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高中粤教版 (2019)第三节 生活中的圆周运动同步达标检测题
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这是一份高中粤教版 (2019)第三节 生活中的圆周运动同步达标检测题，共17页。试卷主要包含了8 m/s2)等内容，欢迎下载使用。
第二章 圆周运动
第三节 生活中的圆周运动
基础过关练
题组一 公路弯道
1.(2021山东济南高一下期中)在城市车流量大、多路口交汇的地方常设置环岛,需要通过路口的车辆都按照逆时针方向行进,有效减少了交通事故的发生。假设环岛路为圆形且水平,车道的最大转弯半径为72 m,汽车受到的最大静摩擦力等于车重的0.8,g取10 m/s2,当汽车匀速率通过环形路段时,则汽车 ( )
A.最大速度不能超过24 m/s
B.所受的合力为零
C.一定受到恒定的合外力作用
D.受重力、弹力、摩擦力和向心力的作用
2.(2021辽宁实验中学高一下期末)在高速公路的拐弯处,通常路面都是外高内低。如图所示,在某路段汽车向左拐弯,司机左侧的路面比右侧的路面低一些。汽车的运动可看作是半径为R的圆周运动,设内外路面高度差为h,路基的水平宽度为d,路面的宽度为L。已知重力加速度为g。要使车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零,则汽车转弯时的车速应等于 ( )
A.gRℎL B.gRℎd C.gRLd D.gRdℎ
3.(2021北京第四十三中学高一下月考)汽车转弯时如果速度过大,容易发生侧滑,因此,汽车转弯时不允许超过规定的速度。如图所示,一辆质量m=2.0×103 kg的汽车(可视为质点)在水平公路的弯道上行驶,速度的大小v=10 m/s,其轨迹可视为半径r=50 m的圆弧。
(1)求这辆汽车转弯时的角速度ω;
(2)求这辆汽车转弯时需要向心力的大小F;
(3)请你从道路设计者或驾驶员的角度,提出一条可避免汽车在弯道处侧滑的措施。
题组二 铁路弯道
4.(2021广东广州第二中学高一下月考)在修筑铁路时,弯道处的外轨会略高于内轨,当火车以规定的行驶速度转弯时,内、外轨均不会受到轮缘的侧向挤压。为了提高转弯速度,下列可行的措施是 ( )
A.减小火车质量 B.增大火车质量
C.减小转弯半径 D.增大轨道倾角
5.(2021江苏盐城高一下期末)在修筑铁路时,弯道处的外轨会略高于内轨。如图所示,当火车以规定的行驶速度v转弯时,下列说法正确的是 ( )
A.当火车的质量改变时,规定的行驶速度也改变
B.当火车的速度大于v时,外轨将受到轮缘的挤压
C.当火车的速度小于v时,火车将有向外侧冲出轨道的危险
D.设计弯道处的外轨略高于内轨主要是为了减少车轮与铁轨间的摩擦
6.(2021江西宜春宜丰二中高一下月考)高铁技术迅猛发展,目前已经修建好的成西高铁,横跨川陕两省,极大地缩短了德阳到西安的运行时间。设计师根据地形设计一弯道,半径为2 870 m,限定速度为144 km/h(此时车轮轮缘不受力)。已知我国的轨距为1 435 mm且角度较小时,tan θ=sin θ,重力加速度g=10 m/s2,则高速列车在通过此弯道时的外轨超高值为 (深度解析)
A.8 cm B.9 cm C.10 cm D.11 cm
7.(2021北京海淀清华附中高一期末)铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的。弯道处要求外轨比内轨高,其内外轨高度差h的设计不仅与r有关,还取决于火车在弯道上的行驶速率。下表是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之对应的内外轨的高度差h。
弯道半径r/m
660
330
220
165
132
110
内外轨高度差h/mm
50
100
150
200
250
300
(1)根据表中数据,推理求出当r=440 m时,h的设计值;
(2)铁路建成后,火车通过弯道时,为保证绝对安全,要求内外轨道均不向车轮施加侧向压力,又已知我国铁路内外轨的间距设计值为L=1 435 mm,结合表中数据,算出我国火车的转弯速率v;(以km/h为单位,结果取整数;路轨倾角很小时,正弦值按正切值处理,g=9.8 m/s2)
(3)随着人们生活节奏的加快,人们对交通运输的快捷提出了更高的要求。为了提高运输力,国家对火车不断进行提速,这就要求火车转弯速率也需要提高。请根据上述计算原理和上述表格分析提速时应采取怎样的有效措施。(说出一条措施即可)
题组三 拱形与凹形路面
8.(2021广东顺德李兆基中学高一下月考)一汽车通过拱形桥顶点时速度为10 m/s,车对桥顶的压力为车重的34。如果要使汽车在桥顶对桥面没有压力,车速至少为(重力加速度g取10 m/s2) ( )
A.15 m/s B.20 m/s C.25 m/s D.30 m/s
9.(多选)如图所示,质量为m的汽车沿半径为R的半圆形拱桥运动,当汽车通过拱形桥最高点B时速度大小为v,空气阻力忽略不计,则此时 (深度解析)
A.汽车速度越大,对拱桥压力越小
B.在B点的速度最小值为gR
C.若汽车速度等于gR,汽车将做平抛运动,越过桥后落地点与B点的水平距离为2R
D.若汽车对桥顶的压力为mg2,则汽车的速度大小为gR2
10.(2021广东佛山一中高一下月考)一载重汽车以不变的速率在丘陵地带行驶,如图所示,汽车先后驶过A、B、C三点,则以下说法正确的是 ( )
A.汽车在行驶过程中所受的合力为0
B.汽车在行驶过程中合力保持不变
C.汽车在B处处于超重状态
D.汽车行驶到C处时最容易爆胎
11.如图所示,一个凹形桥模拟器固定在水平地面上,其凹形轨道是半径为0.4 m的半圆,且在半圆最低点装有一个压力传感器(图中未画出)。一质量为0.4 kg的玩具小车经过凹形轨道最低点时,传感器的示数为8 N,则此时小车的速度大小为(取g=10 m/s2) ( )
A.2 m/s B.4 m/s C.8 m/s D.16 m/s
12.如图甲所示,质量为m的汽车通过半径为R的凹形桥面,在最低点时桥面对汽车的支持力大小是车重的1.5倍,汽车可看作质点,重力加速度为g。
(1)求汽车在最低点时的速度大小;
(2)如图乙所示,这辆汽车以同样大小的速度,通过半径也为R的拱形桥面的最高点,求此时汽车对桥面的压力大小。
能力提升练
题组一 游乐场、竞技场中的圆周运动
1.(2021江苏常州高一下期末,)(多选)如图所示,转轮边缘用不同长度的钢绳系着椅子,乘客坐在椅子中系上安全带,随转轮一起做匀速圆周运动,这就是大家非常喜爱的“空中飞椅”。不计空气阻力和钢绳的重力,下列说法中正确的是 ( )
A.角速度越大,钢绳与竖直方向的夹角越大
B.人质量越小,钢绳与竖直方向的夹角越大
C.钢绳越长,钢绳与竖直方向的夹角越大
D.钢绳越短,钢绳与竖直方向的夹角越大
2.(2021甘肃兰州一中高一下月考,)(多选)“飞车走壁”是一种传统的杂技艺术,表演者骑车在倾角很大的桶面上做圆周运动而不掉下来。示意图如图所示,已知桶壁的倾角为θ,车和人的总质量为m,做圆周运动的半径为r,重力加速度为g。若使表演者骑车做圆周运动时沿桶壁方向不受桶壁的摩擦力,下列说法正确的是 ( )
A.人和车的速度为grtanθ
B.人和车的速度为grsinθ
C.桶面对车的弹力为mgcosθ
D.桶面对车的弹力为mgsinθ
3.(2021江苏常州高一下期末,)自行车山地越野赛在一段山路转弯时的情景如图所示,转弯时当地面对车的作用力通过车(包括人)的重心时,车将不会倾倒。设自行车和人的总质量M=80 kg,自行车轮胎与路面间的动摩擦因数μ=0.8,最大静摩擦力等于滑动摩擦力大小,弯道可看成一段半径r=50 m的圆弧,取g=10 m/s2,空气阻力不计。
(1)若弯道处路面水平,求自行车受到的最大静摩擦力fm;
(2)若弯道处路面水平,求自行车转弯时不发生侧滑的最大速度vm;
(3)若弯道处路面向内侧倾斜,与水平面的夹角为15°,要使自行车不受侧向摩擦力作用,其速度应等于多少?(已知sin 15°=0.259,cos 15°=0.966,tan 15°=0.268)
题组二 日常生活中的圆周运动
4. (2021广东广州二中高一下月考,)(多选)市面上有一种自动计数的智能呼啦圈,深受女士喜爱。如图甲,腰带外侧带有轨道,将带有滑轮的短杆穿入轨道,短杆的另一端悬挂一根带有配重的细绳,其简化模型如图乙所示。已知配重质量为0.5 kg,绳长为0.4 m,悬挂点到腰带中心的距离为0.2 m。水平固定好腰带,通过人体微小扭动,使配重做水平匀速圆周运动,计数器显示在1 min内圈数为120,此时绳子与竖直方向的夹角为θ。配重运动过程中认为腰带没有变形,重力加速度g取
10 m/s2,sin 37°=0.6,下列说法正确的是 ( )
A.θ为37°
B.若增大转速,腰受到腰带的摩擦力不变
C.若增大转速,腰受到腰带的弹力增大
D.匀速转动时,腰给腰带的作用力不变
5.(2021山东临沂二十四中高一下月考,)设计师设计了一个非常有创意的募捐箱,如图甲所示,把硬币从投币口放入,接着在募捐箱上类似于漏斗形的部位(如图丙所示,O点为漏斗形口的圆心)滑动很多圈之后从中间的小孔掉入募捐箱。如果硬币在不同位置的运动都可以看成匀速圆周运动,摩擦阻力忽略不计,则关于某一枚硬币通过a、b两处时运动和受力情况的说法正确的是 ( )
A.在a、b两处做圆周运动的圆心都为O点
B.向心力的大小:Fa=Fb
C.角速度的大小:ωa>ωb
D.向心加速度的大小:aa
(1)缓慢增大圆盘的转速,求小物体从圆盘上甩出时的速度大小;
(2)为使小物体不滑落到地面,餐桌半径R的最小值为多大?
题组三 交通运输中的圆周运动
7.()歼-20是具备高隐身性、高态势感知、高机动性等能力的隐形第五代制空战斗机。已知受过专门训练的空军飞行员最多可承受的弹力大小为其自身受到的重力的9倍,超过这一数值会大脑贫血甚至昏厥。在某次对敌作战(军事演习)中为躲避敌方导弹,飞行员驾驶歼-20在竖直平面上沿圆弧轨道展开俯冲拉起。若圆弧半径为125 m,取重力加速度大小g=10 m/s2,则飞机在最低点时的最大速度为(深度解析)
A.250 m/s B.125 m/s
C.111 m/s D.100 m/s
题组四 工农业生产中的圆周运动
8.(2021山东新高考联盟高一下联考,)如图是小型电动打夯机的工作示意图,在距O轴r=0.5 m处有一质量为m=20 kg的重锤,打夯机启动后,重锤以10 rad/s的角速度绕O轴匀速转动,打夯机相对地面静止,则打夯机对地面的最大压力和最小压力之差为(重锤可视为质点) ( )
A.500 N B.1 000 N
C.1 500 N D.2 000 N
9.(2021河北名校预测高三模拟,)(多选)在养牛场里,把牛用细绳拴在木桩上,绳伸直,牛绕木桩沿同一方向旋转,细绳变短,牛到木桩的距离越来越短,这个过程可简化为如下模型:在光滑的水平面上固定一个横截面为正方形abcd的柱子,一个小球用轻质细线拴在柱子上的a点,给小球一个初速度,小球绕柱子做圆周运动,俯视图如图所示。小球质量为m=1 kg,细线长度为L=1 m,正方形abcd的边长为s=0.2 m。开始时细线被拉直,且细线和ad在同一条直线上,沿abcd每阶段小球均绕柱子做匀速圆周运动,最终击中b点,小球运动过程中的速度始终为1 m/s,下列说法正确的是 ( )
A.细线能承受的张力至少为5 N
B.细线上的最大张力与最小张力之比为4∶1
C.从小球开始运动到击中b点前的过程中,细线上的张力突变了4次
D.若细线能承受的最大张力为3 N,小球做圆周运动的时间为1.5π s
答案全解全析
第二章 圆周运动
第三节 生活中的圆周运动
基础过关练
1.A 汽车做匀速圆周运动,受到重力、支持力、牵引力和摩擦力作用,合力提供向心力,故所受的合力一定不为0,且合力的方向时刻改变,选项B、C、D错误;汽车匀速率通过环形路段时,侧向静摩擦力提供向心力,故当侧向静摩擦力最大且汽车的转弯半径最大时,汽车的速度最大,有0.8mg=mv2r,解得v=24 m/s,选项A正确。
2.B 设路面的倾角为θ,作出竖直平面内汽车的受力图,如图。根据牛顿第二定律得mg tan θ=mv2R,由数学知识得tan θ=ℎd,联立解得v=gRℎd,选项B正确。
3.答案 (1)0.2 rad/s (2)4×103 N (3)见解析
解析 (1)由公式ω=vr可知,这辆汽车转弯时的角速度
ω=vr=1050 rad/s=0.2 rad/s
(2)这辆汽车转弯时需要向心力的大小F=mω2r=2×103×0.22×50 N=4×103 N
(3)汽车转弯时,由侧向摩擦力提供向心力,即f=mv2r
当摩擦力达到最大静摩擦力时,汽车的速度达到不发生侧滑的最大速度,有fmax=mvmax2r
所以为避免汽车在弯道处侧滑,可采取的措施有:增大转弯处路面的粗糙程度,汽车减速行驶等。
4.D 火车拐弯时内、外轨均不会受到轮缘的侧向挤压,火车靠重力和支持力的合力提供向心力,设转弯处轨道的倾角为θ,根据牛顿第二定律得mg tan θ=mv2R,解得v=gRtanθ,为了提高转弯速度,可以增大轨道倾角或增大转弯半径,选项D正确。
5.B 当火车以规定的行驶速度v转弯时,满足mg tan θ=mv2R,得v=gRtanθ,与火车的质量无关,选项A错误;当火车的速度大于规定速度v时,重力和支持力的合力不足以提供向心力,此时外轨对火车轮缘有侧压力,轮缘挤压外轨,此时火车将有向外侧冲出轨道的危险,选项B正确,C错误;弯道处的内外轨道有高度差,主要是为了火车拐弯时不侧向挤压内、外轨,靠重力和支持力的合力提供向心力,选项D错误。
6.A 半径R=2 870 m,限定速度v=144 km/h=40 m/s;根据牛顿第二定律得
mg tan θ=mv2R,解得tan θ=8143.5,由题意得tan θ=sin θ=ℎL,而L=1 435 mm=
1.435 m,联立解得h=0.08 m=8 cm,选项A正确。
导师点睛
对火车转弯问题的理解
(1)不管路面是水平的,还是倾斜的,车辆在转弯的过程中重心的高度不变,即车辆重心的轨迹在同一水平面内,是水平面内的圆周运动,向心力和向心加速度均沿着水平面指向圆心。
(2)火车在弯道上行驶时的规定速度v0=gRtanθ,由此可以看出,火车通过弯道的规定速度取决于弯道的半径R和弯道的倾斜角θ(或内外轨的高度差h),与火车的质量m无关。在修建铁路时,要根据转弯处弯道半径和规定的行驶速度来确定内外轨的高度差。
7.答案 (1)75 mm (2)54 km/h (3)见解析
解析 (1)分析表中数据可得,每组的h与r的乘积均相等,即hr=660×50×10-3 m2=
33 m2
当r=440 m时
h=33440 m=0.075 m=75 mm
(2)内外轨道均不向车轮施加侧向压力时,重力和支持力的合力提供向心力,有
mg tan θ=mv2r
tan θ≈sin θ=ℎL
则v≈gℎrL≈15 m/s=54 km/h
(3)由(2)可知,火车提速可采取的有效措施有:a.适当增大内外轨的高度差;b.适当增大弯道的轨道半径。
8.B 汽车对桥顶的压力为车重的34时,由牛顿第三定律知,汽车所受支持力也为车重的34,由牛顿第二定律得mg-34mg=mv2R,解得R=40 m;汽车在桥顶对桥面恰好没有压力时,有mg=mv12R,解得v1=20 m/s,选项B正确。
9.AC 由题知汽车通过拱桥最高点B时速度大小为v,设此时桥顶对车的支持力为N,根据牛顿第二定律可得mg-N=mv2R,据此分析可知汽车速度越大,对拱桥的压力越小,选项A正确;当v=gR时,N=0,即在B点的速度最大值为gR,选项B错误;若汽车速度等于gR,汽车对桥面无压力,空气阻力忽略不计,则汽车将做平抛运动,下落至与圆心等高处,满足R=12gt2,可得t=2Rg,水平方向有x=vt=2R,故汽车越过桥后落地点与B点的水平距离为2R,选项C正确;若汽车对桥顶的压力为mg2,则汽车受到的支持力为mg2,由牛顿第二定律得mg-N=mv2R,解得汽车的速度大小为v=gR2,选项D错误。
方法技巧
解决汽车过桥问题的步骤
(1)选取研究对象,确定轨道平面、圆心位置和轨道半径;
(2)正确分析研究对象的受力情况,明确向心力来源;
(3)根据牛顿第二定律,沿向心加速度方向建立动力学方程求解。
10.C 汽车在行驶过程中做曲线运动,所以汽车所受合力不为零,选项A错误;汽车行驶过程中所受合力的方向是不断变化的,选项B错误;汽车驶过B点时,在竖直方向有FN-mg=mv2R,FN>mg,可知汽车在B处时对地面的压力大于自身的重力,即处于超重状态,选项C正确;汽车行驶到C处时处于失重状态,对地面的压力小于自身重力,所以不容易爆胎,选项D错误。故选C。
11.A 小车经过凹形桥的最低点时,在竖直方向受重力和支持力,沿半径方向的合外力提供向心力,由牛顿第二定律有FN-mg=mv2R,由牛顿第三定律得F'N=FN,而F'N即视重,为8 N,联立得速度大小v=(FN-mg)Rm=2 m/s,选项A正确。
12.答案 (1)12gR (2)12mg
解析 (1)汽车通过凹形桥最低点时,向心力方向竖直向上,故有
FN1-mg=mv2R
由已知条件可知FN1=1.5mg
联立得v=12gR
(2)汽车通过拱形桥最高点时,向心力方向竖直向下,故有
mg-FN2=mv2R
所以FN2=12mg
根据牛顿第三定律可得:汽车对桥面的压力大小为12mg
能力提升练
1.AC 设转轮半径为r,钢绳长为L,钢绳与竖直方向的夹角为θ,依据题意,乘客和椅子一起做圆锥摆运动,转动半径R=r+L·sin θ,将乘客和椅子视为整体,画出受力示意图如图所示,整体受重力和钢绳的拉力作用,设运动的角速度为ω,根据圆锥摆运动的特点,有T sin θ=mω2R,T cos θ=mg,解得tan θ=ω2Rg=ω2(r+Lsinθ)g,由上式可知,角速度越大,钢绳与竖直方向的夹角越大,钢绳与竖直方向的夹角与质量无关,选项A正确,选项B错误;同轴转动角速度相等,由tan θ=ω2(r+Lsinθ)g可知,钢绳越长,钢绳与竖直方向的夹角越大,选项D错误,C正确。
2.AC 人和车做圆周运动,由重力和支持力的合力提供向心力,如图所示,人和车所受的合力为F合=mg tan θ,有mg tan θ=mv2r,解得v=grtanθ,选项B错误,A正确;桶面对车的弹力为FN=mgcosθ,选项D错误,C正确。
3.答案 (1)640 N (2)20 m/s (3)134 m/s
解析 (1)由fm=μMg
解得fm=640 N
(2)自行车恰好不发生侧滑时,有fm=Mvm2r
解得vm=20 m/s
(3) 自行车不受侧向摩擦力,则重力和路面支持力的合力提供向心力,有
Mg tan 15°=Mv2r
解得v=134 m/s
5. BC 计数器显示在1 min内圈数为120,可得周期为T=1min120=0.5 s;配重的运动可看成圆锥摆运动,受力分析如图甲所示,根据牛顿第二定律得mg tan θ=m4π2T2r,而圆周运动的半径r=r0+L sin θ,联立解得θ≠37°,选项A错误。若增大转速,配重做匀速圆周运动的半径变大,绳与竖直方向的夹角θ将增大,而mg=T cos θ,
T sin θ=Fn,可知拉力T变大,向心力Fn变大;对腰带受力分析如图乙所示,有f=Mg+T cos θ=Mg+mg,N=T sin θ=Fn,故腰受到腰带的摩擦力大小不变,腰受到腰带的弹力增大,选项B、C正确。匀速转动时,腰给腰带的作用力是支持力N和摩擦力f的合力,其大小不变,但方向时刻变化,选项D错误。
5.D 在运动过程中,硬币做圆周运动的圆心应该在轨迹平面内且在过漏斗口圆心O点的竖直轴上,选项A错误;设a、b所在弧在a、b两点的切线与水平方向的夹角分别为α、β,根据力的合成可得硬币通过a处时向心力Fa=mg tan α,硬币通过b处时向心力Fb=mg tan β,而α<β,故向心力的大小Farb,所以ωa<ωb,选项C错误;由于Fa
解析 (1)由题意可得,当小物体在圆盘上随圆盘一起转动时,圆盘对小物体的静摩擦力提供向心力,所以随着圆盘转速的增大,小物体受到的静摩擦力增大。当静摩擦力达到最大时,小物体即将被甩出,此时圆盘的角速度达到最大,有fm=μ1N=
mrω2,N=mg
两式联立可得ω=μ1gr=2 rad/s
所以小物体从圆盘上甩出时的速度大小v0=ωr=3 m/s
(2)由题意可得,临界情况是当小物体滑到餐桌边缘时速度恰好减为零。设小物体在餐桌上滑动的位移为s,小物体在餐桌上做匀减速运动的加速度大小为a,则有a=fm,f=μ2mg
所以a=μ2g=2.25 m/s2
小物体在餐桌上滑动的初速度为v0=3 m/s
由运动学公式得0-v02=-2as
可得s=2 m
由几何关系可知餐桌半径的最小值为
R=r2+s2=2.5 m
6. D 飞机做圆周运动的半径为125 m,在最低点有9mg-mg=mv2R,解得v=8gR=
100 m/s,选项D正确。
方法技巧
飞机类问题的处理方法
(1)确定研究对象(一般为飞机的飞行员),进行受力分析;
(2)确定飞机所在的平面,找出圆心所在的位置,确定飞机飞行的半径大小;
(3)根据牛顿第二定律列方程,判断飞行员的运动状态。
8.D 重锤运动到最高点时,打夯机对地面的压力最小,根据牛顿第二定律有mg+F1=mrω2,设打夯机(不含重锤)的质量为M,则打夯机对地面的压力为FN1=Mg-F1=Mg+mg-mrω2。重锤运动到最低点时,打夯机对地面的压力最大,根据牛顿第二定律有F2-mg=mrω2,则打夯机对地面的压力为FN2=Mg+F2=Mg+mg+mrω2,打夯机对地面最大压力和最小压力之差为ΔF=FN2-FN1=2mrω2=2 000 N,选项D正确。
9.AC 小球绕正方形柱子做圆周运动,每转过90°,运动半径减小0.2 m,根据向心力公式F=mv2R可知小球运动半径R取最小值Rmin=0.2 m时细线上的张力最大,即Fmax=mv02Rmin=5 N,因此小球想要击中b点,细线能承受的张力至少为5 N,选项A正确;小球运动半径最大时,即半径为1 m时细线上的张力最小,为Fmin=mv02Rmax=1 N,最大张力与最小张力之比为5∶1,选项B错误;小球的速度大小不变,半径R突然变短,向心力就突然变大,细线上的张力就突然变大,半径R突变了4次,则细线上的张力突变了4次,选项C正确;若细线能承受的最大张力为3 N,根据向心力公式可知细线上的张力为3 N时小球做圆周运动的半径R0=mv02F=13 m≈0.33 m,即当小球做圆周运动的半径突变为0.2 m时细线就断了,故小球做圆周运动的总路程L总=14(2π×1+2π×
0.8+2π×0.6+2π×0.4) m,做圆周运动的总时间为t=L总v0=1.4π s,选项D错误。
第二章 圆周运动
第三节 生活中的圆周运动
基础过关练
题组一 公路弯道
1.(2021山东济南高一下期中)在城市车流量大、多路口交汇的地方常设置环岛,需要通过路口的车辆都按照逆时针方向行进,有效减少了交通事故的发生。假设环岛路为圆形且水平,车道的最大转弯半径为72 m,汽车受到的最大静摩擦力等于车重的0.8,g取10 m/s2,当汽车匀速率通过环形路段时,则汽车 ( )
A.最大速度不能超过24 m/s
B.所受的合力为零
C.一定受到恒定的合外力作用
D.受重力、弹力、摩擦力和向心力的作用
2.(2021辽宁实验中学高一下期末)在高速公路的拐弯处,通常路面都是外高内低。如图所示,在某路段汽车向左拐弯,司机左侧的路面比右侧的路面低一些。汽车的运动可看作是半径为R的圆周运动,设内外路面高度差为h,路基的水平宽度为d,路面的宽度为L。已知重力加速度为g。要使车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零,则汽车转弯时的车速应等于 ( )
A.gRℎL B.gRℎd C.gRLd D.gRdℎ
3.(2021北京第四十三中学高一下月考)汽车转弯时如果速度过大,容易发生侧滑,因此,汽车转弯时不允许超过规定的速度。如图所示,一辆质量m=2.0×103 kg的汽车(可视为质点)在水平公路的弯道上行驶,速度的大小v=10 m/s,其轨迹可视为半径r=50 m的圆弧。
(1)求这辆汽车转弯时的角速度ω;
(2)求这辆汽车转弯时需要向心力的大小F;
(3)请你从道路设计者或驾驶员的角度,提出一条可避免汽车在弯道处侧滑的措施。
题组二 铁路弯道
4.(2021广东广州第二中学高一下月考)在修筑铁路时,弯道处的外轨会略高于内轨,当火车以规定的行驶速度转弯时,内、外轨均不会受到轮缘的侧向挤压。为了提高转弯速度,下列可行的措施是 ( )
A.减小火车质量 B.增大火车质量
C.减小转弯半径 D.增大轨道倾角
5.(2021江苏盐城高一下期末)在修筑铁路时,弯道处的外轨会略高于内轨。如图所示,当火车以规定的行驶速度v转弯时,下列说法正确的是 ( )
A.当火车的质量改变时,规定的行驶速度也改变
B.当火车的速度大于v时,外轨将受到轮缘的挤压
C.当火车的速度小于v时,火车将有向外侧冲出轨道的危险
D.设计弯道处的外轨略高于内轨主要是为了减少车轮与铁轨间的摩擦
6.(2021江西宜春宜丰二中高一下月考)高铁技术迅猛发展,目前已经修建好的成西高铁,横跨川陕两省,极大地缩短了德阳到西安的运行时间。设计师根据地形设计一弯道,半径为2 870 m,限定速度为144 km/h(此时车轮轮缘不受力)。已知我国的轨距为1 435 mm且角度较小时,tan θ=sin θ,重力加速度g=10 m/s2,则高速列车在通过此弯道时的外轨超高值为 (深度解析)
A.8 cm B.9 cm C.10 cm D.11 cm
7.(2021北京海淀清华附中高一期末)铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的。弯道处要求外轨比内轨高,其内外轨高度差h的设计不仅与r有关,还取决于火车在弯道上的行驶速率。下表是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之对应的内外轨的高度差h。
弯道半径r/m
660
330
220
165
132
110
内外轨高度差h/mm
50
100
150
200
250
300
(1)根据表中数据,推理求出当r=440 m时,h的设计值;
(2)铁路建成后,火车通过弯道时,为保证绝对安全,要求内外轨道均不向车轮施加侧向压力,又已知我国铁路内外轨的间距设计值为L=1 435 mm,结合表中数据,算出我国火车的转弯速率v;(以km/h为单位,结果取整数;路轨倾角很小时,正弦值按正切值处理,g=9.8 m/s2)
(3)随着人们生活节奏的加快,人们对交通运输的快捷提出了更高的要求。为了提高运输力,国家对火车不断进行提速,这就要求火车转弯速率也需要提高。请根据上述计算原理和上述表格分析提速时应采取怎样的有效措施。(说出一条措施即可)
题组三 拱形与凹形路面
8.(2021广东顺德李兆基中学高一下月考)一汽车通过拱形桥顶点时速度为10 m/s,车对桥顶的压力为车重的34。如果要使汽车在桥顶对桥面没有压力,车速至少为(重力加速度g取10 m/s2) ( )
A.15 m/s B.20 m/s C.25 m/s D.30 m/s
9.(多选)如图所示,质量为m的汽车沿半径为R的半圆形拱桥运动,当汽车通过拱形桥最高点B时速度大小为v,空气阻力忽略不计,则此时 (深度解析)
A.汽车速度越大,对拱桥压力越小
B.在B点的速度最小值为gR
C.若汽车速度等于gR,汽车将做平抛运动,越过桥后落地点与B点的水平距离为2R
D.若汽车对桥顶的压力为mg2,则汽车的速度大小为gR2
10.(2021广东佛山一中高一下月考)一载重汽车以不变的速率在丘陵地带行驶,如图所示,汽车先后驶过A、B、C三点,则以下说法正确的是 ( )
A.汽车在行驶过程中所受的合力为0
B.汽车在行驶过程中合力保持不变
C.汽车在B处处于超重状态
D.汽车行驶到C处时最容易爆胎
11.如图所示,一个凹形桥模拟器固定在水平地面上,其凹形轨道是半径为0.4 m的半圆,且在半圆最低点装有一个压力传感器(图中未画出)。一质量为0.4 kg的玩具小车经过凹形轨道最低点时,传感器的示数为8 N,则此时小车的速度大小为(取g=10 m/s2) ( )
A.2 m/s B.4 m/s C.8 m/s D.16 m/s
12.如图甲所示,质量为m的汽车通过半径为R的凹形桥面,在最低点时桥面对汽车的支持力大小是车重的1.5倍,汽车可看作质点,重力加速度为g。
(1)求汽车在最低点时的速度大小;
(2)如图乙所示,这辆汽车以同样大小的速度,通过半径也为R的拱形桥面的最高点,求此时汽车对桥面的压力大小。
能力提升练
题组一 游乐场、竞技场中的圆周运动
1.(2021江苏常州高一下期末,)(多选)如图所示,转轮边缘用不同长度的钢绳系着椅子,乘客坐在椅子中系上安全带,随转轮一起做匀速圆周运动,这就是大家非常喜爱的“空中飞椅”。不计空气阻力和钢绳的重力,下列说法中正确的是 ( )
A.角速度越大,钢绳与竖直方向的夹角越大
B.人质量越小,钢绳与竖直方向的夹角越大
C.钢绳越长,钢绳与竖直方向的夹角越大
D.钢绳越短,钢绳与竖直方向的夹角越大
2.(2021甘肃兰州一中高一下月考,)(多选)“飞车走壁”是一种传统的杂技艺术,表演者骑车在倾角很大的桶面上做圆周运动而不掉下来。示意图如图所示,已知桶壁的倾角为θ,车和人的总质量为m,做圆周运动的半径为r,重力加速度为g。若使表演者骑车做圆周运动时沿桶壁方向不受桶壁的摩擦力,下列说法正确的是 ( )
A.人和车的速度为grtanθ
B.人和车的速度为grsinθ
C.桶面对车的弹力为mgcosθ
D.桶面对车的弹力为mgsinθ
3.(2021江苏常州高一下期末,)自行车山地越野赛在一段山路转弯时的情景如图所示,转弯时当地面对车的作用力通过车(包括人)的重心时,车将不会倾倒。设自行车和人的总质量M=80 kg,自行车轮胎与路面间的动摩擦因数μ=0.8,最大静摩擦力等于滑动摩擦力大小,弯道可看成一段半径r=50 m的圆弧,取g=10 m/s2,空气阻力不计。
(1)若弯道处路面水平,求自行车受到的最大静摩擦力fm;
(2)若弯道处路面水平,求自行车转弯时不发生侧滑的最大速度vm;
(3)若弯道处路面向内侧倾斜,与水平面的夹角为15°,要使自行车不受侧向摩擦力作用,其速度应等于多少?(已知sin 15°=0.259,cos 15°=0.966,tan 15°=0.268)
题组二 日常生活中的圆周运动
4. (2021广东广州二中高一下月考,)(多选)市面上有一种自动计数的智能呼啦圈,深受女士喜爱。如图甲,腰带外侧带有轨道,将带有滑轮的短杆穿入轨道,短杆的另一端悬挂一根带有配重的细绳,其简化模型如图乙所示。已知配重质量为0.5 kg,绳长为0.4 m,悬挂点到腰带中心的距离为0.2 m。水平固定好腰带,通过人体微小扭动,使配重做水平匀速圆周运动,计数器显示在1 min内圈数为120,此时绳子与竖直方向的夹角为θ。配重运动过程中认为腰带没有变形,重力加速度g取
10 m/s2,sin 37°=0.6,下列说法正确的是 ( )
A.θ为37°
B.若增大转速,腰受到腰带的摩擦力不变
C.若增大转速,腰受到腰带的弹力增大
D.匀速转动时,腰给腰带的作用力不变
5.(2021山东临沂二十四中高一下月考,)设计师设计了一个非常有创意的募捐箱,如图甲所示,把硬币从投币口放入,接着在募捐箱上类似于漏斗形的部位(如图丙所示,O点为漏斗形口的圆心)滑动很多圈之后从中间的小孔掉入募捐箱。如果硬币在不同位置的运动都可以看成匀速圆周运动,摩擦阻力忽略不计,则关于某一枚硬币通过a、b两处时运动和受力情况的说法正确的是 ( )
A.在a、b两处做圆周运动的圆心都为O点
B.向心力的大小:Fa=Fb
C.角速度的大小:ωa>ωb
D.向心加速度的大小:aa
(1)缓慢增大圆盘的转速,求小物体从圆盘上甩出时的速度大小;
(2)为使小物体不滑落到地面,餐桌半径R的最小值为多大?
题组三 交通运输中的圆周运动
7.()歼-20是具备高隐身性、高态势感知、高机动性等能力的隐形第五代制空战斗机。已知受过专门训练的空军飞行员最多可承受的弹力大小为其自身受到的重力的9倍,超过这一数值会大脑贫血甚至昏厥。在某次对敌作战(军事演习)中为躲避敌方导弹,飞行员驾驶歼-20在竖直平面上沿圆弧轨道展开俯冲拉起。若圆弧半径为125 m,取重力加速度大小g=10 m/s2,则飞机在最低点时的最大速度为(深度解析)
A.250 m/s B.125 m/s
C.111 m/s D.100 m/s
题组四 工农业生产中的圆周运动
8.(2021山东新高考联盟高一下联考,)如图是小型电动打夯机的工作示意图,在距O轴r=0.5 m处有一质量为m=20 kg的重锤,打夯机启动后,重锤以10 rad/s的角速度绕O轴匀速转动,打夯机相对地面静止,则打夯机对地面的最大压力和最小压力之差为(重锤可视为质点) ( )
A.500 N B.1 000 N
C.1 500 N D.2 000 N
9.(2021河北名校预测高三模拟,)(多选)在养牛场里,把牛用细绳拴在木桩上,绳伸直,牛绕木桩沿同一方向旋转,细绳变短,牛到木桩的距离越来越短,这个过程可简化为如下模型:在光滑的水平面上固定一个横截面为正方形abcd的柱子,一个小球用轻质细线拴在柱子上的a点,给小球一个初速度,小球绕柱子做圆周运动,俯视图如图所示。小球质量为m=1 kg,细线长度为L=1 m,正方形abcd的边长为s=0.2 m。开始时细线被拉直,且细线和ad在同一条直线上,沿abcd每阶段小球均绕柱子做匀速圆周运动,最终击中b点,小球运动过程中的速度始终为1 m/s,下列说法正确的是 ( )
A.细线能承受的张力至少为5 N
B.细线上的最大张力与最小张力之比为4∶1
C.从小球开始运动到击中b点前的过程中,细线上的张力突变了4次
D.若细线能承受的最大张力为3 N,小球做圆周运动的时间为1.5π s
答案全解全析
第二章 圆周运动
第三节 生活中的圆周运动
基础过关练
1.A 汽车做匀速圆周运动,受到重力、支持力、牵引力和摩擦力作用,合力提供向心力,故所受的合力一定不为0,且合力的方向时刻改变,选项B、C、D错误;汽车匀速率通过环形路段时,侧向静摩擦力提供向心力,故当侧向静摩擦力最大且汽车的转弯半径最大时,汽车的速度最大,有0.8mg=mv2r,解得v=24 m/s,选项A正确。
2.B 设路面的倾角为θ,作出竖直平面内汽车的受力图,如图。根据牛顿第二定律得mg tan θ=mv2R,由数学知识得tan θ=ℎd,联立解得v=gRℎd,选项B正确。
3.答案 (1)0.2 rad/s (2)4×103 N (3)见解析
解析 (1)由公式ω=vr可知,这辆汽车转弯时的角速度
ω=vr=1050 rad/s=0.2 rad/s
(2)这辆汽车转弯时需要向心力的大小F=mω2r=2×103×0.22×50 N=4×103 N
(3)汽车转弯时,由侧向摩擦力提供向心力,即f=mv2r
当摩擦力达到最大静摩擦力时,汽车的速度达到不发生侧滑的最大速度,有fmax=mvmax2r
所以为避免汽车在弯道处侧滑,可采取的措施有:增大转弯处路面的粗糙程度,汽车减速行驶等。
4.D 火车拐弯时内、外轨均不会受到轮缘的侧向挤压,火车靠重力和支持力的合力提供向心力,设转弯处轨道的倾角为θ,根据牛顿第二定律得mg tan θ=mv2R,解得v=gRtanθ,为了提高转弯速度,可以增大轨道倾角或增大转弯半径,选项D正确。
5.B 当火车以规定的行驶速度v转弯时,满足mg tan θ=mv2R,得v=gRtanθ,与火车的质量无关,选项A错误;当火车的速度大于规定速度v时,重力和支持力的合力不足以提供向心力,此时外轨对火车轮缘有侧压力,轮缘挤压外轨,此时火车将有向外侧冲出轨道的危险,选项B正确,C错误;弯道处的内外轨道有高度差,主要是为了火车拐弯时不侧向挤压内、外轨,靠重力和支持力的合力提供向心力,选项D错误。
6.A 半径R=2 870 m,限定速度v=144 km/h=40 m/s;根据牛顿第二定律得
mg tan θ=mv2R,解得tan θ=8143.5,由题意得tan θ=sin θ=ℎL,而L=1 435 mm=
1.435 m,联立解得h=0.08 m=8 cm,选项A正确。
导师点睛
对火车转弯问题的理解
(1)不管路面是水平的,还是倾斜的,车辆在转弯的过程中重心的高度不变,即车辆重心的轨迹在同一水平面内,是水平面内的圆周运动,向心力和向心加速度均沿着水平面指向圆心。
(2)火车在弯道上行驶时的规定速度v0=gRtanθ,由此可以看出,火车通过弯道的规定速度取决于弯道的半径R和弯道的倾斜角θ(或内外轨的高度差h),与火车的质量m无关。在修建铁路时,要根据转弯处弯道半径和规定的行驶速度来确定内外轨的高度差。
7.答案 (1)75 mm (2)54 km/h (3)见解析
解析 (1)分析表中数据可得,每组的h与r的乘积均相等,即hr=660×50×10-3 m2=
33 m2
当r=440 m时
h=33440 m=0.075 m=75 mm
(2)内外轨道均不向车轮施加侧向压力时,重力和支持力的合力提供向心力,有
mg tan θ=mv2r
tan θ≈sin θ=ℎL
则v≈gℎrL≈15 m/s=54 km/h
(3)由(2)可知,火车提速可采取的有效措施有:a.适当增大内外轨的高度差;b.适当增大弯道的轨道半径。
8.B 汽车对桥顶的压力为车重的34时,由牛顿第三定律知,汽车所受支持力也为车重的34,由牛顿第二定律得mg-34mg=mv2R,解得R=40 m;汽车在桥顶对桥面恰好没有压力时,有mg=mv12R,解得v1=20 m/s,选项B正确。
9.AC 由题知汽车通过拱桥最高点B时速度大小为v,设此时桥顶对车的支持力为N,根据牛顿第二定律可得mg-N=mv2R,据此分析可知汽车速度越大,对拱桥的压力越小,选项A正确;当v=gR时,N=0,即在B点的速度最大值为gR,选项B错误;若汽车速度等于gR,汽车对桥面无压力,空气阻力忽略不计,则汽车将做平抛运动,下落至与圆心等高处,满足R=12gt2,可得t=2Rg,水平方向有x=vt=2R,故汽车越过桥后落地点与B点的水平距离为2R,选项C正确;若汽车对桥顶的压力为mg2,则汽车受到的支持力为mg2,由牛顿第二定律得mg-N=mv2R,解得汽车的速度大小为v=gR2,选项D错误。
方法技巧
解决汽车过桥问题的步骤
(1)选取研究对象,确定轨道平面、圆心位置和轨道半径;
(2)正确分析研究对象的受力情况,明确向心力来源;
(3)根据牛顿第二定律,沿向心加速度方向建立动力学方程求解。
10.C 汽车在行驶过程中做曲线运动,所以汽车所受合力不为零,选项A错误;汽车行驶过程中所受合力的方向是不断变化的,选项B错误;汽车驶过B点时,在竖直方向有FN-mg=mv2R,FN>mg,可知汽车在B处时对地面的压力大于自身的重力,即处于超重状态,选项C正确;汽车行驶到C处时处于失重状态,对地面的压力小于自身重力,所以不容易爆胎,选项D错误。故选C。
11.A 小车经过凹形桥的最低点时,在竖直方向受重力和支持力,沿半径方向的合外力提供向心力,由牛顿第二定律有FN-mg=mv2R,由牛顿第三定律得F'N=FN,而F'N即视重,为8 N,联立得速度大小v=(FN-mg)Rm=2 m/s,选项A正确。
12.答案 (1)12gR (2)12mg
解析 (1)汽车通过凹形桥最低点时,向心力方向竖直向上,故有
FN1-mg=mv2R
由已知条件可知FN1=1.5mg
联立得v=12gR
(2)汽车通过拱形桥最高点时,向心力方向竖直向下,故有
mg-FN2=mv2R
所以FN2=12mg
根据牛顿第三定律可得:汽车对桥面的压力大小为12mg
能力提升练
1.AC 设转轮半径为r,钢绳长为L,钢绳与竖直方向的夹角为θ,依据题意,乘客和椅子一起做圆锥摆运动,转动半径R=r+L·sin θ,将乘客和椅子视为整体,画出受力示意图如图所示,整体受重力和钢绳的拉力作用,设运动的角速度为ω,根据圆锥摆运动的特点,有T sin θ=mω2R,T cos θ=mg,解得tan θ=ω2Rg=ω2(r+Lsinθ)g,由上式可知,角速度越大,钢绳与竖直方向的夹角越大,钢绳与竖直方向的夹角与质量无关,选项A正确,选项B错误;同轴转动角速度相等,由tan θ=ω2(r+Lsinθ)g可知,钢绳越长,钢绳与竖直方向的夹角越大,选项D错误,C正确。
2.AC 人和车做圆周运动,由重力和支持力的合力提供向心力,如图所示,人和车所受的合力为F合=mg tan θ,有mg tan θ=mv2r,解得v=grtanθ,选项B错误,A正确;桶面对车的弹力为FN=mgcosθ,选项D错误,C正确。
3.答案 (1)640 N (2)20 m/s (3)134 m/s
解析 (1)由fm=μMg
解得fm=640 N
(2)自行车恰好不发生侧滑时,有fm=Mvm2r
解得vm=20 m/s
(3) 自行车不受侧向摩擦力,则重力和路面支持力的合力提供向心力,有
Mg tan 15°=Mv2r
解得v=134 m/s
5. BC 计数器显示在1 min内圈数为120,可得周期为T=1min120=0.5 s;配重的运动可看成圆锥摆运动,受力分析如图甲所示,根据牛顿第二定律得mg tan θ=m4π2T2r,而圆周运动的半径r=r0+L sin θ,联立解得θ≠37°,选项A错误。若增大转速,配重做匀速圆周运动的半径变大,绳与竖直方向的夹角θ将增大,而mg=T cos θ,
T sin θ=Fn,可知拉力T变大,向心力Fn变大;对腰带受力分析如图乙所示,有f=Mg+T cos θ=Mg+mg,N=T sin θ=Fn,故腰受到腰带的摩擦力大小不变,腰受到腰带的弹力增大,选项B、C正确。匀速转动时,腰给腰带的作用力是支持力N和摩擦力f的合力,其大小不变,但方向时刻变化,选项D错误。
5.D 在运动过程中,硬币做圆周运动的圆心应该在轨迹平面内且在过漏斗口圆心O点的竖直轴上,选项A错误;设a、b所在弧在a、b两点的切线与水平方向的夹角分别为α、β,根据力的合成可得硬币通过a处时向心力Fa=mg tan α,硬币通过b处时向心力Fb=mg tan β,而α<β,故向心力的大小Fa
解析 (1)由题意可得,当小物体在圆盘上随圆盘一起转动时,圆盘对小物体的静摩擦力提供向心力,所以随着圆盘转速的增大,小物体受到的静摩擦力增大。当静摩擦力达到最大时,小物体即将被甩出,此时圆盘的角速度达到最大,有fm=μ1N=
mrω2,N=mg
两式联立可得ω=μ1gr=2 rad/s
所以小物体从圆盘上甩出时的速度大小v0=ωr=3 m/s
(2)由题意可得,临界情况是当小物体滑到餐桌边缘时速度恰好减为零。设小物体在餐桌上滑动的位移为s,小物体在餐桌上做匀减速运动的加速度大小为a,则有a=fm,f=μ2mg
所以a=μ2g=2.25 m/s2
小物体在餐桌上滑动的初速度为v0=3 m/s
由运动学公式得0-v02=-2as
可得s=2 m
由几何关系可知餐桌半径的最小值为
R=r2+s2=2.5 m
6. D 飞机做圆周运动的半径为125 m,在最低点有9mg-mg=mv2R,解得v=8gR=
100 m/s,选项D正确。
方法技巧
飞机类问题的处理方法
(1)确定研究对象(一般为飞机的飞行员),进行受力分析;
(2)确定飞机所在的平面,找出圆心所在的位置,确定飞机飞行的半径大小;
(3)根据牛顿第二定律列方程,判断飞行员的运动状态。
8.D 重锤运动到最高点时,打夯机对地面的压力最小,根据牛顿第二定律有mg+F1=mrω2,设打夯机(不含重锤)的质量为M,则打夯机对地面的压力为FN1=Mg-F1=Mg+mg-mrω2。重锤运动到最低点时,打夯机对地面的压力最大,根据牛顿第二定律有F2-mg=mrω2,则打夯机对地面的压力为FN2=Mg+F2=Mg+mg+mrω2,打夯机对地面最大压力和最小压力之差为ΔF=FN2-FN1=2mrω2=2 000 N,选项D正确。
9.AC 小球绕正方形柱子做圆周运动,每转过90°,运动半径减小0.2 m,根据向心力公式F=mv2R可知小球运动半径R取最小值Rmin=0.2 m时细线上的张力最大,即Fmax=mv02Rmin=5 N,因此小球想要击中b点,细线能承受的张力至少为5 N,选项A正确;小球运动半径最大时,即半径为1 m时细线上的张力最小,为Fmin=mv02Rmax=1 N,最大张力与最小张力之比为5∶1,选项B错误;小球的速度大小不变,半径R突然变短,向心力就突然变大,细线上的张力就突然变大,半径R突变了4次,则细线上的张力突变了4次,选项C正确;若细线能承受的最大张力为3 N,根据向心力公式可知细线上的张力为3 N时小球做圆周运动的半径R0=mv02F=13 m≈0.33 m,即当小球做圆周运动的半径突变为0.2 m时细线就断了,故小球做圆周运动的总路程L总=14(2π×1+2π×
0.8+2π×0.6+2π×0.4) m,做圆周运动的总时间为t=L总v0=1.4π s,选项D错误。
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