高中数学沪教版高中一年级 第二学期5.1任意角及其度量同步训练题

5.1(2)  弧度制

一、教学内容分析

本节课的内容主要是学习角的一种新的度量.弧度制与角度制一样，只是度量角的一种方法，但由于学生有先入为主的想法，所以学起来有一定的困难.本堂课首先必须清楚1弧度的概念，它与所在圆的半径大小无关.其次弧度制与角度制相比有一定的优点，一是在进位上角度制在度、分、秒上是60进制，而弧度制却是十进制，其二在弧长和扇形的面积的表示上弧度制也比角度制简单. 在教学时，可通过弧度制与角度制对比来分析、说明应用弧度制的度量方法比应用角度制的度量方法更具有优越性.

二、教学目标设计

(1) 理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；

(2) 了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应的关系；

(3) 掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度解决某些简单的实际问题；

(4) 在理解弧度制定义的基础上，领会弧度制定义的合理性；

(5) 通过学习，理解并认识角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辩证统一的.

三、教学重点及难点

重点：理解弧度制引入的必要性，掌握定义，能熟练地进行角度制与弧度制的互化．

难点：弧度制定义的理解．

四、教学流程设计

五、教学过程设计          

一、情景引入

回顾：我们在平面几何中研究角的度量，当时是用度作为单位来度量角，的角是如何定义的？

我们规定把周角的作为度的角．

把用度作为单位来度量角的制度叫做角度制.

例：已知三角形中两个内角分别为，，求它的另一个内角的大小.

在角度制下，当把两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进率非十进制，给我们带来不少困难．那么我们能否重新选择角的单位，使在该单位制下两角的加、减运算与常规的十进制加减法一样去做呢？本节课就来尝试选择这种新单位．

二、学习新课

1、概念形成

         弧度制的定义

我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，如图1，弧的长等于半径，弧所对的圆心角就是弧度的角，弧度制的单位符号是，读作弧度．

图1

的弧度数       的弧度数

提问：若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多少？

若弧是一个整圆，则其圆心角的弧度数是多少？

因为半圆的弧长，其圆心角的弧度数是，同理，若弧是一个整圆，其圆心角的弧度数是．

　　在到的角的弧度数必然适合不等式，角的概念推广后，弧的概念也随之推广，任一正角的弧度数都是一个正数．如果圆心角表示一个负角，且它所对的弧长，则这个圆心角的弧度数是，由此我们给出弧度制的定义：一般地，

正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0；角的弧度数的绝对值，其中是以角作为圆心角时所对的弧长， 是圆的半径，这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制．

提问：为什么可以用弧长与其半径的比值来度量角的大小呢？

即这个比值是否与所取的圆的半径大小无关呢？

（易证以角为圆心角所对的弧长与其半径的比值，由的大小来确定，与所取的半径大小无关，仅与角的大小有关．）

因为，可以得到，那弧长等于圆弧所对圆心角的弧度数的绝对值与半径的积，这个公式比采用角度制时相应公式要简单．

问题：试用角的弧度数表示扇形的面积公式.

扇形面积公式：.

2、角度制与弧度制的互化

用“弧度”与“度”去度量每一个角时，除了零角以外，所得到的量数都是不同的，但它们既然是度量同一个角的结果，二者就可以相互换算．我们已经知道：若弧是一个整圆，它的圆心角是周角，其弧度数是，而在角度制里它是，因此，两边除以2，得若将等式两边同除以180，得；

同理，若将等式两边同除以，得（即）

例1：把角化为弧度制.

答：.

例2：把角化为角度制.

答：.

[说明]在进行角度制与弧度制互化时要抓住这个关键．

下面请大家写出一些特殊角的弧度数．

按从左至右顺序其答案是：、、、、、、、、、、．今后我们用弧度制表示角的时候，“弧度”二字或“”通常省略不写，而只写相应的弧度数．例如：角就表示是弧度的角，就表示弧度的角的余弦，即．

例3：计算下列各式的值

(1)     (2) (精确到)

答： (1) ；

　　（2）.

[说明]第（2）小题使用计算器计算，教师可提醒学生注意计算器的设置，需根据问题，选择角度制还是弧度制.

3、角度制与弧度制的比较

引进弧度制后，我们应将它与角度制进行比较，同学们应明确：① 弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制是以“度”为单位度量角的制度；② 弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）的大小，而是圆的所对的圆心角的大小；③ 不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值．

4、角的集合与实数集R之间的一一对应

用弧度制来度量角，实际上是在角的集合与实数集R之间建立这样的一一对应关系（如图2所示）．

图2

　　每一个角都有唯一的一个实数（即这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（角的弧度数等于这个实数）与它对应．

　　[说明]以后我们将要学习的三角函数看成是以实数为自变量的函数，它的自变量的意义可以有多种解释，从而使三角函数的应用更加广泛，在数学与科学研究中普遍采用弧度制，这是重要的原因之一．

例4：下列各角中哪几个是第二象限角？

(1)          (2)          (3)

(4)             (5)             (6)

答：(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

从而可知(2)、(4)、(5)所给的角在第二象限内.

说明：① 用弧度制表示终边重合的角的方法；

② 把一角化为形式，其中，从而可判断角所在的象限．

③ 在同一问题求解过程中，两种单位不能混用，如 写法不妥．

例5：填空

(1) 在内与终边重合的角是___________.

(2) 圆的弧长等于该圆内接正三角形的边长，则该弧所对的圆心角的弧度数是___________.

(3) 在扇形中，，弧长为，则此扇形内切圆的面积是___________.

答：(1) ；(2) ；(3).

三、巩固练习

练习5.1（2）

四、课堂小结

（1）弧度制的定义；

（2）弧度制与角度制之间的互化（）；

（3）扇形弧长公式：，扇形面积公式：；

（4）掌握用弧度制表示终边重合的角；

（5）理解弧度制的思想.

五、课后作业

练习册   P13－15

习题5.1  A组   1.(2)，3，4，5，7

习题5.1  B组   3，4

六、教学设计说明

1、  要使学生理解弧度制与引入弧度制的必要性.弧度制与角度制一样，只是度量角的一种方法，但由于学生有先入为主的想法，所以学起来有一定的困难. 首先必须清楚1弧度的概念，它与所在圆的半径大小无关.其次弧度制与角度制相比有一定的优点，一是在进位上角度制在度、分、秒上是六十进制，而弧度制却是十进制；其二在弧长和扇形的面积的表示上弧度制也比角度制简单. 在教学时，通过弧度制与角度制对比分析、说明应用弧度制的度量比应用角度制的度量方法具有优越性；

2、  关于弧度制与角度制之间互化，教学时要抓住这个关键引导学生.

3、  教学应注意强调在同一式中，所采用的单位必须一致.