高中数学3.1 椭圆一课一练

这是一份高中数学3.1 椭圆一课一练，共4页。试卷主要包含了抛物线3y2＝x的焦点坐标为，已知直线l1等内容，欢迎下载使用。

1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程为
( )．
A．y2＝－8x B．y2＝－4x
C．y2＝8x D．y2＝4x
解析 设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则eq \f(p,2)＝2，p＝4，
∴抛物线方程为y2＝8x.
答案 C
2．抛物线3y2＝x的焦点坐标为( )．
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，0))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)，0)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,12)，0))
解析 抛物线化为y2＝eq \f(1,3)x，则焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,12)，0)).
答案 D
3．抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是( )．
A.eq \f(|a|,4) B.eq \f(|a|,2)
C．|a| D．－eq \f(a,2)
解析 因为y2＝ax，所以p＝eq \f(|a|,2)，即该抛物线的焦点到其准线的距离为eq \f(|a|,2)，故选B.
答案 B
4．过点(3，0)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为________．
解析
如图，设P为满足条件的一点，则P到A点的距离等于到y轴的距离，故P在以A(3，0)为焦点、y轴为准线的抛物线上，即P点的轨迹为抛物线．
答案 抛物线
5．抛物线y2＝4x的弦AB⊥x轴，若|AB|＝4eq \r(3)，则焦点F到直线AB的距离为________．
解析 由抛物线的方程可知F(1，0)，由|AB|＝4eq \r(3)且AB⊥x轴，得yeq \\al(2,A)＝(2eq \r(3))2＝12，∴xA＝eq \f(yeq \\al(2,A),4)＝3，∴所求距离为3－1＝2.
答案 2
6．求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)过点(－3，2)；
(2)焦点在直线x－2y－4＝0上．
解 (1)若抛物线焦点落在x轴上，设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)．将点(－3，2)代入方程得22＝－2p×(－3)，p＝eq \f(2,3).故抛物线方程为y2＝－eq \f(4,3)x；
若抛物线焦点落在y轴上，设抛物线方程为x2＝2py(p>0)．将点(－3，2)代入方程得(－3)2＝2p×2，p＝eq \f(9,4).
故抛物线方程为x2＝eq \f(9,2)y.
综上，抛物线方程为y2＝－eq \f(4,3)x或x2＝eq \f(9,2)y.
(2)直线x－2y－4＝0与x轴的交点为(4，0)，则抛物线的焦点坐标为(4，0)．
设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，eq \f(p,2)＝4，p＝8，所以抛物线方程为y2＝16x；
直线x－2y－4＝0与y轴的交点为(0，－2)，则抛物线的焦点坐标为(0，－2)．
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，－eq \f(p,2)＝－2，p＝4，所以抛物线方程为x2＝－8y.
综上抛物线方程为y2＝16x或x2＝－8y.
eq \a\vs4\al\c1(综合提高 （限时25分钟）)
7．以双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( )．
A．y2＝16x B．y2＝－16x
C．y2＝8x D．y2＝－8x
解析 由双曲线方程eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1，可知其焦点在x轴上，由a2＝16，得a＝4，∴右顶点坐标是(4，0)，∴抛物线的焦点为F(4，0)．设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，则由eq \f(p,2)＝4，得p＝8，故所求抛物线的标准方程为y2＝16x.
答案 A
8．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )．
A．2 B．3
C.eq \f(11,5) D.eq \f(37,16)
解析 设抛物线焦点为F，则点F为(1，0)，x＝－1为抛物线的准线，∴点P到l2的距离与|PF|相等，所以当PF⊥l1时，所求和最小，最小值为F点到l1的距离，其值为eq \f(|4＋6|,5)＝2，故选A.
答案 A
9．若抛物线y2＝2px(p>0)上有一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，则点M的横坐标为________．
解析 ∵点M到对称轴的距离为6，∴设点M的坐标为(x，±6)，∵点M到准线的距离为10，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋\f(p,2)＝10，,（±6）2＝2px，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝9，,p＝2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,p＝18，))即点M的横坐标为1或9.
答案 1或9
10．已知点P为抛物线y2＝2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)，4))，则|PA|＋|PM|的最小值为________．
解析 如图所示，焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)，4))在抛物线外部．显然，当P、A、F三点共线时，|PA|＋|PM|才有最小值，此时|PA|＋|PM|＝|PA|＋|PF|－eq \f(1,2)＝|FA|－eq \f(1,2)＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)－\f(1,2)))\s\up12(2)＋42)－eq \f(1,2)＝eq \f(9,2).
答案 eq \f(9,2)
11．平面上动点P到定点F(1，0)的距离比P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程．
解 法一 设点P的坐标为(x，y)，则有eq \r(（x－1）2＋y2)＝|x|＋1.
两边平方并化简得y2＝2x＋2|x|.∴y2＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x，x≥0，,0，x<0，))
即点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x<0)．
法二 由题意，动点P到定点F(1，0)的距离比到y轴的距离大1，由于点F(1，0)到y轴的距离为1，故当x<0时，直线y＝0上的点适合条件；当x≥0时，原命题等价于点P到点F(1，0)与到直线x＝－1的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，x＝－1为准线的抛物线，方程为y2＝4x.
故所求动点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x<0).12.(创新拓展)某河上有座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽8 m．一木船宽4 m，高2 m，载货后木船露在水面上的部分高为eq \f(3,4) m，问水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？
解 以拱桥拱顶为坐标原点，拱高所在直线为y轴，建立如图所示的坐标系．
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
由题意知，点A(4，－5)在抛物线x2＝－2py(p>0)上，
所以16＝－2p×(－5)，2p＝eq \f(16,5).所以抛物线方程为x2＝－eq \f(16,5)y(－4≤x≤4)．设水面上涨船面两侧与抛物线拱桥触于BB′时，船开始不能通航，设B(2，y)，由22＝－eq \f(16,5)×y，
所以y＝－eq \f(5,4).所以水面与抛物线拱顶相距|y|＋eq \f(3,4)＝2 (m)．
所以，水面上涨到距抛物线拱顶2 m时，船开始不能通航．