝166－84＋1=83  ∴共有83个数．【例5】  三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数．解  设三个数分别为x－d，x，x＋d．解得x＝5，d＝±2∴ 所求三个数为3、5、7或7、5、3说明  注意学习本题对三个成等差数列的数的设法．【例6】  已知a、b、c成等差数列，求证：b＋c，c＋a，a＋b也成等差数列．证  ∵a、b、c成等差数列∴2b=a＋c∴(b＋c)＋(a＋b)＝a＋2b＋c＝a＋(a＋c)＋c＝2(a＋c)∴b＋c、c＋a、a＋b成等差数列．说明  如果a、b、c成等差数列，常化成2b＝a＋c的形式去运用；反之，如果求证a、b、c成等差数列，常改证2b=a＋c．本例的意图即在让读者体会这一点．可能是等差数列．分析  直接证明a、b、c不可能是等差数列，有关等差数列的知识较难运用，这时往往用反证法．证  假设a、b、c是等差数列，则2b=a＋c∴2ac＝b(a＋c)=2b2，b2＝ac．又∵ a、b、c不为0，∴ a、b、c为等比数列，又∴ a、b、c为等差数列，∴ a、b、c为常数列，与a≠b矛盾，∴ 假设是错误的．∴ a、b、c不可能成等差数列．【例8】  解答下列各题： (1)已知等差数列{an}，an≠0，公差d≠0，求证：①对任意k∈N，关于x的方程akx2＋2ak+1x＋ak+2＝0有一公共根；分析与解答(1)akx2＋2ak+1x＋ak+2＝0∵{an}为等差数列，∴2ak+1＝ak＋ak+2∴akx2＋(ak＋ak+2)x＋ak+2＝0∴(akx＋ak+2)(x＋1)=0， ak≠0∵{an}为等差数列，d为不等于零的常数(2)由条件得  2b=a＋c∴4RsinB＝2RsinA＋2RsinC，2sinB＝sinA＋sinC分析至此，变形目标需明确，即要证由于目标是半角的余切形式，一般把切向弦转化，故有【例9】  若正数a1，a2，a3，…an+1成等差数列，求证：证明  设该数列的公差为d，则a1－a2=a2－a3＝…＝an－an+1=－d∴a1－an+1=－nd∴ 原等式成立．【例10】   设x≠y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，