人教版新课标A必修52.2 等差数列第2课时巩固练习

第2课时　等差数列的性质及其应用

双基达标　限时20分钟

1．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于        (　　)．

A．4     B．5     C．6      D．7

解析　由a2＋a8＝2a5＝12得：a5＝6，故选C.

答案　C

2．由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…下列说法正确的是                                                                                                                                                                                                    (　　)．

A．新数列不是等差数列

B．新数列是公差为d的等差数列

C．新数列是公差为2d的等差数列

D．新数列是公差为3d的等差数列

解析　∵(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝2d，

∴数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差为2d的等差数列．

答案　C

3．在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－a8的值为   (　　)．

A．4     B．6     C．8      D．10

解析　由a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，

∴a6＝16，∴a7－a8＝(2a7－a8)＝(a6＋a8－a8)＝a6＝8.

答案　C

4．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20＝________.

解析　∵a1＋a3＋a5＝105，∴3a3＝105，a3＝35.

∵a2＋a4＋a6＝3a4＝99.∴a4＝33，∴d＝a4－a3＝－2.

∴a20＝a4＋16d＝33＋16×(－2)＝1.

答案　1

5．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是________．

解析　设an＝－24＋(n－1)d，

由解得：<d≤3.

答案　

6．若三个数a－4，a＋2,26－2a适当排列后构成递增等差数列，求a的值和相应的数列．

解　显然a－4<a＋2，

(1)若a－4，a＋2,26－2a成等差数列，则

(a－4)＋(26－2a)＝2(a＋2)，

∴a＝6，相应的等差数列为：2,8,14.

(2)若a－4,26－2a，a＋2成等差数列，则

(a－4)＋(a＋2)＝2(26－2a)，

∴a＝9，相应的等差数列为：5,8,11.

(3)若26－2a，a－4，a＋2成等差数列，则

(26－2a)＋(a＋2)＝2(a－4)，

∴a＝12，相应的等差数列为：2,8,14.

综合提高　限时25分钟

7．已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为   (　　)．

A.     B．±    C．－     D．－

解析　由等差数列的性质得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，

∴a7＝.

∴tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan ＝tan ＝－.

答案　D

8．(2011·本溪高二检测)在等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2，若在每相邻两项间各插入一个数，使之成等差数列，那么新的等差数列的公差为                                                                                                                (　　)．

A.      B．－    C．－     D．－1

解析　设插入的四个数为x，y，z，r，则新的数列为a1，x，a2，y，a3，z，a4，r，a5，共九项，∴d＝＝＝－.

答案　B

9．如果有穷数列a1，a2，…，am(m为正整数)满足条件：a1＝am，a2＝am－1，…，am＝a1，则称其为“对称”数列．例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列{cn}中c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，则c2＝________.

解析　因为c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c20＝c11＋9d＝1＋9×2＝19，

又{cn}为21项的对称数列，所以c2＝c20＝19.

答案　19

10．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|＝________.

解析　由题意设这4个根为，＋d，＋2d，＋3d.

则＋＝2，∴d＝，

∴这4个根依次为，，，，

∴n＝×＝，m＝×＝或n＝，m＝，

∴|m－n|＝.

答案　

11．已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，且a11＝－26，a51＝54，求a14的值．你能知道该数列从第几项开始为正数吗？

解　法一　由等差数列an＝a1＋(n－1)d列方程组：

解得

∴a14＝－46＋13×2＝－20.

∴an＝－46＋(n－1)·2＝2n－48.

令an≥0，即2n－48≥0⇒n≥24.

∴从第25项开始，各项为正数．

法二　在等差数列{an}中，根据an＝am＋(n－m)d，

∴a51＝a11＋40d，

∴d＝(54＋26)＝2.

∴a14＝a11＋3d＝－26＋3×2＝－20.

∴an＝a11＋(n－11)d＝－26＋2(n－11)，

∴an＝2n－48.显然当n≥25时，an>0.

即从第25项开始各项为正数．

12．(创新拓展)已知数列{an}的通项公式为an＝pn2＋qn(常数p，q∈R)．

(1)当p和q满足什么条件时，数列{an}是等差数列？

(2)求证：对任意的实数p和q，数列{an＋1－an}都是等差数列．

(1)解　设数列{an}是等差数列，

则an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn)＝2pn＋p＋q，

若2pn＋p＋q是一个与n无关的常数，

则2p＝0，即p＝0.

∴当p＝0时，数列{an}是等差数列．

(2)证明　∵an＋1－an＝2pn＋p＋q，

∴an＋2－an＋1＝2p(n＋1)＋p＋q，

∴(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝[2p(n＋1)＋p＋q]－(2pn＋p＋q)＝2p(常数)．

∴对任意的实数p和q，数列{an＋1－an}都是等差数列．