黑龙江省大庆铁人中学2022届高三上学期第二次阶段考试（12月）数学（理）含答案

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出题人：何清武 审题人：孙杰睿
试题说明：1、本试题满分150分，答题时间150分钟。
2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.集合，，则 ( )

2.若(为虚数单位)是纯虚数，则实数 ( )

3.已知，，，则 ( )

4.已知命题，命题若，则，则下列命题为真命题的是 ( )

5.若，则

6.在正方体中，分别为棱的中点 ，则异面直线与所
成角的余弦值为 ( )

7.在等比数列中，，，则 ( )
或 或
8.双曲线的右焦点为，圆截双曲线的一条渐
近线所得的弦长为，截轴所得的弦长为，则双曲线的离心率为 ( )

9.记表示不超过的最大整数，(例如)，则不等式的
解集为 ( )

10.祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅首先提出来的，
祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果
截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知两个平行平面间有三个几何体，分
别是三棱锥，四棱锥，圆锥(高度都为)，其中三棱锥的底面是边长为的正三角形，四棱锥的底面
是边长为，有一个角为的菱形，圆锥的体积为，现用平行于这两个平行平面的平面去截三个
几何体，如果截得的面积总相等，那么，下列关系式正确的是 ( )
，， ，，
，， ，，
11.设函数，，，.若，，且
的最小正周期大于，则 ( )

12.已知函数，关于的方程有六个不同的实数解，则实数
的取值范围是 ( )

填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.向量的夹角为，，则 .
14.若抛物线的焦点到准线的距离为，则实数 .
15.若函数为偶函数，则实数 .
16.已知数列的前项和为，且，，则使时的的最小值为 .
解答题（共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，
每个试题考生都必须作答，第22,23题为选考题，考生根据要求作答.）
17.(本小题满分12分)
已知数列的前项和为，数列是以为首项，为公差的等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
18.(本小题满分12分)
在中，角的对边分别为 ，若，
.
(1)求的值；
(2)内有一点，满足，，，求的值.
19.(本小题满分12分)
在四棱锥中，四边形为平行四边形，平面平面，是边长为
的等边三角形，，是的中点.
(1)求证：；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成的锐二面角的余
弦值.


20.(本小题满分12分)
在平面直角坐标系中，为椭圆的左，右焦点，，
直线与交于两点，且四点共圆.
(1)求椭圆的方程；
(2)为上的一点(非长轴的端点)，线段，的延长线分别与交于点，求
的最大值.
21.(本小题满分12分)
已知函数，，其中，为自然对数的底数.
(1)判断函数的单调性；
(2)若不等式在区间上恒成立，求的取值范围.
22.(本小题满分分)选修：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的普通方程为，以为极点，轴的正半轴为极轴
建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程；
(2)若点为曲线上的动点，，，求的最大值.
23.(本小题满分分)选修：不等式选讲
已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)若，函数的最小值为，，求
的最小值.