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湖北省新高考联考协作体2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题扫描版含答案
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2021年湖北省新高考联考协作体高二上学期期中考试
高二数学试卷参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题目 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
答案 |
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
题目 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 |
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（答案不唯一） 14． 15． 16．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．解：根据题意，圆C的方程为：，变形可得，其圆心为，半径为，当直线l的斜率不存在时，其方程为，
易求直线l与圆C的交点为，，，符合题意； ……………………2分
当直线l的斜率存在时，设其方程为，即，
则圆心C到直线l的距离，
解可得，所以直线l的方程为， ……………………………………4分
综上，直线l的方程为或； ……………………………………5分
如图，PM为圆C的切线，连接MC，PC，则，
所以为直角三角形，即
设，由知，，因为，
所以化简得点P的轨迹方程为 ………………8分
求的最小值，即求的最小值，也即求原点O到直线的距离，
由距离公式可求得的最小值为． ……………………………………………………10分
18．解：若选①，因为，又由正弦定理可知：，
所以，
又，则，所以，又，所以； ………………3分
若选②，，
由余弦定理得，所以，
又且，所以，又，所以； …………………3分
若选③，由展开得，
又由正弦定理可知，
在中，，
所以，又，则，所以，所以，可得.
又，所以，所以，所以； ……………………3分
（1）解法一：若，由正弦定理得，
又，所以，
可得，所以，……………………5分
又，所以，所以，
又，所以，所以； ……………………………7分
解法二：若，又，由余弦定理可知，
即，整理得，
解得或， ………………………………………5分
若，，则，与矛盾； ………………………………………6分
若，则，由余弦定理可得； …………………………7分
（2）由，及正弦定理知．
由，所以， …………………………………9分
又由余弦定理得，即，整理可得，
，可得，所以． ………………………………12分
19．解：（1）证明：平面ABCD，平面ABCD，，，为正三角形，四边形ABCD是菱形，， ………………………2分
又，PD，平面PBD，平面PBD， ………………………4分
而平面EAC，平面平面． ………………………5分
（2）解：如图，连接OE，由可知平面PBD，平面PBD，
，又，
即为二面角的平面角。 ……………………7分
过E作，交BD于点H，则，
，， ……………………8分
正中，，，， …………………………10分
在中，，，
即二面角的大小为．（注：用其它方法应按相应步骤给分） ………………12分
20．解：组距为，由，
得 …………………………………………………2分
各组的组中值和相应的频率依次为：
组中值 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 |
频率 |
所以， ………………4分
………………7分
由已知，抽取的40个果实中，重量在和内的分别有4个和3个，
分别记为，，，和，，， ……………………………………………9分
从中任取2个的取法有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21种取法，其中都是优质果实的取法有，，，共3种取法，
所以抽到的都是优质果实的概率 ……………………………………………12分
21．解：由题知，且，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则点 …………………2分
（1），设平面的法向量为，则，得，
得，当时，得 ……………………………………4分
同理可得平面的一个法向量为 ……………………………………5分
那么，所以二面角的余弦值为 …………7分
（2）假设在线段上存在一点，使平面，设，
则由，得，
得 …………………………………9分
那么，当平面时，，
即存在实数，使，解得， …………………………11分
那么，即点是线段的中点时，平面． ……………………12分
22．解：（1）因为，所以，又，所以，
所以，所以椭圆C的标准方程为． ………………………………3分
（2）①当AB的斜率为0时，显然． ………………………………4分
当AB的斜率不为0时，设，
由得，
设，故有， ………………………………5分
所以．
因为，所以．
综上所述，恒有为定值． ………………………………7分
②， ………………………………9分
即==，
当且仅当，即时取等号（此时适合），
所以面积的最大值为． ……………………………………12分
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