【120页精品】人教版八年级数学上册教案(全册)

这是一份人教版八年级上册本册综合教案及反思，共121页。教案主要包含了指导思想，学情分析，努力目标，教材分析，教学措施，课堂作业等内容，欢迎下载使用。
新人教版八年级上册数学教学计划
一、指导思想
通过数学课的教学，使学生切实学好从事现代化建设和进一步学习现代化科学技术所必需的数学基本知识和基本技能；努力培养学生的运算能力、逻辑思维能力，以及分析问题和解决问题的能力。
二、学情分析
八年级是初中学习过程中的关键时期，学生基础的好坏，直接影响到将来是否能升学。本班是刚刚接手，对班上学生不了解，从原科任老师处得知：优生不多，但后进生却较多，有少数学生不上进，基础特差，问题较严重。要在本期获得理想成绩，老师和学生都要付出努力，查漏补缺，充分发挥学生是学习的主体，教师是教的主体作用，注重方法，培养能力。
三、努力目标
对于八（）、（）班学生要在本期获得理想成绩，老师和学生都要付出努力，查漏补缺，充分发挥学生是学习的主体，注重方法，培养学生能力，和学生的学习的积极性。通过本期的学习，在知识与技能上，学生在数学的认识与理解上应该要上一个台阶。在情感与态度上，培养学生实事求是、严肃认真的学习态度，激发学生的学习兴趣，培养学生对数学的热爱，对生活的热爱，提高学生的逻辑推理能力与逻辑思维能力，自主探究，解决问题的能力，提高运算能力，使所有学生在数学上都有不同的发展，尽可能接近其发展的最大值，培养学生良好的学习习惯，发展学生的非智力因素。
四、教材分析
第十一章全等三角形 主要介绍了三角形全等的性质和判定方法及直角三角形全等的特殊条件。更多的注重学生推理意识的建立和对推理过程的理解，学生在直观认识和简单说明理由的基础上，从几个基本事实出发，比较严格地证明全等三角形的一些性质，探索三角形全等的条件。第十二章 轴对称 立足于已有的生活经验和初步的数学活动经历，从观察生活中的轴对称现象开始，从整体的角度直观认识并概括出轴对称的特征；通过逐步分析角、线段、等腰三角形等简单的轴对称图形，引入等腰三角形的性质和判定的概念。
第十三章实数 从平方根于立方根说起，学习有关实数的有关知识，并以这些知识解决一些实际问题。
第十四章一次函数 通过对变量的考察，体会函数的概念，并进一步研究其中最为简单的一种函数-------一次函数。了解函数的有关性质和研究方法，并初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力。在教材中，通过体现“问题情境——建立数学模型——概念、规律、应用与拓展”的模式，让学生从实际问题情境中抽象出函数以及一次函数的概念，并进行探索一次函数及其图象的性质，最后利用一次函数及其图象解决有关现实问题；同时在教学顺序上，将正比例函数纳入一次函数的研究中去。教材注意新旧知识的比较与联系，如在教材中，加强了一次函数与一次方程（组）、一次不等式的联系等。
第十五章整式 在形式上力求突出：整式及整式运算产生的实际背景，使学生经历实际问题“符号化”的过程，发展符号感；有关运算法则的探索过程，为探索有关运算法则设置了归纳、类比等活动；对算理的理解和基本运算技能的掌握
五、教学措施
1、课堂内讲授与练习相结合，及时根据反馈信息，扫除学习中的障碍点。
2、认真备课、精心授课，抓紧课堂四十五分钟，努力提高教学效果。
3、抓住关键、分散难点、突出重点，在培养学生能力上下功夫。
4、不断改进教学方法，提高自身业务素养。
5、教学中注重自主学习、合作学习、探究学习。
上述计划妥否，望批准！

计划人：
年 月 日












新人教版八年级上册数学教学进度安排
周次
教学内容及课时安排
时间安排
1
全等三角形(1)   三角形全等的条件(4)

2
三角形全等的条件(2)    角平分线的性质(1)

3
数学活动(2) 第十一章小结(3)

4
轴对称(3)   轴对称变换(1)   用坐标表示轴对称(1)
一次函数与二元一次方程(组)(1)

5
等腰三角形(3)   等边三角形 (2)

6
课题学习(2)   第十二章小结(2) 单元测验(1)

7
平方根（3） 立方根（2）

8
实数（2）   第十三章小结(2)    单元测验(1)

9~11
期中备考

12
变量(1)   函数(2)   函数的图象(3)  

13
正比例函数(1) 一次函数(1)  一次函数(3)

14
一次函数与一元一次方程(1)  一次函数与一元一次不等式(1)
第十四章小结(2)

15
 整式(1)   整式的加减(2) 同底数幂的乘法(1)   幂的乘方(1)   

16
积的乘方(1)  整式的乘法(2)整式的乘法(2)    

17
平方差公式(2) 完全平方公式(3)  

18
 同底数幂的除法(1)   整式的除法(2)因式分解(1)   提公因式法(1)  

19
 公式法(3) 第十五章小结(2)   

20
 期末备考





第1课时 全等三角形
教 学

目 标
1、理解全等三角形及相关概念，能够从图形中寻找全等三角形，探索并掌握全等三角形的性质，能够利用性质解决简单的问题．
2、在探索全等三角形性质的过程中，体会研究问题的方法，感受图形变化途径．
3、培养学生的识图能力、归纳总结能力和应用意识．
教学重点
1、全等三角形以及相关概念．
2、探索全等三角形的性质．
教学难点
不同情况下的三角形全等的图形归纳．
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、创设情境 导入新课
【问题】观察思考：每组的两个图形有什么特点?



1、每组的两个图形形状大小都一样。 2、每组的两个图形都可以重合。
请列举出现实生活中能够完全重合的图形的例子?（如同底相片等）
全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形．
全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．

把每组的两个图形沿同一水平方向平移使每组中的两个图片叠放在一起。得到两个图形的特点。
二、合作交流 解读探究
E
D
D
A
A
A
如图，将△ABC沿直线BC平移得△DEF；将△ABC沿BC翻折180°得到△DBC；将△ABC旋转180°得△AED．
C
B

E
C
C
B
B

⑶
⑵
⑴
F
D


一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等．
在图⑴中，点A与点D重合．点B与点E重合．我们把这样互相重合的一对顶点叫做对应顶点；AB边与DE边重合，这样互相重合的边就叫做对应边；∠A与∠D重合，它们就是对应角．△ABC与△DEF全等，我们把它记作：“△ABC≌△DEF”．读作“△ABC全等于△DEF”．
注意：记两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上．
【问题】你能找出图⑴中其他的对应顶点、对应边和对应角吗？怎样表示图⑵⑶中的两个全等三角形，并找出对应顶点、对应边和对应角．
点C与点F是对应点，BC边与EF边是对应边，CA边与FD边也是对应边．∠B与∠E是对应角，∠C与∠F也是对应角．
【问题】图中的三角形为全等三解形。全等三角形的对应边有什么关系呢？对应角呢？
全等三角形的性质：
全等三角形的对应边相等．
全等三角形的对应角相等．
利用几何语言来描述其性质（板书）
∵△ABC≌△DEF（已知）
∴ AB=DE，BC=EF，AC=DF (全等三角形的对应边相等)
∴ ∠A=∠D，∠B=∠E ，∠C=∠F (全等三角形的对应角相等)










加深学生对全等三角形概念的理解，以及动手操作能力的培养．

组织学生观察、归纳，引导学生归纳全等三角形的性质．
三、应用迁移 巩固提高
【例1】如图，△ABC≌△AEC，∠B=30°，∠ACB=85°．求出△AEC各内角的度数．
解：∵∠ACB=85°，∠B=30°（已知）
∴∠BAC=180°-∠ACB -∠B =65°
（三角形的内角和等于180°）
∵△ABC≌△AEC（已知）
∴∠EAC=∠BAC=65°，∠E=∠B=30°，∠ACE=∠ACB=85°（全等三角形对应角相等）
答：△AEC的内角的度数分别为65°、30°、85°．
A
B
C
D
E
【例2】如图，已知△ABC≌△ADE,∠C=∠E,BC=DE,想一想: ∠BAD=∠CAE吗?为什么?
答:相等.理由如下:
∵△ABC≌△ADE(已知)
∴∠BAC= ∠DAE(全等三角形对应角相等)
∴∠BAC -∠DAC= ∠DAE -∠ DAC(等式性质)
∴∠BAD=∠CAE
【例3】如图是一个等边三角形，你能利用折纸的方法把它分成两个全等的三角形吗？你能把它分成三个，四个全等的三角形吗？




【练习】课本Р4 练习

四、总结反思 拓展升华
通过本节课学习，我们了解了全等的概念，发现了全等三角形的性质，并且利用性质可以找到两个全等三角形的对应元素．这也是这节课大家要重点掌握的．
找对应元素的常用方法有两种：
（一）从运动角度看
1．翻转法：找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素．
2．旋转法：三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合，从而发现对应元素．
3．平移法：沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素．
（二）根据位置元素来推理
1．全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边是对应边．
2．全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．
五、课堂作业
P4 1 2 3
教学理念/反思



第2课时 三角形全等的判定（1）
教 学

目 标
1．三角形全等的“边边边”的条件．
2．了解三角形的稳定性．
3．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
教学重点
通过观察和实验获得SSS，会运用SSS条件证明两个三角形全等．
教学难点
寻求三角形全等的条件．
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、创设情境 导入新课
A
C



B
D
F
E
【问题1】已知△ABC≌△DEF，找出其中相等的边与角．




图中相等的边是： ．
相等的角是： ．
【问题2】你能画一个三角形与它全等吗？怎样画？
（可以先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数，再作出一个三角形使它的边、角分别和已知的三角形纸片的对应边、对应角相等．这样作出的三角形一定与已知的三角形纸片全等）．
这是利用了全等三角形的定义来作图．那么是否一定需要六个条件呢？条件能否尽可能少呢？现在我们就来探究这个问题．





使学生明确两个三角形满足六个条件就能保证三角形全等．
二、合作交流 解读探究
【探究1】满足什么条件的两个三角形全等？
1．只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），画出的两个三角形一定全等吗？


2．给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按下列条件做一做．
①三角形一内角为30°，一条边为3cm．
②三角形两内角分别为30°和50°．
③三角形两条边分别为4cm、6cm．




教师引导学生探究：
通过画图发现，满足六个条件中的一个或两个，两个三角形不一定全等．
【探究2】下面我们来观察一个三角形的平移过程，在观察中请你体会如果两个三角形的三边对应相等，这两个三角形是否全等．
我们看到平移前后三角形的三条线段的长度没有改变，反过来，如果两个三边对应相等，我们将其叠合，会发现两个三角形完全重合．

【思考】你如何验证你的结论呢?（请每两个同学一组合作，先任意画一个三角形，然后再画一个三角形使其与前三角形的三边对应相等，并将所画的三角形裁剪下来与前三角形重叠，看看有什么结果．）
提醒学生注意：已知三边画三角形是一种重要的作图，在几何中用途很多，所以这种画图方法一定要掌握．
通过观察和实验，我们得到一个规律：
三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）．
我们在前面学习三角形的时候知道：用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的．三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．所以日常生活中常利用三角形做支架．就是利用三角形的稳定性．例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等．
用上面的规律可以判断两个三角形全等．判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据．

提出问题，明确探究方向，激发探究欲望．









学会观察，培养学生分析、探究问题的能力．

使学生明确：判定两个三角形全等至少需要三个条件．

三、应用迁移 巩固提高
【例1】如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架．
求证：△ABD≌△ACD．
[分析]要证△ABD≌△ACD，可以看这两个三角形的三条边是否对应相等．
证明：




【例2】如图，已知AC=FE、BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB．要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？






四、总结反思 拓展升华
本节课我们探索得到了三角形全等的条件，发现了证明三角形全等的一个规律SSS．并利用它可以证明简单的三角形全等问题．

五、课堂作业
P15 1 2
教学理念/反思






第3课时 三角形全等的判定（2）
教 学

目 标
1、会用尺规作一个角等于已知角，并了解它在尺规作图中的简单应用。
2、掌握作已知角的平分线的方法及步骤。
教学重点
用尺规作一个角等于已知角，作已知角的平分线。
教学难点
规范使用尺规，规范使用作图语言，规范的按照步骤作出图形。
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、创设情境 导入新课
前面我们用量角器画一个角等于已知角和画一个已知角∠AOB的平分线OC，怎样用尺规来作一个角等于已知角和作已知角的平分线呢？
由具体的问题引入，激发学生的学生兴趣
二、合作交流 解读探究
【问题1】作一个角等于已知角。
已知如图，∠AOB
求作：∠A’O’B’，使∠A’O’B’＝ ∠AOB
教师在黑板上作图，同时写出作法：
① 作射线O’A’。
② 以O点为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D。
③ 以O’为圆心，以OC长为半径画弧，交O’A’于点C。
④ 以C’为圆心，以CD长为半径画弧，交前面的弧于点D’。
⑤ 过点D’作射线O’B’， ∠A’O’B’ 就是所求作的角。

只用无刻度的直尽和圆规作图的方法称为尺规作图。
问：你能验证你所作的角与已知角相等吗？
【问题2】作一个已知角∠AOB的平分线OC。
分析：假如∠AOB的平分线OC已经画出，在前面角的平分线的研究中，我们用折线的实验发现：如果有OE=OD，那么CE=CD．这个实验也启发我们：如果有OE=OD，CE=CD，那么OC平分∠AOB吗？
用“SSS”公理易证△OEC≌△ODC，∠EOC=∠DOC，即OC平分∠AOB．于是容易看出，要作∠AOB的平分线OC，在于怎样才能找到起关键作用的点C？
怎样确定点C呢？不难看出，为了确定C点，必须先找点E、D．以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于D、E，那么OD=OE吗？再分别以D、E为圆心，适当的长度为半径作弧，设两弧交于点C，那么CD=CE吗？而D、E为圆心，“适当”的长度为半径作弧，两弧有一交点时，怎样的长度才“适当”呢？
已知：∠AOB，如图
求作：射线OE，使∠AOE=∠BOE．
作法：(1)在OA和OB上，分别截取OC、OD，使OC=OD．
（2）分别以C、D为圆心，大于1/2CD的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点E．
（3）作射线OE．
OE就是所求的射线．

学生探索作图方法

通过示范，使学生明白如何利用尺规作一个角等于已知角。
三、应用迁移 巩固提高
【例1】已知∠AOB，利用尺规作∠A’O’B’，使∠A’O’B’=2∠AOB
A
B
C
D
E
P
【例2】如图，已知AD=AE，PD=PE，能否判定∠DAP=∠PAE？请写出证明过程。







【练习】课本Р8 练习
学生动手操作，教师加以指导，在具体的操作中巩固作法。




利用全等证明角相等的应用。
四、总结反思 拓展升华
本节课我们主要学习了用尺规作一个角等于已知角和平分已知角，要会用自己的语言来书写作法，并要了解作一角等于已知角和平分已知角在尺规作图中的简单应用。
五、课堂作业


教学理念/反思

第4课时 三角形全等的判定（3）
教 学

目 标
1．三角形全等的“边角边”的条件．
2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
3．能运用“SＡS”证明简单的三角形全等问题．
教学重点
会用“边角边”证明两个三角形全等。
教学难点
会正确运用“SAS”判定定理，在实践观察中正确选择判定三角形的方法。
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、创设情境 导入新课
我们已经知道三条边对应相等的两个三角形全等，那么除此之外还有没有其它方法可以判定两个三角形全等？我们来看下面的问题：
如图，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的长度如图所标，△ABO和△CDO是否能完全重合呢？
不难看出，这两个三角形有三对元素是相等的：
AO＝CO，∠AOB＝∠COD，BO＝DO．
如果把△OAB绕着O点顺时针方向旋转，因为OA＝OC，所以可以使OA与OC重合；又因为∠AOB ＝∠COD， OB＝OD，所以点B与点D重合．这样△ABO与△CDO就完全重合．
从上面的例子可以引起我们猜想：如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等．

二、合作交流 解读探究
上述猜想是否正确呢？不妨按上述条件画图并作如下的实验：
活动1：画△ABC，∠B=60°，BC=7cm，AB=5cm,用剪刀剪下来，看一下同桌的两个同学的图形能否完全重合。引导学生去观察所画的边与角有什么特殊关系
由活动1：让学生去猜想并归纳出“SAS”定理。
边角边判定定理：
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）
活动2：在△ABC与△A＇B＇C＇中，若AB=A＇B＇AC=A＇C＇∠B=∠B＇,观察△ABC与△A＇B＇C＇是否全等。（强化类比“SAS”）由学生观察总结出“边角边”不一定能判定两三角形全等。所以“SAS”定理一定是两边及两边的夹角对应相等才能判定两三个角全等。

三、应用迁移 巩固提高
【例1】填空：
(1)如图3，已知AD∥BC，AD＝CB，要用边角边公理证明△ABC≌△CDA，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD＝CB(已知)，二是___________；还需要一个条件_____________(这个条件可以证得吗？)．

(2)如图4，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，要用边角边公理证明△ABD≌ACE，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：_________________________(这个条件可以证得吗？)．
【例2】已知：如图5，AD∥BC，AD＝ CB．
求证：△ADC≌△CBA．
问题：如果把图5中的△ADC沿着CA方向平移到△ADF的位置(如图5)，那么要证明△ADF≌ △CEB，除了AD∥BC、AD＝CB的条件外，还需要一个什么条件(AF＝ CE或AE ＝CF)？怎样证明呢？






【例3】已知：AB＝AC、AD＝AE、∠1＝∠2(图4)．求证：△ABD≌△ACE．





【探究】

　　学生讨论，教师归纳
　　可通过画图来回答这个问题，如图，图中ΔABD与ΔABC满足两边及其中一边的对角对应相等，但显然这两个三角形不全等。
这说明有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。

【练习】课本Р10 练习

四、总结反思 拓展升华
1．根据边角边公理判定两个三角形全等，要找出两边及夹角对应相等的三个条件．
2．找使结论成立所需条件，要充分利用已知条件(包括给出图形中的隐含条件，如公共边、公共角等)，并要善于运用学过的定义、公理、定理．
五、课堂作业
P15 3 4
教学理念/反思

第5课时三角形全等的判定（4）
教 学

目 标
1．三角形全等的条件：角边角、角角边．
2．三角形全等条件小结．
3．掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件．
4．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题．
教学重点
已知两角一边的三角形全等探究．
教学难点
灵活运用三角形全等条件证明．
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、创设情境 导入新课
1．复习：（1）三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？
　　三个角、三个边、两边一角、两角一边．
（2）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？
　　三种：①定义；②SSS；③SAS．
2．在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？

二、合作交流 解读探究
【问题1】三角形中已知两角一边有几种可能？
1．两角和它们的夹边．
2．两角和其中一角的对边．
【问题2】三角形的两个内角分别是60°和80°，它们的夹边为4cm，你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？
将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全等．
提炼规律：
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．
【问题3】我们刚才做的三角形是一个特殊三角形，随意画一个三角形ABC，能不能作一个△A′B′C′，使∠A=∠A′、∠B=∠B′、AB=A′B′呢？
①先用量角器量出∠A与∠B的度数，再用直尺量出AB的边长．
②画线段A′B′，使A′B′=AB．
③分别以A′、B′为顶点，A′B′为一边作∠DA′B′、∠EB′A，使∠D′AB=∠CAB，∠EB′A′=∠CBA．
④射线A′D与B′E交于一点，记为C′
即可得到△A′B′C′．
将△A′B′C′与△ABC重叠，发现两三角形全等．








两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．
思考：在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定．我们是不是可以不作图，用“ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢？
【问题4】
如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？
证明：∵∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F=180°
∠A=∠D，∠B=∠E
∴∠A+∠B=∠D+∠E
∴∠C=∠F
在△ABC和△DEF中

∴△ABC≌△DEF（ASA）．
两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）．

三、应用迁移 巩固提高
【例1】如下图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．
求证：AD=AE．
[分析]AD和AE分别在△ADC和△AEB中，所以要证AD=AE，只需证明△ADC≌△AEB即可．
证明：在△ADC和△AEB中

所以△ADC≌△AEB（ASA）
所以AD=AE．
【例2】如图，海岸上有A、B两个观测点，点B在点A的正东方，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B的正北方，从观测点A看C，D的视角∠CAD与从观测点B看海岛C，D的视角∠CBD相等，那么点A到海岛C的距离与点B到海岛D的距离相等，为什么？
证明：∵∠CAD=∠CBD，∠1=∠2
∴∠C=∠D。
在△ABC与△BAD
∠CAB=∠ABD（已知）
∠C=∠D （已证）
AB=BA （公共边）
∴△ABC≌△BAD（AAS）
∴AC=BD
即点A到海岛C的距离与点B到海岛D的距离相等
【练习】课本Р13 练习


培养学生的逻辑推理能力、独立思考能力，会用“ASA或AAS“判断三角形全等，规范地书写证明过程. 培养学生合情合理的逻辑推理能力，语言表达能力，规范地书写证明过程.培养学生的符号感，体会数学知识的严谨性.
四、总结反思 拓展升华
五种判定三角形全等的方法：
1．全等三角形的定义
2．判定定理：边边边（SSS）  边角边（SAS）  角边角（ASA）  角角边（AAS）
推证两三角形全等时，要善于观察，寻求对应相等的条件，从而获得解题途径．
五、课堂作业
P15 5 6
教学理念/反思




第6课时三角形全等的判定（5）综合探究
教 学

目 标
1、理解三角形全等的判定，并会运用它们解决实际问题．
2、经历探索三角形全等的四种判定方法的过程，能进行合情推理．
教学重点
运用四个判定三角形全等的方法．
教学难点
正确选择判定三角形全等的方法，充分应用“综合法”进行表达．
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、分层练习 回顾反思
1．已知△ABC≌△A′B′C′，且∠A=48°，∠B=33°，A′B′=5cm，求∠C′的度数与AB的长．



【评析】表示两个全等三角形时，要把对应顶点的字母写在对应位置上，这时解题就很方便．
2．已知：如图1，在AB、AC上各取一点E、D，使AE=AD，连接BD、CE相交于点O，连接AO，∠1=∠2．
求证：∠B=∠C．
【思路点拨】要证两个角相等，我们通常用的办法有：（1）两直线平行，同位角或内错角相等；（2）全等三角形对应角相等；（3）等腰三角形两底角相等（待学）．
根据本题的图形，应考虑去证明三角形全等，由已知条件，可知AD=AE，∠1=∠2，AO是公共边，叫△ADO≌△AEO，则可得到OD=OE，∠AEO=∠ADO，∠EOA=∠DOA，而要证∠B=∠C可以进一步考查△OBE≌△OCD，而由上可知OE=OD，∠BOE=∠COD（对顶角），∠BEO=∠CDO（等角的补角相等），则可证得△OBF≌△OCD，事实上，得到∠AEO=∠AOD之后，又有∠BOE=∠COD，由外角的关系，可得出∠B=∠C，这样更进一步简化了思路．









【教师点评】在分析一道题目的条件时，尽量把条件分析透，如上题当证明△ADO≌△AEO之后，可以得到OD=OE，∠AEO=∠ADO，∠EOA=∠DOA，这些结论虽然在进一步证明中并不一定都用到，但在分析时对图形中的等量及大小关系有了正确认识，有利于进一步思考．
组织学生练习，请一位学生上台演示．
先独立完成演练1，然后再与同伴交流，踊跃上台演示．


巡视、启发引导，关注“学困生”，请学生上台演示，然后评点．




小组合作交流，共同探讨，然后解答．



分组合作，互相交流．
二、应用迁移 能力提升
【例1】如图2，已知∠BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE，BD=CE．求证：AD=AE．
【思路点拨】欲证相等的两条线段AD、AE分别在△ABD和△ACE中，由于BD=CE，∠ABD=∠ACE，因此要证明△ABD≌△ACE，则需证明∠BAD=∠CAE，这由已知条件∠BAC=∠DAE容易得到．
证明：∵∠BAC=∠DAE
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC即∠BAD=∠CAE
在△ABD和△ACE中，
∵BD=CE，∠ABD=∠ACE，∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴AD=AE．
【例2】如图4，仪器ABCD可以用来平分一个角，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们落在角的两边上，沿AC画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线，你能说明其中道理吗？
小明的思考过程如下：
→△ABC≌△ADC→∠QRE=∠PRE
你能说出每一步的理由吗？





引导学生思考问题．

分析、寻找证题思路，独立完成例题
四、总结反思 拓展升华
五种判定三角形全等的方法：
1．全等三角形的定义
2．判定定理：边边边（SSS）  边角边（SAS）  角边角（ASA）  角角边（AAS）
推证两三角形全等时，要善于观察，寻求对应相等的条件，从而获得解题途径．
五、课堂作业
P16 9 10
教学理念/反思




第7课时三角形全等的判定（6）
教 学

目 标
1、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；
2、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题；
3、在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。
教学重点
运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
教学难点
熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、课前热身 复习旧知
1、判定两个三角形全等的方法： 、 、 、
2、如图，Rt△ABC中，直角边是 、 ，斜边是 。
3、如图，AB⊥BE于C，DE⊥BE于E，
（1）若∠A=∠D，AB=DE，
则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）
（2）若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）
（3）若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）
（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）

二、合作交流 解读探究
【做一做】任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°，再画一个Rt△A′B′C，′，使B′C′=BC，A′B′=AB，把画好的Rt△A′B′C′剪下，放到Rt△ABC上，它们全等吗？
画一个Rt△A′B′C′，使B′C′=BC,AB=AB;
1、 画∠MC′N=90°。
2、 在射线C′M上取B′C′BC。
3、 以B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于点A′。
连接A′B′。
【学生活动】画图分析，寻找规律．如下：
规律：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
【想一想】你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？
【互动交流】直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法：SSS、SAS、ASA、AAS，还有直角三角形特殊的判定方法——HL。


三、应用迁移 巩固提高
【例1】如课本图11．2─12，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD，求证BC=AD．

【思路点拨】欲证BC=AD，首先应寻找和这两条线段有关的三角形，这里有△ABD和△BAC，△ADO和△BCO，O为DB、AC的交点，经过条件的分析，△ABD和△BAC具备全等的条件．
证明：∵AC⊥BC，BD⊥BD，
∴∠C与∠D都是直角．
在Rt△ABC和Rt△BAD中，

∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）．
∴BC=AD．
【评析】在证明两个直角三角形全等时，要防止学生使用“SSA”来证明．
【例2】如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方面的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DEF的大小有什么关系？

下面是三个同学的思考过程，你能明白他们的意思吗？
→△ABC≌△DEF→∠ABC→∠DEF→∠ABC+∠DEF=90°．
有一条直角边和斜边对应相等，所以△ABC与△DEF全等．这样∠ABC=∠DEF，也就是∠ABC+∠DEF=90°．
在Rt△ABC和Rt△DEF中，BC=EF，AC=DF，因此这两个三角形是全等的，这样∠ABC=∠DEF，所以∠ABC与∠DEF是互余的．
【练习】课本Р14 练习




引导学生共同参与分析例题


参与教师分析，提出自己的见解．




这个问题涉及的推理比较复杂，可以通过全班讨论，共同解决这个问题，但不需要每个学生自己独立说明理由，只要求学生能看懂三位同学的思考过程就可以了．
四、总结反思 拓展升华
我们有六种判定三角形全等的方法：
1．全等三角形的定义 2．边边边（SSS）
3．边角边（SAS） 4．角边角（ASA）
5．角角边（AAS） ６．ＨＬ（仅用在直角三角形中）
五、课堂作业
P16 7 8 13
教学理念/反思
本节课通过动手操作，在合作交流、比较中共同发现问题，培养直观发现问题的能力，在反思中发现新知，体会解决问题的方法．通过今天的学习和对前面三角形全等条件的探求，可知判定直角三角形全等有五种方法．

第8课时 角的平分线的性质（1）
教 学

目 标
1．通过作图直观地理解角平分线的性质定理．
2．经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法．
教学重点
领会角的平分线的性质定理．
教学难点
角的平分线的性质定理的实际应用．
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、创设情境 导入新课
在∠AOB的两边OA和OB上分别取OM=ON，MC⊥OA，NC⊥OB．MC与NC交于C点．
求证：∠MOC=∠NOC．
通过证明Rt△MOC≌Rt△NOC，即可证明∠MOC=∠NOC，所以射线OC就是∠AOB的平分线．
受这个题的启示，我们能不能这样做：
在已知∠AOB的两边上分别截取OM=ON，再分别过M、N作MC⊥OA，NC⊥OB，MC与NC交于C点，连接OC，那么OC就是∠AOB的平分线了．
思考：这个方案可行吗？（学生思考、讨论后，统一思想，认为可行）
议一议：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？
要说明AC是∠DAC的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB．
∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB中，那么证明这两个三角形全等就可以了．
看看条件够不够．

所以△ABC≌△ADC（SSS）．
所以∠CAD=∠CAB．
即射线AC就是∠DAB的平分线．



首先将“问题提出”，然后运用教具（如课本图11．3─1）直观地进行讲述，提出探究的问题．



小组讨论后得出：根据三角形全等条件“边边边”判定法，可以说明这个仪器的制作原理．
二、合作交流 解读探究
【探究1】作已知角的平分线的方法：
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的平分线．
作法：
（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．
（2）分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．
（3）作射线OC，射线OC即为所求．
【议一议】
1．在上面作法的第二步中，去掉“大于MN的长”这个条件行吗？
2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？
【总结】
1．去掉“大于MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．
2．若分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了．
3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制缺一不可．
4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．
【探究2】如图，将∠AOB的两边对折，再折个直角三角形（以第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得到什么结论？你能利用所学过的知识，说明你的结论的正确性吗？

实践感知，互动交流，得出结论，“从实践中可以看出，第一条折痕是∠AOB的平分线OC，第二次折叠形成的两条折痕PD、PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距离，这两个距离相等．”
【总结】角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E
求证：PD=PE．
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°
在△PDO和△PEO中，

∴△PDO≌△PEO（AAS）
∴PD=PE



动手制图（尺规），边画图边领会，认识角平分线的定义；同时在实践操作中感知．



















三、应用迁移 巩固提高
【例】在一节数学课上，老师要求同学们练习一道题，题目的图形如图所示，图中的BD是∠ABC的平分线，在同学们忙于画图和分析题目时，小明同学忽然兴奋地大声说：“我有个发现！”原来他自己创造了一个在直角三角形中画锐角的平分线的方法．他的方法是这样的，在AB上取点E，使BE=BC，然后画DE⊥AB交AC于D，那么BD就是∠ABC的平分线．
有的同学对小明的画法表示怀疑，你认为他的画法对不对呢？请你来说明理由．
【练习】课本Р19 练习

四、总结反思 拓展升华
本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识，探究得到了角平分线仪器的操作原理，由此归纳出角的平分线的尺规画法，并进一步探究到角平分线的性质．
五、课堂作业
P22 1 2
教学理念/反思

第9课时 角的平分线的性质（2）
教 学

目 标
1．角的平分线的性质
2．会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．
3．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．
教学重点
角平分线的性质及其应用．
教学难点
灵活应用两个性质解决问题．
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、创设情境 导入新课
【问题1】画出三角形三个内角的平分线




你发现了什么特点？
【问题2】如课本图11．3─5，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）？

二、合作交流 解读探究
【探究】小组合作学习，动手操作探究，获得问题结论．从实践中可知：角平分线上的点到角的两边距离相等，将条件和结论互换：到角的两边的距离相等的点也在角的平分线上．
证明如下：
已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上．
证明：经过点P作射线OC．
∵PD⊥OA，PE⊥OB
∴∠PDO=∠PEO=90°
在Rt△PDO和Rt△PEO中，

∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）
∴∠AOC=∠BOC，
∴OC是∠AOB的平分线．
【归纳】到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．



启发、引导学生；组织小组之间的交流、讨论；帮助“学困生”．

自主、合作、交流，在教师的引导下，比较上述两个结论，弄清其条件和结论，加深认识．
三、应用迁移 巩固提高
【例1】如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．
【思路点拨】因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离，而证明它们相等必须标出它们．所以这一段话要在证明中写出，同辅助线一样处理．如果已知中写明点P到三边的距离是哪些线段，那么图中画实线，在证明中就可以不写．
证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F．
∴BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．
∴PD=PE
同理 PE=PF
∴PD=PE=PF
即点P到边AB、BC、CA的距离相等．
【评析】在几何里，如果证明的过程完全一样，只是字母不同，可以用“同理”二字概括，省略详细证明过程．
三角形的三条角平分线相交于一点．
【例2】如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．
学生根据上一问题的解决过程独立解决本问题，在必要时教师适当引导．






【练习】课本Р22 练习



学生参与教师分析，主动探究学习．
四、总结反思 拓展升华
我们学习了关于角平分线的两个性质：①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性，随着学习的深入，解决问题越来越简便了．像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等．
五、课堂作业
P22 3 4 5 6
教学理念/反思



第10-11课时 《全等三角形》小结与复习
教 学

目 标
1、掌握三角形全等的判定方法，利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式．
2、能用尺规进行一些基本作图．能用三角形全等和角平分线的性质进行证明。
3、极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。
教学重点
用三角形全等和角平分线的性质进行证明有关问题
教学难点
灵活应用所学知识解决问题，精炼准确表达推理过程
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、知识结构疏理

两两边一____
两边一对角
____________
____________
三边______________
两边_____________
两角一边对应相等
__________________

一个条件
两个条件
三个条件


探究
三角形
全等的
条件




二、基本训练
1.填空
(1)能够 的两个图形叫做全等形，能够 的两个三角形叫做全等三角形.
(2)把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做 ，重合的边叫做 ，重合的角叫做 .
(3)全等三角形的 边相等，全等三角形的 角相等.
(4) 对应相等的两个三角形全等（边边边或 ）.
(5)两边和它们的 对应相等的两个三角形全等（边角边或 ）.
(6)两角和它们的 对应相等的两个三角形全等（角边角或 ）.
(7)两角和其中一角的 对应相等的两个三角形全等（角角边或 ）.
(8) 和一条 对应相等的两个直角三角形全等（斜边、直角边或 ）.
(9)角的 上的点到角的两边的距离相等.
2.如图，图中有两对三角形全等，填空：
(1)△CDO≌ ，其中，CD的对应边是 ，
DO的对应边是 ，OC的对应边是 ；
(2)△ABC≌ ，∠A的对应角是 ，
∠B的对应角是 ，∠ACB的对应角是 .

3.判断对错：对的画“√”，错的画“×”.
(1)一边一角对应相等的两个三角形不一定全等. （ ）
(2)三角对应相等的两个三角形一定全等. （ ）
(3)两边一角对应相等的两个三角形一定全等. （ ）
(4)两角一边对应相等的两个三角形一定全等. （ ）
(5)三边对应相等的两个三角形一定全等. （ ）
(6)两直角边对应相等的两个直角三角形一定全等. （ ）
(7)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形不一定全等. （ ）
(8)一边一锐角对应相等的两个直角三角形一定全等. （ ）
4.如图，AB⊥AC，DC⊥DB，填空：
(1)已知AB＝DC，利用 可以判定 △ABO≌△DCO；
(2)已知AB＝DC，∠BAD＝∠CDA，利用
可以判△ABD≌△DCA；
(3)已知AC＝DB，利用 可以判定△ABC≌△DCB；
(4)已知AO＝DO，利用 可以判定△ABO≌△DCO；
(5)已知AB＝DC，BD＝CA，利用 可以判定△ABD≌△DCA.
5.完成下面的证明过程： 如图，OA＝OC，OB＝OD.
求证：AB∥DC.
证明：在△ABO和△CDO中，

∴△ABO≌△CDO（ ）.
∴∠A＝ .
∴AB∥DC（ 相等，两直线平行）.
6.完成下面的证明过程：
如图，AB∥DC，AE⊥BD，CF⊥BD，BF＝DE.
求证：△ABE≌△CDF.
证明：∵AB∥DC，
∴∠1＝ .
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝ .
∵BF＝DE，
∴BE＝ .
在△ABE和△CDF中，

∴△ABE≌△CDF（ ）.

三、典型例题
【例1】如图，AB＝AD，BC＝DC.
求证：∠B＝∠D.




【例2】如图，CD⊥AB，BE⊥AC，OB＝OC.
求证：∠1＝∠2.




【例3】已知：如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DB=DC，
求证：EB=FC







四、应用拓展
1、如图，OA⊥AC，OB⊥BC，填空：
(1)利用“角的平分线上的点到角的两边
的距离相等”，已知 ＝ ，
可得 ＝ ；
(2)利用“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”，
已知 ＝ ，可得 ＝ ；
2、如图，在△ABC中，D是BC的中点， DE⊥AB，DF⊥AC，BE＝CF.
求证：AD是△ABC的角平分线.





3、如图，∠ACB=90°,AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE.
求证：△ACD≌△CBE.







4、如图，在R△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE.




5、如图，已知，EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。（只写出一种情况）①AB=AC ②DE=DF ③BE=CF
已知：EG∥AF，________，__________
求证：_________


G
F
E
D
C
B
A


五、总结反思 拓展升华
学习全等三角形应注意以下几个问题
（1)要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与 “对角”的不同含义；
（2）表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；
（3）要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个
三角形不一定全等；
（4）时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、“公共边”、“对顶角”
六、课堂作业
课本26页复习题11第2、5、6、8、9题；选做：27页10-12题。
教学理念/反思




全等三角形问题中常见的辅助线的作法
常见辅助线的作法有以下几种：
1) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．
2) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法
适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．
3) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．
4) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．
5) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”
特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．
一、 倍长中线（线段）造全等
例1.已知：如图3所示，AD为 △ABC的中线，
求证：AB+AC>2AD。
分析：要证AB+AC>2AD，由图形想到： AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有：AB+AC+ BD+CD > AD +AD=2AD，
但它的左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。
证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE。

3图
例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.
因为BD=DC=AC，所以AC=1/2BC
因为E是DC中点，所以EC=1/2DC=1/2AC
∠ACE=∠BCA，所以△BCA∽△ACE
所以∠ABC=∠CAE
因为DC=AC，所以∠ADC=∠DAC
∠ADC=∠ABC+∠BAD
所以∠ABC+∠BAD=∠DAE+∠CAE
所以∠BAD=∠DAE
即AD平分∠BAE
应用：
二、截长补短
例1.已知：如图1所示， AD为△ABC的中线，且∠1=∠2,∠3=∠4。
求证：BE+CF>EF。
分析：要证BE+CF>EF ，可利用三角形三 边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知∠1=∠2， ∠3=∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用全等三角形的对应边相等，把EN，FN，EF移到同个三角形中。
证明：在DN上截取DN=DB，连接NE，NF。 延长FD到G , 使DG=FD, 再连结EG,BG
1、如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CD⊥AC
证明：
取AB中点E，连接DE
∵AD=BD
∴DE⊥AB，即∠AED=90º【等腰三角形三线合一】
∵AB=2AC
∴AE=AC
又∵∠EAD=∠CAD【AD平分∠BAC】
AD=AD
∴⊿AED≌⊿ACD（SAS）
∴∠C=∠AED=90º
∴CD⊥AC



2、如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;AB＝AC+BD
在AB上取点N ,使得AN=AC
∠CAE=∠EAN ,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形EAN
所以∠ANE=∠ACE
又AC平行BD
所以∠ACE+∠BDE=180
而∠ANE+∠ENB=180
所以∠ENB=∠BDE
∠NBE=∠EBN
BE为公共边,所以三角形EBN全等三角形EBD
所以BD=BN
所以AB=AN+BN=AC+BD

3、如图，已知在内，，，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP
证明：
做辅助线PM‖BQ，与QC相交与M。
（首先算清各角的度数）
∵∠APB=180°—∠BAP—∠ABP=180°—30°—80°=70°
且∠APM=180°—∠APB—∠MPC=180°—70°—∠QBC（同位角相等）=180°—70°—40°=70°
∴∠APB=∠APM
又∵AP是BAC的角平分线，
∴∠BAP=∠MAP
AP是公共边
∴△ABP≌△AMP(角边角）
∴AB=AM，BP=MP
在△MPC中，∠MCP=∠MPC=40°
∴MP=MC
∴AB+BP=AM+MP=AM+MC=AC
在△QBC中
∵∠QBC=QCB=40°
∴BQ=QC
∴BQ+AQ=AQ+QC=AC
∴BQ+AQ=AB+BP
赞同

4、角平分线如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，
求证：
延长BA,作DF⊥BA的延长线，作DE⊥BC
∵∠1=∠2
∴DE=DF（角分线上的点到角的两边距离相等）
∴在Rt△DFA与Rt△DEC中
｛AD=DC,DF=DE}
∴Rt△DFA≌Rt△DEC（HL)
∴∠3=∠C
因为∠4+∠3=180°
∴∠4+∠C=180°
即∠A+∠C=180°♢


5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC

延长AC至E，使AE=AB，连结PE。
然后证明一下△ABP≌AEP得到PB=PE备用（角边角证很容易吧~）
△PCE中，EC>PE-PC
∵EC=AE-AC，AE=AB
∴EC=AB-AC
又PB=PE
∴PE-PC=PB-PC
∴AB-AC>PB-PC





第1课时 轴对称（1）
教 学

目 标
1．在生活实例中认识轴对称图．
2．分析轴对称图形，理解轴对称的概念．
教学重点
由具体情境抽象出轴对称图形与轴对称的概念．
教学难点
理解轴对称与轴对称图形之间的区别与联系．
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、创设情境 感受新知
【问题】观察、讨论、交流，尝试用自己的语言描述这些实物、图片的共同特征

小结：对称现象无处不在，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，甚至日常生活用品，人们都可以找到对称的例子．现在同学们就从我们生活周围的事物中来找一些具有对称特征的例子．
我们的黑板、课桌、椅子等． 我们的身体，还有飞机、汽车、枫叶等都是对称的．

这些图形都是对称的．这些图形从中间分开后，左右两部分能够完全重合．
二、合作交流 解读探究
⑴轴对称图形
1、做一做
把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），想一想，展开后会是一个什么样的图形？位于折痕两侧图案有什么关系？


2、想一想
日常生活中常见的动物图片如：蝴蝶、蜻蜓、对称简笔画等,能发现它们有什么共同特征？


3、轴对称图形定义：
如果一个图形沿一条 折叠，直线两旁的部分能够 这个图形就叫做轴对称图形。 就是它的对称轴。
⑵轴对称
1、做一做: 折纸印墨迹
问题1：你发现折痕两边的墨迹形状一样吗？
问题2：两边墨迹的位置与折痕有什么关系？
2、想一想: 教材P30-----思考
3、轴对称定义
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与 重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。这条直线就是 ，两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重叠的点）叫做 。
⑶关于某条直线成轴对称的图形的性质特征
1、想一想：教材P31 ---思考1 结论：
2、轴对称与轴对称图形的联系与区别．

轴对称图形
轴对称
区别



联系


如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称；反过来，如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．











经过学生讨论，找到特征后，引导学生归纳轴对称图形的概念．

学生观察图片，在独立思考的基础上进行交流，共同总结每对图形所具有的特征，学生可能发现：沿某条直线对折，两个图形能够完全重合．
三、应用迁移 巩固提高
【例1】下列汉字，如果用一样粗细的笔写出来，哪些是轴对称图形？是轴对称图形的，有几条对称轴？ 大  小  口  中  朋  木
【例2】在26个英文字母中，请你说出几个成轴对称图形的字母，并且指出有几条对称轴
【例3】判断下面每组图形是否关于某条直线成轴对称.

【例4】标出下列图形中的对称点






【例5】观察下列各种图形，判断是不是轴对称图形，若是，请画出对称轴。












 





【练习】课本Р4 练习

四、总结反思 拓展升华
这节课我们主要认识了轴对称图形，了解了轴对称图形及有关概念，进一步探讨了轴对称的特点，区分了轴对称图形和两个图形成轴对称．
五、课堂作业 P36 1 2
第2课时 轴对称（2）
教 学

目 标
1、 理解线段的垂直平分线的概念；理解成轴对称的两个图形全等。
2 、探索轴对称的基本性质；线段垂直平分线的性质。
教学重点
探索轴对称的性质，并总结出线段垂直平分线的性质。
教学难点
探索并总结出线段垂直平分线的性质，能运用其性质解答简单的几何问题。
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、创设情境 导入新课
【思考】如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是A、B、C的对称点，线段AA′、BB′、CC′和直线MN有什么关系？
学生自行分析操作过程，从操作过程中发现数量关系，点A和A′是对称点，可以设AA′与对称轴的交点为P，将△ABC沿MN对折后A与A′重合，于是有AP=PA′、∠MPA=∠MPA′＝90°，对于其他的点也有类似的情况，于是可以发现，对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点并且垂直于这条线段．

鼓励学生经过独立思考，发现数量关系并进行交流，同时给出线段垂直平分线的定义，归纳性质。
二、合作交流 解读探究
⑴轴对称的性质
1、垂直平分线的定义：
经过线段 并且 这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
2、轴对称的性质：
如果两个图形关于某条直线对称，那么 是任何一对对应点所连线段的
类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
⑵线段垂直平分线的性质
1、想一想：如图，木条l与AB钉在一起，l垂直平分AB，点P是l上的点，当点P在l上移动时，分别量出点P到A、B的距离，你有什么发现？你能证明你的结论吗？
学生观察、操作、思考可以得出线段垂直平分线的性质，然后运用所学知识证明结论的正确性：根据条件OA=OB、∠AOP=∠BOP、OP=OP由SAS可以得出△AOP≌△BOP，于是得出AP=BP．
2、品一品：线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的 与这条线段 的距离 。请写出证明过程
思考：反过来，如果PA＝PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？
3、再想一想：如图．用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？
4、归纳：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的
上．
如果两个图形成轴对称，其中对称轴就是任何一对对应点连线的垂直平分线，因此只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴；对于轴对称图形也是类似．









鼓励学生大胆猜测，然后验证自己的猜测，从而让学生体会数学的学习是“猜测－验证”过程．




在图中，只要使箭端到弓两端的端点的距离相等，就能保持射出箭的方向与木棒垂直．
三、应用迁移 巩固提高
【例1】电信部门要修建一个电视信号发射塔．如图所示，按照要求，发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等。发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置．
根据问题的条件和要求，可以发现发射塔必须修建在公路所成角的平分线上，同时还要在线段AB的垂直平分线上，只要作出角的平分线和线段AB的垂直平分线，两者的交点就是符合条件的点．
【例2】如图，将一块正方形纸片沿对角线折叠一次,然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞，最后将正方形纸片展开,得到的图案是右图中的【 】





【例3】下列说法中，正确的有【 】
1、两个关于某直线对称的图形是全等形；
2、两个图形关于某直线对称,对称点一定在直线两旁；
3、两个对称图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴；
4、平面上两个完全相同的图形一定关于某直线对称。
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
【例4】将一张正方形纸片经两次对折,并剪出一个菱形小洞后展开铺平，得到的图形是【 】









【例5】下列命题中，假命题是（   ）
A、两个三角形关于某直线对称，那么这两个三角形全等
B、两个图形关于某直线对称，且对应线段相交，则交点必在对称轴上
C、两个图形关于某直线对称，对应点的连线不一定垂直对称轴
D、若直线L同时垂直平分AA‘、BB’，那么线段AB＝A'B'
【练习】课本Р34 练习



引导学生根据角平分线性质和线段垂直平分线性质寻找符合条件的点．

四、总结反思 拓展升华
这节课通过探索轴对称图形对称性的过程，了解了线段的垂直平分线的有关性质，同学们应灵活运用这些性质来解决问题．
五、课堂作业 P36 3 4 5
六、教学反思
第3课时 轴对称（3）
教 学

目 标
1．经历探究轴对称图形的对称轴的作法的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
2．掌握轴对称图形对称轴的作法．
3．在探索的过程中，培养学生分析、归纳的能力．
教学重点
作出轴对称图形的对称轴。
教学难点
探索轴对称图形对称轴的作法．
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、创设情境 导入新课
【问题1】如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．轴对称图形的对称轴，是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．
【问题2】有时我们感觉两个图形是轴对称的，如何验证呢？不折叠图形，你能比较准备地作出轴对称图形的对称轴吗？
作轴对称图形的对称轴的方法是：找到一对 对称点 ，作出连接它们的 线段 的 垂直平分线 线，就可以得到这两个图形的对称轴．


二、合作交流 解读探究
【问题3】如图（1），点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
已知：线段AB[如图（1）．
求作：线段AB的垂直平分线．
作法：如图（2）
1．分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C和D两点；
2．作直线CD．
直线CD就是线段AB的垂直平分线．
【思考】在上述作法中，为什么要以“大于AB的长”为半径作弧？
分等于或小于以AB长为半径作弧两种情况考虑。
【思考】根据上面作法中的步骤，请你说明CD为什么是AB的垂直平分线，请与同伴进行交流．
从作法的第一步可知
AC=BC，AD=BD．
∴C、D都在AB的垂直平分线上（线段垂直平分线的判定定理）．
∴CD就是线段AB的垂直平分线（两点确定一条直线）．
【问题4】下图中的五角星有几条对称轴？作出这些对称轴．
作法：1．找出五角星的一对对应点A和A′，连结AA′．
2．作出线段AA′的垂直平分线L．
则L就是这个五角星的一条对称轴．
用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴．

学生在教师的引导下，利用尺规作图作出线段AB的垂直平分线，然后由学生进行证明．
三、应用迁移 巩固提高
【例1】如下图，已知直线L和两点A、B，在直线L上求作一点P，使PA=PB．
分析：PA=PB，则P点在线段AB的垂直平分线上，P点又在直线L上，故P点为线段AB的垂直平分线与直线L的交点．
解：作出线段AB的垂直平分线L′，L′与直线L的交点即为P，使PA=PB．
【例2】画出下图甲中的各图的对称轴．

分析：根据对称图形的性质可知：这几个图形的对称轴分别有3条、2条、1条、3条．
解：如图所示：
【例3】如下图小河边有两个村庄，要在河对岸建一自来水厂向A村与B村供水，要符合条件：（1）若要使厂部到A、B的距离相等，则应选在哪儿？
（2）若要使厂部到A村、B村的水管最省料，应建在什么地方？
分析：（1）到A、B两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到两边距离相等”．
（2）要使厂部到A村、B村的距离和最短，可联想到“两点之间线段最短”．
解：（1）如图（1），取线段AB的中点G，过中点G画AB的垂线，交EF于P，则P到A、B的距离相等．
（2）如图（2），画出点A关于河岸EF的对称点A′，连A′B交EF于P，则P到A、B的距离和最短．
方法总结：“垂线段最短”“两点之间线段最短”是线段最值问题中两个重要方法．
【练习】课本Р35 练习








方法总结：当对称轴的条数超过1条时，各对称轴往往交于一点．




四、总结反思 拓展升华
本节课我们探讨了尺规作图，作出线段的垂直平分线．并据此得到作出一个轴对称图形一条对称轴的方法：找出轴对称图形的任意一对对应点，连结这对对应点，作出连线的垂直平分线，该垂直平分线就是这个轴对称图形的一条对称轴．
五、课堂作业
P37 6 7 8 9 10
六、教学理念/反思




第4课时 作轴对称图形（1）
教 学

目 标
1、通过具体实例学做轴对称图形,认识轴对称变形,探索它的基本性质和定义。
2、能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形。
3、能利用轴对称进行图案设计。
教学重点
1、轴对称变形的基本特征。   
2、能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形。
教学难点
利用轴对称进行一些图案设计。
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、创设情境 导入新课
【图片欣赏】展示生活中与轴对称现象有关的美丽图案。如：剪纸艺术、服饰文化、几何图案、花边艺术等。





【观察思考】这些图案是怎样形成的？你想学会制作这种图案的方法吗？

从学生熟悉的图形入手,感受轴对称图形在生活中的广泛应用,体会数学就在身边,激发学生学习数学的兴趣。
二、合作交流 解读探究
【动手画图1】
1、取一张长方形纸；
2、将纸对折，中间夹上复写纸；
3、在纸上沿折叠线画出半只蝴蝶；
4、把纸展开
【动手画图2】
1、再取一张长方形纸；
2、将纸对折，中间夹上复写纸；   
3、在纸上远离折叠线画出一朵花；
4、把纸展开。
学生画图，教师关注：
①学生如何画出图形的基础部分；折痕两旁的部分是什么关系？   
②折痕所在直线就是它的对称轴。
③找出一对对应点并连接，观察它与折痕的关系。
④思考这些图案是怎样形成的？
归纳总结：一个轴对称图形可以看作由它的一部分为基础，按轴对称原理作图而得到。成轴对称的两个图形也可以由其中的任何一个图形为基础，按轴对称原理作图而得到另一个图形。
【动手画图3】
取一张白纸折叠夹上复写纸，任画一个你最喜欢的图形，打开纸看一下，然后改变折痕方向重新叠纸，在原来的图形上描图，再打开，你会发现什么结论？当对称轴的方向和位置发生变化时，得到图形的方向和位置会变吗？
【思考】每组图案是怎样得到的？   
①每组图案中相邻的两个图案是否都是对称的？   
②每组图案各有几条对称轴，对称轴一定是水平或竖直的吗？   
③这些图案由一个图形经一次轴对称作图就能得到吗？
【教师关注】   
①学生画出的是一个什么图形。
②是否改变了折痕并重复了几次。
归纳总结：对称轴的方向和位置发生变化时，得到的图形的方向和位置也发生了变化。
作轴对称图形的基本特征：
由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全一样；
新图形上的每一个点，都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；
连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．

学生观察图片，动手操作、观察所画图形，先独立思考，然后进行交流．




展示学生的作品，听取学生的评价。







让学生亲自动手学画轴对称图形，去感受、理解轴对称变形的过程。
观察所画图形，寻找对称点，便于总结轴对称作图的基本方法，培养学生独立思考问题、解决问题的能力

三、应用迁移 巩固提高
【例1】如图，已知△ABC和直线l，你能作出△ABC关于直线l对称的图形。
【思考】
①如果这个图形就是一个点，如何作出与这个点关于这条直线对称的图形呢?
②△ABC关于直线l的对称图形是什么形状？
③ △ABC的轴对称图形可以由哪几个点确定？
在学生交流的过程中，引导学生探索作对称点的方法．如图，作点A关于l的对称点的方法是：
（1）过A作l的垂线垂足为O；
（2）连接AO并延长到A′，使A′O＝AO，则点A′就是点A关于直线l的对称点．
归纳：作已知图形关于已知直线对称的图形的一般步聚。
几何图形都可以看作由点组成，只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；
对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。   
【练习】课本Р41 练习

从最简单的几何图形做起，便于学生理解、掌握。
分步设问，便于引导学生理解作图方法。通过教师作图板书的示范,让学生体验作图的准确性和规范性。
让学生在思考、合作、交流中归纳出作一个图形的轴对称图形步骤，锻炼口头表达能力。
四、总结反思 拓展升华
本节课我们主要学习了如何通过轴对称变换来作出一个图形的轴对称图形，并且利用轴对称变换来设计一些美丽的图案．在利用轴对称变换设计图案时，要注意运用对称轴位置和方向的变化，使我们设计出更新疑独特的美丽图案．
五、课堂作业
P45 1 5
六、教学理念/反思








第5课时 作轴对称图形（2）
教 学

目 标
1．能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形．
2．培养学生运用轴对称解决实际问题的基本能力．
3．使学生掌握数学知识的衔接与各部分知识间的相互联系．
教学重点
能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形
教学难点
应用轴对称解决实际问题．
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、创设情境 导入新课
【问题1】以虚线为对称轴画出图的另一半：

【问题2】已知△ABC，过点A作直线l．
求作：△A′B′C′使它与△ABC关于l对称．


二、合作交流 解读探究
【问题3】如图所示：从A地到B地有三条路可供选择，你会选择哪条路距离最短？你的理由是什么？

【问题4】如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？



【问题5】如图，如果A，B在燃气管道l的同旁，泵站应修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律吗？
过程：把管道l近似地看成一条直线如图（2），设B′是B的对称点，将问题转化为在l上找一点C使AC与CB′的和最小，由于在连结AB′的线中，线段AB′最短．因此，线结AB′与直线l的交点C的位置即为所求．
结果：作B关于直线l的对称点B′，连结AB′，交直线l于点C，C为所求．
【思考】为什么在点C的位置修建泵站，就能使所用的输管道最短？
过程：将实际问题转化为数学问题，该问题就是证明AC+CB最小．
结果：



如上图，在直线l上取不同于点C的任意一点C′．由于B′点是B点关于L的对称点，所以BC′=B′C′，故AC′+BC′=AC′+B′C′，在△A′B′C′中AC′+BC′>AB′，而AB′=AC+CB′=AC+CB，则有AC+CB0(a≠0)的解x为何值时y=ax+b的值大于0
从形的角度看：
求ax+b>0(a≠0)的解确定直线y=ax+b在x轴上方的图象所对应的x值
对于0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k0时，图像经过一、三象限；k0，y随x的增大而增大；k0时，向上平移；当b0，图象经过第一、三象限；k0，图象经过第一、二象限；b0，y随x的增大而增大；k0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；
当b0
b0
经过第一、二、三象限
经过第一、三、四象限
经过第一、三象限



图象从左到右上升，y随x的增大而增大
k0时，向上平移；当b0时，直线经过一、三象限；
k0，y随x的增大而增大；（从左向右上升）
k0时，将直线y=kx的图象向上平移个单位；
b0的解；
(3)若-1≤y≤3，求x的取值范围.
(此题意在考查一次函数与一元一次方程和一元一次不等式(组).)

13.(10分)小强骑自行车去郊游，右图表示他离家的距离.y(千米)与所用的时间t(小时)之间关系的函数图象，小明9点离开家，15点回家，
根据这个图象，请你回答下列问题：
(1)小强到离家最远的地方需几小时?此时离家多远?
(2)何时开始第一次休息?休息时间多长?
(3)小强何时距家21km?(写出计算过程)
(此题意在考查学生利用函数图象解决实际问题的能力及识图能力.)
14.(12分)网络时代的到来，很多家庭都接入了网络，电信局规定了拨号入网两种收费方式，用户可以任选其一：
A：计时制：O.05元/分； B：全月制：54元/月(限一部个人住宅电话入网).此外B种上网方式要加收通信费0.02元/分.
(1)某用户某月上网的时间为x小时，两种收费方式的费用分别为y1(元)、y2(元)，写出y1、y2与x之间的函数关系式.
(2)在上网时间相同的条件下，请你帮该用户选择哪种方式上网更省钱?
(此题意在考查一次函数与二元一次方程组.)

15.(12分)某服装厂现有A种布料70m，B种布料52m，现计划用这两种布料生产M、N两种型号的时装80套.已知做一套M型号的时装需要A种布料0.6m，B种布料O.9m，可获利45元，做一套N型号的时装需要A种布料1.1m，B种布料0.4m，可获利50元.若设生产N型号的时装套数为x，用这批布料生产这两种型号的时装所获的总利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(2)该服装厂在生产这批时装中，当生产N型号的时装多少套时，所获利润最大?最大利润是多少?
(此题意在考查一次函数在解最大(小)值问题中的应用.)

四、附加题(此大题满分20分)：
16.如图，直线y=kx+6与x轴y轴分别交于点E，F.点E的坐标为(-8，0)，点A的坐标为(-6，0).
(1)求k的值；
(2)若点P(x，y)是第二象限内的直线上的一个动点，当点P运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)探究：当P运动到什么位置时，△OPA的面积为，并说明理由.
(此题意在考查数形结合能力及坐标几何问题的综合应用.)

教学反思





第15章 整式的乘除与因式分解
15.1.1 整式的乘法
教学目标
①感受生活中幂的运算的存在与价值．
②经历自主探索同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方等运算性质的过程，能用代数式和文字正确地表述这些性质，并会运用它们熟练地进行计算．
③逐步形成独立思考、主动探索的习惯．
④通过由特殊到一般的猜想与说理、验证，培养学生一定的说理能力和归纳表达能力．
教学重点与难点
重点：幂的三个运算性质．
难点：幂的三个运算性质．
教学设计
创设情境导入新课
问题：一种电子计算机每秒可以进行1012次运算，它工作103s可以进行多少次运算?你能用学过的知识解决吗?
从实际问题的导入，让学生自己动手试一试，主动探索，在自己的实践中获得知识．从而构建新的知识体系，同时因为关于底数、指数、幂等概念是在有理数的乘法中学习的，学生可能生疏或遗忘，在新课讲解之前利用这个实际问题进行复习．
学生略作思考后得出，它工作103s可以进行的运算次数是1012×103．怎样计算1012×103?
根据乘方的意义可以知道：

探究新知1．探一探根据乘方的意义填空：

从引例到“探一探”，“猜一猜”，“说一说”是一个从特殊到一般，从具体到抽象，把幂的底数与指数分两步有层次地进行概括抽象的过程．在这一过程中，要注意留给学生探索与交流的空间，让学生在自己的实践中获得运算法则．
学生独立思考后回答，教师板演．
2．猜一猜
问：看看计算结果，你能发现结果有什么规律吗?
学生小组讨论后交流结果：不管底数是什么数，只要底数相同，结果就是指数相加．
3．说一说
am×an(m，n是正整数)?学生说出理由，教师板演共同得出结论：am×an=am+n(m，n都是正整数)
即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
注意性质中的m、n的取值范围．
注：要求学生用语言叙述这个性质，即“同底数的幂相乘，底数不变，指数相加”，这对于学生提高数学语言的表述能力是有益的．
4．想一想
am×an×ap=?
5．做一做
例1教科书第142页的例1(1)～(4)
(5)-a3·a5；
(6)(x+1)2·(x+1)3
同底数幂的性质很容易推广到三个以上的同底数幂相乘．
在例1的课堂教学中教师要求学生说明底数是什么，指数是什么，引导学生观察是不是同底数幂相乘，再利用性质进行计算．例1(5)中注意让学生说清“-a3”的底数是“a”还是“-a”．性质中的字母可以是单项式也可以是多项式，如例1(6)，把底数进一步扩充到式的范围．
6．自主学习
根据乘方的意义及同底数幂的乘法，让学生自主探究教科书第170页探究问题．学生在独立思考、合作交流的基础上，得出幂的乘方运算性质：(am)n=amn(m，n都是正整数)即幂的乘方，底数不变，指数相乘．
7．做一做
例2教科书第171页的例2(1)～(4)
(5) -(x3)4·x2
8．想一想
让学生自主探究教科书第171页的探究问题，并完成填空．尝试分析运算过程中用到哪些运算律?运算结果有什么规律?
学生自己归纳出积的乘方的运算性质：(ab)n=anbn(n为正整数)即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
那么，(abc)n=?
注：和前两个性质的教学一样，这个性质也是先用具体指数为例说明积的乘方的意义和导出性质的每一步依据，从而归纳出一般指数情形的性质．这个性质也很容易推广到三个以上因式的乘方．
9．做一做
例3教科书第172页的例3(1)～(4);补充：(5) [-3(x+y)2]3
例4 计算：x·(x2)3-2x4·x2
比一比
这节课我们学习了三个运算性质：“同底数幂的乘法”、“幂的乘方”和“积的乘方”．组织学生进行计时比赛，在规定时间内完成教科书第170页、17l页、172页的练习．
深入探究例5计算：(1)(-8)2004·(-0.125)2005(2)(-2)2n+1+2·(-2)2n(n为正整数)．
在这三个性质中的底数、指数中，指数注明为正整数，而底数可以是数、字母或式．把底数进一步扩充到式的范围．
议一议
下面的计算对不对?如果不对，应当怎样改正．
(1)a3·a3=a6； (2)b4·b4=2b4；
(3)x5+x5=x10; (4)y7·y=y8；
(5)(a3)5=a8； (6)a3·a5=a15;
(7)(a2)3·a4=a9； (8)(xy3)2=xy6；
(9)(-2x)3=-2x3
注：补充议一议与辨析题的目的是让学生通过对这些判断题的讨论甚至争论，加强对运算性质的掌握，同时也培养学生一定的批判性思维能力．
小结
组织学生讨论和辨析三个运算性质．
课外巩固
1．必做题：教科书第148页习题15.1第1、2题．
2．备选题：
(1)计算：
(2)计算：am-1·an+2+am+2·an-1+am·an+1
(3)已知：am=7，bm=4，则(ab)2m=______
(4)已知：3x+2y-3=0，则27x·9y=___________
教学后记


15.1整式的乘法(2)
教学目标:
①探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算．
②让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望与能力．
教学重点与难点
重点：单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则．
难点：单项式与多项式相乘去括号法则的应用．
教学设计
复习引新
1．知识回顾：
回忆幂的运算性质：
am·an=am+n(m，n都是正整数)
即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
(am)n=amn(m，n都是正整数)
即幂的乘方，底数不变，指数相乘．
(ab)n=anbn(n为正整数)
即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
2．练一练
口答：
幂的三个运算性质是学习单项式与单项式、单项式与多项式乘法的基础，所以先组织学生对上述内容做复习．

创设情境引入新课
问题光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗?
注：从实际的问题导入，让学生自己动手试一试，主动探索，在自己的实践中获得知识，从而构建新的知识体系．
地球与太阳的距离约为(3×105)×(5×102)千米．问题是(3×105)×(5×102)等于多少呢?学生提出运用乘法交换律和结合律可以解决：
(3×105)×(5×102)=(3×5)×(105×102)=15×107(为什么?)
在此处再问学生更加规范的书写是什么?应该是地球与太阳的距离约为1.5×lO8千米．
请学生回顾，我们是如何解决问题的．
探究新知
1．问题：如果将上式中的数字改为字母，即ac5·bc2，你会算吗?
学生独立思考，小组交流．
注：从特殊到一般，从具体到抽象，在这一过程中，要注意留给学生探索与交流的空间，让学生在自己的实践中获得单项式与单项式相乘的运算法则．
学生分析：跟刚才的解决过程类似，可以将ac5和bc2分别看成a·c5和b·c2，再利用乘法交换律和结合律．
ac5·bc2
=(a·c5)·(b·c2)
=(a·b)·(c5·c2)
=abc5+2
=abc7
注：在教学过程中注意运用类比的方法来解决实际问题．
2．试一试：
类似地，请你试着计算：(1)2c5·5c2；(2)(-5a2b3)·(-4b2c)
ac5和bc2，2c5和5c2，(-5a2b3)和(-4b2c)都是单项式，通过刚才的尝试，谁能告诉大家怎样进行单项式乘法?
注：先不给出单项式与单项式相乘的运算法则，而是让学生类比，自己动手试一试，再相互交流，自己小结出如何进行单项式的乘法．要求学生用语言叙述这个性质，这对于学生提高数学语言的表述能力是有益的．
学生小结：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
3．算一算例1教科书第145页例4
在例题教学中应该先让学生观察有哪些运算，如何利用运算性质和法则。分析后再动手做，同时让学生说一说每一步的依据．提醒学生在单项式的运算中应该先确定符号．
例2 小民的步长为a米，他量得家里的卧室长15步，宽14步，这间卧室的面积有多少平方米?
注：将运算法则应用在实际问题中，提高学生解决实际问题的能力．
4．辩一辩教科书第145页练习2
注：辩一辩的目的是让学生通过对这些判断题的讨论甚至争论，加强对运算法则的掌握，同时也培养学生一定的批判性思维能力．
深入探究
1．师生共同研究教科书第145页的问题，对单项式与多项式相乘的方法能有感性认识．
注：这个实际问题来源于学生的生活实际，所以在教学中通过师生共同探讨，再结合分配律学生不难得到结论．
2．试一试计算：2a2·(3a2-5b)(根据乘法分配律，不难算出结果吧!)
注：因为整式的运算是在数的运算的基础上发展起来的，所以在解决问题时让学生类比数的运算律，将单项式乘以多项式转化为单项式的乘法，自己尝试得出结论．
3．想一想
从上面解决的两个问题中，谁能总结一下，怎样将单项式和多项式相乘?
学生发言，互相补充后得出结论：
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
4．做一做
教科书第146页例5(在学习过程中提醒学生注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号)
注：学生在计算过程中，容易出现符号问题，要特别提醒学生注意．
小结
课外巩固
1．必做题：教科书第148页习题15.1第3、4、6题
2．备选题：
(1)若(-5am+1b2n-1)(2anbm)=-10a4b4，则m-n的值为______
(2)计算：(a3b)2(a2b)3
(3)计算：(3a2b)2+(-2ab)(-4a3b)
(4)计算：

教学后记





15.1整式的乘法(3)
教学目标
①探索并了解多项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算．②让学生主动参与到一些探索过程中去，逐步形成独立思考，主动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望和能力．
教学重点与难点
重点：多项式与多项式相乘．
难点：多项式与多项式相乘．
教学设计
复习引新
1．前面这节课我们研究了单项式与单项式、单项式与多项式相乘的方法，请同学回忆方法．
2．练一练：教科书第147页练习2
我们再来看一看第一节课悬而未决的问题：
为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长a米，宽m米的长方形绿地增长b米，加宽n米(课件展示街心花园实景，而后抽象成数学图形，并用不同的色彩表示出原有部分及其新增部分)．提出问题：你能用几种方法表示扩大后绿地的面积?不同的表示方法之间有什么关系?

用不同的方法怎样表示扩大后的绿地面积?用不同的方法得到的代数式为什么是相等的呢?这个问题激起学生的求知欲望，引起学生对多项式乘法学习的兴趣．
学生独立思考后交换各自的解法：
方法一：这块花园现在长(a+b)米，宽(m+n)米，因而面积为(a+b)(m+n)米2．
方法二：这块花园现在是由四小块组成，它们的面积分别为：
am米2、an米2、bm米2、bn米2，故这块绿地的面积为(am+an+bm+bn)米2．
(a+b)(m+n)和(am+an+bm+bn)表示同一块绿地的面积，所以有(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
注：借助几何图形的直观，使学生从图形中可以看到(a+b)(m+n)是一个长方形的面积，而这个长方形又可以分割成四小块，它们的面积和是am+an+bm+bn，因此，(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn．让学生对这个结论有直观感受．
探究新知
引导学生观察等式的左边(a+b)(m+n)是两个多项式(a+b)与(m+n)相乘，我们从刚才问题的解决过程中发现了多项式与多项式相乘的方法．
进一步引导学生，如果我们把(m+n)看成一个整体，那么两个多项式(a+b)与(m+n)相乘的问题就转化为单项式与多项式相乘，这是一个我们已经解决的问题，请同学们试着做一做．
注：把(m+n)看成一个单项式，因学生过去接触不多，可能不易理解．实际上，这是一个很重要的思想和方法．学习一种新的知识、方法，通常的做法是把它归结为已知的数学知识、方法，从而使学习能够进行．在此，如果学生真正理解了把(m+n)看成一个单项式，那么，两次运用单项式与多项式相乘的法则，就得出多项式相乘的法则了．
1．做一做(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n)=am+an+bm+bn
2．讲一讲
让学生试着总结多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
3．试一试
例1 教科书第147页例6
教学中要强调多项式与多项式相乘的基本法则，提醒学生注意多项式的每一项都应该带上他前面的正负号．多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定积中各项的符号．
例2先化简，再求值：
(a-3b)2+(3a+b)2-(a+5b)2+(a-5b)2，其中a=-8,b=-6
4．练一练
教科书第148页练习1
深入探索
1．试一试
例3计算：(x+2)(x-3)
注：让学生通过“试一试”、“想一想”，结合直观图形，自己尝试发现规律，激发学生对问题中所蕴藏的一些数学规律进行探索的兴趣．
2．想一想问：结果中的x2，-6是怎样得到的?学生口答．继续完成教科书第177页练习2
问：从刚才解决问题的过程中你们有什么发现吗?
(1)学生交流各自的发现．
(2)结合教科书第148页练习第2题图，直观认识规律，并完成此题．
3．练一练
(1)计算(口答)：
①(x+2)(x+3)； ②(x-1)(x+2)；
③(x+2)(x-2)； ④(x-5)(x-6)；
⑤(x+5)(x+5)； ⑥(x-5)(x-5)；
(2)口答：教科书第148页习题15.1第3题．
4．用一用
例4一块长m米，宽n米的玻璃，长宽各裁掉a米后恰好能铺盖一张办公桌台面(玻璃与台面一样大小)，问台面面积是多少?
课外巩固
1．必做题：教科书第148页第6、7题．
2．备选题：
(1)计算：(x+2y-1)2
(2)已知x2-2x=2，将下式化简，再求值．
(x-1)2+(x+3)(x-3)+(x-3)(x-1)
(3)小明找来一张挂历画包数学课本．已知课本长a厘米，宽b厘米，厚c厘米，小明想将课本封面与封底的每一边都包进去m厘米．问小明应该在挂历画上裁下多大面积的长方形?
教学后记



15.2 乘法公式
15.2.1平方差公式
教学目标
①经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力．
②会推导平方差公式并掌握公式的结构特征，能运用公式进行简单的计算．
③了解平方差公式的几何背景，体会数形结合的思想方法．
教学重点与难点
重点：平方差公式的推导及应用．
难点：用公式的结构特征判断题目能否使用公式．
教学准备
卡片及多媒体课件
教学设计
引入
同学们，前面我们刚刚学习了整式的乘法，知道了一般情形下两个多项式相乘的法则．今天我们要继续学习某些特殊情形下的多项式相乘．下面请同学们应用你所学的知识，自己来探究下面的问题：
探究：计算下列多项式的积，你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗?
(1)(x+1)(x-1)=
(2)(m+2)(m-2)=
(3)(2x+1)(2x-1)=
引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间互相补充，教师不急于概括．
注：平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，它的得出可以直接利用多项式与多项式相乘的运算法则，利用多项式乘法推导乘法公式是从一般到特殊的过程，对今后学习其他乘法公式的推导有一定的指导意义，同时也可培养学生观察、归纳、概括等能力，因此在教学中，首先应让学生思考：你能发现什么?让学生经历观察(每个算式和结果的特点)、比较(不同算式之间的异同)、归纳(可能具有的规律)、提出猜想的过程，学生在发现规律后，还应通过符号运算对规律进行证明．
举例
再举几个这样的运算例子．
注：让学生独立思考，每人在组内举一个例子(可口述或书写)，然后由其中一个小组的代表来汇报．
验证
我们再来计算(a+b)(a-b)=
公式的推导既是对上述特例的概括，更是从特殊到一般的归纳证明，在此应注意向学生渗透数学的思想方法：特例→归纳→猜想→验证→用数学符号表示．
注：这里是对前边进行的运算的讨论，目的是让学生通过观察、归纳，鼓励他们发现这个公式的一些特点，如公式左右边的结构特征，为下一步运用公式进行简单计算打下基础．
概括
平方差公式及其形式特征．
教师可以在前面的基础上继续鼓励学生发现这个公式的一些特点：如公式左、右边的结构，并尝试说明这些特点的原因．
应用
教科书第152页例1运用平方差公式计算：
(1)(3x+2)(3x-2)
(2)(b+2a)(2a-b)
(3)(-x+2y)(-x-2y)
填表：
(a+b)(a-b)
a
b
a2—b2
最后结果
(3x+2)(3x-2)

2
(3x)2-22

(b+2a)(2a-b)




(-x+2y)(-x-2y)





对本例的前面两个小题可以采用学生独立完成，然后抢答的形式完成；第三小题可采用小组讨论的形式，要求学生在给出表格所提示的解法之后，思考别的解法：提取后一个因式里的负号，将2y看作“a”，将x看作“b”，然后运用平方差公式计算．
注：(1)正确理解公式中字母的广泛含义，是正确运用这一公式的关键．设计本环节，旨在通过将算式中的各项与公式里的a、b进行对照，进一步体会字母a、b的含义，加深对字母含义广泛性的理解：即它们既可以是数，也可以是含字母的整式．
(2)在具体计算时，当有一个二项式两项都负时，往往不易判明a、b，如第三小题，此时可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，有助于学生思维互补、有条理地思考和表达，更有助于学生合作精神的培养．
(3)例1第(3)小题引导学生多角度思考问题，可以加深对公式的理解．

教科书第152页例2计算：
(1)102×98
(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)
此处仍先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路，允许他们算法的多样化，然后通过比较，优化算法，达到简便计算的目的．
注：(1)运用平方差公式进行数的简便运算的关键是根据数的形式特征，把相乘的两数化成两数和与两数差的乘积形式，教学时可让学生自己寻找相乘两数的形式特征．
(2)第二小题要引导学生注意到一般形式的整式乘法与特殊形式的整式乘法的区别与联系，强调：只有符合公式要求的乘法，才能运用公式简化运算，其余的运算仍按整式乘法法则进行．
巩固
教科书第153页练习1、2
练习1口答完成；练习2采用大组竞赛的形式进行，其中(1)(4)由两个大组完成，(2)(3)由另两个大组完成．
注：让学生通过巩固练习，达成本节课的基本学习目标，并通过丰富的活动形式，激发学习兴趣，培养竞争意识和集体荣誉感．

解释
你能根据下面的两个图形解释平方差公式吗?






多媒体动画演示图形的变换过程，体会过程中不变的量，并能用代数恒等式表示．
注：(1)重视公式的几何背景，可以帮助学生运用几何直观理解、解决有关代数问题．
(2)此处将教科书的图15.3-1分解为两个图形，是考虑到学生数与形结合的思想方法掌握的不够熟练；利用两个图形可以清楚变化的过程，便于联想代数的形式．
小结
谈一谈：你这一节课有什么收获?
注：这儿采取的是先由每个学生自己小结，然后由小组代表作答，把教师做小结变成了课堂上人人做小结，有助于学生概括能力、抽象能力、表达能力的提高．同时，由于人人都要做小结，促使学生注意力集中，学习主动性加强．
作业
1．必做题：教科书第156页习题15.2第1题
2．选做题：计算：
(1)x2+(y-x)(y+x)
(2)20082-2009×2007
(3)(-0.25x-2y)(-0.25x+2y)
(4)(a+b)(a-b)-(3a-2b)(3a+2b)
教学后记






1 5．2．2完全平方公式
教学目标
①经历探索完全平方公式的过程，使学生感受从一般到特殊的研究方法，进一步发展符号感和推理能力．
②会推导完全平方公式，能说出公式的结构特征，并能运用公式进行简单计算．
③了解公式的几何背景，进一步培养学生用数形结合的方法解决问题的能力．
教学重点与难点
重点：(a±b)2=a2±2ab+b2的推导及应用．
难点：公式的结构特征及教科书P184例5．
教学准备
投影仪；多媒体课件；小黑板,边长为a、b的两种正方形卡片每小组一张；长为a、宽为b的长方形卡片每小组一张．
教学设计
引入
同学们，前一节课我们已经探究了一种特殊形式的多项式乘法，学会了平方差公式的一些简单应用．今天我们在这个基础上要继续学习另一种特殊形式的多项式乘法．下面请同学们像上一节课一样，自己来探究下面的问题：
(1)完全平方公式也是多项式乘法运算中一个重要的公式，由于学生在前面已经接触过乘法公式推导的思路和方法，所以在此引导他们再次自主推导即可．在推导公式的过程中，要重视学生对运算依据的理解与叙述，强调推理，培养他们的代数推理能力、用数学语言进行表达的能力．
探究
计算下列各式，你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗?
(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=
(2)(m+2)2=
(3)(p-1)2=(p-1)(p-1)=
(4)(m-2)2=
注：引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间互相补充，教师不急于概括．

(2)这里是对前边进行的运算的讨论，目的是让学生通过观察、归纳，鼓励他们发现这个公式的一些特点，如公式左右边的特征，便于进一步应用公式计算．
举例：再举几个这样的运算例子．让学生独立思考，每人在组内举一个例子(可口述或书写)，然后由其中一个小组的代表来汇报．
验证
我们再来计算(a+6)2，(a-b)2．
公式的推导既是对上述特例的概括，更是从特殊到一般的归纳证明，在此应注意向学生渗透数学的思想方法：特例——归纳——猜想——验证——用数学符号表示．
概括
完全平方公式及其形式特征．
注：教师可以在前面的基础上继续鼓励学生发现这个公式的一些特点：如公式左、右边的结构，并尝试说明产生这些特点的原因．
还可以引导学生将(a-b)2的结果用(a+b)2来解释：(a-b)2={a+(-b)]2=a2+2a(-b)+(-b)2=a2-2ab+b2
(3)对公式(a-b)2=a2-2ab+b2的多角度解释，是为了加深学生对公式中字母a、b的广泛意义的理解，并再次让学生体会加、减法的互相转化与统一
应用教科书第154页例3运用完全平方公式计算：(1)(4m+n)2 (2)(y-)2
引导学生用如下的填空形式完成例3：
解：(1)∵(4m+n)2是__与__和的平方，

(2)∵(y-)2是__与__和的平方，

注：可由学生口答完成，教师多媒体展示结果，提高课堂效率．
(1)正确理解公式中字母的广泛含义，是正确运用这一公式的关键．设计本环节，旨在通过将算式中的各项与公式里的a、b进行对照，进一步体会字母a、b的含义，加深对字母含义广泛性的理解．
(2)在具体计算时，当二项式的项不再是单独的数或字母时，或者项是小数时，往往容易出现运算错误，如例1第(1)小题，易错解得(4m)2=4m2，通过这样的填空，可引起学生的思考、讨论，有助于学生辨析公式，熟悉公式的结构特征，继而正确进行运用．
教科教科书第154页例4运用完全平方公式计算：(1)1022(2)992
此处可先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路，可先不给出题目中“运用完全平方公式计算”的要求，允许他们算法的多样化，但要求明白每种算法的局限和优越性．
注：运用完全平方公式进行数的简便运算的目的是进一步巩固完全平方公式，体会符号运算对解决问题的作用，教学时可让学生自己独立解决此问题．
巩固
教科书第155页练习1、2
练习1采用大组竞赛的形式进行，其中(1)(3)由两个大组完成，(2)(4)由另两个大组完成；练习2由学生独立完成，投影仪显示两位学生的完成情况．
注：让学生通过巩固练习，达成本节课的基本学习目标．利用投影仪可以提高课堂效率。
思考
(a+b)2与(-a-b)2相等吗?(a-b)2与(b-a)2相等吗?(a-b)2与a2-b2相等吗?为什么?
组织学生进行讨论，通过自主推导，互相合作交流，共同解决难题．
注：前两对算式可通过引导学生复习“互为相反数的两个数的同次偶次幂相等”得出结论，后面一对算式由于前面学习的(ab)2=a2b2等公式的负迁移作用，学生常出现(a-b)2=a2- b2、(a+b)2=a2+b2等错误，教学时有必要辨析．
拓展
教科书第155页例5运用乘法公式计算：
(1)(x+2y-3)(x-2y+3) (2)(a+b+c)2
讲解此例之前可先让学生自学教科书第183页的“添括号法则”并完成教科书第184页练习1．然后给出例5的题目，让学生思考该选择哪个公式．第(1)小题的解决关键是要引导学生比较两个因式的各项符号，分别找出符号相同及相反的项，学会运用整体思想，将其与公式中的字母a、b对照，其中-2y+3=-(2y-3)，故应运用平方差公式．第(2)小题可将任意两项之和看作一个整体，然后运用完全平方公式．
注：在解此例的过程中，应注意边辨析各项的符号特征，边对照两个公式的结构特征，教师应完整详细地书写解题过程，帮助学生理解这一公式的拓展应用，突破难点．
(1)“添括号法则”采用自学的方法得出，可培养学生一定的自学能力．
(2)有些整式相乘需要先作适当变形，然后再用公式，在此可通过解题思路的分析，注意公式中字母的广泛意义，并渗透换元的思想．其中第二小题的结果特征明显，可要求部分学有余力的学生与完全平方公式联系起来记忆，作为一个新的乘法公式．
小结
谈一谈：你对完全平方公式有了哪一些认识?它与平方差公式有什么区别和联系?
梳理知识，形成体系．
作业
1．必做题：教科书第156页习题15.2第二大题的(1)、(3)、(4)、(5)．
2．选做题：教科书第156页习题15.2第二大题的(2)、(6)．
教学后记



15.3整式的除法
15.3.1 同底数幂的除法
教学目标
①经历探索同底数幂的除法的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力．②了解同底数幂的除法的运算性质，能解决一些实际问题，提高应用能力．③感受数学法则、公式的简洁美与和谐美．
教学重点与难点
重点：同底数幂的除法法则．
难点：同底数幂的除法法则_的推导．
教学准备
卡片及多媒体课件．
教学设计
情境引入
探究新知根据除法的意义填空，看看计算结果有什么规律?

注：教师可以鼓励学生自己发现底数和指数发生的变化，并运用自己的语言进行描述．
同底数幂的除法法则的推导，应按从具体到一般的步骤进行．探究活动的安排，是使学生在引例的基础上，继续通过对具体的特例的计算，归纳出同底数幂的除法运算性质，并能运用乘除互逆的关系加以说明，也可引导学生运用幂的意义和分数的约分对此加以说明．在这些活动过程中，学生的化归、符号演算等代数推理能力和有条理的表达能力得到进一步发展．
归纳法则
一般地，我们有
am÷an=am-n(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n)．即同底数幂相除，底数不变，指数相减．
讨论为什么这里规定a≠0?
应用新知
例1 计算：
(1)x8÷x2； (2)a4÷a；(3)(ab)5÷(ab)2； (4)(x+y)6÷(x+y)4．
对本例可以采用学生口述每一步计算的过程以及依据，同时教师板书的形式完成．口述和板书都应注意强调幂的意义，不停留于套用的层面，可再现法则的推导．计算过程的详尽可使学生进一步体会算理，并更深刻地理解法则．
注：在熟悉公式基本应用的同时，还要引导学生正确理解公式中字母的广泛意义，进一步体会底数a的含义，即它既可以是单独的一个数，也可以是含有字母的整式，故在此补充了第(4)小题．
巩固新知
①你问我答：自主编题，同桌互答
②教科书第160页练习1及练习2的(1)、(3)、(4)．采用“比一比，赛一赛”的形式进行．
注：抓住初中学生好胜的心理，调节课堂节奏．
再探新知分别根据除法的意义填空，你能得出什么结论?(1)32÷32=( )；(2)103÷103=( )；(3)am÷am=( )(a≠0)．
规定：
a0=1(a≠0)．
即任何不等于0的数的0次幂都等于1．法则扩展：一般地，我们有
am÷an=am-n(a≠0，m，n都是正整数，并且m≥n)．
即同底数幂相除，底数不变，指数相减．
注：使学生明确：零指数的出现是对原有正整数指数概念的扩展，它的意义：a0=1(a≠0)，并不是由同底数幂的除法得出的，而是为了使同底数幂的除法法则在被除式的指数和除式的指数相等的情况下也能适用所作出的规定．并使学生体会：数的概念往往是由于运算的需要而扩展，概念扩展的结果又往往带来运算法则、性质在更大范围的适用，将法则扩展后的形式写出正是基于这个考虑．
解决问题1．教科书第160页练习3
注：可由四位学生板演，尽可能把机会留给学习困难的学生．
(1)练习3的难度不大，由学习困难的学生来展示自己本节课的所学成果，可使他们获得成就感，树立学好数学的信心．
(2)列举实际问题中的例子，要求稍高，可以让学生合作完成，教师可先示范拟题举例．
2．请举一个应用同底数幂除法解决实际问题的例子．
小结
使学生全面地了解自己的学习过程，感受自己的成长与进步，这有利于培养学生的自信心，也为教师全面了解学生的学习状况、改进教学、实施因材施教提供了重要依据．
布置作业
1．必做题：教科书第193页习题15.4第一大题(1)、(2)、(3)；
2．选做题：教科书第193页习题15.4第七大题
教学后记



15.3.2整式的除法（1）
教学目标
①经历探索整式除法运算法则的过程，会进行简单的整式除法运算(只要求单项式除以单项式，并且结果都是整式)，培养学生独立思考、集体协作的能力．
②理解整式除法的算理，发展有条理的思考及表达能力．
教学重点与难点
重点：整式除法的运算法则及其运用．
难点：整式除法的运算法则的推导和理解，尤其是单项式除以单项式的运算法则．
教学准备
卡片及多媒体课件．
教学设计
情境引入
教科书第161页问题：木星的质量约为1.90×1024吨，地球的质量约为5.98×1021吨，你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗?
重点研究算式(1.90×1024)÷(5.98×1021)怎样进行计算，目的是给出下面两个单项式相除的模型．
注：教科书从实际问题引入单项式的除法运算，学生在探索这个问题的过程中，将自然地体会到学习单项式的除法运算的必要性，了解数学与现实世界的联系，同时再次经历感受较大数据的过程．
探究新知
(1)计算(1.90×1024)÷(5.98×1021)，说说你计算的根据是什么?
(2)你能利用(1)中的方法计算下列各式吗?
8a3÷2a； 6x3y÷3xy； 12a3b2x3÷3ab2．
(3)你能根据(2)说说单项式除以单项式的运算法则吗?
注：教师可以鼓励学生自己发现系数、同底数幂的底数和指数发生的变化，并运用自己的语言进行描述．
单项式的除法法则的推导，应按从具体到一般的步骤进行．探究活动的安排，是使学生通过对具体的特例的计算，归纳出单项式的除法运算性质，并能运用乘除互逆的关系加以说明，也可类比分数的约分进行．在这些活动过程中，学生的化归、符号演算等代数推理能力和有条理的表达能力得到进一步发展．重视算理算法的渗透是新课标所强调的．
归纳法则
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
注：通过总结法则，培养学生的概括能力，养成用数学语言表达自己想法的数学学习习惯．
应用新知
例2 计算：
(1)28x4y2÷7x3y；
(2)-5a5b3c÷15a4b．
首先指明28x4y2与7x3y分别是被除式与除式，在这儿省去了括号．对本例可以采用学生口述，教师板书的形式完成。口述和板书都应注意展示法则的应用，计算过程要详尽，使学生尽快熟悉法则．
注：单项式除以单项式，既要对系数进行运算，又要对相同字母进行指数运算，同时对只在一个单项式里含有的幂要加以注意，这些对刚刚接触整式除法的学生来讲，难免会出现照看不全的情况，所以更应督促学生细心解答问题．
巩固新知 教科书第162页练习1及练习2．
学生自己尝试完成计算题，同桌交流．
注：在独立解题和同伴的相互交流过程中让学生自己去体会法则、掌握法则，印象更为深刻，也有助于培养学生良好的思维习惯和主动参与学习的习惯．
作业
1．必做题：教科书第164页习题15.3第1题；第2题．
2．选做题：教科书第164页习题15.3第8题
教学后记




15.3.2整式的除法（3）
教学目标
①经历探索整式除法运算法则的过程，会进行简单的整式除法运算(只要求多项式除以单项式，并且结果都是整式)，培养学生独立思考、集体协作的能力．
②理解整式除法的算理，发展有条理的思考及表达能力．
教学重点与难点
重点：整式除法的运算法则及其运用．
难点：整式除法的运算法则的推导和理解，尤其是多项式除以单项式的运算法则．
教学准备
卡片及多媒体课件．
教学设计
再探新知计算下列各式：(1)(am+bm)÷m；(2)(a2+ab)÷a；(3)(4x2y+2xy2)÷2xy．①说说你是怎样计算的②还有什么发现吗?
在学生独立解决问题之后，及时引导学生反思自己的思维过程，并对自己计算所得的结果进行观察，总结出计算的一般方法和结果的项数特征：商式与被除式的项数相同．
注：教科书提供了一些多项式除以单项式的题目，鼓励学生利用已经学习过的内容独立解决这些问题．教学中仍应提倡算法多样化，让学生说明每一步的理由，并鼓励学生间的交流．学生可以类比数的除法把除以单项式看成是乘以这个单项式的倒数，也可以利用逆运算进行考虑．
归纳法则
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
你能把这句话写成公式的形式吗?
注：这里重要的是学生能理解运算法则及其探索过程，能够运用自己的语言叙述如何进行运算，不必要求学生背诵法则．用字母概括法则是使算法一般化，可深化和发展对数的认识．
解决问题
教科书第162页例3 计算
(1)(12a3-6a2+3a)÷3a；
(2)(21x4y3-35x3y2+7x2y2)÷(-7x2y)；
(3)[(x+y)2-y(2x+y)-8x]÷2x
幂的运算性质是整式除法的关键，符号仍是运算中的重要问题．在此可由学生口答，要求学生说出式子每步变形的依据，并要求学生养成检验的习惯，利用乘除互为逆运算，检验商式的正确性．
注：通过例题的剖析和解决，培养学生耐心细致、严谨的数学思维品质，训练学生形成一定的计算能力．
巩固新知教科书第163页练习利用投影仪反馈学生解题过程．
注：本课课堂容量较大，可利用多媒体提高效率．
小结
使学生全面地了解自己的学习过程，感受自己的成长与进步，这有利于培养学生的自信心，也为教师全面了解学生的学习状况、改进教学、实施因材施教提供了重要依据．
布置作业
1．必做题：教科书第193页习题15.3第3题；第4题．
2．选做题：教科书第193页习题15.3第6题
教学后记




15.4 因式分解
15.4 因式分解(1)
教学目标
①了解因式分解的意义，了解因式分解和整式的乘法是整式的两种相反方向的变形．
②会确定多项式中各项的公因式，会用提取公因式法分解多项式的因式．
③会利用因式分解进行简便计算．
④通过与质因数分解的类比，让学生感悟数学中数与式的共同点，体验数学的类比思想；通过对公因式是多项式的因式分解的学习，培养换元的意识．
教学重点与难点
重点：因式分解的概念．
难点：多项式中公因式的确定和当公因式是多项式时的因式分解．
教学准备
要求学生回忆整数的质因数分解的方法．
教学设计
问题讨论(探究)引入
同学们，我们先来看下面2个问题：
1．630能被哪些数整除，说说你是怎样想的?
2．当a=101,b=99时，求a2-b2的值．
注：对于问题1我们必须对630进行质因数分解，对于问题2，虽然可以直接把a=101,b=99代人进行计算，但如果应用平方差公式先把a2-b2变形成(a+b)(a-b)的形式再代入进行计算，将会使计算过程变得更加简洁．
通过对上面2个问题解决方法和过程的讨论，使学生感知到把一个数进行质因数分解和把一个多项式变为几个整式的乘积是对数和式的一种恒等变形，能使演算简便．
从质因数的分解看，为了使运算更加简便和准确有时先把多项式进行变形再代入求值．这样的两个题学生都容易接受．由此提出因式分解的概念，一方面突出了多项式因式分解本质特征是一种式的恒等变形，另一方面也说明了它可以与因数分解进行类比，从而对因式分解的概念和方法有一个整体的认识．也渗透着数学中的类比思想．
探究
教科书第166页的探究题．
注：要在学生充分理解化成整式的积的形式的基础上进行探究，要注意突出写成整式的积的形式的具体含义，使学生联想到可以运用整式的乘法来达到这个目的，为因式分解概念的建立埋下伏笔．
探究题使学生进一步认识到多项式可以有不同形式的表示，而所谓因式分解就是把多项式化为积的形式，分清它与整式乘法的关系对因式分解的概念的建立很有必要．
提出因式分解的概念．
注：利用书中的因式分解和整式乘法的关系图，说明因式分解和整式乘法是对一个多项式的2种不同的变形，并强调它们的特点．
练习
下列由左到右的变形，是否因式分解，为什么?
1．(x+2)(x-2)=x2-4
2．x2-4=(x+2)(x-2)
3．x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x
注：通过这个练习强化因式分解的概念．
因式分解方法研究
1．提公因式法
研究多项式：ma+mb+mc各项中每个因式的特点，提出公因式的概念．
注：公因式的概念是提公因式法的基础，必须予以重视．
让学生体验： ma+mb+mc=m(a+b+c)从左到右是怎样得到的，你能对ax+2ay进行类似的变形吗?
注：要说明公因式提出后，另一个因式是如何确定的．
例1 把8a3b2+12ab3c分解因式
分析：先要求学生思考这个问题的最后结果该是怎样的，然后仿照课本进行分析，注意讲清确定公因式的具体步骤，从数、字母和字母的次数3个方面进行分析；解完后要分析公因式和另一个因式之间的关系，并思考：如果提出公因式4ab，另一个因式是否还有公因式?从而把提公因式的“提”的具体含意深刻化，这是提公因式法的正确性的重要保证．
注：例1是确定公因式和如何提公因式分解因式方法的具体化，所以教师要细致地讲解，要让学生清楚地知道具体的方法和步骤．
练习
用提公因式法分解因式:1．3mx-6nx2 2．4a2b+10ab-2ab2
注：通过练习熟练和巩固提公因式法分解因式．
例2 把2a(b+c)-3(b+c)因式分解分析：可引导学生对该多项式的每项因式的特点进行仔
注：例2中公因式可以是多项式,这一点对学生来说不是很容易接受，但却很重要，这是对公因式概念的深入理解．这里隐含着换元的思想，教师应正确地讲解．
细观察从而发现把b+c看作一个“整体”时公因式就是b+c，再用提公因式法进行分解．
例3计算：0.84×12+12×0.6-0.44×12
注：让学生观察并分析怎样计算更简单．
例3是因式分解在计算中的应用，学习例3使学生对因式分解的重要性有新的认识．
比较归纳说说例1例2和例3的公因式有什么不同?
注：通过比较归纳使学生对公因式的概念有更深刻的认识，所谓公因式通俗地说就是多项式中的各项中共有的“东西”，这个“东西”应从数、相同字母、相同字母的个数(即最低次数)这几个方面进行考虑，这个“东西”有时还可以是一个多项式．
巩固练习
1．做教科书第167页的练习．
建议：这是提公因式法的第1次练习，要求学生认真思考并完成，然后详细分析解答中的错误并认真改正．第1题中的第3小题的公因式如何确定要特别说明．
2．讨论：怎样检查因式分解是否正确?提公因式后的另一个公因式的项数和原多项式的项数有什么关系?
小结提高
1．举一个例子说说什么是因式分解．
2．什么是多项式的公因式?确定公因式该从哪几个方面进行考虑?
3．说说提公因式法的一般步骤．
(1．确定提取的公因式 2．用公因式去除这个多项式，所得的商式作为另一个因式 3．把多项式写成这两个因式的积的形式)
对因式分解概念的理解是本课的重点，公因式的确定和提公因式的具体方法是本课的关键，所以对知识的小结可从这些问题入手带领学生做深入的思考．
布置作业
1．必做题：教科书第170页习题15.4第1题。
2．选做题：教科书第171页第7题；
教学后记




15.4因式分解(2)
教学目标
①在掌握了解因式分解意义的基础上，会运用平方差公式和完全平方公式对比较简单的多项式进行因式分解．
②在运用公式法进行因式分解的同时培养学生的观察、比较和判断能力以及运算能力，用不同的方法分解因式可以提高综合运用知识的能力．
③进一步体验“整体”的思想，培养“换元”的意识．
教学重点与难点
重点：运用平方差公式法进行因式分解．
难点：观察多项式的特点，判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法，并完整地进行分解．
教学准备
要求学生对平方差公式准确理解．
教学设计
问题：1．什么叫因式分解?
问题1使学生回忆因式分解的概念．
注：对于问题1要强调因式分解是对多项式进行的一种变形，可引导比较它与整式乘法的关系．
2．你能将多项式x2-4与多项式y2-25分解因式吗?这两个多项式有什么共同的特点?
问题2使学生感知到运用平方差公式可以把多项式进行因式分解．
注：对于问题2要求学生先进行思考，教师可视情况作适当的提示，在此基础上讨论这两个多项式有什么共同的特点．
特点：这两个多项式都可以写成两个数的平方差的形式，对于这种形式的多项式，可以利用平方差公式来分解因式．
即：(a+b)(a-b)=a2-b2反过来就是：
a2-b2=(a+b)(a-b)
注：要求学生具体说说这个公式的意义．教师用语句清楚地进行表述．
利用平方差公式分解因式要注意更多地去分析公式的特征：是两个“东西”的平方差，这里的“东西”可以是具体的数、单项式或多项式，所以在分析时可应用形式化的符号：如( )、△、口以避免出现类似4x2-9=(4x+3)(4x-3)样的错误．
例3分解因式：(1)4x2-9;(2)x2-0.0ly2;(3)(x+p)2-(x+q)2
分析：注意引导学生观察这3个多项式的项数，每个项可以看成是什么“东西”的平方，使之与平方差公式进行对照，确认公式中的字母在每个题目中对应的数或式后，再用平方差公式进行因式分解．
注：能否用平方差公式进行因式分解，取决于这个多项式是否符合平方差公式的特征，即两个数的平方差，所以要强调多项式是否可化为( )2-( )2的形式．括号里的“东西”是一个整体，它可以是具体的数或单项式或多项式，如(3)题中应是多项式了．
平方差公式能否正确应用直接关系到下面的完全平方公式的学习，所以在分析时一定要到位，要抓住形式的特点，要让学生说说他们是怎样应用公式的．
因式分解要进行到不能分解为止和分解方法的综合性，这是教学的难点，例题不要太难，重要的是使学生取得共识．
例4分解因式
(1)x4-y4 (2)a3b-ab
分析：(1)先把它写成平方差的形式，再分解因式，注意它的第2次分解．
(2)现在不具备平方差的特征，引导继续观察特点，发现有公因式ab，应先提公因式，再进一步分解．
学生交流体会：因式分解要进行到不能再分解为止，提公因式法和应用公式法的综合应用．
注：练习题要培养学生的观察能力和审题习惯．
巩固练习
做教科书第168页的练习．
第1题是4个小题的题组，对学生的观察能力和判断能力是一次很好的锻炼，要求学生讲出能否用公式的道理．
第2题是用提公因式法和应用平方差公式法进行因式分解的综合应用，要求学生养成先观察多项式的特点的习惯．
注：注意要将因式分解进行到不能再分解为止．
小结
1．举一个例子说说应用平方差公式分解因式的多项式应具有怎样的特征．
2．用平方差方公式分解因式类似用平方差公式分解因式，所以学生易于接受．教学方法以学生自主探究为主，教师适当引导和指导的方式进行，这样有利于学生自己获取知识能力的提高．
布置作业
1．必做题：教科书第171页习题15.4第2、3题；
2．选做题：教科书第171页第8题；
教学后记




15.4因式分解(3)
教学目标
①在掌握了解因式分解意义的基础上，会运用平方差公式和完全平方公式对比较简单的多项式进行因式分解．
②在运用公式法进行因式分解的同时培养学生的观察、比较和判断能力以及运算能力，用不同的方法分解因式可以提高综合运用知识的能力．
③进一步体验“整体”的思想，培养“换元”的意识．
教学重点与难点
重点：运用完全平方公式法进行因式分解．
难点：观察多项式的特点，判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法，并完整地进行分解．
教学准备
要求学生对完全平方公式准确理解．
教学设计
问题：你能将多项式a2+2ab+b2和a2-2ab+b2因式分解吗?这两个多项式有什么特点?
建议：由于受到前面用平方差公式分解因式的影响，学生对于这两个多项式因式分解比较容易想到用完全平方公式，学生容易接受，教师要把重点放在研究公式的特征上来．
注：可采用让学生自主讨论的方式进行教学，引导学生从多项式的项数、每项的特点、整个多项式的特点等几个方面进行研究．然后交流各自的体会．
把多项式向公式的方向变形和转化．
例5分解因式
(1)16x2+24x+9 (2)-x2+4xy-4y2
注：训练学生运用完全平方公式分解因式，要尽可能地让学生说和做，引导学生把多项式与公式进行比较找出不同点，把多项式向公式的方向转化．
例6分解因式
(1)3ax2+6axy+3ay2
(2)(a+b)2-12(a+b)+36
注：学生仔细观察多项式的特点，教师适当提醒和指导，要从公式的形式和特点上进行比较．(可把a+b看作一个整体，设a+b=m)
第2小题注意渗透换整体和换元的思想．
巩固练习
教科书第170页的练习题．
小结提高
1．举一个例子说说应用完全平方公式分解因式的多项式应具有怎样的特征．
2．谈谈多项式因式分解的思考方向和分解的步骤．
3．谈谈多项式因式分解的注意点．
注：对这些问题进行回顾和小结能从大的方面把握因式分解的方向和培养观察能力．
布置作业
1．必做题：教科书第171页习题15.4第4题，第5题；
2．选做题：教科书第171页第10题；
教学后记




复习：第15章复习练习
教学目标
①在掌握了解因式分解意义的基础上，会运用提公因式法和平方差公式、完全平方公式对比较简单的多项式进行因式分解．
②在运用各种方法进行因式分解的同时培养学生的观察、比较和判断能力以及运算能力，用不同的方法分解因式可以提高综合运用知识的能力．
教学重点与难点
重点：运用提公因式法、公式法进行因式分解．
难点：观察多项式的特点，判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法，并完整地进行分解．
教学准备
要求学生对各种方法进行因式分解的准确理解．
教学设计
一、精心选一选
1．下列运算错误的是 ( )
A．x2+2x2=3x2 B．2x3(-x2)=-2x5 C．(x2)3=x5 D．6x2÷2x2=3x2．
2．按下面图示的程序计算，若开始输入的值为x=3，则最后输出的结果是 ( )

A．6 B．21 C．231 D．156
3．若x2+kx+9是完全平方式，则k等于 ( )
A．3 B．-6 C．6 D．6或-6
4．下列分解因式正确的是 ( )
A． B．3x3+2x2+x=x(3x2+2x)
C．x2-2xy-y2=(x-y)2 D．9m2-1=(9m+1)(9m-1)
5．如图，在矩形ABCD中，两个阴影部分都是矩形，依照右图中标出的数据，计算图中空白部分的面积，其面积是( )
A．bc-ab+ac+c2 B．a2+ab+bc-ac
C．ab-bc-ac+c2 D．b2-bc+a2-ab
6．用火柴棒按如下图所示的方式搭三角形，搭1个三角形需要3根火柴棒，搭2个三角形需5根火柴棒，搭3个三角形需7根火柴棒……按此规律搭下去，搭n个三角形需要火柴棒根数是 ( )

A．3n B．2n+1 C．n2+2n-1 D．n2+n+1
二、耐心填一填
7．将-a2表示成若干个同底数幂的和：__________
8．如图是用4张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法，写出一个关于a、b的恒等式：________
9．分解因式：x4-81y4=_______________
10．若多项式4x2+1加上一个单项式后，能成为一个整式的完全平方式，
则加上的单项式可以是______．(写出一个即可)。
三、细心算一算
11．(1)计算：[4x2y2(x2-3xy)-(-2xy)3]÷2x2y2
(2)化简并求值：2(x-5)(x+1)+(x-3)2-(x-3)(x+3)，其中x=-1．
(3)利用乘法公式计算：20052-2004×2006
(4)写出一个三项式(要求：能先用提取公因式法分解，然后用公式法分解)，并将它分解因式．

12．做游戏，学数学：老师在课堂上给同学们出了一道猜数游戏题．她让同学们在心里想好一个不是0的数，然后按以下顺序进行计算：
(1)把这个数减去3后再平方；
(2)然后再减去9．
(3)再除以所想的那个数，你得到一个商．
最后把你所得到的商告诉老师，老师会立即猜出你所想的数，你能说出这其中的奥妙吗?请列式说明．

13．(1)已知x=-2时，代数式ax3+bx+1的值为6，那么x=2时，求代数式ax3+bx+1的值．
(2)矩形一边长是5a+2b，另一边长比它小a-b，求矩形面积．

四、请你来推理：
分别计算下列各数的平方，并填在横线上：
52=25
152=(1×10+5)2=100×1×2+25;
252=( + )2= +25;
352=( + )2= + ;
将你发现的规律用仅含n的式子表示，并给出证明．

教学后记