高中数学苏教版必修41.1任意角、弧度导学案

弧度制导学案

一、学习目标

1.理解弧度制的意义；

2.能正确的应用弧度与角度之间的换算；

3.记住公式（为以.作为圆心角时所对圆弧的长，为圆半径）；

4．熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。

二、学习重、难点

弧度与角度之间的换算；

弧长公式、扇形面积公式的应用。

三、预习导引

  （一）问题情境

 复习：初中时所学的角度制，是怎么规定角的？（初中时把一个周角的记为）

1．在本章引言中，考虑用（r , l ）来表示点P,那么r , l , 之间具有怎样的关系。

2．在本章将学习三角函数，函数自变量必须为实数，而我们学习的角用度来表示，显然不能作为三角函数的自变量，如何用实数来表示角。

  （二）研讨新知

1．弧度制的定义：

  规定：我们把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记此角为．

 练习：圆的半径为，圆弧长为、、的弧所对的圆心角分别为多少？

说明：一个角的弧度由该角的大小来确定，与求比值时所取的圆的半径大小无关。

思考：什么弧度角？一个周角的弧度是多少？一个平角、直角的弧度分别又是多少？

试一试：一些特殊角的度数与弧度数的互相转化,请补充完整

归纳：把角从弧度化为度的方法是：                        

  把角从度化为弧度的方法是：                        

2．弧度的推广及角的弧度数的计算：

  规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；角的弧度的绝对值是，（其中是以角作为圆心角时所对弧的长，是圆的半径）。

说明：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或经常省略，即只写一实数表示角的度量。

例如：当弧长且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是

                ．

3．角度与弧度的换算

rad             1=

4．弧长公式：

在弧度制下，弧长公式又如何表示？

因为（其中表示所对的弧长），所以，弧长公式为．

5．扇形面积公式：扇形面积公式为：．

说明：①弧度制下的公式要显得简洁的多了；

②以上公式中的必须为弧度单位．

四、典例练讲------数学应用

   （一）角的角度制与弧度的相互转化

例1把下列各角从弧度化为度：

（1）  (2) 3.5    (3) 2   (4)

例2把下列各角从度化为弧度：

(1)    （2）     (3)         (4)

（二) 用弧度制分别表示轴线角、象限角、终边相同的角等角的集合
例3  用弧度制分别表示轴线角、象限角的集合。

（1）终边落在轴的正、负半轴，轴的正、负半轴的角的集合。

（2）第一、二、三、四象限角的弧度表示。

解：（1）终边落在轴的正半轴的角的集合为                            ；

           轴的负半轴的角的集合为                            ；

  终边落在轴的正半轴的角的集合为                              ；

          轴的负半轴的角的集合为                             ；

 所以，终边落在轴上的角的集合为                               ；

           落在轴上的角的集合为                              。

（2）第一象限角为                                ；

     第二象限角为                                 ；

第三象限角为                                 ；

第四象限角为                                 ．

用弧度和角度分别表示阴影部分的角（不含边界）的集合：

例4  将下列各角化为的形式，并判断其所在象限。

（1）； （2）；（3）；（4）。

（三）弧度制下的弧长公式和扇形面积公式

例5 已知扇形的周长为8，圆心角为2rad，，求该扇形的面积。

引申题  已知扇形的周长为8，求半径为多大时，该扇形的面积最大，并求圆心角的弧度数.

五、课堂反馈

巩固练习（一）课本P.9练习

反馈矫正（二）补充题

1．集合的关系是 （    ）

 （A）     （B）       （C）  （D）以上都不对。

2．已知集合，则等于（  ）

 （A）                      （B） 

  （C）             （D）或

3．圆的半径变为原来的，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的　　       　倍。

4．若2弧度的圆心角所对的弧长是，则这个圆心角所在的扇形面积是　　　　   　．

5．在以原点为圆心，半径为１的单位圆中，一条弦的长度为，所对的圆心角

的弧度数为　　     　．

六、归纳总结

1．   弧度制的定义；

2．   弧度制与角度制的转换与区别；

3．   牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵活运用；

4．   由将转化成，利用这个与的二次函数关系求出扇形面积的最值。

七、课后检测

1．在中，若，求A，B，C弧度数。

2．直径为20cm的滑轮，每秒钟旋转，则滑轮上一点经过5秒钟转过的弧长是多少？

3．已知扇形周长为，当扇形的中心角为多大时它有最大面积，最大面积是多少？

4． 如图，扇形的面积是，它的周长是，求扇形的中心角及弦的长。

八、感悟和体会