2021-2022学年陕西省西安市长安区八年级（上）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年陕西省西安市长安区八年级（上）期中数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年陕西省西安市长安区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列实数中，为无理数的是（　　）
A． B． C．5 D．π
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．＝﹣2 B．+＝ C．＝2 D．＝±3
3．（3分）下列函数中，是一次函数的是（　　）
A．y＝ B．y＝﹣2x+1
C．y＝3（x﹣2）﹣3x D．y＝x+x2
4．（3分）直角三角形三边的长分别为3、4、x，则x可能取的值为（　　）
A．5 B．6或 C．5或 D．
5．（3分）下列根式中，可以与合并的是（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）已知正比例函数y＝kx，当x＝2时，y＝6，则下列各点在该函数图象上的是（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，3） C．（1，3） D．（3，1）
7．（3分）如图，数轴上点A对应的数是0，点B对应的数是1，BC⊥AB，垂足为B，且BC＝2，以A为圆心，AC为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（　　）

A．2.2 B． C． D．
8．（3分）平面直角坐标系中，点A（﹣5，6），B（3，﹣4），经过点A的直线a与x轴平行，如果点C是直线a上的一个动点，那么当线段BC的长度最短时，点C的坐标为（　　）
A．（6，3） B．（﹣4，﹣5） C．（3，6） D．（﹣5，﹣4）
9．（3分）如图，小方格都是边长为1的正方形，则△ABC中BC边上的高等于（　　）

A．2 B． C．2 D．
10．（3分）一根竹子高一丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端6尺处，折断处离地面的高度是多少？（这是我国古代《九章算术》中的“折竹抵地问题．其中的丈、尺是长度单位，一丈＝10尺）设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（　　）
A．x2+62＝（10﹣x）2 B．x2﹣62＝（10﹣x）2
C．x2+6＝（10﹣x）2 D．x2﹣6＝（10﹣x）2
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）计算：×＝　 　．
12．（3分）写一个大于1且小于3的无理数：　 　．
13．（3分）一次函数y＝﹣2x+1过点（a，﹣1），则a的值是 　 　．
14．（3分）如果一个三角形的三边分别为1、、，则其面积为 　 　．
15．（3分）在平面直角坐标系中，A（4，0），B（﹣1，5），点A，B之间的距离是 　 　．
16．（3分）点A（m+1，3m﹣7）在第一、三象限的角平分线上，则m＝　 　．
17．（3分）在平面直角坐标系中，已知A（0，0），B（3，0），C（1，2），若以A、B、D为顶点的三角形与△ABC全等，则点D的坐标为 　 　．
18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，若CE+EF取到最小值时，EF的长为 　 　．

三、解答题（共6小题，共46分）
19．（6分）计算：（1）；
（2）（3+）（3﹣）．
20．（6分）已知：△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，求BC．
21．（7分）经过点B（2，0）的直线l1与直线l2：y＝2x+8相交于点P（﹣1，n）．
（1）请求出n的值；
（2）试求出PB的长度．
（3）试求出直线l1，直线l2与x轴所围成的三角形面积．

22．（7分）如图，AC⊥BC，原计划从A地经C地到B地修建一条无隧道高速公路，后因技术攻关，可以打通由A地到B地的隧道修建高速公路，其中隧道部分总长为2公里，已知高速公路一公里造价为3000万元，隧道一公里造价为5000万元，AC＝80公里，BC＝60公里，则改建后可省工程费用是多少？

23．（8分）如图，已知A（1，2），B（3，1），C（4，3）．
（1）作△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）请直接写出点A1，B1，C1的坐标；
（3）直线m平行于x轴，在直线m上求作一点P使得△ABP的周长最小，请在图中画出P点．

24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC上一点，且AE＝BC，过点A作AD⊥CA，垂足为A，且AD＝AC，AB，DE交于点F．
（1）试说明AB＝DE，DE⊥AB．
（2）连接BD，BE，若设BC＝a，AC＝b，AB＝c，请利用四边形ADBE的面积说明a2+b2＝c2．


2021-2022学年陕西省西安市长安区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列实数中，为无理数的是（　　）
A． B． C．5 D．π
【分析】根据无理数的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
B．＝3，是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
C．5是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
D．π是无理数，故本选项符合题意；
故选：D．
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．＝﹣2 B．+＝ C．＝2 D．＝±3
【分析】直接利用二次根式以及立方根的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：A.＝2，故此选项不合题意；
B.+无法合并，故此选项不合题意；
C.＝2，故此选项符合题意；
D.＝3，故此选项不合题意；
故选：C．
3．（3分）下列函数中，是一次函数的是（　　）
A．y＝ B．y＝﹣2x+1
C．y＝3（x﹣2）﹣3x D．y＝x+x2
【分析】根据一次函数的定义进行逐一分析即可．
【解答】解：A、y＝是反比例函数，故此选项不符合题意；
B、y＝2x是一次函数，故此选项符合题意；
C、y＝3（x﹣2）﹣3x＝﹣6，不是一次函数，故此选项不符合题意；
D、y＝x+x2是二次函数，故此选项不符合题意．
故选：B．
4．（3分）直角三角形三边的长分别为3、4、x，则x可能取的值为（　　）
A．5 B．6或 C．5或 D．
【分析】由于直角三角形的斜边不能确定，故应分x为斜边与4为斜边两种情况进行讨论．
【解答】解：当x为斜边时，x＝＝5；
当4为斜边时，x＝．
∴x的值为5或；
故选：C．
5．（3分）下列根式中，可以与合并的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据同类二次根式的概念逐一判断即可．
【解答】解：A．与不是同类二次根式，所以与不能合并，此选项不符合题意；
B．，与不是同类二次根式，所以与不能合并，此选项不符合题意；
C．，与是同类二次根式，所以与能合并，此选项符合题意；
D．，与不是同类二次根式，所以与不能合并，此选项不符合题意；
故选：C．
6．（3分）已知正比例函数y＝kx，当x＝2时，y＝6，则下列各点在该函数图象上的是（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，3） C．（1，3） D．（3，1）
【分析】先求出正比例函数y＝3x，再将点坐标逐个代入，即可得答案．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx，当x＝2时，y＝6，
∴6＝2k，解得k＝3，
∴正比例函数为y＝3x，
在正比例函数y＝3x中，
A、若x＝﹣1，则y＝3×（﹣1）＝﹣3，（﹣1，﹣2）不在函数图象上，故A不符合题意；
B、若x＝﹣1，则y＝3×（﹣1）＝﹣3，（﹣1，3）不在函数图象上，故B不符合题意；
C、若x＝1，则y＝3×1＝3，（1，3）在函数图象上，故C符合题意；
D、若x＝3，则y＝3×3＝9，（3，﹣1）不在函数图象上，故D不符合题意；
故选：C．
7．（3分）如图，数轴上点A对应的数是0，点B对应的数是1，BC⊥AB，垂足为B，且BC＝2，以A为圆心，AC为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（　　）

A．2.2 B． C． D．
【分析】直接利用勾股定理进而得出点D表示的数．
【解答】解：∵AB＝1，BC＝2，BC⊥AB，
∴AC＝AD＝＝，
∴点D表示的数为：．
故选：D．
8．（3分）平面直角坐标系中，点A（﹣5，6），B（3，﹣4），经过点A的直线a与x轴平行，如果点C是直线a上的一个动点，那么当线段BC的长度最短时，点C的坐标为（　　）
A．（6，3） B．（﹣4，﹣5） C．（3，6） D．（﹣5，﹣4）
【分析】根据经过点A的直线a∥x轴，可知点C的纵坐标与点A的纵坐标相等，可设点C的坐标（x，3），根据点到直线垂线段最短，当BC⊥a时，点C的横坐标与点B的横坐标相等，即可得出答案．
【解答】解：如右图所示：

∵a∥x轴，点C是直线a上的一个动点，点A（﹣5，6），
∴设点C（x，6），
∵当BC⊥a时，BC的长度最短，点B（3，﹣4），
∴x＝3，
∴点C的坐标为（3，6）．
故选：C．
9．（3分）如图，小方格都是边长为1的正方形，则△ABC中BC边上的高等于（　　）

A．2 B． C．2 D．
【分析】根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵BC＝＝2，
∵S△ABC＝4×6﹣×2×4﹣×2×4﹣×2×6＝10，
∴△ABC中BC边上的高＝＝，
故选：B．
10．（3分）一根竹子高一丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端6尺处，折断处离地面的高度是多少？（这是我国古代《九章算术》中的“折竹抵地问题．其中的丈、尺是长度单位，一丈＝10尺）设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（　　）
A．x2+62＝（10﹣x）2 B．x2﹣62＝（10﹣x）2
C．x2+6＝（10﹣x）2 D．x2﹣6＝（10﹣x）2
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面的高度是x尺，则斜边为（10﹣x）尺．利用勾股定理解题即可．
【解答】解：1丈＝10尺，
设折断处离地面的高度为x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+62＝（10﹣x）2，
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）计算：×＝　2　．
【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．
【解答】解：×
＝
＝
＝2，
故答案为：2．
12．（3分）写一个大于1且小于3的无理数：　（答案不唯一）　．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：因为1＜2＜3，
所以1＜＜．
所以大于1且小于3的无理数可以是．
故答案为：（答案不唯一）．
13．（3分）一次函数y＝﹣2x+1过点（a，﹣1），则a的值是 　1　．
【分析】由一次函数y＝﹣2x+1过点（a，﹣1），利用一次函数图象上点的坐标特征可得出﹣1＝﹣2a+1，解之即可得出a的值．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+1过点（a，﹣1），
∴﹣1＝﹣2a+1，
∴a＝1．
故答案为：1．
14．（3分）如果一个三角形的三边分别为1、、，则其面积为 　　．
【分析】根据勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形，进而解答即可．
【解答】解：∵，
∴此三角形是直角三角形，
∴三角形的面积＝，
故答案为：．
15．（3分）在平面直角坐标系中，A（4，0），B（﹣1，5），点A，B之间的距离是 　5　．
【分析】根据平面直角坐标系中两点之间的距离公式即可求解．
【解答】解：∵A（4，0），B（﹣1，5），
∴AB＝＝5，
∴点A，B之间的距离是5，
故答案为：5．
16．（3分）点A（m+1，3m﹣7）在第一、三象限的角平分线上，则m＝　4　．
【分析】直接利用在第一、三象限的角平分线上，横纵坐标相等，进而得出答案．
【解答】解：∵点A（m+1，3m﹣7）在第一、三象限的角平分线上，
∴m+1＝3m﹣7，
解得：m＝4．
故答案为：4．
17．（3分）在平面直角坐标系中，已知A（0，0），B（3，0），C（1，2），若以A、B、D为顶点的三角形与△ABC全等，则点D的坐标为 　（2，2）或（1，﹣2）或（2，﹣2）　．
【分析】先根据题意画出符合的三角形，再根据全等三角形的性质和点A、点B、点C的坐标得出点D的坐标即可．
【解答】解：如图所示，有3个三角形和△ABC全等，

∵A（0，0），B（3，0），C（1，2），
∴D1的坐标是（2，2），D2的坐标是（1，﹣2），D3的坐标是（2，﹣2），
故答案为：（2，2）或（1，﹣2）或（2，﹣2）．
18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，若CE+EF取到最小值时，EF的长为 　4　．

【分析】如图，过点C作CF′⊥AB于点F′，交AD于E，过点E作EF⊥AC于F，利用直角三角形性质可求得CF′＝4，由于CE+EF＝CE+EF′，故当C、E、F′三点共线，且CF′⊥AB时，CE+EF取到最小值4．
【解答】解：如图，过点C作CF′⊥AB于点F′，交AD于E，过点E作EF⊥AC于F，
则∠BF′C＝90°，
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝8，
∴CF′＝BC＝×8＝4，
∵AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，
∴F与F′关于AD对称，
∴CE+EF＝CE+EF′，当C、E、F′三点共线，且CF′⊥AB时，
CE+EF取到最小值4；
故答案为：4．

三、解答题（共6小题，共46分）
19．（6分）计算：（1）；
（2）（3+）（3﹣）．
【分析】（1）先利用二次根式的乘法和除法法则运算，然后化简后合并即可；
（2）利用平方差公式计算．
【解答】解：（1）原式＝﹣
＝﹣
＝3﹣2
＝；
（2）原式＝9﹣5
＝4．
20．（6分）已知：△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，求BC．
【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC＝BD+CD，在钝角三角形中，BC＝BD﹣CD．
【解答】解：①如图1，锐角△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上高AD＝12，

在Rt△ABD中，AB＝15，AD＝12，
由勾股定理得，BD2＝AB2﹣AD2＝152﹣122＝81，
∴BD＝9，
在Rt△ACD中，AC＝13，AD＝12，
由勾股定理得，CD2＝AC2﹣AD2＝132﹣122＝25，
∴CD＝5，
∴BC的长为BD+DC＝9+5＝14；
②如图2，钝角△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上高AD＝12，

在Rt△ABD中AB＝15，AD＝12，
由勾股定理得，BD2＝AB2﹣AD2＝152﹣122＝81，
∴BD＝9，
在Rt△ACD中AC＝13，AD＝12，
由勾股定理得，CD2＝AC2﹣AD2＝132﹣122＝25，
∴CD＝5，
∴BC的长为BD﹣CD＝9﹣5＝4．
故BC的长为14或4．
21．（7分）经过点B（2，0）的直线l1与直线l2：y＝2x+8相交于点P（﹣1，n）．
（1）请求出n的值；
（2）试求出PB的长度．
（3）试求出直线l1，直线l2与x轴所围成的三角形面积．

【分析】（1）把点P（﹣1，n）代入y＝2x+8即可求出n；
（2）过P作PA⊥x轴于A，在Rt△ABP中，根据勾股定理即可求出PB；
（3）由直线l2：y＝2x+8可求得A点的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可．
【解答】解：（1）把点P（﹣1，n）代入y＝2x+8得：﹣2+8＝n，
解得：n＝6；
（2）过P作PA⊥x轴于C，

则C点的坐标为（﹣1，0），
在Rt△CBP中，PC＝|n|＝6，CB＝2﹣（﹣1）＝3，PB2＝PC2+CB2，
∴PB＝＝＝3；
（2）∵直线l2：y＝2x+8与x轴相交于点A
∴A点的坐标为（﹣4，0），
∴AB＝6，
∵P（﹣1，6）．
∴S△PAB＝×6×6＝18．
∴直线l1，直线l2与x轴所围成的三角形面积为18．
22．（7分）如图，AC⊥BC，原计划从A地经C地到B地修建一条无隧道高速公路，后因技术攻关，可以打通由A地到B地的隧道修建高速公路，其中隧道部分总长为2公里，已知高速公路一公里造价为3000万元，隧道一公里造价为5000万元，AC＝80公里，BC＝60公里，则改建后可省工程费用是多少？

【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再让原来的造价减去改造后的造价可求出省去的工程费用．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB2＝BC2+AC2，
∴AB＝＝＝100，
（80+60）×3000﹣（100﹣2）×3000﹣2×5000＝116000（万元），
答：改建后可省工程费用116000万元．
23．（8分）如图，已知A（1，2），B（3，1），C（4，3）．
（1）作△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）请直接写出点A1，B1，C1的坐标；
（3）直线m平行于x轴，在直线m上求作一点P使得△ABP的周长最小，请在图中画出P点．

【分析】（1）首先确定A、B、C三点关于y轴的对称点位置，再连接即可；
（2）根据所画出的图形写出点的坐标；
（3）根据轴对称进行画图即可．
【解答】解：（1）如图1所示：

（2 ）A1（﹣1，2）；B1（﹣3，1）；C1（﹣4，3）；
（3）如图2所示：

点P即为所求．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC上一点，且AE＝BC，过点A作AD⊥CA，垂足为A，且AD＝AC，AB，DE交于点F．
（1）试说明AB＝DE，DE⊥AB．
（2）连接BD，BE，若设BC＝a，AC＝b，AB＝c，请利用四边形ADBE的面积说明a2+b2＝c2．

【分析】（1）由“SAS”可证△ABC≌△DEA，可得AB＝DE，∠3＝∠1，根据余角的性质，可得∠2与∠3的关系，从而得结论；
（2）由四边形的面积公式可求解．
【解答】解：（1）∵AD⊥CA，
∴∠DAE＝90°．
在△ABC和△DEA中，
，
∴△ABC≌△DEA（SAS），
∴AB＝DE，∠3＝∠1，
∵∠DAE＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠3+∠2＝90°，
∴∠AFE＝90°，
∴AB⊥DE；
（2）连接BD，BE，

∵S四边形ADBE＝S△ADE+S△BDE＝DE•AF+DE•BF＝DE•AB＝c2，S四边形ADBE＝S△ABE+S△ABD＝a2+b2，
∴a2+b2＝c2，
∴a2+b2＝c2．