沪教版高中二年级 第一学期7.1数列教案及反思
展开2.1 数列的概念与简单表示法 2.1.1 数列的概念与简单表示法
一、内容及其解析
（一）内容：数列的概念与简单表示法
（二）解析：本节课先由教师提供日常生活实例，引导学生通过对实例的分析体会数列的有关概念，再通过对数列的项数与项之间的对应关系的探究，认识数列是一种特殊的函数，最后师生共同通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式.通过本节课的学习使学生能理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式.教学重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用.教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式.
二、目标及其解析
（一）目标：
1.理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；
2.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；
3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式.
（二）解析：
三、问题诊断分析
1.通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验.理论联系实际，激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点；
2.通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.
四、教学过程
问题与题例
问题： 课本图211中的正方形数分别是多少？
1，3，6，10，….
问题： 图212中正方形数呢？
生 1，4，9，16，25，….
问题：像这样按一定次序排列的一列数你能否再举一些？
-1的正整数次幂：-1，1，-1，1，…;
无穷多个数排成一列数：1，1，1，1，….
一些分数排成的一列数：，，，，，….
问题： 请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试(学生们兴趣一定很浓).
一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了.
问题：你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？
随着对折数厚度依次为:2，4，8，16，…，256，…；①
随着对折数面积依次为, , , ,…, ,….
对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的分 1[]256式，再折下去太困难了.
问题：请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数，看它们有何共同特点？
均是一列数.还有一定次序.它们的共同特点：都是有一定次序的一列数.
［概念形成］
1.数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列.
注意：
（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；
（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，第n项，….同学们能举例说明吗？
例如，上述例子均是数列，其中①中，“2”是这个数列的第1项(或首项)，“16”是这个数列中的第4项.
3.数列的分类：
1)根据数列项数的多少分：
有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列.
无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列.
2)根据数列项的大小分：
递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列.
递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列.
常数数列：各项相等的数列.
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.
请同学们观察：课本P 33的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？
这六组数列分别是(1)递增数列，(2)递增数列，(3)常数数列，(4)递减数列，(5)摆动数列，(6)1.递增数列，2.递减数列.
问题：你能说出上述数列①中的256是这数列的第多少项？能否写出它的第n项？
256是这数列的第8项，我能写出它的第n项，应为an=2n.
看数列2，4，8，16，…，256，…①中项与项之间的对应关系，
项 2 4 8 16 32↓ ↓ ↓ ↓ ↓
序号 1 2 3 4 5
你能从中得到什么启示？
数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数an=f(n)，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.反过来，对于函数y=f(x)，如果f(i)(i=1、2、3、4…)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),…,f(n),….
.如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
［例题］
1.根据下面数列{an}的通项公式，写出前5项：
(1)an=;(2)an=(-1)n·n.
分析 由通项公式定义可知，只要将通项公式中n依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项.
解：(1)n=1,2,3,4,5.a1=;a2=;a3=;a4=;a5=.
(2)n=1,2,3,4,5.a1=-1;a2=2;a3=-3;a4=4;a5=-5.
2.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1)3，5，7，9，11，…；(2)，，，，，…；
(3)0，1，0，1，0，1，…；(4)1，3，3，5，5，7，7，9，9，…；
(5)2，-6，12，-20，30，-42，….
问题：这里只给出数列的前几项的值，哪位同学能写出这些数列的一个通项公式？(给学生一定的思考时间)
解：(1)an＝2n＋1；(2)an＝；(3)an＝；
(4)将数列变形为1＋0，2＋1，3＋0，4＋1，5＋0，6＋1，7＋0，8＋1，…，
∴an＝n＋；
(5)将数列变形为1×2，-2×3，3×4，-4×5，5×6，…，
∴an＝(-1)n+1n(n＋1).
设计意图：这是由“数”给出数列的“式”的例子，解决的关键是要找出这列数呈现出的规律性的东西，然后再通过归纳写出这个数列的通项公式.
函数与数列的比较(由学生完成此表)：
| 函数 | 数列(特殊的函数) |
定义域 | R或R的子集 | N*或它的有限子集{1，2，…，n} |
解析式 | y=f(x) | an=f(n) |
图象 | 点的集合 | 一些离散的点的集合 |
对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可根据其通项公式来画出其对应图象，下面同学们练习画数列:
4，5，6，7，8，9，10…;② 1, , , ,…③的图象.
根据这数列的通项公式画出数列②、③的图象为
问题：数列4，5，6，7，8，9，10,…②的图象与我们学过的什么函数的图象有关？
与我们学过的一次函数y=x+3的图象有关.
问题： 数列1, , , ,…③的图象与我们学过的什么函数的图象有关？
与我们学过的反比例函数的图象有关.
问题： 这两数列的图象有什么特点？
其特点为：它们都是一群孤立的点.
它们都位于y轴的右侧，即特点为：它们都是一群孤立的，都位于y轴的右侧的点.
本课时的整个教学过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用，体现新课程的理念.
五、目标检测
课本第38页习题2.1 A组第1题.《优化设计》2.1.1《自我测评》
六、课堂小结
对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n项求一些简单数列的通项公式.
七、配餐练习
《优化设计》2.1.1数列的概念与简单表示法 《优化作业》
备课资料
一、备用例题
1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)1，3，5，7；(2);
(3), , ,.
分析：
(1)项：1=2×1-1 3=2×2-1 5=2×3-1 7=2×4-1
↓ ↓ ↓ ↓
序号： 1 2 3 4
所以我们得到了an=2n-1；
(2)序号： 1 2 3 4
↓ ↓ ↓ ↓
项分母： 2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1
↓ ↓ ↓ ↓
项分子： 22-1=(1+1)2-1 32-1=(2+1)2-1 42-1=(3+1)2-1 52-1=(4+1)2-1
所以我们得到了an=或；
(3)序号: 1 2 3 4
↓ ↓ ↓ ↓
↓ ↓ ↓ ↓
所以我们得到了an=-.
2.写出下面数列的一个通项公式，使它的前n项分别是下列各数：
(1)1,0,1,0; 〔an=,n∈N*〕
(2)-, , ,,; 〔an=(-1)n·〕
(3)7,77,777,7 777; 〔an=×(10n-1)〕
(4)-1,7,-13,19,-25,31; 〔an=(-1)n(6n-5)〕
(5), , ,. 〔an=〕
点评：上述两题都是根据数列的前几项来写出这数列的通项公式，根据数列的前几项来写出这数列的通项公式时，常可联想奇数、偶数、平方数、指数等等.遇到分数的时候，常可根据需要把分子和分母同时扩大再来看看分子和分母中数的规律性，有时可直截了当地研究分子和分母之间的关系.
3.已知数列{an}的通项公式是an=2n2-n，那么( )
A.30是数列{an}的一项 B.44是数列{an}的一项
C.66是数列{an}的一项 D.90是数列{an}的一项
分析：注意到30，44，66，90均比较小，可以写出这个数列的前几项，如果这前几项中出现了这四个数中的某一个，则问题就可以解决了.若出现的数比较大，还可以用解方程求正整数解的方法加以解决.
答案：C
点评：看一个数A是不是数列{an}中的某一项，实质上就是看能不能找出一个非零自然数n，使得an=A.
4.(链接探究题)假定有一张极薄的纸，厚度为cm就是每200张叠起来刚好为1 cm，现在把这张纸裁一为二，叠起来，它的厚度记为a1；再裁一为二，叠起来，它的厚度记为a2，又裁一为二，叠起来，它的厚度记为a3，这样一裁一叠，每次叠起来所得的厚度依次排列，就得到一个数列：a1,a2,a3,…,ak,….
你能求出这个数列的通项公式吗？你知道a 50，即裁了50次、叠了50次后的厚度是多少厘米吗？是否有10层楼高呢？
答案：这个数列的通项公式为an=，
裁了50次、叠了50次后的厚度是5 629 499 534 213.12 cm＞56 294 995 km，大于地球到月球距离的146倍.
二、阅读材料
无法实现的奖赏
相传古印度舍罕王朝有一位宰相叫达依尔，发明了国际象棋，达依尔对他的国王说：陛下，我不要您的重赏，只要您按我下面的办法赏我一些麦粒就可以了：在我的棋盘上(它有64个格)第一格赏1粒，第二格赏2粒，第三格赏4粒，第四格赏8粒……依此类推每后一格的麦粒数都是前面一格的两倍.国王答应了达依尔的要求，但是几天以后他就发现事实上这是一个无法兑现的奖赏.请问国王为什么不能兑现他的奖赏呢？
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