初中数学人教版八年级上册第十三章 轴对称13.1 轴对称13.1.1 轴对称授课课件ppt

这是一份初中数学人教版八年级上册第十三章 轴对称13.1 轴对称13.1.1 轴对称授课课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了垂直平分线，1-2，3﹣1，﹣21，AAS，ABC，CDA，6cm，BNa，AB2AC等内容，欢迎下载使用。
课前预习1.下列黑体英文大写字母中，为轴对称图形的是（ ）2. 下列四个图形中不是轴对称图形的是 （ ）
3. 下列几组图形中，右边图形与左边图形成轴对称的是 （ ）4. 如下图，每幅图中的两个图案成轴对称的有哪些？
图（4）（5）（7）中的两个图案成轴对称
课堂精讲知识点1.轴对称与轴对称图形（1）轴对称把—个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.（2）轴对称图形①定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称.
提示：判断一个图形是否为轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，能够完全重合，则这个图形为轴对称图形，反之，则不是．
②常见轴对称图形及它们的对称轴
（3）轴对称和轴对称图形的区别与联系.
【例1】判断如下图中所示的图形是否关于某直线对称.解析： 按照两个图形关于某直线对称的定义，只要两个图形能够沿某条直线对折后重合在一起，这两个图形就是成轴对称的.解： 图(1)和图(3)不是，图(2)和图(4)是.
变式拓展1. 下列图案中不是轴对称图形的是 （ ）
2. 如图所示的标志中是轴对称图形的有 （ ） 　A. 1个　 B. 2个 　C. 3个 　 D. 4个
知识点2.轴对称和轴对称图形的性质（1）轴对称的性质： ①关于某条直线对称的两个图形是全等形. ②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上. （2）轴对称图形的性质： ①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. ②轴对称图形或关于某条直线对称的两个图形的对应角相等，对应线段相等.
【例2】如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，下列结论：(1) (2) ∠BAC′= ∠B′AC;(3)l垂直平分CC′；(4)直线BC和B′C′的交点不一定在l上，其中正确的有 ( )A.4个 B.3个 C.2个 D.1个解析：由轴对称的性质可知(1)(3)正确；由于(1)正确，所以∠BAC= ∠B′AC′，又因为∠BAC+∠CAC′=∠BAC′，∠B′AC′+∠CAC′=∠B′AC，所以∠BAC′=∠B′AC，所以(2)也正确；而在(4)中，由对称性可知交点一定在l上，故(4)不正确．答案：B
变式拓展3.如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠B=40゜，∠CAD=60゜，则∠BCD=（　　）　A．160゜　B．120゜　C．80゜　D．100゜
随堂检测1.下列四个交通标志中，轴对称图形是（　　）2.下列图案中，属于轴对称图形的有几个（　　）　A．1　　B．2　　C．3　　D．4
3.在下列四个轴对称图形中，对称轴的条数最多的是（　　）　A．等腰三角形　　　　B．等边三角形　C．圆　　　　　　　　D．正方形4.如图，△ABC与△DEF关于y轴对称，已知A（﹣4，6），B（﹣6，2），E（2，1），则点D的坐标为（　　）　A．（﹣4，6）　　　　B．（4，6）　C．（﹣2，1）　　　　D．（6，2）
5.如图所示，两个三角形关于某条直线对称，则α=　　．
13.1.2　线段的垂直平分线
课前预习1. 已知MN是线段AB的垂直平分线，下列正确的是 （ ） A. 与AB距离相等的点在MN上 B. 与点A和点B距离相等的点在MN上 C. 与MN距离相等的点在AB上 D. AB垂直平分MN2. 已知线段AB及一点P，PA=PB=4 cm ，则点P在AB的 　　 上.
3. 如下图，已知△ABC，用尺规作图作线段AC的垂直平分线l（保留作图痕迹，不要求写作法、证明）
4. 画出下列各图形的所有对称轴.
课堂精讲知识点1.线段的垂直平分线及其性质（1）定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(也叫线段的中垂线). （2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等. （3）判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 如下图，直线l是线段AB的垂直平分线，P为l上一点，则PA=PB；反过来，如果PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上.
【例1】如右图，AB=AD，BC=DC，E是AC上的一点，求证：BE=DE. 解析：欲证BE=DE，可考虑先证AC是BD的垂直平分线，再根据线段的垂直平分线的性质得到BE=DE.证明：∵AB=AD, ∴A在线段BD的垂直平分线上， 又∵BC=DC, ∴点C在线段BD的垂直平分线上， ∵两点确定一条直线， ∴AC是线段BD的垂直平分线， 又∵点E在AC上，∴BE=DE.
【例2】如下图，AB=AC，MB=MC，直线AM是线段BC的垂直平分线吗？ 解析： 由AB=AC，MB=MC可知，A、M在线段BC的垂直平分线上，由两点确定一条直线，可得直线AM是线段BC的垂直平分线. 解：∵AB=AC,MB=MC, ∴点A、M在线段BC的垂直平分线上， ∴直线AM是线段BC的垂直平分线.
课堂精讲变式拓展1. 如下图，在△ABC中，已知BC=7，AC=16，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，求△BEC的周长.
解：∵DE是AB的垂直平分线，∴BE=AE.∴△BEC的周长=BE+EC+BC=AC+BC=23.
2. 如下图，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接EF，EF与AD交于点G，求证：AD垂直平分EF.
证明： AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.又AD=AD,∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE=AF.∴点A在EF的垂直平分线上，同理，点D也在EF的垂直平分线上.∴AD垂直平分EF（两点确定一直线）.
课堂精讲知识点2.线段的垂直平分线性质在实际生活中的应用在实际生活中，有时需要找到两个或者两个以上距离相等的点，这就要求作出以这两个点为端点的线段的垂直平分线，从这条垂直平分线上找一个适合问题的点就可以了.
【例3】某旅游景区内有一块三角形绿地ABC，如图所示，现要在道路AB的边缘上建一个休息点M，使它到A，C两个点的距离相等．在图中确定休息点M的位置．解析：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．作AC的垂直平分线交AB于M，根据垂直平分线的性质得到MA=MC，则点M满足条件．解：作AC的垂直平分线交AB于M点，则点M为所求．
变式拓展3.如右图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在 （ ） A. 在AC、BC两边高线的交点处 B. 在AC、BC两边中线的交点处 C. 在AC、BC两边垂直平分线的交点处 D. 在A、B两内角平分线的交点处
课堂精讲知识点3.画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴如果一个图形是轴对称图形或两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到它们的对称轴.
【例4】如图，画出△ABC关于BC对称的图形．解析：作AA′⊥BC，使BC垂直平分AA′，连接A′B、A′C即可得解．解：△ABC关于BC对称的图形如图所示．
变式拓展4. 利用下图中的对称点，画出图形的对称轴.
随堂检测1.如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=5，则CE的长为（　）　　　A．7　　B．8　　C．10　　D．12
2. 如图所示，A、B、C分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（　　）　A．AB中点　B．BC中点　C．AC中点　D．∠C的平分线与AB的交点
3.如图，△ABC中，∠CAB=120°，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，则∠EAF=　　　　．
4.（2015东莞一模）如图，△ABC的边BC的垂直平分线MN交AC于D，若△ADB的周长是10cm，AB=4cm，则AC=　　　cm．
5.如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，请仅用无刻度的直尺，在下面两个图中分别作出直线l．
13.2　作轴对称图形
课前预习1. 下图中，成轴对称图形的有 （ ） 　A. 1个 　B. 2个 　 C. 3个　 D. 4个2. 小强看到的电子表的读数是　　　，那么他猜想从镜子里显示的时间为 （ 　） A. 10∶21 B. 10∶15 C. 12∶10 D. 12∶01
3. 点P(5，8)，P′(-5，8)关于 对称. (　 ) A. x轴 B. y轴 C. 原点 D. x=1 4. 在平面直角坐标系中点（-1，1）关于y轴的对称点在 （ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
课堂精讲知识点1.轴对称变换 
课堂精讲知识点1.轴对称变换【例1】如图，将△ABC变换到△A′B′C′的位置，则你从图中观察发现下列说法正确的是（　　）A．△ABC与△A′B′C′是关于x轴对称的B．△ABC与△A′B′C′是关于y轴对称的C．△ABC与△A′B′C′是关于点O对称的D．△ABC与△A′B′C′既关于x轴对称，又关于y轴对称解析：∵各对应点A和A′；B和B′；C和C'都在y轴两侧，∴△ABC与△A′B′C′是关于y轴对称．答案：B 
变式拓展1. 如下图，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得图形大致是 （ ）  
课堂精讲知识点2.作轴对称图形轴对称图形的作法：①几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形.②对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.  
【例2】作图：已知四边形ABCD和直线，画出与四边形ABCD关于直线h的对称图形（保留作图痕迹）．解析：分别作各点关于直线h的对称点，顺次连接各点即可．解：如图所示： 
变式拓展2.如下图，已知△ABC,直线MN.求作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC关于MN对称.(要求写出作法步骤)  
课堂精讲知识点3.对称点的坐标特征(1)点P(x,y)关于x轴对称的点的坐标为P′(x,-y)，如下图. (2)点P(x,y)关于y轴对称的点的坐标为P″(-x,y)，如下图. 规律总结： 关于某坐标轴对称的点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数.简记为：“横轴横不变，纵轴纵不变”.  
【例3】 已知点A(4，5)，求点A关于坐标轴对称的点的坐标. 解析：在平面直角坐标系中，常见的对称关系有：①关于x轴对称；②关于y轴对称，因此此题应分两种情况求解. 解：点A关于x轴的对称点坐标为（4，-5）; 点A关于y轴的对称点坐标为（-4，5）.  
变式拓展3. 已知点P（3，-2）与点Q关于x轴对称，则Q点的坐标为 （ ） A.（-3，2） B.(-3，-2) C.(3,2) D.(3,-2)  
课堂精讲知识点4.作关于坐标轴对称的图形在平面直角坐标系中，作与一个图形关于x轴或y轴对称的图形.对于这类问题，只要先求出已知图形中的一些特殊点（如多边形的顶点）的对称点的坐标，指出并连接这些点，就可以得到这个图形的轴对称图形.  
【例4】如图，在平面直角坐标系中，A（0，1），B（﹣2，3），C（4，4）．（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A′B′C′；（2）写出△A′B′C′三个顶点的坐标．解析：（1）分别作出点A、B、C关于x轴的对称的点，然后顺次连接即可；（2）根据网格结构写出△A′B′C′三个顶点的坐标．
解：（1）所作图形如图所示：（2）A′（0，﹣1），B′（﹣2，﹣3）， C′（4，﹣4）．  
4.在平面直角坐标系中，A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．（1）在图中作出△ABC关于y轴的对称△A1B1C1；（2）写出△ABC关于x轴对称△A2B2C2的各顶点坐标：　A2　　　　　；B2　　　　　；C2　　　　　．  
随堂检测1.（2015绵阳模拟）点A（2，﹣5）关于x轴的对称点B的坐标为（　　）　A.（﹣2，5）　　　　　B.（2，5）C.（﹣2，﹣5）　　　　D.（5，﹣2）2.（2015茂名模拟）在直角坐标系中，如果点A沿x轴翻折后能够与点B（﹣1，2）重合，那么A、B两点之间的距离等于　　　　．
3. 2010年上海上海成功举办了世博会，当时黄浦江边大幅宣传画上的“2010”，如下图所示.从对岸看，它在水中倒影所显示的数是 .4.如图，已知△ABC和直线l，作出△ABC关于直线l的对称图形△A′B′C′．
5.如图，已知A（1，2），B（3，1），C（4，3）．（1）作△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，写出点C关于y轴的对称点C1的坐标；（2）作△ABC关于直线m（直线m上各点的纵坐标都为﹣1）的对称图形△A2B2C2，写出点C关于直线m的对称点C2的坐标．
13.3　等腰三角形13.3.1　等腰三角形的概念与性质
课前预习1. 有下列长度的三条线段，能组成等腰三角形的是 （ ） A.3 cm ,4 cm ,5 cm B.4 cm ,8 cm ,5 cm C.3 cm ,7 cm ,7 cm D.2 cm ,3 cm ,4 cm 2. 在△ABC中，AC=BC，那么在这三角形中，三线合一的线段是 （ ） A.∠BAC的平分线、BC边上的高、BC边上的中线 B.∠ACB的平分线、AB边上的高、AB边上的中线 C.∠ABC的平分线、AC边上的高、AC边上的中线 D.∠ABC的平分线，BC边上的高、BC边上的中线
3. 在△ABC中，AB=AC，若∠A=50°,则∠B= ,∠C= ;若∠B=50°,则∠A= ,∠C= .
课堂精讲 知识点1.等腰三角形的有关概念（1）等腰三角形的概念．有两边相等的三角形是等腰三角形，（2）相关概念．在等腰三角形中，相等的两条边叫做腰，剩余的一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．
如图所示，在△ABC中，AB，AC是腰，BC是底边，∠A是顶角，∠B，∠C是底角．①等腰三角形是特殊的三角形，它具备三角形所有的性质，如内角和是1800，两边之和大于第三边等．②等腰三角形是轴对称图形，这既是等腰三角形的特点，又是研究它的重要方法．③对于等腰三角形问题，我们说角或边时，一般都要指明是顶角还是底角，是底边还是腰，没说明则都有可能，要讨论解决，这是解决等腰三角形最容易忽视和产生错误的地方．④等腰三角形的顶角可以是直角、钝角、锐角，而底角只能是锐角.
【例1】 (1)已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长为 .(2)已知等腰三角形的周长为13，其一边长为3，则其他两边长为 . 解析：(1) 因为边为5和6，没说底边还是腰，所以有两种情况，可能是5，5，6，也可能是6，6，5，所以周长为16或17. (2)长为3的边可能是底边也可能是腰，当3为底边时，其他两边为(13-3)÷2=5；当3为腰时，其他两边为3和13-3-3=7. ∵3+3=6＜7,∴不能构成三角形，故舍去，只能是5，5. 答案： (1)16或17 (2)5，5 .
变式拓展1. 等腰三角形的两边边长分别为3 cm 和4 cm ，则它的周长为 　　　　　 .
11 cm或10 cm
课堂精讲 知识点2.等腰三角形的性质(1)性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．应用模式：在△ABC中， 注意：(1)这是等腰三角形的重要性质，它是证明角相等常用的方法．它的应用可省去三角形全等的证明，因而更简便．(2)应用这个性质时，必须在一个三角形中． (2)性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）．
应用模式：如下图所示，在△ABC中，① AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD=CD;②∵AB=AC,BD= CD,∴∠BAD=∠CAD,AD⊥BC；③∵AB=AC, AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD,BD=CD.
注意：(1)应用“三线合一”性质的前提条件必须是等腰三角形，且必须是底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线互相重合，若是一腰上的高与中线就不一定重合．(2)等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（或底边上的高、底边上的中线）所在的直线是它的对称轴．
【例2】 如右图，已知房屋的顶角∠BAC=100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC于D，屋椽AB=AC，求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数. 解析： 由已知条件知△ABC是等腰三角形，可得∠B=∠C，由AD⊥BC知AD是高，可知AD平分∠BAC. 解： ∵AB=AC，∠BAC=100°, ∴∠B=∠C= (180°-∠BAC)= ×(180°-100°)=40°. AD⊥BC,∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC= ×100°=50°.
变式拓展2. 在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC交BC于点D，BC=4 cm，则CD= . 3. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，求等腰三角形底角的度数.
随堂检测1.若等腰三角形的两内角度数比为1：4，则它的顶角为（　　）度．　A．36或144　　　　　　B．20或120　C．120　　　　　　　　D．202.（2015潍坊一模）已知一个等腰三角形的两边长a、b满足方程组 　　　　，则此等腰三角形的周长为（　　）　A．5　　B．4　　C．3　　D．5或4
3.若等腰三角形的一边长为3cm，周长为15cm，则此等腰三角形的另两边长分别是　　　　　　．4.如图，在凸四边形ABCD中，AB=BC=BD，∠ABC=80°，则∠ADC等于　　　　°．
5. 如图，D为△ABC边BC延长线上一点，且CD=CA，E是AD的中点，CF平分∠ACB交AB于点F．求证：CE⊥CF．
证明：∵CD=CA，E是AD的中点，∴∠ACE=∠DCE．∵CF平分∠ACB，∴∠ACF=∠BCF．∵∠ACE+∠DCE+∠ACF+∠BCF=180°，∴∠ACE+∠ACF=90°．即∠ECF=90°．∴CE⊥CF
13.3.2　等腰三角形的判定
课前预习1. 在△ABC中，若∠A=∠C那么 （ ） A. AB=BC 　　　　B. AC=BC C. AC=AB 　　　　D. 不能确定 2. 不满足△ABC是等腰三角形的条件是 （ ） A. ∠A=30°,∠B=30°,∠C=120° B. ∠A=45°,∠B=45°,∠C=90° C. ∠A=30°,∠B=60°,∠C=90° D. ∠A=60°,∠B=60°,∠C=60°
3. 在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶3，则这个三角形是 （ ） A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 任意三角形 4. 在△ABC中,∠A=45°,∠B的外角等于90°，那么△ABC 等腰三角形（选填“是”或“不是”）.
课堂精讲知识点.等腰三角形的判定等腰三角形的判定方法：(1)定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形. (2)定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.
【例1】 如下图，已知BD是△ABC的角平分线，DE∥BC交AB于E. 求证：△BED是等腰三角形. 解析： 首先，从“结论”出发，识别一个三角形是等腰三角形，有两种方法：①是根据定义；②是根据“等角对等边”.然后看已知条件“角平分线”及“平行”都能提供角的条件，所以应选择方法②.
解： ∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠EBD=∠DBC. ∵DE∥BC,∴∠EDB=∠DBC. ∴∠EBD=∠EDB,∴EB=ED. 即△BED是等腰三角形.
课堂精讲变式拓展1.如图，OC平分∠AOB，P是OC上任意一点，PD∥OB交OA于点D，求证：△DOP是等腰三角形．
解：∵OC平分∠BOA，∴∠AOC=∠BOC．∵PD∥OB，∴∠DPO=∠BOC，∴∠DPO=∠AOC，∴DP=DO，∴△DOP是等腰三角形．
2.如图，请在下列四个等式中，选出两个作为条件，推出△AED是等腰三角形，并予以证明．（写出一种即可）等式：①AB=DC，②BE=CE，③∠B=∠C，　　　④∠BAE=∠CDE．已知：求证：△AED是等腰三角形．证明：
解：已知：①③（或①④，或②③，或②④）证明：在△ABE和△DCE中∵ ∴△ABE≌△DCE；∴AE=DE；△AED是等腰三角形
随堂检测1.（2015邵阳一模）如图，在△ABC，∠A=36°，∠B=72°，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D，E，则图中等腰三角形的个数为（　　）　　A．2个　　B．3个　　C．4个　　D．5个
2.如图，在△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，则∠1=　　度，图中有　　个等腰三角形．
3.如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC交CD于F，交BC于E，试说明△CEF是等腰三角形．
解：∵∠ACB=90°，∴∠B+∠BAC=90°，∵CD⊥AB，∴∠CAD+∠ACD=90°，∴∠ACD=∠B，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE=∠EAB，∵∠EAB+∠B=∠CFE，∠CAE+∠DCA=∠CFE，∴∠CFE=∠CEF，∴CF=CE，∴△CEF是等腰三角形．
4.如图，AD平分∠BAC，BD⊥AD，DE∥AC，求证：△BDE是等腰三角形．
证明：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD=∠ADE，∴∠EAD=∠ADE，∵BD⊥AD∴∠ADE+∠BDE=90°，∴∠EAD+∠B=90°，∴∠BDE=∠B，∴BE=DE，∴△BDE是等腰三角形．
13.3.3　等边三角形的判定和性质
课前预习1. 等边三角形的一边的长为5，则此三角形的周长是 （ ） A. 10 　　B. 15 　　C. 20 　　D. 25 2. 在△ABC中，如果AB=AC，∠ABC=60°，则△ABC是 （ 　） A. 直角三角形　　　B. 等腰三角形 　　C. 等边三角形　　　 D. 不能确定 3.下列条件中，不能得到等边三角形的是（　　）A．有两个内角是60°的三角形　B．三边都相等的三角形C．有一个角是60°的等腰三角形D．有两个外角相等的等腰三角形4.边长为2的等边三角形的高为（　　）A．１　　B．2　　C．　　　D．2
课堂精讲知识点1.等边三角形及其性质（1）等边三角形的概念．三边都相等的三角形是等边三角形．（2）等边三角形的性质．①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°；②等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；③等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质．
【例1】 如右图，在等边△ABC中，D是AC的中点，延长BC到点E，使CE=CD,AB=10. (1)求BE的长； (2)求∠DBE与∠DEB的度数. 解析： (1)由题意知BE=BC+CE；BC=AB=10.CE=CD= AC= AB=5.由此可求BE的长. (2)∠DBE= ∠ABC=30°,而∠DEB=∠CDE， 由三角形的外角可求∠DEB的度数. 解： (1)∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC=10. 又∵D是AC的中点，∴CD= AC=5. 又∵CD=CE，∴CE=5.∴BE=BC+CE=10+5=15.
(2)∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°. 又∵D是AC的中点，∴BD平分∠ABC. ∴∠DBE= ∠ABC=30°. 又∵CD=CE,∴∠CED=∠CED. 而∠ACB=∠CDE+∠CED=60°, ∴∠CED=∠CDE=30°,即∠DEB=30°.
课堂精讲变式拓展：1. 如图所示，已知等边三角形ABC的周长是2a，BM是AC边上的高，N为BC延长线上的一点，且CN=CM，求BN的长.
课堂精讲知识点2.等边三角形的判定判定等边三角形的方法有三种： (1)定义法：三条边都相等； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形； (3)有一个角是60°的等腰三角形是等边；角形．注意：在证明三角形是等边三角形时，根据所给已知条件确定选择用哪种方法证明，若已知三边关系，一般选用(1)；若已知三角关系，一般选用(2)；若已知该三角形是等腰三角形，则选用(3)．
【例2】 如下图，△ABC是等边三角形，且∠1=∠2=∠3,判断△DEF的形状，并简要说明理由. 解析： 观察发现△DEF是等边三角形，由于已知角的关系，可考虑利用“三个角都相等的三角形是等边三角形”进行证明.
解： △DEF是等边三角形.理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=∠CAB=60°. ∵∠1=∠2=∠3,∴∠DFE=∠3+∠FAC=∠1+∠FAC=∠CAB=60°. 同理∠DEF=∠EDF=60°.∴△DEF是等边三角形.
2. 如图，在△ABC中，∠ACB=120°,CD平分∠ACB,AE∥DC,交BC的延长线于点E，试说明△ACE是等边三角形.
随堂检测1.如图，若△ABC是等边三角形，AB=6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE=CD，则BE=（　　）　　　　A．7　　B．8　　C．9　　D．10
2.已知：在△ABC中，∠A=60°，如要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法：①如果添加条件“AB=AC”，那么△ABC是等边三角形；②如果添加条件“tanB=tanC”，那么△ABC是等边三角形；③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．上述说法中，正确的说法有（　　）A．3个　　B．2个　　C．1个　　D．0个
3.已知：如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，则∠α的度数为（　　）　　　　A．60°　B．45°　C．40°　D．30°
4.如图，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD=AE，则∠EDC的度数为　　．
5.已知：如图，△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，过点D作DE∥AB交AC于点E．（1）求证：∠C=∠CDE．（2）若∠A=60°，试判断△DEC的形状，并说明理由．
证明：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DE∥AB，∴∠CED=∠B，∴∠C=∠CDE；（2）△DEC是等边三角形，理由：∵DE∥AB，∴∠DEC=∠A=60°，由（1），△DEC是等腰三角形，∴△DEC是等边三角形．
13.3.4　含30°角的直角三角形
课前预习1.已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（　　）A．2cm　B．4cm　C．6cm　D．8cm2. 如下图， Rt △ABC中，∠A=30°，BC=4 cm ，则AB= cm，BD= cm. 3. 一辆汽车30°角的山坡从山底开到山顶共走了4000米，那么这座山高度是 　米.
课堂精讲知识点.含30°角的直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 符号语言：在Rt△ABC中，∠C=90°,若∠B=30°，则AC=AB.
【例】如下图，在△ABC中，∠C=90°,∠B=15，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点M，BD=8 cm，求AC的长.解析：∵∠B=15°，且△ABD可证为等腰三角形，∴∠ADC=30°,∴AC=AD,从而得出结果. 解：连接AD,∵MD垂直平分AB. ∴BD=AD=8 cm.∴∠BAD=∠B=15°. ∴∠ADC=∠B+∠BAD=30°. 在Rt△ACD中，∠ADC=30°,∴AC=AD=4 cm.
变式拓展1.如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AB=2BC，如果CD=2，则AC=　　．
2.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD是△ABC的高，∠C=30°，BC=4，求BD的长．
解：如图，∵在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AD是高，∴∠ADB=90°，∠BAD=∠C=30°，∴在直角△ABC中，AB= 　BC=2，∴在直角△ABC中，BD=　 AB=1．∴BD的长为1．
随堂检测1.如图，AC=BC=10cm，∠B=15°，AD⊥BC于点D，则AD的长为（　　）　A．3cm　B．4cm　C．5cm　D．6cm
2.Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，则AC与AB两边的关系是　　　．3.如图：△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，BD=3cm，则AD=　　　 cm．