专题6：椭圆的离心率问题26页

专题6：椭圆的离心率问题

一、单选题

1．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，，分别为的内心和重心，当轴时，椭圆的离心率为

A． B． C． D．

2．第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，（如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

3．已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（  ）

A． B．

C． D．

4．设椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，，当时，椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

5．已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共交点，且，则椭圆和双曲线的离心率倒数之和的最大值为

A． B． C．2 D．

6．已知为椭圆的两个焦点，P（不在x轴上）为椭圆上一点，且满足，则椭圆离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

7．已知椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆上一点. 的重心为，内心为，且，则该椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

8．已知椭圆C：1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上不与左右顶点重合的动点，设I，G分别为△PF1F2的内心和重心.当直线IG的倾斜角不随着点P的运动而变化时，椭圆C的离心率为_____.

9．如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球，球的半径分别为和，球心距离,截面分别与球，球切于点，，（，是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于______．

10．设椭圆的左、右顶点分别为，，是椭圆上不同于，的一点，设直线，的斜率分别为，，则当取得最小值时，椭圆的离心率是______.

11．已知椭圆C :(a>b>0)的右焦点为F，经过坐标原点O的直线交椭圆于A． B两点，M、N分别为线段AF、BF的中点，若存在以MN为直径的圆恰经过坐标原点O，则椭圆的离心率的取值范围为___.

12．已知斜率为1的直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于，两点，若椭圆上存在点，使得的重心恰好是坐标原点，则椭圆的离心率______.

13．已知中心在原点的椭圆的一个端点为，直线.若上存在相异的两点，关于对称，则椭圆离心率的取值范围是___________.

14．已知点为直线上一点，是椭圆的两条切线，若恰好存在一点使得，则椭圆的离心率为__________.

15．已知点是椭圆上一点，过点的一条直线与圆相交于两点，若存在点，使得，则椭圆的离心率取值范围为_________.

16．已知椭圆左顶点为A，O为坐标原点，若椭圆上存在点M使，则椭圆的离心率e的取值范围是______.

17．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为___________.

18．已知椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，点P是两曲线的一个公共点，分别是两曲线的离心率，若PF1PF2，则的最小值为__________．

参考答案

1．A

【分析】结合图像，利用点坐标以及重心性质，得到G点坐标，再由题目条件轴，得到点横坐标，然后两次运用角平分线的相关性质得到的比值，再结合与相似，即可求得点纵坐标，也就是内切圆半径，再利用等面积法建立关于的关系式，从而求得椭圆离心率.

【解析】如图，令点在第一象限（由椭圆对称性，其他位置同理），连接，显然点在上，连接并延长交轴于点，连接并延长交轴于点，轴，过点作垂直于轴于点，

设点，，则，

因为为的重心，所以，

因为轴，所以点横坐标也为，，

因为为的角平分线，

则有，

又因为，所以可得，

又由角平分线的性质可得，，而

所以得，

所以，，

所以，即，

因为

即，解得，所以答案为A.

【点评】本题主要考查离心率求解，关键是利用等面积法建立关于的关系式，同时也考查了重心坐标公式，以及内心的性质应用，属于难题.椭圆离心率求解方法主要有：

（1）根据题目条件求出，利用离心率公式直接求解.

（2）建立的齐次等式，转化为关于的方程求解，同时注意数形结合.

2．B

【分析】分别设内外层椭圆方程为、，进而设切线、分别为、，联立方程组整理并结合求、关于a、b、m的关系式，再结合已知得到a、b的齐次方程求离心率即可.

【解析】若内层椭圆方程为，由离心率相同，可设外层椭圆方程为，

∴，设切线为，切线为，

∴，整理得，由知：

，整理得，

同理，，可得，

∴，即，故.

故选：B.

【点评】关键点点睛：根据内外椭圆的离心率相同设椭圆方程，并写出切线方程，联立方程结合及已知条件，得到椭圆参数的齐次方程求离心率.

3．C

【分析】由题设，利用为的重心，求出线段的中点为，将B代入直线方程得，再利用点差法可得，结合，可求出，进而求出离心率.

【解析】由题设，则线段的中点为，

由三角形重心的性质知，即，解得：

即代入直线，得①.

又B为线段的中点，则，

又为椭圆上两点，，

以上两式相减得，

所以，化简得②

由①②及，解得：，即离心率.

故选：C.

【点评】本题考查求椭圆的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．

4．B

【分析】利用正弦定理得到，再利用椭圆的定义，设，，得到，结合余弦定理，得到，即得解.

【解析】椭圆的焦点为，，

根据正弦定理可得

∴，.

设，，则，

由余弦定理得 ，

∴，∴，

又，

∴即，

故，解得：或（舍）.

故选：.

【点评】本题考查了椭圆的性质综合应用，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.

5．A

【分析】设椭圆方程为，双曲线方程为，焦距为由椭圆和双曲线的定义，不妨设在第一象限，求出为焦点），在中利用余弦定理，求出关系，进而得出椭圆与双曲线的离心率关系，利用三角换元，结合正弦函数的有界性，即可求解.

【解析】设椭圆方程为，

双曲线方程为，

左右焦点分别为

不妨设在第一象限，

，得，

在中，，

即，

设椭圆和双曲线的离心率分别为，

设，

取，，

当时，取得最大值为.

故选:A.

【点评】本题考查椭圆与双曲线的定义和性质，利用余弦定理和三角换元是解题的关键，属于较难题.

6．A

【分析】首先根据椭圆定义可知，根据余弦定理，

再根据，根据这三个式子的变形得到和，最后求离心率.

【解析】由椭圆的定义，得，平方得①.

由，②，是锐角，

由余弦定理得③，

-③得 ④

由②④，得，

是锐角，

，

即且

.

由②③可知 ⑤

由①⑤可得 ，

，，即，.

则椭圆离心率的取值范围是.

故选：A.

【点评】本题考查求椭圆的离心率，已知考查转化与化归的思想和变形，计算能力，属于中档题型，本题的关键和难点是三个式子的变形，得到关于的不等式关系.

7．A

【分析】由题意，设Q（x0，y0），由G为△F1QF2的重心，得G点坐标为（，），利用面积相等可得，×2c•|y0|=（2a+2c）||，从而求椭圆的离心率．

【解析】椭圆的左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），设Q（x0，y0），

∵G为△F1QF2的重心，∴G点坐标为 G（，），

∵，则∥，∴I的纵坐标为，

又∵|QF1|+|QF2|=2a，|F1F2|=2c，

∴=•|F1F2|•|y0|，

又∵I为△F1QF2的内心，∴||即为内切圆的半径，

内心I把△F1QF2分为三个底分别为△F1MF2的三边，高为内切圆半径的小三角形，

∴=（|QF1|+|F1F2|+|QF2|）||，

即×2c•|y0|=（2a+2c）||，∴2c=a，∴椭圆C的离心率为e=，

∴该椭圆的离心率，

故选：A．

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形的重心与内心的性质、三角形面积计算公式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

8．

【分析】首先找到特殊位置，即取P在上顶点时，内心和重心都在y轴上，由于内心和重心连线的斜率不随着点P的运动而变化，可得：GI始终垂直于x轴，可得内切圆半径为y0，再利用等面积法列式解方程可得：.

【解析】当直线IG的倾斜角不随着点P的运动而变化时，取P特殊情况在上顶点时，

内切圆的圆心在y轴上，重心也在y轴上，

由此可得不论P在何处，GI始终垂直于x轴，

设内切圆与边的切点分别为Q，N，A，如图所示：

设P在第一象限，坐标为：（x0，y0）连接PO，则重心G在PO上，

连接PI并延长交x轴于M点，连接GI并延长交x轴于N，

则GN⊥x轴，作PE垂直于x轴交于E，

可得重心G（，）所以I的横坐标也为，|ON|，

由内切圆的性质可得，PG=PA，F1Q=F1N，NF2=AF2，

所以PF1﹣PF2=（PG+QF1）﹣（PA+AF2）=F1N﹣NF2

=（F1O+ON）﹣（OF2﹣ON）=2ON，

而PF1+PF2=2a，所以PF1=a，PF2=a，

由角平分线的性质可得，所以可得OM，

所以可得MN=ON﹣OM，

所以ME=OE﹣OM=x0，

所以，即INPEy0，

（PF1+F1F2+PF2）IN，即（2a+2c），

所以整理为：，

故答案为：.

【点评】本题考查了求椭圆的离心率，考查了内心和重心的概念，考查了转化思想和较强的计算能力，其方法为根据条件得到关于，， 的齐次式，化简可得.本题属于难题.

9．

【分析】利用已知条件和几何关系找出圆锥母线与轴的夹角为 ，截面与轴的夹角为 的余弦值，即可得出椭圆离心率．

【解析】如图，圆锥面与其内切球，分别相切与，连接,则，，过作垂直于，连接， 交于点C

设圆锥母线与轴的夹角为 ，截面与轴的夹角为.

在中， ，

解得

即

则椭圆的离心率

【点评】“双球模型”椭圆离心率等于截面与轴的交角的余弦与圆锥母线与轴的夹角的余弦

之比，即．

10．

【分析】设出的坐标,得到(用,表示)，求出，令，则，利用导数求得使取最小值的，可得，则椭圆离心率可求 ．

【解析】解：，，设，，则，

则，，，

，

令，则．，

当时， 函数取得最小值． ．，

故答案为：．

【点评】关键点点睛：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、关键利用导数研究函数的单调性极值与最值．

11．，

【分析】设方程为，联立方程组求出，坐标，进而得出，的坐标，由列方程得到关于的方程，令此方程有解得出，，的关系，从而得出离心率的范围．

【解析】设直线的方程为，

联立方程组，消元得，

，，，，

又，，是，的中点，

，，，，

以为直径的圆恰经过坐标原点，

，

，

即，

，

，即，

存在符合条件的直线，使得，

关于的方程有解，

，即，，

，，

又，．

故答案为：，．

【点评】离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，求离心率范围应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.

12．

【分析】设点，，坐标分别为，则根据题意有，分别将点，，的坐标代入椭圆方程得，然后联立直线与椭圆方程，利用韦达定理得到和的值，代入得到关于的齐次式，然后解出离心率.

【解析】设，，坐标分别为，

因为的重心恰好是坐标原点，则，

则，代入椭圆方程可得，

其中，所以……①

因为直线的斜率为，且过左焦点，则的方程为：，

联立方程消去可得：，

所以，……②

所以……③，

将②③代入①得，从而.

故答案为：

【点评】本题考查椭圆的离心率求解问题，难度较大.解答时,注意，，三点坐标之间的关系，注意韦达定理在解题中的运用.

13．

【分析】由题意，设椭圆，，，，的中点为，由在内，可得不等式，从而得到关于的不等式，解不等式可得的取值范围，从而求得离心率的范围.

【解析】由题意，设椭圆，，，，的中点为，则，，两式相减得，，而，.

所以，所在直线的斜率，

由，关于对称，直线，故①，又在上，所以②，联立①与②的方程，解得，，.

由题意，在内，可得，化简，即，解得或.

令椭圆的离心率为，

当时，的焦点在上，，

即，故，所以；

当时，的焦点在上，，

即，故，所以.

由于，所以的离心率的取值范围是.

故答案为：.

【点评】本题考查椭圆与直线方程、离心率等综合知识以及推理论证与运算求解能力.

14．

【分析】首先设，过点切线为，根据直线与椭圆相切，联立得到，因为，得到，即.从而得到到直线的距离为，利用点到距离的公式即可求出，再求离心率即可.

【解析】设，过点切线为，由题知：

联立，

因为直线与椭圆相切，

所以，

整理得：.

设切线，的斜率分别为，，

因为，所以，即.

所以点在以为圆心，为半径的圆上，

即到直线的距离为.

，解得.

又因为，所以，.

故答案为：

【点评】本题主要考查离心率的求法，同时考查了直线与椭圆的位置关系，属于难题.

15．

【分析】设，设出直线AB的参数方程，利用参数的几何意义可得,由题意得到，据此求得离心率的取值范围.

【解析】设，直线AB的参数方程为，(为参数)

代入圆，

化简得：，

，

，

，

存在点，使得，

，即，

，

，

，

故答案为：

【点评】本题主要考查了椭圆离心率取值范围的求解，考查直线、圆与椭圆的综合运用，考查直线参数方程的运用，属于中档题.

16．

【分析】的轨迹方程为：，联立方程化简得到

，根据对应函数的对称轴计算得到答案.

【解析】椭圆上存在点M使，即的轨迹方程为：.

联立方程 ，化简得到.

易知：是方程的解，且时，.

方程在上有解，只需满足： ，解得.

故答案为：.

【点评】本题考查了椭圆的离心率问题，确定的轨迹方程是解题的关键.

17．

【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长，焦距．由椭圆及双曲线定义用，表示出，，在△中根据余弦定理可得到，与的关系，转化为离心率，再由基本不等式得结论．

【解析】解：如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，

则根据椭圆及双曲线的定义：

，，

，，

设，，则：

在△中由余弦定理得，

，

化简得：，

即，

又，

，即，

即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为．

故答案为：．

【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，求出焦点三角形的边长，属于中档题．

18．

【解析】

【分析】由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2，令P在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推志出a12+a22=2c2，由此能求出4e12+e22的最小值．

【解析】由题意设焦距为2c,椭圆长轴长为,双曲线实轴为2，

令P在双曲线的右支上，

由双曲线的定义，①

由椭圆定义，②

又∵PF1PF2，

∴，③

①2+②2,得，④

将④代入③,得，

∴.

故答案为：.

【点评】本题主要考查了双曲线与椭圆离心率的计算，用到了双曲线和椭圆的定义及基本不等式求最值，考查了学生的计算能力，属于中档题.