北师大版3 确定二次函数的表达式精品ppt课件

回顾知识

导入新课

在上节课中，我们已经学习了求一次函数表达式的方法。我们一起回顾下：

 1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？2个

2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？

 二次函数表达式是什么呢？

一般式：y = ax2+bx+c

特殊式：y = ax2+bxy = ax2+c

顶点式：y =a(x-h)2+k

交点式：y= a(x-x1)+(x-x2)

 导入：如图是一名学生推铅球时,铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)的图象,你能求出其表达式吗？

确定二次函数的表达式需要几个条件？怎么求二次函数的表达式？与同伴进行交流.

学生思考并回答问题。并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识。

导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力。

讲授新课

例题讲解

例题讲解

课堂小结

　　【例1】已知二次函数y＝ax2 ＋ c的图象经过点(2,3)和(－1,－3)，求这个二次函数的表达式．

解:∵该图象经过点（2,3）和(－1,－3)，

∴     ，解得   .

∴所求二次函数表达式为 y=2x2－5.  

【试一试】已知二次函数y＝ax2 ＋ bx的图象经过点(－2，8)和(－1，5)，求这个二次函数的表达式．

解:∵该图象经过点（－2,8）和（－1,5），

∴解得.

∴ y=－x2－6x.

可以发现，对于特殊条件的二次函数的表达式

对于特殊条件的二次函数， y = ax2+bx， y = ax2+c:

1.特点：①表达式中含有2个未知系数；

     ②题目中有两个坐标点；

2.解法：

①代：将两个坐标点带入表达式中，得一个方程组；

②解：解方程组；

③写：写出表达式

思考： 对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？3个.

 【例2】已知一个二次函数的图象经过（-1，10）,（1，4）,（2，7）三点， 求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标．

解：设所求的二次函数的表达式为 y=ax2+bx+c ， 由已知，将三点（-1，10），（1，4），（2，7）分别代入表达式，得

 ，解得

∴二次函数的表达式是y=2x2-3x+5.   y= 2x2-3x+5=2（x-）²+.

∴二次函数对称轴为直线x=,顶点坐标为（，）.

一般情况的二次函数

1.方法：待定系数法 

2.步骤：

①设：设表达式为y=ax2+bx+c；

②代：将三个点坐标带入所设二次函数表达式中；

③解：解三元一次方程组,得到a,b,c的值；

④还原：把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.

【试一试】 已知二次函数的图象经过点（－3，0），（－1，0）和（0，－3），

试求出这个二次函数的表达式. 

解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,

        将 （－3，0），（－1，0）和（0，－3）带入解析式中，得

 ，解得.

      ∴二次函数的表达式是y=-x2-4x-3.

思考：   在什么情况下，一个二次函数只知道其中的两点就可以确定它的表达式？

 【例3】选取顶点（－2，1）和点（1,－8），试求出这个二次函数的表达式.

解：设这个二次函数的表达式是y=a(x－h)2＋k,

       把顶点（－2，1）代入y=a(x－h)2＋k得

    y=a(x＋2)2＋1，

    再把点（1，－8）代入上式得

    a(1＋2)2＋1=－8，

    解得    a=－1.

∴所求的二次函数的表达式是y=－(x＋2)2＋1或y=－x2－4x－3.

顶点法求二次函数的方法

1.知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.

2.步骤：

①设：设函数表达式是y=a(x－h)2＋k；

②代：先代入顶点坐标，到关于a的一元一次方程；

③解：将另一点的坐标代入原方程求出a值；

④写：a用数值换掉，写出函数表达式.

【例4】选取（－3，0），（－1，0），（0，－3），试求出这个二次函数的表达式. 

解： ∵（－3，0）（－1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.

 ∴可设这个二次函数的表达式是y=a(x－x1)(x－x2).(其中x1、x2为交点的横坐标).

 ∴得y=a(x＋3)(x＋1).

 再把点（0，－3）代入上式得

  a(0＋3)(0＋1)=－3，解得a=－1，

 ∴所求的二次函数的表达式是y=－(x＋3)(x＋1),

 即y=－x2－4x－3.

顶点法求二次函数的方法

1.知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.

2.步骤是：

①设：设函数表达式是y=a(x－x1)(x－x2)；

②代：将两交点横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；

③解：将另一点的坐标代入原方程求出a值；

④写：a用数值换掉，写出函数表达式.

一起总结下本节课的知识点：

结合导入的思考和老师的讲解，利用探究学习并掌握确定二次函数的解析式的三种方法。

老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。

老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。

学生跟着老师一起进行本节课的小结，学习一些新的方法。

讲授知识，让学生熟练利用探究学习并掌握确定二次函数的解析式的三种方法。

巩固加深对知识的理解与应用，也让学生知道本节课的学习内容和重点。

巩固加深对知识的理解与应用，也让学生知道本节课的学习内容和重点。

巩固加深对知识的理解与应用，也让学生知道本节课的学习内容和重点。

随堂练习

1、如果抛物线y=x2－6x+c－2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于（　C）．

 A．8        B．14

 C．8或14    D．－8或－14

 2、已知一条抛物线经过E（0，10），F（2，2），G（4，2），H（3，1）四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（　    C　）

 A．E，F        B．E，G

 C．E，H    D．F，G

 3、已知二次函数的图象与 y 轴交点的纵坐标为 1，且经过点（2，5）和（-2， 13），求这个二次函数的表达式．

解： 已知三点： （0，1），（2，5），（-2，13）

设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,

 将三个点坐标带入y=ax2+bx+c，得

，解得.

∴二次函数的表达式是y=2x2-2x+1.

 4、已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的表达式．

解：∵点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点，

 ∴设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－1)．

 又∵抛物线过点M(0，1)，

 ∴1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1，

 ∴所求抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－1)，

 即y＝－x2＋1.

 5、如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y轴交于点B，对称轴是x＝－3，求抛物线的表达式.

解：把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c，得

 16－4b＋c＝－3，c－4b＝－19.

     ∵对称轴是x＝－3，∴-＝－3，

     ∴b＝6，∴c＝5，

    ∴抛物线的表达式是y＝x2＋6x＋5；

学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。

借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。

中考链接

1.（2013•湖州）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求抛物线的顶点坐标．

解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0）．

∴抛物线的解析式为；y＝﹣（x﹣3）（x+1），

即y＝﹣x2+2x+3，

（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴抛物线的顶点坐标为：（1，4）．

2.（2012•徐州）二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0）．

（1）求b、c的值；

（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；

解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0），

∴，

解得；

（2）∵该二次函数为y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1．

∴该二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x＝2；

学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。

借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。

课堂小结

在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：

跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识。

帮助学生加强记忆知识。

板书

确定二次函数的解析式

借助板书，让学生知识本节课的重点。

课后练习

教材第43页习题2.6第1、2、3题.

教材第45页习题2.7第1、3题.