高中数学湘教版必修23.3三角函数的图像与性质教学设计及反思

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  三角函数图象与性质（1） ☆复习目标：1．理解正弦、余弦函数,正切函数的图象和性质；              2．会用”五点法”画正弦、余弦函数的简图.☻基础热身：1. 在下列函数中，同时满足：①在（0,）上递减；②以2为周期；③是奇函数.（     ）A.y=tanx       B.y=cosx             C.y=-sinx           D.y=sinxcosx2. 函数y=|sinx|的一个单调增区间是（     ）A.           B.       C.         D. 3. 函数y=acosx+b(a,b为常数)的最大值是1，最小值是-7，那么acosx+bsinx的最大值是 (  )A.1                B.4                C.5            D.74. 若动直线x=a与函数f(x)=sinx和g(x)=cosx的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为（    ）A.1          B.             C.           D.2☻知识梳理：1. 画出正弦函数、余弦函数、正切函数的简图2.“五点法”作图10.作在上的图象时,先作关键作用的五个点是   、    、  　、  　、  　；20.作在上的图象时,先作关键作用的五个点是   、    、  　、  　、  　.3.三角函数的性质 定义域值域对称性周期单调性奇偶性  对称轴：　　    对称中心:       单调增区间　　　　　 单调减区间　　　　　   对称轴：　　    对称中心:       单调增区间　　　　　 单调减区间　　　　　   对称    :       单调　区间　　　　　  ☆ 案例分析：例1. 求下列函数的值域：（1）y=;  (2)y=sinx+cosx+sinxcosx;   (3)y=2cos+2cosx.        例2. 求函数y=2sin的单调区间.       例3.(1)已知函数=Acos()的图象如图所示，，则=(     )   （A）    (B)     (C)－     (D)         例4. 已知函数f(x)=,求它的定义域和值域，并判断它的奇偶性.       参考答案:基础热身：1.C  2. 答案  C    3. 答案  C     4. 答案  B例1. 解  （1）y===2cos2x+2cosx=2-.                   于是当且仅当cosx=1时取得ymax=4,但cosx≠1,                 ∴y＜4，且ymin=-,当且仅当cosx=-时取得.  故函数值域为.        （2）令t=sinx+cosx,则有t2=1+2sinxcosx,         即sinxcosx=.           有y=f(t)=t+=.          又t=sinx+cosx=sin，  ∴-≤t≤.         故y=f(t)= (-≤t≤),  从而知：f(-1)≤y≤f(),即-1≤y≤+.        即函数的值域为.     （3）y=2cos+2cosx=2coscosx-2sinsinx+2cosx=3cosx-sinx          =2=2cos.       ∵≤1     ∴该函数值域为［-2，2］.例2. 解  方法一  y=2sin化成y=-2sin.           1分       ∵y=sinu(u∈R)的递增、递减区间分别为  （k∈Z),  (k∈Z),      ∴函数y=-2sin的递增、递减区间分别由下面的不等式确定     2k+≤x-≤2k+（k∈Z),  即2k+≤x≤2k+（k∈Z),                                                        2k-≤x-≤2k+（k∈Z),  即2k-≤x≤2k+（k∈Z).        11分   ∴函数y=2sin的单调递减区间、单调递增区间分别为（k∈Z),       （k∈Z).                  12分方法二  y=2sin可看作是由y=2sinu与u=复合而成的. 1分    又∵u=为减函数，   ∴由2k-≤u≤2k+（k∈Z),     -2k-≤x≤-2k+ (k∈Z).即（k∈Z）为y=2sin的递减区间.    由2k+≤u≤2k+ (k∈Z),   即2k+≤-x≤2k+ (k∈Z)     得-2k-≤x≤-2k- (k∈Z),    即（k∈Z)为y=2sin的递增区间. 11分   综上可知：y=2sin的递增区间为（k∈Z）；     递减区间为（k∈Z）. 例3. (1)【答案】B【解析】由图象可得最小正周期为      于是f(0)＝f(),注意到与关于对称        所以f()＝－f()＝     (2)例4. 解  由题意知cos2x≠0，得2x≠k+，  解得x≠（k∈Z）.       所以f(x）的定义域为.     又f（x)= ==cos2x-1=-sin2x.又定义域关于原点对称，     ∴f(x)是偶函数.     显然-sin2x∈［-1，0］，但∵x≠,k∈Z.      ∴-sin2x≠-.所以原函数的值域为.三角函数图象与性质（2）☆复习目标：1．应用待定系数法求的解析式；            2．会用“五点法”和＂图象变换法＂画形如的图象及性质．☻基础热身：１.函数图像的对称轴方程可能是（       ）A．   B．  C．  D．２.已知是实数，则函数的图象不可能是 (    )     ３.如果函数的图像关于点中心对称，那么 的最小值为（    ）（A）           （B）          （C）            (D)      4．用”五点法”作的图象时,首先描出的五个点的横坐标是                   ． ☻知识梳理：1. 用五点法画（Ａ＞０,）一个周期内的简图　 先找五个特征点，如下表所示          ０Ａ０－Ａ０2. 函数  最大值是      ，最小值是      ，周期是，频率是．3. 由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，      只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,例如。途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)   途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。   ☆ 案例分析：例1. 已知函数.用“五点法”画出它的图象；求它的振幅、周期和初相；说明该函数的图象可由的图象经过怎样的变换而得到.      例2.（1）将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是　(   ).A.    B.     C.     D.（2）函数的图像F按向量a平移到F/，F/的解析式y=f(x),当y=f(x)为奇函数时，向量a可以等于（　）A.           B.            C.             D.    （3）设函数，则在下列区间中函数不存在零点的是（　）        A．        B.           C.               D.例3. 如图，函数，，(其中)的图象与轴交于点. (Ⅰ) 求的值；(Ⅱ) 设P是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，求的夹角的余弦值．          参考答案:基础热身：1. 解：的对称轴方程为，即，2. 答案：D 【解析】对于振幅大于1时，三角函数的周期为，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了．3. 解: 函数的图像关于点中心对称        由此易得.故选C途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)  途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 例1.例2. （1）答案:B【解析】:将函数的图象向左平移个单位,得到函数即的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为,故选B.（2）【答案】D   【解析】由平面向量平行规律可知，仅当时，：=为奇函数，故选D.(3) 【解析】：将的零点转化为函数的交点，数形结合可        知答案选A，本题主要考察了三角函数图像的平移和函数与方程的相关知识点，突出      了对转化思想和数形结合思想的考察，对能力要求较高，属较难题例3. 本题主要考查三角函数的图像，已知三角函数求角，向量夹角的计算等基础知识和基本的运算能力。满分14分。解：（I）因为函数图像过点，所以即因为，所以.（II）由函数及其图像，得所以从而 ，故.