高中数学沪教版高中二年级 第二学期12.5双曲线的标准方程教学设计

2.3.1双曲线及其标准方程

教学目标

知识目标：了解双曲线的定义，几何图形和标准方程，并能初步应用。

能力目标：通过与椭圆类比获得双曲线的知识，培养学生类比、分析、归纳、推理等能力和善于寻找数学规律的能力。

    德育目标：在类比探究过程中激发学生的求知欲，培养他们浓厚的学习兴趣及培养学生认真参与积极交流的主体意识，锻炼学生善于发现问题的规律和解决问题的态度。

重点：双曲线的定义及其标方程和简单应用。

难点：对双曲线定义的理解，正确运用双曲线定义推导方程。

教学过程：一.复习提问，引入新课。

问题1.椭圆的定义是什么？

问题2.椭圆的标准方程是怎样的？关系如何？

问题3.如果把上述定义中的“距离的和”改为“距离的差”那么点的轨迹会发生怎样的变化？

师：（多媒体演示动点轨迹）。

师：同学们观察一下，动点所满足的几何条件是什么？

生：长度在变，但。

师：这个常数与的大小关系如何？为什么？

生：小于，三角形中两边之差小于第三边。

师：用同样的方法，使，就得到另一条曲线，这两条曲线合起来叫做双曲线，每条叫做双曲线的一支。（板书课题）

二.形成概念，推导方程。

师：双曲线上的点应满足的条件是什么？

生：（小于）。

师：类比椭圆的定义，请同学概括双曲线的定义。

1.双曲线的定义。（投影）

师：定义中的“绝对值”三字去掉，能否表示双曲线？

生：不能，为双曲线的一支。

师：定义中的常数，轨迹是什么？常数呢?

生：以为端点的两条射线。常数无轨迹。

2.标准方程的推导。

生：①建系。使轴经过两定点，轴为线段的垂直平分线。

②设点。设是双曲线上任一点，

焦距为，那么焦点，。

③列式。

即。

④化简。

两边同除以得

                  ※

，令（）代入※式得

师：这个方程叫做双曲线的标准方程。它所表示的是焦点在轴上，、。类比椭圆焦点在轴上的标准方程，如何得到焦点在轴上双曲线的标准方程？

生：只要将方程中的互换即可。

师：双曲线的标准方程有两种形式，下面做一下比较。

3.两种标准方程的比较。”

生：①方程用“—”号连接；

②分母是，（），但大小不定；

③；

④如果的系数是正的，焦点在轴上，如果地系数是正的，焦点在轴上。

三.练习与例题（投影）

  练习1.判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出及焦点坐标。

  （1）                     （2）

  （3）                    （4）

  答案：（略）

题后反思：

①先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在坐标轴；

②是否为双曲线的方程？

   表示焦点在轴上的双曲线；

表示焦点在轴上的双曲线。

练习2.若表示双曲线，求的范围。

答案：

例1.已知双曲线的两个焦点分别为，双曲线上一点到距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。

解：（略）

师：若第一个条件改为，答案是否相同？

生：不同，或。

师：求标准方程要做到先定型，后定量。

练习3.求适合下列条件的双曲线的标准方程。

（1）      焦点在在轴上，；

（2）      焦点在在轴上，经过点。

师：提示用换元法解方程组。

答案：（略）

例2.已知两地相距800，在地听到炮弹爆炸声比在地晚2，且声速为340，求炮弹爆炸点的轨迹方程。

分析：爆炸点距地比地远；设爆炸点为，则；爆炸点的轨迹是靠近处的双曲线的一支上。

解：（略）

四.归纳小结。

五.布置作业。