课后素养落实(十七)　组合的综合应用

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球，则这2个球同色的不同取法有(　　)

A．27种　    B．24种　    C．21种　    D．18种

C　[分两类：一类是2个白球有C＝15种取法，另一类是2个黑球有C＝6种取法，所以共有15＋6＝21种取法．]

2．某地区高考改革，实行“3＋2＋1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“2”指在化学、生物、政治、地理四门科目中必选两门，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，则一名学生的不同选科组合的种数为 (　　)

A．8种　    B．12种　    C．16种　    D．20种

B　[根据题意，分3步进行分析：

①语文、数学、外语三门必考科目，有1种选法；

②在化学、生物、政治、地理四门科目中必选两门，有C＝6种选法；

③在物理、历史两门科目中必选一门有C＝2种选法．

则这名学生的不同选科组合有1×6×2＝12种．]

3．某学校高三有四个优秀的同学甲、乙、丙、丁获得了保送到重庆大学、西南大学和重庆邮电大学3所大学的机会，若每所大学至少保送1人，且甲同学要求不去重庆邮电大学，则不同的保送方案共有(　　)

A．24种　    B．36种　    C．48种　    D．64种

A　[将四位同学分为三组，这样有两位同学一起，其他两位单独一起，共有C种情况，将三组同学分到三个学校，由于甲同学要求不去重庆邮电大学，含有甲的只有2种选择，不含甲的剩下两组分到另外两组，共有2种选择．故有C×2×2＝24种．]

4．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴四个不同场馆服务，不同的分配方案有(　　)

A．1 080种　　   B．1 280种

C．2 160种　　   D．4 320种

A　[根据题意，分2步进行分析：

①将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，有＝45种分组方法；

②将分好的4组全排列，安排到四个不同场馆，有A＝24种情况，

则有45×24＝1 080种分配方案．]

5．从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法种数为(　　)

A．CC   B．CA

C．CACA   D．AA

B　[分两步进行：第一步，选出两名男选手，有C种方法；第二步，从6名女生中选出2名且与已选好的男生配对，有A种．故有CA种．]

二、填空题

6．在直角坐标平面xOy上，平行直线x＝n(n＝0,1,2，…，5)与平行直线y＝n(n＝0,1,2，…，5)组成的图形中，矩形共有________个．

225　[在垂直于x轴的6条直线中任取2条，在垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为C×C＝15×15＝225个．]

7．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言不能相邻，则不同的发言顺序种数为________．

600　[分两类：第一类，甲、乙只有一人参加，有C·CA＝2×10×24＝480种．第二类，甲、乙都参加，有C·(A－AA)＝10×12＝120种，所以共有480＋120＝600种．]

8．将标号为1,2，…，10的10个球放入标号为1,2，…，10的10个盒子内．每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有________种．(以数字作答)

240　[从10个球中任取3个，有C种方法．取出的3个球与其所在盒子的标号不一致的方法有2种．∴共有2C种方法，即240种．]

三、解答题

9．按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？

(1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；

(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；

(3)6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球．

[解]　(1)每个小球都有4种放法，根据分步计数原理知，共有46＝4 096种不同放法．

(2)分两类：第1类，6个小球分3,1,1,1放入盒中；第2类，6个小球分2,2,1,1放入盒中，共有C·C·A＋C·C·A＝1 560(种)不同放法．

(3)法一：按3,1,1,1放入有C种方法，按2,2,1,1放入有C种方法，共有C＋C＝10(种)不同放法．

法二：在6个球之间的5个空中插入三个挡板，将6个球分成四份，共有C＝10(种)不同放法．

10．已知平面α∥平面β，在α内有4个点，在β内有6个点．

(1)过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同的平面？

(2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？

(3)(2)中的三棱锥最多可以有多少个不同的体积？

[解]　(1)所作出的平面有三类：

①α内1点，β内2点确定的平面，最多有C·C个．

②α内2点，β内1点确定的平面，最多有C·C个．

③α，β本身，有2个．

故所作的平面最多有C·C＋C·C＋2＝98(个)．

(2)所作的三棱锥有三类：

①α内1点，β内3点确定的三棱锥，最多有C·C个．

②α内2点，β内2点确定的三棱锥，最多有C·C个．

③α内3点，β内1点确定的三棱锥，最多有C·C个．

故最多可作出的三棱锥有C·C＋C·C＋C·C＝194(个)．

(3)当等底面积、等高时，三棱锥的体积相等．所以体积不相同的三棱锥最多有C＋C＋C·C＝114(个)．故最多有114个体积不同的三棱锥．

11．(多选题)将四个不同的小球放入三个分别标有1,2,3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有多少种？下列结论正确的有(　　)

A．CCCC   B．CA

C．CCA   D．18

BC　[根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1～3号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有1个中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个，

有两种解法：

(1)分2步进行分析：

①先将四个不同的小球分成3组，有C种分组方法；

②将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有A种放法；

则没有空盒的放法有CA种．

(2)分2步进行分析：

①在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，有CC种情况；

②将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个盒子中，有A种放法；

则没有空盒的放法有CCA种．]

12．(多选题)2020年3月，为促进疫情后复工复产期间安全生产，滨州市某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到A，B，C三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是(　　)

A．若C企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种

B．若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种

C．若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到A企业，则所有不同分派方案共12种

D．所有不同分派方案共43种

ABC　[对于选项A：若C企业没有派医生去，每名医生有2种选择，则共有24＝16种，

若C企业派1名医生则有C·23＝32种，所以共有16＋32＝48种．

对于选项B：若每家企业至少分派1名医生，则有

·A＝36种，

对于选项C：若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到A企业，

若甲企业分2人，则有A＝6种；若甲企业分1人，则有CCA＝6种，

所以共有6＋6＝12种．

对于选项D：所有不同分派方案共有34种．]

13．(多选题)有13名医生，其中女医生6人，现从中抽调5名医生组成医疗小组前往湖北疫区，若医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名女医生，设不同的选派方法种数为N，则下列等式能成为N的算式是(　　)

A．C－CC 

B．CC＋CC＋CC＋C

C．C－CC－C 

D．CC

BC　[13名医生，其中女医生6人，男医生7人．

利用直接法，2男3女：CC；3男2女：CC；4男1女：CC；5男：C，所以N＝CC＋CC＋CC＋C；

利用间接法：13名医生，任取5人，减去4、5名女医生的情况，即N＝C－CC－C；

所以能成为N的算式是BC．]

14．某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路图(图中黑线表示道路)，则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有________条．

126　[要使路线最短，只能向右或向上走，途中不能向左或向下走．因此，从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段．设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个行走时段中任取4个时段走纵线段，其余5个时段走横线段，共有CC＝126种走法，故从A地到B地的最短路线共有126条．]

15．10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现下列结果：

(1)4只鞋子没有成双的；

(2)4只鞋子恰有两双；

(3)4只鞋子有2只成双，另2只不成双．

[解]　(1)从10双鞋子中选取4双，有C种不同选法，每双鞋子中各取一只，分别有2种取法，根据分步计数原理知，选取种数为N＝C×24＝3 360(种)．

(2)从10双鞋子中选2双有C种取法，即有45种不同取法．

(3)先选取一双有C种选法，再从9双鞋中选取2双有C种选法，每双鞋只取一只各有2种取法，根据分步计数原理知，不同取法为N＝CC×22＝1 440种．