湖北省十堰市城区普高协作体2021-2022学年高二上学期期中考试数学含答案

这是一份湖北省十堰市城区普高协作体2021-2022学年高二上学期期中考试数学含答案，共15页。试卷主要包含了已知直线l1，已知圆O1，已知直线l将圆C，已知A，B两点到直线l等内容，欢迎下载使用。

考试时间：120分钟 共150分
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知直线l1：y＝3x＋1与直线l2：ax＋y＋1＝0，若l1⊥l2，则a的值为
A.－ B. C.－3 D.3
2.已知圆O1: (x－1)2＋(y＋2)2＝9,圆O2:x2＋y2＋4x＋2y－11＝0，则这两个圆的位置关系为
A.外离 B.外切 C.相交 D.内含
3.A地的天气预报显示，A地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为30%，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生0－9之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5，6表示没有强浓雾，用7，8，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：
则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为
A. B. C. D.
4.如图，已知棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F，G分别为AB，CD1，AD的中点，则异面直线A1G与EF所成角的余弦值为

A.0 B. C. D.1
5.已知直线l将圆C:x2＋y2＋2x－2y＋1＝0平分，且与直线3x＋2y＋3＝0垂直，则直线l的方程为
A.3x－2y＋5＝0 B.2x－3y－1＝0 C.2x－3y＋5＝0 D.3x－2y－1＝0
6.抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件A为“向上的点数为1或4”，事件B为“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是
A.A与B互斥 B.A与B对立 C.P(A＋B)＝ D.P(A＋B)＝
7.直线(a2－＋2a)x－y＋1＝0(a为常数)的倾斜角的取值范围是
A.[0，)∪(，] B.[0，)∪[，π]
C.[0，)∪(，π) D.[0，)∪[，π)
8.直线y＝x＋b与曲线x＝有且仅有一个公共点，则b的取值范围是
A.|b|＝ B.－1二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知A(－2，－4)，B(1，5)两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值可以是
A.－3 B.3 C.－1 D.1
10.已知向量＝(1,－1,m),＝(－2,m－1,2)，则下列结论中正确的是
A.若||＝2，则m＝± B.若⊥，则m＝－1
C.不存在实数λ，使得＝λ D.若·＝－1，则＋＝(－1,－2,－2).
11.下列说法中，正确的有
A.直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点(3,2)
B.直线y＝3x－2在y轴上的截距为2
C.直线x－y＋1＝0的倾斜角为30°
D.点(5,－3)到直线x＋2＝0的距离为7
12.圆O1:x2＋y2－2x＝0和圆O2:x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，则有
A.公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0
B.线段AB中垂线的方程为x＋y－1＝0
C.公共弦AB的长为
D.P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为＋1
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。
13.已知＝(1，－3，1)，＝(－1，1，－3)，则|－|＝ 。
14.经过点(－2，4)，倾斜角是直线y＝x＋3的倾斜角的2倍，则此直线的方程 。
15.过点(1，)的直线l，截圆x2＋y2＝4所得弦长为2，则直线l的方程为 。
16.已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆上(x＋1)2＋y2＝4运动，则线段AB的中点M的轨迹方程是 。
四､解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤。
17.直线l过点A(1，2)且与直线2x－y＋1＝0平行。
(1)求直线l的方程；
(2)求圆心在直线l上且过点O(0，0)、B(2，0)的圆的方程。
18.某区政府组织了以“不忘初心，牢记使命”为主题的教育活动，为统计全区党员干部一周参与主题教育活动的时间，从全区的党员干部中随机抽取n名，获得了他们一周参与主题教育活动时间(单位：h)的频率分布直方图如图所示，已知参与主题教育活动时间在(12，16]内的人数为92。

(1)求n的值。
(2)以每组数据所在区间的中点值作为本组的代表，估算这些党员干部参与主题教育活动时间的平均值以及中位数(中位数精确到0.01)。
(3)如果计划对参与主题教育活动时间在(16，24]内的党员干部给予奖励，且在(16，20]，(20，24]内的分别评为二等奖和一等奖，那么按照分层抽样的方法从获得一、二等奖的党员干部中选取5人参加社区义务宣讲活动，再从这5人中随机抽取2人作为主宣讲人，求这2人均是二等奖的概率。
19.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，CD的中点。

(1)求证：D1F//平面A1EC1；
(2)求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值。
20.某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立。2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为m、、n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且m>n。
(1)求m与n的值；
(2)该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分。求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率。
21.如图所示，正方形ABCD所在平面与梯形ABMN所在平面垂直，MB//AN，NA＝AB＝2，BM＝4，CN＝2。

(1)证明：MB⊥平面ABCD；
(2)在线段CM(不含端点)上是否存在一点E，使得二面角E－BN－M的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由。
22.已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线3x＋4y－8＝0相切。
(1)求圆C的标准方程。
(2)直线l：y＝kx＋2与圆C交于A，B两点。
(I)求k的取值范围；
(II)证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值。
高二数学期中考试解析
1.已知直线与直线，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
2.已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（ ）
A．外离B．外切C．相交D．内含
【答案】C
3.A地的天气预报显示，A地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5，6表示没有强浓雾，用7，8，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：
402 978 191 925 273 842 812 479 569 683
231 357 394 027 506 588 730 113 537 779
则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为
B．C．D．
【答案】D
4.如图，已知棱长为的正方体，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
5.已知直线将圆平分，且与直线垂直，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
6.抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数为1或4”，事件为“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是（ ）
A．与互斥B．与对立
C．D．
【答案】C
7.直线为常数）的倾斜角的取值范围是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】D
8.直线与曲线有且仅有一个公共点，则b的取值范围是（ ）
A．B．或
C．D．
【答案】B
9.已知两点到直线的距离相等，则实数的值可以是（ ）
A．B．3C．D．1
【答案】AB
10.已知向量，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．不存在实数，使得
D．若，则
【答案】AC
11.下列说法中，正确的有（ ）
A．直线y＝ax﹣3a+2 （a∈R）必过定点（3，2）
B．直线y＝3x﹣2 在y轴上的截距为2
C．直线xy+1＝0 的倾斜角为30°
D．点（5，﹣3）到直线x+2＝0的距离为7
【答案】ACD
12.圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，则有( )
A．公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0
B．线段AB中垂线的方程为x＋y－1＝0
C．公共弦AB的长为eq \f(\r(2),2)
D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为eq \f(\r(2),2)＋1
【答案】ABD
13.已知，，则___________.
【答案】6
14.经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则此直线的方程______
【答案】
15.过点的直线，截圆所得弦长为，则直线的方程为______．
【答案】或
16.已知线段AB的端点B的坐标是（4,3），端点A在圆上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程是__________
【答案】
17.直线过点且与直线平行.
（1）求直线的方程；
（2）求圆心在直线上且过点、的圆的方程.
【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）因为直线与直线平行，则直线的方程可设为，
又因为直线过点，所以，
所以直线的方程为； ----------------------------5分
（2）因为圆心在直线上，所以圆心坐标可设为，
又因为该圆过点、，
所以有，解得，
所以圆心坐标为，半径，
故圆的方程为. -----------------------10分
18.某区政府组织了以“不忘初心，牢记使命”为主题的教育活动，为统计全区党员干部一周参与主题教育活动的时间，从全区的党员干部中随机抽取n名，获得了他们一周参与主题教育活动时间(单位：h)的频率分布直方图如图所示，已知参与主题教育活动时间在内的人数为92.
（1）求n的值.
（2）以每组数据所在区间的中点值作为本组的代表，估算这些党员干部参与主题教育活动时间的中位数(中位数精确到0.01).
（3）如果计划对参与主题教育活动时间在内的党员干部给予奖励，且在内的分别评为二等奖和一等奖，那么按照分层抽样的方法从获得一、二等奖的党员干部中选取5人参加社区义务宣讲活动，再从这5人中随机抽取2人作为主宣讲人，求这2人均是二等奖的概率.
【答案】（1）200；（2）13.64；13.83；（3）.
【详解】
（1）由已知可得，.
则，得. -----------------------------3分
设中位数为x，则，得.
---------------------6分
（3）按照分层抽样的方法从内选取的人数为，
从内选取的人数为.
记二等奖的4人分别为，一等奖的1人为A，
事件E为“从这5人中抽取2人作为主宣讲人，且这2人均是二等奖”.
从这5人中随机抽取2人的基本事件为，
，共10种，
其中2人均是二等奖的情况有，，共6种，
由古典概型的概率计算公式得. --------------------------12分
19.如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，CD的中点．
（1）求证：D1F平面A1EC1；
（2）求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
（1）建立如图所示空间直角坐标系.
，
，
设平面的法向量为，
则，故可设.
由于，所以平面. .6分
（2）直线与平面所成角为，
则. .12分
20.某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为、、，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且.
（1）求与的值；
（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率．
【答案】（1） ； （2）.
【详解】
（1）依题，解得 ---------------------------6分
（2）由题令该新同学在社团方面获得本选修课学分的分数为，
获得本选修课学分分数不低于4分为事件，
则；；.
故. -----------------12分
21.如图所示，正方形ABCD所在平面与梯形ABMN所在平面垂直，MB∥AN，NA＝AB＝2，BM＝4，CN＝2.
（1）证明：MB⊥平面ABCD；
（2）在线段CM（不含端点）上是否存在一点E，使得二面角E﹣BN﹣M的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.
【详解】
解：（1）正方形中，，
因为平面平面，平面平面平面ABCD，
所以平面,
所以，且，，
所以，
又因为，所以，
所以，又因为AN//BM，
所以，，
所以平面. 6分
（2）由（1）知，平面，
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.
设点,，则，
所以，所以，
所以，
设平面的法向量为，
所以，令，所以，
所以，
显然，平面的法向量为，
所以，即
整理得，解得或(舍)，
则存在一点，且.
----------------------12分
22.已知圆经过坐标原点，圆心在轴正半轴上，且与直线相切．
（1）求圆的标准方程．
（2）直线：与圆交于，两点．
（i）求的取值范围；
（ii）证明：直线与直线的斜率之和为定值．
【答案】(1)；(2) ；( ii)证明见解析.
【详解】
(1)设圆C的圆心C坐标为，其中a>0，
由题意知，，
又圆C与直线3x+4y-8=0相切，则圆心C到此直线的距离为：
，所以，解得a=1或a=-4(舍去)，
所以圆心C为，，
故圆C的标准方程为：； -----------------4分
(2)由(1)，，
因为直线交圆C于点A，B，
所以 -------------------8分
()k的取值范围是；
(ii)证明：设，
由韦达定理，得，
又
，
所以直线OA与直线OB的斜率之和为定值1. --------------------12分