2023届新高考数学解析几何专题讲义 第17讲 椭圆的离心率问题

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第17讲 椭圆的离心率问题一、问题综述离心率问题是高考的重点难点，主要以选填题为主，难度一般为中等偏上，主要以求离心率的值和取值范围为主.椭圆的离心率，范围.所以要求椭圆的离心率关键是找到椭圆中的参数的关系式，只要一个就可以，因为有一个隐含的关系，而这种关系通常是通过过构造,,的齐次式来得到.二、典例分析类型1：直接建立的关系【例1】设椭圆的两个焦点分别为,,过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点,若△为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为 .解析：如图，由得则，两边同除得，，，【方法小结】这里是椭圆的半通径长，椭圆中通经长为，本题通过等腰三角形腰长相等得到的关系式，进而求得离心率.【例2】设F是椭圆的左焦点，若椭圆上存在点P，使得直线PF与圆相切，当直线PF的倾斜角为时，此椭圆的离心率是（ ） . .解析：易知的方程为，即则圆心到直线的距离所以，即，所以，，所以离心率，所以选.【方法小结】本题通过直线与圆相切，圆心到直线距离等于半径得到的等量关系求得离心率.类型2：由点的坐标建立的关系【例3】已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为 ． 解析：由得，代入椭圆方程得，，所以,故离心率.【方法小结】本题通过线段比例得到点坐标，代入椭圆方程得到的关系.【例4】如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________． 解析：联立与椭圆方程得，，所以，因为，所以，即化简得，故离心率.【方法小结】本题通过联立方程求得,两点坐标，再利用得到,,的关系，从而求得离心率.类型3：由几何关系建立的关系【例5】设是椭圆E: 的左、右焦点，P为直线上一点，是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为( ) .解析：设直线与轴交于点，易知，所以，在直角三角形中有，而，所以有，化简得，即离心率，故选.【方法小结】本题通过几何关系找到线段之间的比例关系，从而确定的关系，求得离心率.【例6】已知、分别是椭圆的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且是等边三角形，则椭圆的离心率为(　 　)　　　 　　 　 解析：连结，是圆的直径，，即，又是等边三角形，，，因此，在中，，，。根据椭圆的定义可得：，解得故椭圆的离心率。故选D类型4：离心率的取值范围注：离心率的取值范围主要是根据上诉三种方法建立的不等关系，从而求得离心率的取值范围.【例7】已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，若椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为 ．解析：由椭圆定义可知，解得，由三边关系可得，即，两边同除以得，解之得，又因为，所以，故填.【方法小结】本题的不等关系主要是通过三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边得到的.【例8】已知、是椭圆的两个焦点，椭圆上存在一点，使得，则离心率的取值范围为 解析：设，，，则即，又，解得所以离心率【方法小结】本题关键是利用了的长的取值范围，得到的不等关系.三、巩固练习1. 设椭圆的两个焦点分别为，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 2. 椭圆的四个顶点为、、、，若四边形的内切圆恰好过椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（ ）A. B. C. D.3. (2018全国卷Ⅱ)已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（ ） B． C． D．4. 已知分别是椭圆的左、右焦点， 为椭圆上一点，且（为坐标原点），若，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D．5. 椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则离心率的取值范围为 ．6. 设椭圆的左、右焦点分别为，是椭圆上一点，，则椭圆离心率的取值范围为（ ）.A． B． C． D．7. 已知、分别是椭圆： 的左、右焦点，若椭圆上存在点，满足，则椭圆的离心率取值范围是（ ）A． B． C． D．8. 如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，点在上，且满足，，为坐标原点，则椭圆的离心率的取值范围为 ．9. 已知点在椭圆上，若点为椭圆的右顶点，且（为坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D．10.设分别是椭圆的左右焦点，若椭圆上存在点，使线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ） 参考答案：1、答案：解析：由长度关系可令则2、答案：解析：解法一：因为内切圆过焦点，所以半径为c，如图OP为垂直AB的半径，由面积相等得所以两端同时除以得，解法二：，所以3、答案：解析：由题意可得直线的方程为，又∵∠，可知，所以得点，代入直线的方程，整理可得故离心率为。4、答案：解析：设中点为Q，则，则，不妨设则，进而得到，则5、答案：解析：因为，所以.所以因为，所以，即，所以，解得：或（舍）因为，所以.6、答案：解析：..所以，所以，.7、答案：.解析：因为，所以，即，因为，所以，所以 8、答案：解析：过点作交于点，与交于点，因为为中点，所以为的中点，又，所以为中点，进而有为中点，又因为，所以，又所以，即所以离心率.9、答案：解析：可设,则有有解问题，令，因为，所以在上一定有一个零点，所以对称轴，解得，故的取值范围为10、答案： 解析：分别是椭圆的左右焦点，若椭圆上存在点，使线段的垂直平分线过点，则以点为圆心，为半径的圆与椭圆有交点，由椭圆的性质可知，只需满足解得，所以椭圆离心率的取值范围是.