课时质量评价5　基本不等式练习题

这是一份课时质量评价5　基本不等式练习题，共7页。试卷主要包含了下列不等式恒成立的是等内容，欢迎下载使用。
A组 全考点巩固练
1．(2020·上海卷)下列不等式恒成立的是( )
A．a2＋b2≤2ab
B．a2＋b2≥－2ab
C．a＋b≥2eq \r(|ab|)
D．a＋b≤－2eq \r(|ab|)
B 解析：对于选项A，因为a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，当且仅当a＝b时取等号，
所以a2＋b2≥2ab，故A错误．
对于选项B，因为a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2≥0，当且仅当a＝－b时取等号，
所以a2＋b2≥－2ab，故B正确．
对于选项C，令a＝－1，b＝2，则a＋b＝－1＋2＝1，2eq \r(|ab|)＝2eq \r(|－1×2|)＝2eq \r(2).
因为1＜2eq \r(2)，所以a＋b＜2eq \r(|ab|)，故C错误．
对于选项D，令a＝1，b＝0，则a＋b＝1，－2eq \r(|ab|)＝－2eq \r(|1×0|)＝0.
因为1>0，所以a＋b>－2eq \r(|ab|)，故D错误．
2．当x>0时，函数f (x)＝eq \f(2x,x2＋1)有( )
A．最小值1 B．最大值1
C．最小值2 D．最大值2
B 解析：f (x)＝eq \f(2,x＋\f(1,x))≤eq \f(2,2\r(x·\f(1,x)))＝1，当且仅当x＝eq \f(1,x)(x>0)，即x＝1时取等号，所以f (x)有最大值1.
3．司机甲、乙加油习惯不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定钱数的油，恰有两次甲、乙同时加同单价的油，但这两次的油价不同，则从这两次加油的均价角度分析( )
A．甲合适
B．乙合适
C．油价先高后低甲合适
D．油价先低后高甲合适
B 解析：设甲每次加m升油，乙每次加n元钱的油，第一次加油x元/升，第二次加油y元/升．甲的平均单价为eq \f(mx＋my,2m)＝eq \f(x＋y,2)，乙的平均单价为eq \f(2n,\f(n,x)＋\f(n,y))＝eq \f(2xy,x＋y).因为x≠y，所以eq \f(\f(x＋y,2),\f(2xy,x＋y))＝eq \f(x2＋y2＋2xy,4xy)>eq \f(4xy,4xy)＝1，即乙的两次平均单价低，乙的方式更合适．故选B．
4．(2020·滨州三校高三联考)已知a>0，b>0，若不等式eq \f(4,a)＋eq \f(1,b)≥eq \f(m,a＋b)恒成立，则m的最大值为( )
A．10B．12
C．16D．9
D 解析：由已知a>0，b>0，若不等式eq \f(4,a)＋eq \f(1,b)≥eq \f(m,a＋b)恒成立，则m≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,a)＋\f(1,b)))(a＋b)恒成立，转化成求y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,a)＋\f(1,b)))(a＋b)的最小值．y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,a)＋\f(1,b)))(a＋b)＝5＋eq \f(4b,a)＋eq \f(a,b)≥5＋2eq \r(\f(4b,a)·\f(a,b))＝9，当且仅当a＝2b时，等号成立，所以m≤9.故选D．
5．(2020·咸阳高三一模)已知x＋2y＝xy(x>0，y>0)，则2x＋y的最小值为( )
A．10B．9
C．8D．7
B 解析：由x＋2y＝xy得eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝1，所以2x＋y＝(2x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)＋\f(1,y)))＝5＋eq \f(2x,y)＋eq \f(2y,x)≥5＋2eq \r(\f(2x,y)·\f(2y,x))＝9，当且仅当eq \f(2x,y)＝eq \f(2y,x)，即x＝y时取等号，所以2x＋y的最小值为9.故选B．
6．(2020·临沂高三期末)当eq \r(x)＋eq \f(9,\r(x)＋1)取得最小值时，x＝________.
4 解析：eq \r(x)＋eq \f(9,\r(x)＋1)＝eq \r(x)＋1＋eq \f(9,\r(x)＋1)－1≥2eq \r(9)－1＝5，当且仅当eq \r(x)＋1＝eq \f(9,\r(x)＋1)，即x＝4时，等号成立．
7．(2020·枣庄高三统考)函数f (x)＝eq \f(2x2－4x＋5,x－1)(x＞1)的最小值是________．
2eq \r(6) 解析：由于x＞1，故x－1＞0，故f (x)＝2(x－1)＋eq \f(3,x－1)≥2eq \r(2x－1·\f(3,x－1))＝2eq \r(6)，当且仅当2(x－1)＝eq \f(3,x－1)，即x＝1＋eq \f(\r(6),2)时，函数取得最小值2eq \r(6).
8．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元．
8 解析：每台机器运转x年的年平均利润为eq \f(y,x)＝18－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(25,x)))，而x>0，故eq \f(y,x)≤18－2eq \r(25)＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大值为8万元．
9．某厂家拟定在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－eq \f(k,m＋1)(k为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？
解：(1)由题意知，当m＝0时，x＝1，
所以1＝3－k⇒k＝2，所以x＝3－eq \f(2,m＋1)(m≥0)．
又每件产品的销售价格为1.5×eq \f(8＋16x,x)，
所以2020年的利润y＝1.5x×eq \f(8＋16x,x)－8－16x－m
＝4＋8x－m＝4＋8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(2,m＋1)))－m
＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(16,m＋1)＋m＋1))＋29(m≥0)．
(2)因为m≥0时，eq \f(16,m＋1)＋(m＋1)≥2eq \r(16)＝8，
所以y≤－8＋29＝21，
当且仅当eq \f(16,m＋1)＝m＋1⇒m＝3时，
ymax＝21.
故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．
B组 新高考培优练
10．(多选题)(2020·潍坊高三期中)若x≥y，则下列不等式中正确的是( )
A．2x≥2yB．eq \f(x＋y,2)≥eq \r(xy)
C．x2≥y2D．x2＋y2≥2xy
AD 解析：由指数函数的单调性可知，当x≥y时，有2x≥2y，故A正确；当y0，x＋2y＝4，则eq \f(x＋12y＋1,xy)的最小值为________．
eq \f(9,2) 解析：eq \f(x＋12y＋1,xy)＝eq \f(2xy＋x＋2y＋1,xy)＝eq \f(2xy＋5,xy)＝2＋eq \f(5,xy).
因为x>0，y>0且x＋2y＝4，
所以4≥2eq \r(2xy)(当且仅当x＝2，y＝1时取等号)，
所以2xy≤4，所以eq \f(1,xy)≥eq \f(1,2)，
所以2＋eq \f(5,xy)≥2＋eq \f(5,2)＝eq \f(9,2).
16．(2020·山东师范大学附中高三月考)已知某工厂每天固定成本是4万元，每生产一件产品成本增加100元，工厂每件产品的出厂价定为a元时，生产x件产品的销售收入是R(x)＝－eq \f(1,4)x2＋500x(元)，P(x)为每天生产x件产品的平均利润(平均利润＝总利润/总产量)．
销售商从工厂每件a元进货后又以每件b元销售， b＝a＋λ(c－a)，其中c为最高限价(a＜b＜c)，λ为销售乐观系数．据市场调查，λ是由当b－a是c－b，c－a的比例中项时来确定．
(1)每天生产量x为多少时，平均利润P(x)取得最大值？求P(x)的最大值．
(2)求乐观系数λ的值．
(3)若c＝600，当厂家平均利润最大时，求a与b的值．
解：(1)依题意，总利润为－eq \f(1,4)x2＋500x－100x－40 000＝－eq \f(1,4)x2＋400x－40 000，
所以P(x)＝eq \f(－\f(1,4)x2＋400x－40 000,x)＝－eq \f(1,4)x－eq \f(40 000,x)＋400
≤－200＋400＝200.当且仅当eq \f(1,4)x＝eq \f(40 000,x)，即x＝400时取等号，
故每天生产量为400件时，平均利润最大，最大值为200元．
(2)由b＝a＋λ(c－a)得λ＝eq \f(b－a,c－a).
因为b－a是c－b，c－a的比例中项，
所以(b－a)2＝(c－b)(c－a)，
两边除以(b－a)2得，1＝eq \f(c－a－b－a,b－a)·eq \f(c－a,b－a)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c－a,b－a)－1))·eq \f(c－a,b－a)，
所以1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,λ)－1))·eq \f(1,λ)，解得λ＝eq \f(\r(5)－1,2).
(3)由(1)知，当x＝400时，厂家平均利润最大，
所以a＝eq \f(40 000,x)＋100＋P(x)＝eq \f(40 000,400)＋100＋200＝400(元)．
每件产品的利润为b－a＝λ(c－a)＝100(eq \r(5)－1)，
所以b＝100(eq \r(5)＋3)，
所以a＝400，b＝100(eq \r(5)＋3)．