专题34函数与几何综合问题（解答题）-2021年中考数学真题分项汇编（原卷版）【全国通用】

2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】（第01期）

          专题34函数与几何综合问题（解答题）

一、解答题

1．（2021·浙江中考真题）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在直线上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C．

（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D．

①若，求证：．

②若，求四边形的面积．

（2）是否存在点B，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由．

2．（2021·浙江中考真题）如图，在平面直角坐标系中，经过原点，分别交轴、轴于，，连结．直线分别交于点，（点在左侧），交轴于点，连结．

（1）求的半径和直线的函数表达式．

（2）求点，的坐标．

（3）点在线段上，连结．当与的一个内角相等时，求所有满足条件的的长．

3．（2021·黑龙江中考真题）如图，一次函数的图象与轴的正半轴交于点，与反比例函数的图像交于两点．以为边作正方形，点落在轴的负半轴上，已知的面积与的面积之比为．

（1）求一次函数的表达式：

（2）求点的坐标及外接圆半径的长．

4．（2021·江苏中考真题）已知四边形是边长为1的正方形，点E是射线上的动点，以为直角边在直线的上方作等腰直角三角形，，设．

（1）如图1，若点E在线段上运动，交于点P，交于点Q，连结，

①当时，求线段的长；

②在中，设边上的高为h，请用含m的代数式表示h，并求h的最大值；

（2）设过的中点且垂直于的直线被等腰直角三角形截得的线段长为y，请直接写出y与m的关系式．

5．（2021·江苏中考真题）在平面直角坐标系中，对于A、两点，若在y轴上存在点T，使得，且，则称A、两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点、，点在一次函数的图像上．

（1）①如图，在点、、中，点M的关联点是_______（填“B”、“C”或“D”）；

②若在线段上存在点的关联点，则点的坐标是_______；

（2）若在线段上存在点Q的关联点，求实数m的取值范围；

（3）分别以点、Q为圆心，1为半径作、．若对上的任意一点G，在上总存在点，使得G、两点互相关联，请直接写出点Q的坐标．

6．（2021·广东中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线分别与x轴，y轴相交于A、B两点，点为直线在第二象限的点

（1）求A、B两点的坐标；

（2）设的面积为S，求S关于x的函数解析式：并写出x的取值范围；

（3）作的外接圆，延长PC交于点Q，当的面积最小时，求的半径．

7．（2021·广西梧州市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，3），顶点为C．平移此抛物线，得到一条新的抛物线，且新抛物线上的点D（3，﹣1）为原抛物线上点A的对应点，新抛物线顶点为E，它与y轴交于点G，连接CG，EG，CE．

（1）求原抛物线对应的函数表达式；

（2）在原抛物线或新抛物线上找一点F，使以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，并求出点F的坐标；

（3）若点K是y轴上的一个动点，且在点B的上方，过点K作CE的平行线，分别交两条抛物线于点M，N，且点M，N分别在y轴的两侧，当MN＝CE时，请直接写出点K的坐标．

8．（2021·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与x轴相交于点B．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）过点A的直线交反比例函数的图象于另一点C，交x轴正半轴于点D，当是以为底的等腰三角形时，求直线的函数表达式及点C的坐标．

9．（2021·湖南中考真题）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与函数的图像（记为）交于点A，过点A作轴于点，且，点在线段上（不含端点），且，过点作直线轴，交于点，交图像于点．

（1）求的值，并且用含的式子表示点的横坐标；

（2）连接、、，记、的面积分别为、，设，求的最大值．

10．（2021·江苏中考真题）如图，在平面直角坐标系中．四边形为矩形，点、分别在轴和轴的正半轴上，点为的中点已知实数，一次函数的图像经过点、，反比例函数的图像经过点，求的值．

11．（2021·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在坐标轴上，且，，连接．反比例函数（）的图象经过线段的中点，并与、分别交于点、．一次函数的图象经过、两点．

（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；

（2）点是轴上一动点，当的值最小时，点的坐标为______．

12．（2021·广西中考真题）如图①，在中，于点，，，点是上一动点（不与点，重合），在内作矩形，点在上，点，在上，设，连接．

（1）当矩形是正方形时，直接写出的长；

（2）设的面积为，矩形的面积为，令，求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

（3）如图②，点是（2）中得到的函数图象上的任意一点，过点的直线分别与轴正半轴，轴正半轴交于，两点，求面积的最小值，并说明理由．

13．（2021·江苏中考真题）通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．

（理解）

（1）如图1，，垂足分别为C、D，E是的中点，连接．已知，．

①分别求线段、的长（用含a、b的代数式表示）；

②比较大小：__________（填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a、b的代数式表示该大小关系．

（应用）

（2）如图2，在平面直角坐标系中，点M、N在反比例函数的图像上，横坐标分别为m、n．设，记．

①当时，__________；当时，________；

②通过归纳猜想，可得l的最小值是__________．请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．

14．（2021·四川中考真题）已知反比例函数的图象经过点．

（1）求该反比例函数的表达式；

（2）如图，在反比例函数的图象上点A的右侧取点C，作CH⊥x轴于H，过点A作y轴的垂线AG交直线于点D．

①过点A，点C分别作x轴，y轴的垂线，交于B，垂足分别为为F、E，连结OB，BD，求证：O，B，D三点共线；

②若，求证：．

15．（2021·内蒙古中考真题）如图，矩形的两边的长分别为3，8，C，D在y轴上，E是的中点，反比例函数的图象经过点E，与交于点F，且．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）在y轴上找一点P，使得，求此时点P的坐标．

16．（2021·湖南中考真题）如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，连接．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）如图2，直线：经过点A，点为直线上的一个动点，且位于轴的上方，点为抛物线上的一个动点，当轴时，作，交抛物线于点（点在点的右侧），以，为邻边构造矩形，求该矩形周长的最小值；

（3）如图3，设抛物线的顶点为，在（2）的条件下，当矩形的周长取最小值时，抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

17．（2021·湖北中考真题）抛物线交轴于，两点（在的左边）．

（1）的顶点在轴的正半轴上，顶点在轴右侧的抛物线上．

①如图（1），若点的坐标是，点的横坐标是，直接写出点，的坐标；

②如图（2），若点在抛物线上，且的面积是12，求点的坐标；

（2）如图（3），是原点关于抛物线顶点的对称点，不平行轴的直线分别交线段，（不含端点）于，两点，若直线与抛物线只有一个公共点，求证的值是定值．

18．（2021·湖南中考真题）已知二次函数．

（1）若，，求方程的根的判别式的值；

（2）如图所示，该二次函数的图像与x轴交于点、，且，与y轴的负半轴交于点C，点D在线段OC上，连接AC、BD，满足 ，．

①求证：；

②连接BC，过点D作于点E，点在y轴的负半轴上，连接AF，且，求的值．

19．（2021·内蒙古中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，点是抛物线上一动点．

（1）如图1，当，，且时，

①求点M的坐标：

②若点在该抛物线上，连接OM，BM，C是线段BM上一动点（点C与点M，B不重合），过点C作，交x轴于点D，线段OD与MC是否相等？请说明理由；

（2）如图2，该抛物线的对称轴交x轴于点K，点在对称轴上，当，，且直线EM交x轴的负半轴于点F时，过点A作x轴的垂线，交直线EM于点N，G为y轴上一点，点G的坐标为，连接GF．若，求证：射线FE平分．

20．（湖南省永州市2021年中考真题数学试卷）已知关于x的二次函数（实数b，c为常数）．

（1）若二次函数的图象经过点，对称轴为，求此二次函数的表达式；

（2）若，当时，二次函数的最小值为21，求b的值；

（3）记关于x的二次函数，若在（1）的条件下，当时，总有，求实数m的最小值．

21．（2021·四川中考真题）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，，．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大．求出点P的坐标

（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q．使点P、B、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在．请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

22．（四川省资阳市2021年中考数学试卷）抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点P是抛物线上位于直线上方的一点，与相交于点E，当时，求点P的坐标；

（3）如图2，点D是抛物线的顶点，将抛物线沿方向平移，使点D落在点处，且，点M是平移后所得抛物线上位于左侧的一点，轴交直线于点N，连结．当的值最小时，求的长．

23．（2021·黑龙江中考真题）如图，抛物线与轴交于除原点和点，且其顶点关于轴的对称点坐标为．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）抛物线的对称轴上存在定点，使得抛物线上的任意一点到定点的距离与点到直线的距离总相等．

①证明上述结论并求出点的坐标；

②过点的直线与抛物线交于两点．证明：当直线绕点旋转时，是定值，并求出该定值；

（3）点是该抛物线上的一点，在轴，轴上分别找点，使四边形周长最小，直接写出的坐标．

24．（2021·湖北中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，顶点坐标记为．抛物线的顶点坐标记为．

（1）写出点坐标；

（2）求，的值（用含的代数式表示）；

（3）当时，探究与的大小关系；

（4）经过点和点的直线与抛物线，的公共点恰好为3个不同点时，求的值．

25．（2021·山西中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，．

（1）求，，三点的坐标并直接写出直线，的函数表达式；

（2）点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的平行线，交线段于点．

①试探究：在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；

②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请直接写出的长．

26．（2021·湖南中考真题）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如……都是“雁点”．

（1）求函数图象上的“雁点”坐标；

（2）若抛物线上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当时．

①求c的取值范围；

②求的度数；

（3）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线上一点，连接，以点P为直角顶点，构造等腰，是否存在点P，使点C恰好为“雁点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

27．（2021·湖南中考真题）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边与y轴交于E点，F是的中点，B、C、D的坐标分别为．

（1）求过B、E、C三点的抛物线的解析式；

（2）试判断抛物线的顶点是否在直线上；

（3）设过F与平行的直线交y轴于Q，M是线段之间的动点，射线与抛物线交于另一点P，当的面积最大时，求P的坐标．

28．（2021·湖南中考真题）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，，，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

（3）D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程．

（4）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

29．（2021·甘肃中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于两点，直线交轴于点．点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为分别交直线于点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）当，连接，求的面积；

（3）①是轴上一点，当四边形是矩形时，求点的坐标；

②在①的条件下，第一象限有一动点，满足，求周长的最小值．

30．（2021·湖南中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：经过点和．

（1）求抛物线的对称轴．

（2）当时，将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线．

①求抛物线的解析式．

②设抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，连接．点为第一象限内抛物线上一动点，过点作于点．设点的横坐标为．是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

31．（2021·江苏中考真题）如图，二次函数（是实数，且）的图像与轴交于、两点（点在点的左侧），其对称轴与轴交于点，已知点位于第一象限，且在对称轴上，，点在轴的正半轴上，．连接并延长交轴于点，连接．

（1）求、、三点的坐标（用数字或含的式子表示）；

（2）已知点在抛物线的对称轴上，当的周长的最小值等于，求的值．

32．（2021·贵州中考真题）如图，抛物线与轴交于A、B（3，0）两点，与轴交于点C（0，－3），抛物线的顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P在抛物线的对称轴上，点Q在轴上，若以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形，请直接写出点P、Q的坐标；

（3）已知点M是轴上的动点，过点M作的垂线交抛物线于点G，是否存在这样的点M，使得以点A、M、G为顶点的三角形与△BCD相似，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

33．（山东省淄博市2021年中考数学试题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接．

（1）若，求抛物线对应的函数表达式；

（2）在（1）的条件下，点位于直线上方的抛物线上，当面积最大时，求点的坐标；

（3）设直线与抛物线交于两点，问是否存在点（在抛物线上）．点（在抛物线的对称轴上），使得以为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

34．（2021·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于O，A两点，顶点P的坐标为．点B为抛物线上一动点，连接，过点B的直线与抛物线交于另一点C．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点B的横坐标与纵坐标相等，，且点C位于x轴上方，求点C的坐标；

（3）若点B的横坐标为t，，请用含t的代数式表示点C的横坐标，并求出当时，点C的横坐标的取值范围．

35．（2021·湖北中考真题）如图1，已知，中，动点P从点A出发，以的速度在线段上向点C运动，分别与射线交于E，F两点，且，当点P与点C重合时停止运动，如图2，设点P的运动时间为，与的重叠部分面积为，y与x的函数关系由和两段不同的图象组成．

（1）填空：①当时，______；

②______；

（2）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（3）当时，请直接写出x的取值范围．

36．（2021·湖南中考真题）如图，已知二次函数的图象经过点且与轴交于原点及点．

（1）求二次函数的表达式；

（2）求顶点的坐标及直线的表达式；

（3）判断的形状，试说明理由；

（4）若点为上的动点，且的半径为，一动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段匀速运动到点，再以每秒1个单位长度的速度沿线段匀速运动到点后停止运动，求点的运动时间的最小值．

37．（2021·黑龙江中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，，且线段的长是方程的根，过点作轴，垂足为，，动点以每秒1个单位长度的速度，从点出发，沿线段向点运动，到达点停止．过点作轴的垂线，垂足为，以为边作正方形，点在线段上，设正方形与重叠部分的面积为，点的运动时间为秒．

（1）求点的坐标；

（2）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）当点落在线段上时，坐标平面内是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

38．（2021·江苏中考真题）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交于点F，交二次函数的图象于点E．

（1）求二次函数的表达式；

（2）当以C、E、F为顶点的三角形与相似时，求线段的长度；

（3）已知点N是y轴上的点，若点N、F关于直线对称，求点N的坐标．