2020-2021学年人教版天津市和平区九年级数学上学期期末考试试卷

这是一份2020-2021学年人教版天津市和平区九年级数学上学期期末考试试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年天津市和平区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列命题中，是真命题的是（　　）
A．直角三角形都相似 B．等腰三角形都相似
C．矩形都相似 D．正方形都相似
3．二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的坐标如下表所示，则该函数图象的顶点坐标为（　　）
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
3
4
3
…
A．（﹣1，0） B．（0，3） C．（1，4） D．（2，3）
4．如图，一个油桶靠在直立的墙边，量得WY＝0.5m，并且XY⊥WY，则这个油桶的底面半径是（　　）

A．0.25m B．0.5m C．0.75m D．1m
5．一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有编号不同），编号为1，2，3，5．从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，E是边AC上一点，AE＝5，ED⊥AB，垂足为点D，则AD的长是（　　）

A．16 B． C．6 D．4
7．在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是（　　）

A．四边形NPMQ B．四边形NPMR C．四边形NHMQ D．四边形NHMR
8．如图，在▱OABC中，∠A＝60°，将▱OABC绕点O逆时针旋转得到▱OA′B'C′，且∠A'OC＝90°，设旋转角为α（0°＜α＜90°），则α的大小为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．75°
9．设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，（　　）
A．若h＝4，则a＜0 B．若h＝5，则a＞0
C．若h＝6，则a＜0 D．若h＝7，则a＞0
10．如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m．水面下降2.5m，水面宽度增加（　　）

A．1m B．2m C．3m D．6m
11．如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（　　）

A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90°
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，﹣4a），点A（4，y1）是该抛物线上一点，若点B（x2，y2）是该抛物线上任意一点，有下列结论：
①4a﹣2b+c＞0；
②抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），（3，0）；
③若y2＞y1，则x2＞4；
④若0≤x2≤4，则﹣3a≤y2≤5a．
其中，正确结论的个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在岔路口随机选择一条路径，它获得食物的概率是　 　．

14．已知正六边形的半径是3，则这个正六边形的边长是　 　．
15．如图，在△ABC中，点D，E在AC边上，且AE＝ED＝DC．点F，M在AB边上，且FE∥MD∥BC，延长FD交BC的延长线于点N，则的值＝　 　．

16．已知圆锥的底面半径为40cm，母线长为90cm，则它的侧面展开图的圆心角为　 　度．
17．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1，x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是　 　．
18．已知正方形ABCD的边长为6，O是BC边的中点．
（1）如图①，连接AO，则AO的长为　 　；
（2）如图②，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，则线段OF长的最小值为　 　．

三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．已知2是方程x2﹣c＝0的一个根，求常数c的值及该方程的另一根．



20．已知，⊙O中，＝，D是⊙O上的点，OC⊥BD．
（1）如图①，求证＝；
（2）如图②，连接AB，BC，CD，DA，若∠A＝70°，求∠BCD，∠ADB的大小．


21．已知⊙O的直径AB＝4，C为⊙O上一点，AC＝2．

（1）如图①，点P是上一点，求∠APC的大小；
（2）如图②，过点C作⊙O的切线MC，过点B作BD⊥MC于点D，BD与⊙O交于点E，求∠DCE的大小及CD的长．



22．一个直角三角形的两条直角边的和是7cm，面积是6cm2，求两条直角边的长．



23．如图，已知矩形ABCD的周长为36cm，矩形绕它的一条边CD旋转形成一个圆柱．设矩形的一边AB的长为xcm（x＞0），旋转形成的圆柱的侧面积为Scm2．
（1）用含x的式子表示：
矩形的另一边BC的长为　 　cm，旋转形成的圆柱的底面圆的周长为　 　cm；
（2）求S关于x的函数解析式及自变量x的取值范围；
（3）求当x取何值时，矩形旋转形成的圆柱的侧面积最大；
（4）若矩形旋转形成的圆柱的侧面积等于18πcm2，则矩形的长是　 　cm，宽是　 　cm．



24．在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，点P是边AB的中点，连接CP．
（1）如图①，∠B的大小＝　 　（度），AB的长＝　 　，CP的长＝　 　；
（2）延长BC至点O，使OC＝2BC，将△ABC绕点O逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△A'B'C'，点A，B，C，P的对应点分别为A'，B'，C'，P'．
①图②，当α＝30°时，求点C′到直线OB的距离及点C'到直线AB的距离；
②当C′P'与△ABC的一条边平行时，求点P'到直线AC的距离（直接写出结果即可）．




25．如图，点A，B，C都在抛物线y＝ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（其中﹣＜a＜0）上，AB∥x轴，∠ABC＝135°，且AB＝4．
（1）当m＝1时，求抛物线的顶点坐标；
（2）求点C到直线AB的距离（用含a的式子表示）；
（3）若点C到直线AB的距离为1，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．




2020-2021学年天津市和平区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题
1．B 2．D 3． C 4. B 5．A 6．D 7．A 8．A 9．C 10．B 11．D
12．C
二．填空题
13． ．
14． 3．
15．．
16． 160
17． c＜﹣2．
18． 3 3﹣2．
三．解答题
19．解：将x＝2代入x2﹣c＝0，得：4﹣c＝0，
解得c＝4，
所以方程为x2﹣4＝0，
则x2＝4，
∴x1＝2，x2＝﹣2．
所以c＝4，另一个根为x＝﹣2．
20．（1）证明：∵OC⊥BD，OC过O，
∴＝，
∵＝，
∴＝；
（2）解：∵四边形ABD是圆内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠A＝70°，
∴∠BCD＝110°，
∵＝，
∴∠CBD＝∠CDB＝（180°﹣∠BCD）＝35°，
∵＝，
∴∠ADB＝∠CDB＝35°．
21． 解：（1）连接OC，
∵AB为⊙O的直径，AB＝2AC，
∴OA＝OC＝AC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∴∠APC＝AOC＝30°；
（2）连接OE，OC，
∵MC是⊙O的切线，
∴MC⊥OC，
∵BD⊥MC，
∴∠MCO＝∠CDB＝90°，
∴BD∥OC，
∴∠B＝∠AOC＝60°，
∵OB＝OE，
∴△EOB是等边三角形，
∴∠EOB＝60°，
∴∠COE＝180°﹣∠EOB﹣∠AOC＝60°，
∵OC＝OE，
∴△OCE是等边三角形，
∴CE＝OC＝2，∠EOC＝60°，
∴∠DCE＝90°﹣∠ECO＝30°，
在Rt△COE中，CE＝2，
∴DE＝CE＝1，
∴CD＝＝＝．


22．解：设其中一条直角边的长为xcm，则另一条直角边的长为（7﹣x）cm，
依题意得：x（7﹣x）＝6，
整理得：x2﹣7x+12＝0，
解得：x1＝3，x2＝4．
当x＝3时，7﹣x＝4；
当x＝4时，7﹣x＝3．
答：两条直角边的长分别为3cm，4cm．
23．解：（1）BC＝（36﹣2x）＝（18﹣x）cm，
旋转形成的圆柱的底面圆的周长为2π（18﹣x）cm．
故答案为：（18﹣x），2π（18﹣x）．

（2）S＝2π（18﹣x）•x＝﹣2πx2+36πx（0＜x＜18）．

（3）∵S＝﹣2πx2+36πx＝﹣2π（x﹣9）2+162π，
又∵﹣2π＜0，
∴x＝9时，S有最大值．
（4）由题意：﹣2πx2+36πx＝18π，
∴x2﹣18x+9＝0，
解得x＝9+6或9﹣6（舍弃），
∴矩形的长是（9+6）cm，宽是（9﹣6）cm．
故答案为：（9+6），（9﹣6）．
24． 解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，
∴∠B＝∠A＝45°，
∵sinB＝＝，
∴AB＝2，
∵点P是边AB的中点，
∴CP＝＝，
故答案为45，2，．
（2）①过点C′作C′D⊥OB，垂足为点D，过点C′作C′E⊥AB，交BA的延长线于点E，连接AC′，

∵将△ABC绕点O逆时针旋转a得到△A′B′C′，
∴OC′＝OC＝2BC＝2×2＝4，
在R△OC′D中，∠O＝30°，
∴C′D＝OC′＝×4＝2，
∴点C′到直线OB的距离为2，OD＝＝＝2；
∵C′D⊥OB，∠ACB＝90°，
∴∠C′DB＝∠ACB＝90°，
∴AC∥C′D，
∵C′D＝2，AC＝2，C′D＝AC，
∴四边形C′DCA是平行四边形，
∴C′A＝DC＝OC﹣OD＝4﹣2，C′A∥DC，
∴∠EAC'＝∠B＝45°，
∠EC′A＝90°﹣∠EAC′＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EAC′＝∠EC′A
∴C′E＝AE，
在Rt△AC′E中，∵C′E2+AE2＝C′A2，
∴C′E2＝，
∴C′E＝C′A＝（4﹣2）＝2﹣．
∴点C′到直线AB的距离为2﹣；
②如图③﹣1中，当P′C′∥AC时，延长P′C′交OB于H．

∵P′H∥AC，
∴∠OHC′＝∠ACO＝90°，
∵∠OC′H＝∠B′C′P′＝45°，
∴OH＝OC′•cos45°＝2，
∴CH＝OC﹣OH＝4﹣2．
∴点P'到直线AC的距离为4﹣2．
如图③﹣2中，如图当P′C′∥AB时，过点P′作P′H⊥OB交BO的延长线于H，交A′C′于T．

由题意四边形OHTC′是矩形，OH＝C′T＝1，
∴CH＝OC+OH＝1+4＝5，
∴点P'到直线AC的距离为5．
如图③﹣3中，当P′C′∥BC时，延长B′A′交BO于H，可得OH＝OB′•cos45°＝3，

∴CH＝3+4，
∴点P'到直线AC的距离为4+3．
综上所述，点P'到直线AC的距离为4﹣2或4+3或5．
25．解：（1）当m＝1时，抛物线的解析式为y＝ax2﹣2ax+a﹣3，
∵y＝ax2﹣2ax+a﹣3＝a（x﹣1）2﹣3，
∴顶点坐标为（1，﹣3）；
（2）如图，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于D，

∵∠ABC＝135°，
∴∠CBD＝45°，
∵CD⊥AD，
∴∠DBC＝∠DCB＝45°，
∴BD＝CD，
∵y＝ax2﹣2amx+am2+2m﹣5＝a（x﹣m）2+2m﹣5，
∴顶点坐标为（m，2m﹣5），
∵AB＝4，
∴点B的横坐标为m+2，
∵点B在抛物线y＝a（x﹣m）2+2m﹣5上，
∴y＝a（m+2﹣m）2+2m﹣5＝4a+2m﹣5，
∴点B（m+2，4a+2m﹣5），
设点C到直线AB的距离为d，
∴BD＝CD＝d，
∴点C（m+2+d，4a+2m﹣5﹣d），
∵点C在抛物线y＝a（x﹣m）2+2m﹣5上，
∴4a+2m﹣5﹣d＝，a（m+2+d﹣m）2+2m﹣5，
整理得：ad2+4ad+d＝0，
∵d≠0，
∴d＝﹣，
∴点C到直线AB的距离为﹣；
（3）∵点C到直线AB的距离为1，
∴﹣＝1，
∴a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣m）2+2m﹣5．
分三种情况考虑：
①当m＞2m﹣2，即m＜2时，有﹣（2m﹣2﹣m）2+2m﹣5＝2，
整理，得：m2﹣14m+39＝0，
解得：m1＝7﹣（舍去），m2＝7+（舍去）；
②当2m﹣5≤m≤2m﹣2，即2≤m≤5时，有2m﹣5＝2，
解得：m＝；
③当m＜2m﹣5，即m＞5时，有﹣（2m﹣5﹣m）2+2m﹣5＝2，
整理，得：m2﹣20m+60＝0，
解得：m3＝10﹣2（舍去），m4＝10+2．
综上所述：m的值为或10+2．