初中数学人教版八年级上册12.3 角的平分线的性质教案及反思

这是一份初中数学人教版八年级上册12.3 角的平分线的性质教案及反思，共6页。教案主要包含了教材的分析和处理，教法，教学手段和教具准备，教学过程设计，设计意图等内容，欢迎下载使用。
《角的平分线的性质》 一、教材的分析和处理  本节课选自 “角的平分线的性质”。1、教材的地位和作用角的平分线的性质是全等三角形知识的运用和延续，为后面证明线段相等、角相等的几何证明开辟了一种新的，更为简捷的方法。同时也是轴对称图形的基础，并为解决九年级下册确定内切圆的圆心提供了依据。本节分两个课时，我选的是第二课时。本课时主要探究角的平分线的性质和判定，并能在此基础上进行简单的应用.教材不仅为学生动手操作、观察、思考、验证、交流等提供了较好的素材，使学生通过自主探究、合作交流等方式形成新的知识，更让学生学习了怎样从实际问题中建立数学模型，从而解决相关的实际问题。2、教学目标  知识与技能：掌握角的平分线的性质和判定，并会运用它们解决实际问题.过程与方法：通过让学生经历动手实践、合作交流、演绎推理的过程，培养学生的动手操作能力和逻辑思维能力，提高解决问题的能力.情感态度与价值观：经历对角的平分线的性质和判定的探索过程，发展应用数学知识的意识与能力，培养学生良好的学习态度及严谨的科学态度，体验探索过程中的乐趣与成功后的喜悦.3、教学重、难点重点：掌握角的平分线的性质和判定.难点：理解角的平分线的性质和判定的互逆关系，并能正确运用它们解决问题.4、教材的处理   教材是围绕现实生活中的实际问题采用“创设问题情境—建立数学模型—解释、应用与拓展”的基本教学模式来展开教学活动。让学生经历探索角的平分线的性质、判定的形成与初步的应用过程，从而能从理性逻辑思维的角度掌握性质和判定的区别与联系，达到真正的“学数学”和“用数学”。二、教法、学法课堂教学利用引导，鼓励，赏识的教学方法充分调动学生的积极性，激发学生内在的动力，让他们主动的投入到学习中去，成为教学的主体和学习的主人，以获取最大限度的发展。三、教学手段和教具准备   教学手段：多媒体辅助教学，促进学生自主学习，提高学习效率.   教具准备：学生各自准备一张三角形纸片.四、教学过程设计   （1）创设情境、引入新知     有两条小河交汇形成的三角区，土壤肥沃，气候宜人，有一头小牛的家就建在小河交汇所成的角平分线上的A处。勤劳的小牛准备开垦这块土地，为了便于取水灌溉，小牛想从自己的家（Ａ处）修建两条小路分别通向两条小河。可小牛不知道怎样修才能使两条小路最短？并且想知道它们又有怎样的数量关系？你愿意帮助小牛解决问题吗？   助人为乐是中华民族的传统美德，根据八年级学生的个性心理特征，意在激起学生自身潜在的良好品质。进而激发学生的学习兴趣，激活学生的思维，使学生以愉悦的心情投入到数学课堂中去，尽快的进入学习角色。     设计这样一个实际问题,让学生的思维目标首先着眼于画最短的路线（垂线段的长），使学生学习本节知识有了一个有效的切入点。而后从实际问题抽象出“点到直线的距离，垂线段最短”上，促使学生有了第一次数学建模的前提。     此时学生带着问题，会根据已有知识水平去思考，以寻求解决问题的方法和途径。学生在思考中会对自己的思考结果心生疑窦：“我这样做符合要求吗？”“ 结论对吗？”.甚至部分优等生会对自己的解决方法进行理性的分析和思考，并加以验证。 出示引例，也就是为了让学生对新知有一个朦胧的初步感知。师会给学生创造一个自由思考的空间，并且不急于让生说出自己的想法，而是在学生已有思维的基础上，稍卖个关子：大家刚才想到的解决方案和结论是否正确呢？我们不妨先去做一个小活动去验证一下。   （2）自己动手、探究新知活动一：要求:让学生拿出准备好的三角形纸片，带着问题去折叠。问题：1、在三角形纸片中，选定其中一个角，你能否通过折叠的方式将你选定的角平分呢？      2、你能否以第一条折痕为斜边，折出一个直角三角形，来完成第二次折叠呢？      3、将折叠好的纸片展开，观察两次折叠所形成的三条折痕，你能根据我们已学的数学知识，并能对这三条折痕做出自己认为比较合理的解释吗？由此你能得出什么结论？          4、这一结论，你能用数学知识来证明吗？    学生很容易完成第一次折叠，但第二次带有限制（第一条折痕为斜边）的折叠，部分学生会遇到困难。这次折叠是本活动最为关键的一步，为此，我安排了学生分组活动，让学生在生生互动，合作探究中寻找正确，有效的折叠途径。学生在带着问题折叠探究中，都会有自身的经历体验，这种体验是老师在仅仅的教，泛泛的讲中所不能给予的，也是其他任何人所不能替代的。学生在体验中的感受，会增强学生探究学习的兴趣，从而会无形中在脑海里生成一种动手操作中探究式的思维模式。能有效的挖掘学生内在的潜力，培养学生的创新意识，同时也能激发学生更加的热爱数学，去学习数学。在前两个问题完成的基础上，第三个问题是突破本节课重点的一步。 学生经历了前两次的折叠，逐步有操作、观察、思考、探索、交流过渡到归纳、总结上。此时老师要巧妙的引导学生，并且要给学生足够的时间，能够让他们有折叠中的直观思维上升到运用数学知识进行有条理的逻辑思维上来。在这一问上，我采用让学生自由发言，说出自己的想法和结论。其间，老师会对每一位学生的发言要持赏识的态度，并适时的点拨，鼓励学生，但不做学生问题的评判员，而是把裁判权交给其他学生，让他们感受到自己才是课堂的主人，使课堂在师生互动，且平等的氛围中和谐进行，来完成教学任务。通过第三个问题，在共同的探讨中，逐步引导学生观察：在“第一次折叠所成的折痕是学生所选的角的角平分线”和“另两条折痕是角的平分线上的点到角的两边的距离(且由于不同的学生在第一条折痕上所取的点的位置不同)”的前提下，得出的结果是：“相等”.进而归纳、猜想、总结出：角的平分线上的点（为任意点）到角的两边的距离相等。结合第三问，我设计了下表，其目的很明显：除了让学生初步掌握性质的内容外，更为突出的是给第四问做铺垫。因为对一个命题正确性的证明，需要先分析已知和求证，对学生来说，以前很少接触，难度很大。这样以来，在感观上给学生提供了一个基本的思维框架，使学生少走弯路，有据可寻，既分散了难点，又突出了重点。（表一）:前提：角的平分线上的点，以及此点到角的两边的距离结果：相等第四问是证明其结论。在其过程中，师协助学生把第三问的表一中的前提和结果陈述成一个完整的命题后，再抽象成图形，并着重结合第三问中观察、猜想结果，共同分析图形中的已知（前提）、求证（结果），然后填写下表。只要能把已知，求证找准确，证明过程对学生来说，是没有任何困难的，让学生自己来完成。随后得出性质后，用数学符号语言表示出来。                 　　　　图　　　形 已　　　知         求　　证    （表二）已知：OC平分 ＡＯＢ，点Ｐ在ＯＣ上.ＰＤ OA，PE OB，D、E为垂足.求证：PD=PE  　　　图　　　形 　　　已　　　　知          求　　　　证 OC平分∠AOC，点Ｐ在ＯＣ上，ＰＤ⊥ＯＡ，ＰＥ⊥ＯＢ，D，Ｅ为垂足. ＰＤ＝ＰＥ（表三）符号语言表达：∵ＯＣ平分∠AOC，点Ｐ在ＯＣ上，PD⊥ＯＡ，ＰＥ⊥OB              ∴PD=ＰＥ                 活动二：提示学生的思维，使其回到导入中的引例中去。让学生自己根据刚刚探讨的角平分线的性质判断，他们帮小牛解决的方案和得出的结论是否合理和正确，从而再一次巩固了学生对已学的新知识的掌握。并且在学生的认知思维中，会自觉不自觉的感受到，数学其实是源于实际，又回归作用于实际的。然后老师改变引例问题的情境：     有两条小河交汇形成的三角区，土地肥沃，气候宜人，有一头勤劳的小牛准备开垦这块土地。它想先在这块地上建造一座小房子，并且为了便于灌溉，想要使小房子到两条小河的距离恰恰相等。但是，这头小牛也犯难了，不知道该把房子建在何处.你来想一想？                 由于有了解决第一个引例做基础，学生有了较好的尝试，出示这个引例后，很能立即吊足学生的胃口，使之跃跃欲试。而且同时有了新知——性质做前提，判定引入的问题学生很容易从感性的思维角度上加以猜想，从而确定建造小房子的位置：交汇区所成的角平分线上。并且会发现，小房子的位置不是唯一的。我乘胜追击，为了牢牢的锁定学生这一感知，我带领学生唱了《三步曲》：1、用比较通俗的语句结合上引例，再一次质疑：题目中的小牛想要达到一个什么目的？用题目中的语句回答.显然为：“使小房子到两条小河的距离恰恰相等”；你的猜想答案为:“交汇区所成的角平分线上”。这样做，是帮助学生分清将要得到的判定中的已知和结果做准备。引导和鼓励他们用数学语言有条理的尝试着去提炼、归纳：“题目中小牛的目的”和“他们的猜想答案”。提炼为：到一个角两边距离相等的点（题目中小牛的目的），在这个角的角平分线上（猜想答案）。学生经历了在这一提炼过程，会潜移默化的培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力。在随后的让学生“进而把猜想结论归纳成一个完整的命题”这一环节，由于有了“活动一”中类似的经历，应该让学生自己独立来完成。意在数学课堂上给学生创造一次运用数学类比思想来解决问题的平台，为学生运用数学知识去分析问题开辟了一条思维途径，进一步提高学生基本做题技能，达到学而能用。归纳为：到角的两边距离相等的点在角的平分线上.（但事实上，从同一点出发的两条射线一般组成两个角，而一个角的角平分线则在一个角的内部的一条射线，所以这个命题应加上一个条件——在角的内部，不过教学大纲要求，只要学生理解这一限制条件就可以了，师要巧妙的讲解，不必做过多的解释）。２、结合猜想，分析出命题中的已知、求证，填写下表：有了活动一的过程做参考，又有上一步“提炼，归纳”引路，这一步，还放手交给学生。同时鼓励学生大胆的去尝试，小心的去验证。师生之间，默契配合，既放的开，又收的起。师放开，不束缚学生的思维。能收起，因为把学生的思维已经领上了路，有主线。                 　　　图　　　形 已　　　　知          求　　　　证    （表四）已知：PD OA，PE OB，垂足为D、E，PD=PE.求证：点P在 AOB的平分线上                        图     形 已         知          求        证 ＰＤ⊥ＯＡ，ＰＥ⊥ＯＢ，垂足为D，Ｅ，PD=PE点P在∠ＡＯＢ的平分线上（表五）３、之后的证明过程，交给学生，采取指名优等、中上等、后进生各一名板演，其余生独立思考的方式来完成证明过程，最后共同订正.这一证明过程只要学生分清楚了已知、求证，证明是很简单的，在已有的数学知识的基础上，相当一部分学生的思维是没有任何障碍的，会很轻松的解答出来.最后用符号语言表达此命题。符号语言表达：∵ＰＤ⊥OA，ＰＥ⊥OB，PD=PE              ∴点P在∠AOB的平分线上活动三探讨两个结论的区别和联系，步骤:1、重现表三、表五。让学生独自仔细观察两表中的“已知”和“求证”。这样会使每一位学生首先产生自我的想法，为第二步的讨论做准备，意在每一位学生都要参与讨论其中，避免部分学生由于潜在的学习惰性而懒于观察、思考，依赖组中其他组员，影响学习效果。2、每一小组分别展开讨论观察结果。每一组最终要形成讨论结果，并用数学语言较为准确的展现出来。要求每一小组以组长为核心，组员充分配合的方式积极参与讨论。有了核心，避免组中成员像一盘散沙似的，讨论结果聚合不了，便达不成一致的结论。同时生生互动，也有利于培养学生之间的团结与合作，增强团队意识。3、讨论结果大比拼。在以上两步的进行后，我相信，学生们的新知会在这里得到锤炼、升华，会用辨别的眼光去区分性质和判定的区别和联系，对性质和判定的应用心中有了一个无形的标准。这一步，承上启下、起了一个穿针引线的作用，也为下面的巩固练习牵了一个好头。在此期间 ，老师看似是一个旁观者，实则为学生的点拨者.应适时的参与进去，有心似无心的引导学生，聚全班组组之和，综合得出：性质和判定的条件和结论正好相反。（3）初步运用，巩固新知1、  小试牛刀,塑造第一思维：例1　 OP是 ∠AOB的平分线，PD⊥OB于D点.若PD=2cm，则求点P到OA的距离是多少？    本例的选出，一个是为了训练学生对性质的运用，使学生一看到题目中“角的分线上的点”这一直观条件，立马在脑海里联想到“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”这一性质，用最为直接的条件反射，从而塑造学生的第一思维。使学生在分析题目时，有路可寻。另一个，从这一节开始，学生要初步接触到“辅助线”，对学生来说，它是一个新名词，可能在以前的数学课上，也有过接触，但不明确。在这道题中，要使辅助线走进学生的脑海里，成为一种潜在的数学工具，并能在理解的基础上接受它，会正确的合理的利用它。所以，分析题目中已经有了“∠ＡＯＢ的平分线上一点Ｐ到一边OB的距离ＰＤ”，那么只有把到另一边的距离表示出来，就可利用今天学习的性质。同时，问题问的又是“点P到OA的距离”，图形中没有，也需要表示出来，并且做出后又能和前面的条件结合起来，只有添加这一条件，才能完成此题。引出“辅助线”这一概念。在题目中，如果已知和未知不能联系时，辅助线就是已知通向未知的一个桥梁，但要用的合理，用的有效.随后，规范步骤.特别需要强调的是：如果题目需要添加辅助线，则在步骤中，要会用数学语言描述出来。2、  大显身手，巩固第一思维例2  　△ABC的角平分线BM，ＣＮ相交于点Ｐ．求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ的距离相等．　　有了例１的尝试，学生会很自然的想到去添加辅助线，本例其实是对例１的巩固和加深。只不过学生在证明时，可能会出现步骤繁琐的情况。师要引导学生正确的运用证明中的“同理”，使步骤合理而简化。此例完成后，再次让学生观察图形，之后，师设疑：１.结合今天所学的知识想一想：点Ｐ在 Ａ的平分线上吗？说说你的理由。此问是对判定的运用，关键是要让学生说出理由，再次强化了学生对判定的理解和运用。像性质的反应一样，使学生一看到“在一个角的内部，有一个点到角两边的距离相等”，思维中第一个直接条件反射想到“这个点在其角的平分线上”。在此，师换一种说法：这个点既然在角的平分线上，那么说明此点所在的射线为它的角平分线。引出，这一结论实为角的平分线的判定，这一理论结果。２.随后，师在例２图中过点Ｐ画出 Ａ的平分线 问：再观察，想一想，三角形的三条角平分线有什么位置关系？（相交于一点）.这点有什么特征？（到三角形三边的距离相等）.　总结成一个完整的命题为：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三角形三条边的距离相等。（４）.变式训练，深化新知练习１在△ＡＢＣ中，ＡＤ是 ＢＡＣ的角平分线，ＤＥ ＡＢ于点Ｅ，ＤＦ ＡＣ于点Ｆ.求证：ＡＥ＝ＡＦ　　　　　　练习２　ＢＤ＝ＣＤ，ＢＦ ＡＣ，垂足为Ｆ；ＣＥ ＡＢ，垂足为Ｅ.　　　　　求证：ＡＤ平分 ＢＡＣ. 　 （５）       归纳小结，回顾新知１、角的平分线的性质和判定及应用；２、辅助线的添法。板书设计：　　　　　　　　　角的平分线的性质性质：角的平分线上的点到　　判定：角的内部到角的两边的距离　　例１　　　　　　角的两边的距离相等　　　　　相等的点在角的平分线上　表三　　　　　　　　　　　　表五　　　　　　　符号语言：　　　　　　　　　符号语言：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　例２ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 五、设计意图：　　本节课紧紧围绕“创设问题情境——建立数学模型——解释、应用、拓展”基本思路展开教学。课堂以老师为主导，学生为主体，师生共同合作，来完成教学任务。在教学过程中，为了突出重点，突破难点，我采用了首先思路分解，引着学生小心的尝试，慢慢求索。初步成型后，大胆放手，使学生都有一个体验经历的过程和感受。在此期间，方式不拘一格，或个体思索，或组组合作探讨，或师生互动，集体协作。多种方式，使之充分激起了学生的参与意识，调动了学生学习的积极性，点燃探索的热情，全身心的投入到学习中去。这节课我主要设计了三个环节：一、情境导入，是为了给学生引入本节课内容时能有一个有效的切入点，使学生思维锁定在最短距离——垂线段上。二、探究新知。这是本节课的主要一环，在这一环中，根据学生的年龄特点和已有的知识，我分步分解了难点。但步步递增，层层逼近，使学生的思维在老师的引导下，螺旋上升，直至拨开迷雾，感触新知。其中表三，表五的设计，除了是对学生在两个活动后的总结，更主要是为了让学生在直观上也对性质和判定有一个较为清晰、明确的分辨，不至于混为一谈。达到运用它们时，不会出现漏掉部分条件，或者条件和结论颠倒。能够应用自如、张弛有度，甚至游刃有余。三、运用新知。对性质和判定的运用，我选择了两道练习，一个是对性质的运用，一个是对判定的运用。使学生加深对性质和判定的理解和运用。通过一系列的环节，使本节课的目标得以有效的达成。使学生在轻松，快乐的课堂氛围中自主探究新知，并有不同层次的收获，从而得到较好的发展。