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第1章 第3讲 运动图象 追及和相遇问题—2022届高中物理一轮复习讲义（机构）学案
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这是一份第1章 第3讲 运动图象 追及和相遇问题—2022届高中物理一轮复习讲义（机构）学案，共23页。学案主要包含了教学目标，重、难点，知识梳理，方法提炼，能力展示，小试牛刀，大显身手等内容，欢迎下载使用。
【教学目标】1、理解图象所表示的物理意义，能够正确分析图象所表达的物理过程
2、会画运动草图建立两个相关的运动物体的物理情景
【重、难点】熟练掌握位移图象和速度图象的含义，并会运用对追及和相遇问题的分析、处理
【知识梳理】
（1）x t图象和v t图象都表示物体运动的轨迹。（ ）
（2）x t图象和v t图象都只能描述直线运动。（ ）
（3）x t图象上两图线的交点表示两物体此时相遇。（ ）
（4）v t图象上两图线的交点表示两物体此时相遇。（ ）
（5）同一直线上运动的两物体，后者若追上前者，后者速度必须大于前者。（ ）
（6）同一直线上运动的两物体，速度相等时，两物体相距最远或最近。（ ）
（7）两物体同向运动恰好不相碰，则此时两物体速度相等。（ ）
考点一 对运动图象物理意义的理解
1．对x－t图象的理解
（1）物理意义：反映了做直线运动的物体 随________变化的规律．
（2）图线斜率的意义
① 图线上某点切线的斜率大小表示物体________________．
② 图线上某点切线的斜率正负表示物体________________．
图甲
图乙
2．对v－t图象的理解
（1）物理意义：反映了做直线运动的物体 随________变化的规律．
（2）图线斜率的意义
① 图线上某点切线的斜率大小表示物体运动的__________．
② 图线上某点切线的斜率正负表示加速度的________．
（3）图线与横轴围成的“面积”的意义
① 图线与横轴围成的“面积”表示________________．
② 若此面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为______；若此面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为______．
典例精析
例1、（多选）如图所示的位移－时间图象和速度－时间图象中，给出的四条图线1、2、3、4代表四个不同物体的运动情况．下列描述不正确的是 （ ）
A．x－t图象中t1时刻v1>v2
B．图线1表示物体做曲线运动
C．图线2和图线4中，t2、t4时刻都表示物体反向运动
D．v－t图象中0至t3时间内图线3和图线4的平均速度大小相等
例2、（多选）如图所示，有一质点从t=0时刻开始，由坐标原点出发开始运动，则下列选项中正确的是（ ）
A．0到1s与3s到4s的加速度相同 B．t=2s时，离开坐标原点的距离最大
C．t=1s时，离开坐标原点的距离最大 D．t=4s时，质点回到原点
变式1、（多选）如图所示是做匀变速直线运动的质点在0~6s内的位移—时间图线。若t=1s时，图线所对应的切线斜率为4（单位：m/s）。则下列说法中正确的是（ ）
A．t=1s和t=5s时，质点加速度的方向相反 B． t=1s和t=5s时，质点的速率相等
C．前5s内，合外力对质点做正功 D．t=1s时，质点在x=5 m的位置
变式2、（多选）物体沿直线运动的v-t图象如图所示，已知在第1秒内合外力对物体做的功为W，则（ ）
A．从第1秒末到第3秒末合外力做功为4W
B．从第3秒末到第5秒末合外力做功为－2W
C．从第5秒末到第7秒末合外力做功为W
D．从第3秒末到第4秒末合外力做功为－0.75W
图象问题的三个提醒
1．x－t图象、v－t图象都不是物体运动的轨迹，图象中各点的坐标值x、v与t一一对应．
2．x－t图象、v－t图象的形状由x与t、v与t的函数关系决定．
3．无论是x－t图象还是v－t图象，所描述的运动情况都是直线运动．
考点二 运动图象的应用
1．用图象解题可使解题过程简化，思路更清晰，而且比解析法更巧妙、更灵活．在有些情况下运用解析法可能无能为力，但是图象法则会使你豁然开朗．
2．利用图象描述物理过程更直观．物理过程可以用文字表述，也可以用数学式表达，还可以用物理图象描述．如果能够用物理图象描述，一般来说会更直观且容易理解．
例3、一个固定在水平面上的光滑物块，其左侧面是斜面AB，右侧面是曲面AC，如图所示。已知AB和AC的长度相同。两个小球p、q同时从A点分别沿AB和AC由静止开始下滑，比较它们到达水平面所用的时间（ ）
p q
A
B
C
q
A．p小球先到 B．q小球先到 C．两小球同时到 D．无法确定
变式3、（多选）如图所示，游乐场中，从高处A到水面B处有两条长度相同的光滑轨道。甲、乙两小孩沿不同轨道同时从A处自由滑向B处，下列说法正确的有（ ）
A．甲的切向加速度始终比乙的大 B．甲、乙在同一高度的速度大小相等
C．甲、乙在同一时刻总能到达同一高度 D．甲比乙先到达B处
变式4、某同学欲估算飞机着陆时的速度，若飞机在跑道上滑行的距离为s，从着陆到停下来所用的时间为t，并且飞机的速度越大，所受的阻力越大，则飞机着陆时的速度应是 （ ）
A．v＝eq \f(s,t) B．v＝eq \f(2s,t) C．v>eq \f(2s,t) D．eq \f(s,t)考点三 其他运动图象
例4、（多选）一汽车沿直线由静止开始向右运动，汽车的速度和加速度方向始终向右．汽车速度的二次方v2与汽车前进位移x的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．汽车从开始运动到前进x1过程中，汽车受到的合外力越来越大
B．汽车从开始运动到前进x1过程中，汽车受到的合外力越来越小
C．汽车从开始运动到前进x1过程中，汽车的平均速度大于eq \f(v0,2)
D．汽车从开始运动到前进x1过程中，汽车的平均速度小于eq \f(v0,2)
例5、（多选）汽车由静止开始在平直的公路上行驶，0～50s内汽车的加速度随时间变化的图线如图所示．下面的有关说法正确的是（ ）
A．汽车在50 s末的速度为零
B．汽车行驶的最大速度为20 m/s
C．在0～50 s内汽车行驶的总位移为850 m
D．汽车在40 s～50 s内的速度方向和0～10 s内的速度方向相反
变式5、（多选）放在水平面上的物体，在力F作用下开始运动，以物体静止时的位置为坐标原点，力F的方向为正方向建立x轴，物体的加速度随位移的变化图象如图所示．下列说法中正确的是（ ）
A．0～x2过程中物体做匀加速直线运动，x2～x3过程中物体做匀减速直线运动
B．位移为x1时，物体的速度大小为eq \r(2a0x1)
C．位移为x2时，物体的速度达到最大
D．物体的最大速度为eq \r(a0x2＋x3)
变式6、设物体运动的加速度为a，速度为v，位移为s。现有四个不同物体的运动图象如图所示，t＝0时刻物体的速度均为零，则其中物体做单向直线运动的图象是 （ ）
考点四 作图
依据物体的状态或物理过程所遵循的物理规律，作出与之对应的示意图或数学函数图象来研究和处理问题。
例6、一汽车从静止开始做匀加速直线运动，然后刹车做匀减速直线运动，直到停止。下列速度v和位移 x 的关系图象中，能描述该过程的是（ ）
例7、从塔顶由静止释放一个小球A的时刻为计时零点，t0时刻，在与A球t0时刻所在位置的同一水平高度，由静止释放小球B，若两球都只受重力作用，设小球B下落时间为t，在A、B两球落地前，A、B两球之间的距离为Δx，则eq \f(Δx,t) t0的图线为( )
考点五 追及与相遇问题
1．追及和相遇问题
当两个物体在同一直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的距离会不断发生变化，两物体间距会越来越大或越来越小，这时就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题
2．追及问题的两类情况
（1）速度大者减速（如匀减速直线运动）追速度小者（如匀速运动）：
① 当两者速度相等时，若两者位移之差仍小于初始时的距离，则永远追不上，此时两者间有最
距离
② 若两者位移之差等于初始时的距离，且两者速度相等时，则恰能追上，也是两者相遇时 避免碰撞 的临界条件
③ 若两者位移之差等于初始时的距离时，追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相等时两者间距离有 一个极大 值
（2）速度小者加速（如初速度为零的匀加速直线运动）追速度大者（如匀速运动）：
① 当两者速度相等时有最 距离
② 若两者位移之差等于初始时的距离时，则追上
3．相遇问题的常见情况
（1）同向运动的两物体追及即相遇
（2）相向运动的物体，当各自发生的位移大小和等于开始时两物体的距离时即相遇
4．追及、相遇问题的求解方法
分析追及与相遇问题大致有两种方法，即数学方法和物理方法，具体为：
方法1：利用临界条件求解。寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，在两物体速度相等时有最小距离；
方法2：利用函数方程求解。利用不等式求解，思路有二：其一是先求出在任意时刻t两物体间的距离y＝f（t），若对任何t，均存在y＝f（t）>0，则这两个物体永远不能相遇；若存在某个时刻t，使得y＝f（t）≤0，则这两个物体可能相遇；其二是设在t时刻两物体相遇，然后根据几何关系列出关于t的方程f（t）＝0，若方程f（t）＝0无正实数解，则说明这两物体不可能相遇；若方程f（t）＝0存在正实数解，则说明这两个物体可能相遇；
方法3：利用图象求解。若用位移图象求解，分别作出两个物体的位移图象，如果两个物体的位移图象相交，则说明两物体相遇；若用速度图象求解，则注意比较速度图线与t轴包围的面积。
方法4：利用相对运动求解。用相对运动的知识求解追及或相遇问题时，要注意将两个物体对地的物理量（速度、加速度和位移）转化为相对的物理量；在追及问题中，常把被追及物体作为参考系，这样追赶物体相对被追物体的各物理量即可表示为：s相对＝s后－s前＝s0，v相对＝v后－v前，a相对＝a后－a前，且上式中各物理量（矢量）的符号都应以统一的正方向进行确定。
题型一 追者匀减速，被追者匀加速（要求用多种解法）
例8、在水平轨道上有两列火车A和B相距x，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，求A车的初速度v0应满足什么条件？
题型二 追者匀减速，被追者匀速
例9、汽车正在以10 m/s的速度在平直的公路上匀速前进，在它的正前方x处有一辆自行车以4 m/s的速度做同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭油门做a＝－6 m/s2的匀变速运动，若汽车恰好碰不上自行车，则x的大小为（ ）
A．8.33 m B．3 m C．3.33 m D．7 m
变式7、晚间，甲火车以4m/s匀速前进，当时乙火车误入同一轨道且以20m/s的速度追向甲车，当乙车司机发现甲车时两车相距仅125m，乙车立即制动，已知这种速度前进的火车制动200m才能停下，问是否发生撞车事故？
变式8、火车甲以速度v1匀速行驶，司机突然发现前方同轨道上相距x处有另一火车乙沿同方向以速度v2（对地，且v1> v2）做匀速运动。司机立即以加速度a紧急刹车。要使两车不相撞，a的大小应满足什么条件？
题型三 追者匀速，被追者匀加速
例10、一步行者以6.0 m/s的速度跑去追赶被红灯阻停的公共汽车，在跑到距汽车25 m处时，绿灯亮了，汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进，则( )
A．人能追上公共汽车，追赶过程中人跑了36 m
B．人不能追上公共汽车，人、车最近距离为7 m
C．人能追上公共汽车，追上车前人共跑了43 m
D．人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离越来越远
题型四 追者匀速，被追者匀减速
例11、如图所示，A、B两物体相距x＝7 m，物体A以vA＝4 m/s的速度向右匀速运动，而物体B此时的速度vB＝10 m/s，只在摩擦力作用下向右做匀减速运动，加速度a＝－2 m/s2。那么物体A追上物体B所用的时间为（ ）
A．7s B．8s C．9s D．10s
题型五 追者匀加速，被追者匀速
例12、一辆执勤的警车停在空路边，当警员发现从他旁边以v=8m/s的速度匀速行驶的货车有违章行为时，决定前去追赶，经2.5秒，警车发动起来，以加速度做匀加速运动，试问：
（1）警车发动后要多长时间才能追上违章的车？
（2）在警车追上货车之前，两车间的最大距离是多大？
题型六 追者匀加速，被追者匀减速
例13、2016年世界中学生五人制足球锦标赛落下帷幕，代表中国参赛的河南男队和河北女队取得了优异成绩。五人制足球的赛场长40 m，宽20 m，如图所示。在比赛中，攻方队员在中线附近突破防守队员，将足球沿边路向前踢出，足球的运动可视为初速度为v1＝6 m/s的匀减速直线运动，加速度大小为a1＝1 m/s2。该队员将足球踢出后立即由静止开始追赶足球，他的运动可视为匀加速直线运动，最大加速度为a2＝1 m/s2，能达到的最大速度为v2＝4 m/s。该队员至少经过多长时间能追上足球？
题型七 追及与图象
例14、（多选）两辆游戏赛车a、b在两条平行的直车道上行驶．t＝0时两车都在同一计时线处，此时比赛开始．它们在四次比赛中的v－t图如图所示．则下列图对应的比赛中，有一辆赛车能够追上另一辆的是（ ）
变式9、（多选）甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动，t＝0时刻同时经过公路旁的同一路标．如图是描述两车运动的v－t图线，折线ABC和折线OBD分别描述了甲、乙两车在0～20 s内的运动情况．关于甲、乙两车的运动，下列说法正确的是（ ）
A．在0～10 s内，两车逐渐靠近 B．在t＝10 s时，两车相遇
C．在10 s～20 s内，两车逐渐远离 D．在0～20 s内，两车最远距离为100 m
变式10、（多选）甲、乙两车在一平直道路上同向运动，其v－t图象如图所示，图中△OPQ和△OQT的面积分别为s1和s2（s2>s1）。初始时，甲车在乙车前方s0处，则下列判断正确的是（ ）
A．若s0＝s2，两车相遇1次 B．若s0C．若s0＝s1，两车相遇1次 D．若s0＝s1＋s2，两车不会相遇
【方法提炼】
1．分析追及问题的方法技巧可概括为“一个临界条件”、“两个等量关系”．
（1）一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点；
（2）两个等量关系：时间关系和位移关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口．
2．能否追上的判断方法
物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距s0。若vA＝vB时，sA＋s0sB，则不能追上．
3．若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断追上前该物体是否已经停止运动．
4．仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，往往对应一个临界状态，要满足相应的临界条件
5．在分析追及与相遇问题时，可用以下方法：
（1）临界条件法：当二者速度相等时，二者相距最远（最近）．
（2）图象法：画出s－t图象或v－t图象，然后利用图象进行分析求解．
（3）数学判别式法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ<0，说明追不上或不能相遇．
【能力展示】
【小试牛刀】
1．质点做直线运动的v－t图象如图所示，规定向右为正方向，则该质点在前8 s内平均速度的大小和方向分别为 （ ）
A．0.25 m/s 向右 B．0.25 m/s 向左
C．1 m/s 向右 D．1 m/s 向左
2．（多选）（2018年全国II卷）甲、乙两汽车同一条平直公路上同向运动，其速度—时间图像分别如图中甲、乙两条曲线所示。已知两车在t2时刻并排行驶，下列说法正确的是（ ）
A．两车在t1时刻也并排行驶 B．t1时刻甲车在后，乙车在前
C．甲车的加速度大小先增大后减小 D．乙车的加速度大小先减小后增大
3．（多选）甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶．在t＝0到t＝t1的时间内，它们的v－t图象如图所示．在这段时间内（ ）
A．汽车甲的平均速度比乙的大
B．汽车乙的平均速度小于eq \f(v1＋v2,2)
C．甲、乙两汽车的位移相同
D．汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大
4．亚丁湾索马里海域六艘海盗快艇试图靠近中国海军护航编队保护的商船，中国特战队员发射爆震弹成功将其驱离．假如其中一艘海盗快艇在海面上运动的v－t图象如图所示，设运动过程中海盗快艇所受阻力不变．则下列说法正确的是 （ ）
A．海盗快艇在0～66 s内从静止出发做加速度增大的加速直线运动
B．海盗快艇在66 s末离商船最近
C．海盗快艇在96 s末开始调头逃离
D．海盗快艇在96 s～116 s内做匀减速直线运动
5．两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后匀速行驶，速度均为v0，若前车突然以恒定的加速度刹车，在它刚停住时，后车以前车刹车时的加速度开始刹车。已知前车在刹车过程中所行的距离为S，若要保证两辆车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少应为（ ）
A．S B．2S C．3S D．4S
6．汽车甲沿平直公路以速度v0做匀速直线运动，当它经过某处的另一辆静止的汽车乙时，乙开始做初速度为零的匀加速直线运动去追甲。据上述条件（ ）
A．可求出乙追上甲时的速度 B．可求出乙追上甲时乙所走过的路程
C．可求出乙追上甲所用的时间 D．不能求出上述三者中的任何一个物理量
7．甲、乙两辆汽车以相同的速率v0在水平地面上相向做匀速直线运动，某时刻乙车先以大小为a的加速度做匀减速运动，当速率减小到0时，甲车也以大小为a的加速度做匀减速运动。为了避免碰车，在乙车开始做匀减速运动时，甲、乙两车的距离至少应为（ ）
A． B． C． D．
8．（多选）（2016年全国课标卷I）甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v-t图象如图所示。已知两车在t=3s时并排行驶，则（ ）
广州卓越教育培训中心
李咏华作图
v / m·s-1
t /s
甲
乙
0 1 2 3
10
20
30
A．在t=1s时，甲车在乙车后
B．在t=0时，甲车在乙车前7.5m
C．两车另一次并排行驶的时刻是t=2s
D．甲、乙两车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40m
9．（多选）（2018年全国III卷）甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动。甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图所示。下列说法正确的是（ ）
A．在t1时刻两车速度相等
B．从0到t1时间内，两车走过的路程相等
C．从t1到t2时间内，两车走过的路程相等
D．从t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等
10．一乒乓球运动员在一次近台抛发球技术练习中，将一乒乓球靠近球台边缘竖直向上抛出，球拍没有与球接触，经一段时间后落到地面，取竖直向上为正方向，空气阻力不能忽略，且大小不变．则下面最能反映乒乓球运动过程的速度—时间图线是 （ ）
11．甲、乙两个物体从同一地点、沿同一直线同时做直线运动，其v－t图象如图所示，则 （ ）
A．1 s时甲和乙相遇 B．0～6 s内甲、乙相距最大距离为1 m
C．2 s～6 s内甲相对乙做匀速直线运动 D．4 s时乙的加速度方向反向
12．一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以10 m/s的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过5.5 s后警车发动起来，并以2.5 m/s2的加速度做匀加速运动，但警车的行驶速度必须控制在90 km/h以内。问：
（1）警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离是多少？
（2）警车发动后要多长时间才能追上货车？
【大显身手】
13．甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动，t＝0时刻同时经过公路旁的同一个路标．在描述两车运动的v－t图象中，直线a、b分别描述了甲、乙两车在0～20 s的运动情况，如图所示．关于两车之间的位置关系，下列说法正确的是（ ）
A．在0～10 s内两车逐渐靠近 B．在10 s～20 s内两车逐渐远离
C．在5 s～15 s内两车的位移相等 D．在t＝10 s时两车在公路上相遇
14．某质点做直线运动，运动速率的倒数eq \f(1,v)与位移x的关系如图所示，关于质点的运动，下列说法正确的是( )
A．质点做匀加速直线运动
B．eq \f(1,v) x图线斜率等于质点运动加速度
C．四边形AA′B′B的面积可表示质点从C到C′所用的运动时间
D．四边形BB′C′C的面积可表示质点从C到C′所用的运动时间
15．（2016年江苏卷）小球从一定高度处由静止下落，与地面碰撞后回到原高度再次下落，重复上述运动，取小球的落地点为原点建立坐标系，竖直向上为正方向，下列速度v和位置x的关系图象中，能描述该过程的是（ ）
16．某物体做直线运动的v-t图象如图所示，据此判断下列四个选项中正确的是（F表示物体所受合力，x表示物体的位移）（ ）
17．如图所示，滑块以初速度v0沿表面粗糙且足够长的固定斜面，从顶端下滑，直至速度为零。对于该运动过程，若用h、s、v、a分别表示滑块的下降高度、位移、 速度和加速度的大小，t表示时间，则下列图象最能正确描述这一运动规律的是( )
18．甲、乙两车在公路上沿同一方向做直线运动，它们的v-t图象如图所示。两图象在t=t1时相交于P点，P在横轴上的投影为Q，△OPQ的面积为S。在t=0时刻，乙车在甲车前面，相距为d。已知此后两车相遇两次，且第一次相遇的时刻为t′，则下面四组t′和d的组合可能是（ ）
A． t′＝t1 ，d=S B． t′=
C．t′ D． t′=
19．（多选）甲、乙两物体由同一位置出发沿一直线运动，其速度－时间图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．甲做匀速直线运动，乙做匀变速直线运动
B．两物体两次相遇的时刻分别是在2 s末和6 s末
C．乙在头2 s内做匀加速直线运动，2 s后做匀减速直线运动
D．2 s后，甲、乙两物体的速度方向相反
20．一个物体以初速度v0沿光滑斜面向上运动，其速度v随时间t变化的规律如图所示，在连续两段时间m和n内对应面积均为S，则经过b时刻的速度大小为( )
A．eq \f(m－nS,mn) B．eq \f(mnm2＋n2S,m＋n) C．eq \f(m2＋n2S,m＋nmn) D．eq \f(m2＋n2S,mn)
21．（多选）在平直轨道上甲、乙两物体相距为s，同向同时开始运动，乙在前，甲在后。甲以初速度v1、加速度a1做匀加速运动，乙做初速度为零，加速度为a2的匀加速运动，假定甲能从乙旁通过而不受影响，下列情况可能发生的是（ ）
A．当a1> a2时，甲、乙可能相遇两次 B． 当a1=a2时，甲、乙只能相遇一次
C．当a1> a2时，甲、乙只能相遇一次 D．当a1< a2时，甲、乙可能相遇两次
22．从地面上以初速度2v0竖直上抛物体A，相隔Δt时间后再以初速度v0竖直上抛物体B。要使A、B在空中相遇，Δt应满足什么条件？
23．在h高处，小球A由静止开始自由落下，与此同时在A正下方地面上以初速v0竖直向上抛出另一小球B。求A、B在空中相遇的时间与地点，并讨论A、B相遇的条件。不计空气阻力作用。
24．滑雪度假村某段雪地赛道可等效为长L=36m，倾角为θ的斜坡。已知滑道的积雪与不同滑板之间的动摩擦因数不同，若甲先滑下时加速度为a甲=2m/s2，乙后滑下时加速度为a乙=4m/s2。已知甲和乙均可看作质点，且滑行方向平行，相遇时不会相撞。若乙比甲晚出发Δt=1s，为追上甲，有人从后面给乙一个瞬时作用使乙获得初速度V0=1m/s，通过计算分析乙能否在甲到达坡底前追上甲；若能追上求出两者在追上前相距的最远距离，若不能追上求出两者到达坡底的时间差。
第3讲 运动图象 追及和相遇问题
答案
例1、BCD 例2、ABD 变式1、BD 变式2、CD
例3、B 变式3、BD 变式4、C 例4、AD
例5、BC 变式5、BD 变式6、C
例6、A 例7、B 例8、 例9、B
变式7、会发生 变式8、
例10、B 例11、B 例12、（1）10s （2）36m
例13、6.5 s 例14、AC 变式9、CD 变式10、BCD
【能力展示】
1、B 2、BD 3、AB 4、C 5、B 6、A 7、D 8、BD 9、CD 10、A
11、C 12、（1）75m （2）12s
13、C 14、D 15、A 16、B 17、B 18、D 19、BC 20、C 21、BCD
22、
23、解：设相遇时间为t，相遇处离地面为y，则二球相遇必在同一位置，具有相同的位移y，
所以 即v0t=h
所以相遇时间为
将t代入y的表达式得 即为相遇点离地面的高度。
讨论：A、B能在空中相遇，则y>0，即
所以，即，即为A、B在空中相遇的条件。
当在B球的最高点相遇时，应有，且，解得
因而当时，在B球下降过程中两球相遇；
当时，恰在B球上升到最高点时，两球相遇；
当时，在B球上升过程中两球相遇。
24、解析：设甲、乙到达坡底时间分别为t甲和t乙
L=a甲t甲2 得 t甲=6s
L=v0t乙＋a乙t乙2 得 t乙=4s
t乙＋△t＜t甲 故可以追上
设甲出发后经t1，乙与甲达到共同速度v，则：
V= a甲t1= v0＋a乙(t1－△t) 解得：t1=1.5s
X甲= a甲t12=m X乙= v0(t1－△t)＋a乙(t1－△t)2=1m
∴ △x= X甲－X乙=1.25m
【教学目标】1、理解图象所表示的物理意义，能够正确分析图象所表达的物理过程
2、会画运动草图建立两个相关的运动物体的物理情景
【重、难点】熟练掌握位移图象和速度图象的含义，并会运用对追及和相遇问题的分析、处理
【知识梳理】
（1）x t图象和v t图象都表示物体运动的轨迹。（ ）
（2）x t图象和v t图象都只能描述直线运动。（ ）
（3）x t图象上两图线的交点表示两物体此时相遇。（ ）
（4）v t图象上两图线的交点表示两物体此时相遇。（ ）
（5）同一直线上运动的两物体，后者若追上前者，后者速度必须大于前者。（ ）
（6）同一直线上运动的两物体，速度相等时，两物体相距最远或最近。（ ）
（7）两物体同向运动恰好不相碰，则此时两物体速度相等。（ ）
考点一 对运动图象物理意义的理解
1．对x－t图象的理解
（1）物理意义：反映了做直线运动的物体 随________变化的规律．
（2）图线斜率的意义
① 图线上某点切线的斜率大小表示物体________________．
② 图线上某点切线的斜率正负表示物体________________．
图甲
图乙
2．对v－t图象的理解
（1）物理意义：反映了做直线运动的物体 随________变化的规律．
（2）图线斜率的意义
① 图线上某点切线的斜率大小表示物体运动的__________．
② 图线上某点切线的斜率正负表示加速度的________．
（3）图线与横轴围成的“面积”的意义
① 图线与横轴围成的“面积”表示________________．
② 若此面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为______；若此面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为______．
典例精析
例1、（多选）如图所示的位移－时间图象和速度－时间图象中，给出的四条图线1、2、3、4代表四个不同物体的运动情况．下列描述不正确的是 （ ）
A．x－t图象中t1时刻v1>v2
B．图线1表示物体做曲线运动
C．图线2和图线4中，t2、t4时刻都表示物体反向运动
D．v－t图象中0至t3时间内图线3和图线4的平均速度大小相等
例2、（多选）如图所示，有一质点从t=0时刻开始，由坐标原点出发开始运动，则下列选项中正确的是（ ）
A．0到1s与3s到4s的加速度相同 B．t=2s时，离开坐标原点的距离最大
C．t=1s时，离开坐标原点的距离最大 D．t=4s时，质点回到原点
变式1、（多选）如图所示是做匀变速直线运动的质点在0~6s内的位移—时间图线。若t=1s时，图线所对应的切线斜率为4（单位：m/s）。则下列说法中正确的是（ ）
A．t=1s和t=5s时，质点加速度的方向相反 B． t=1s和t=5s时，质点的速率相等
C．前5s内，合外力对质点做正功 D．t=1s时，质点在x=5 m的位置
变式2、（多选）物体沿直线运动的v-t图象如图所示，已知在第1秒内合外力对物体做的功为W，则（ ）
A．从第1秒末到第3秒末合外力做功为4W
B．从第3秒末到第5秒末合外力做功为－2W
C．从第5秒末到第7秒末合外力做功为W
D．从第3秒末到第4秒末合外力做功为－0.75W
图象问题的三个提醒
1．x－t图象、v－t图象都不是物体运动的轨迹，图象中各点的坐标值x、v与t一一对应．
2．x－t图象、v－t图象的形状由x与t、v与t的函数关系决定．
3．无论是x－t图象还是v－t图象，所描述的运动情况都是直线运动．
考点二 运动图象的应用
1．用图象解题可使解题过程简化，思路更清晰，而且比解析法更巧妙、更灵活．在有些情况下运用解析法可能无能为力，但是图象法则会使你豁然开朗．
2．利用图象描述物理过程更直观．物理过程可以用文字表述，也可以用数学式表达，还可以用物理图象描述．如果能够用物理图象描述，一般来说会更直观且容易理解．
例3、一个固定在水平面上的光滑物块，其左侧面是斜面AB，右侧面是曲面AC，如图所示。已知AB和AC的长度相同。两个小球p、q同时从A点分别沿AB和AC由静止开始下滑，比较它们到达水平面所用的时间（ ）
p q
A
B
C
q
A．p小球先到 B．q小球先到 C．两小球同时到 D．无法确定
变式3、（多选）如图所示，游乐场中，从高处A到水面B处有两条长度相同的光滑轨道。甲、乙两小孩沿不同轨道同时从A处自由滑向B处，下列说法正确的有（ ）
A．甲的切向加速度始终比乙的大 B．甲、乙在同一高度的速度大小相等
C．甲、乙在同一时刻总能到达同一高度 D．甲比乙先到达B处
变式4、某同学欲估算飞机着陆时的速度，若飞机在跑道上滑行的距离为s，从着陆到停下来所用的时间为t，并且飞机的速度越大，所受的阻力越大，则飞机着陆时的速度应是 （ ）
A．v＝eq \f(s,t) B．v＝eq \f(2s,t) C．v>eq \f(2s,t) D．eq \f(s,t)
例4、（多选）一汽车沿直线由静止开始向右运动，汽车的速度和加速度方向始终向右．汽车速度的二次方v2与汽车前进位移x的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．汽车从开始运动到前进x1过程中，汽车受到的合外力越来越大
B．汽车从开始运动到前进x1过程中，汽车受到的合外力越来越小
C．汽车从开始运动到前进x1过程中，汽车的平均速度大于eq \f(v0,2)
D．汽车从开始运动到前进x1过程中，汽车的平均速度小于eq \f(v0,2)
例5、（多选）汽车由静止开始在平直的公路上行驶，0～50s内汽车的加速度随时间变化的图线如图所示．下面的有关说法正确的是（ ）
A．汽车在50 s末的速度为零
B．汽车行驶的最大速度为20 m/s
C．在0～50 s内汽车行驶的总位移为850 m
D．汽车在40 s～50 s内的速度方向和0～10 s内的速度方向相反
变式5、（多选）放在水平面上的物体，在力F作用下开始运动，以物体静止时的位置为坐标原点，力F的方向为正方向建立x轴，物体的加速度随位移的变化图象如图所示．下列说法中正确的是（ ）
A．0～x2过程中物体做匀加速直线运动，x2～x3过程中物体做匀减速直线运动
B．位移为x1时，物体的速度大小为eq \r(2a0x1)
C．位移为x2时，物体的速度达到最大
D．物体的最大速度为eq \r(a0x2＋x3)
变式6、设物体运动的加速度为a，速度为v，位移为s。现有四个不同物体的运动图象如图所示，t＝0时刻物体的速度均为零，则其中物体做单向直线运动的图象是 （ ）
考点四 作图
依据物体的状态或物理过程所遵循的物理规律，作出与之对应的示意图或数学函数图象来研究和处理问题。
例6、一汽车从静止开始做匀加速直线运动，然后刹车做匀减速直线运动，直到停止。下列速度v和位移 x 的关系图象中，能描述该过程的是（ ）
例7、从塔顶由静止释放一个小球A的时刻为计时零点，t0时刻，在与A球t0时刻所在位置的同一水平高度，由静止释放小球B，若两球都只受重力作用，设小球B下落时间为t，在A、B两球落地前，A、B两球之间的距离为Δx，则eq \f(Δx,t) t0的图线为( )
考点五 追及与相遇问题
1．追及和相遇问题
当两个物体在同一直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的距离会不断发生变化，两物体间距会越来越大或越来越小，这时就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题
2．追及问题的两类情况
（1）速度大者减速（如匀减速直线运动）追速度小者（如匀速运动）：
① 当两者速度相等时，若两者位移之差仍小于初始时的距离，则永远追不上，此时两者间有最
距离
② 若两者位移之差等于初始时的距离，且两者速度相等时，则恰能追上，也是两者相遇时 避免碰撞 的临界条件
③ 若两者位移之差等于初始时的距离时，追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相等时两者间距离有 一个极大 值
（2）速度小者加速（如初速度为零的匀加速直线运动）追速度大者（如匀速运动）：
① 当两者速度相等时有最 距离
② 若两者位移之差等于初始时的距离时，则追上
3．相遇问题的常见情况
（1）同向运动的两物体追及即相遇
（2）相向运动的物体，当各自发生的位移大小和等于开始时两物体的距离时即相遇
4．追及、相遇问题的求解方法
分析追及与相遇问题大致有两种方法，即数学方法和物理方法，具体为：
方法1：利用临界条件求解。寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，在两物体速度相等时有最小距离；
方法2：利用函数方程求解。利用不等式求解，思路有二：其一是先求出在任意时刻t两物体间的距离y＝f（t），若对任何t，均存在y＝f（t）>0，则这两个物体永远不能相遇；若存在某个时刻t，使得y＝f（t）≤0，则这两个物体可能相遇；其二是设在t时刻两物体相遇，然后根据几何关系列出关于t的方程f（t）＝0，若方程f（t）＝0无正实数解，则说明这两物体不可能相遇；若方程f（t）＝0存在正实数解，则说明这两个物体可能相遇；
方法3：利用图象求解。若用位移图象求解，分别作出两个物体的位移图象，如果两个物体的位移图象相交，则说明两物体相遇；若用速度图象求解，则注意比较速度图线与t轴包围的面积。
方法4：利用相对运动求解。用相对运动的知识求解追及或相遇问题时，要注意将两个物体对地的物理量（速度、加速度和位移）转化为相对的物理量；在追及问题中，常把被追及物体作为参考系，这样追赶物体相对被追物体的各物理量即可表示为：s相对＝s后－s前＝s0，v相对＝v后－v前，a相对＝a后－a前，且上式中各物理量（矢量）的符号都应以统一的正方向进行确定。
题型一 追者匀减速，被追者匀加速（要求用多种解法）
例8、在水平轨道上有两列火车A和B相距x，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，求A车的初速度v0应满足什么条件？
题型二 追者匀减速，被追者匀速
例9、汽车正在以10 m/s的速度在平直的公路上匀速前进，在它的正前方x处有一辆自行车以4 m/s的速度做同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭油门做a＝－6 m/s2的匀变速运动，若汽车恰好碰不上自行车，则x的大小为（ ）
A．8.33 m B．3 m C．3.33 m D．7 m
变式7、晚间，甲火车以4m/s匀速前进，当时乙火车误入同一轨道且以20m/s的速度追向甲车，当乙车司机发现甲车时两车相距仅125m，乙车立即制动，已知这种速度前进的火车制动200m才能停下，问是否发生撞车事故？
变式8、火车甲以速度v1匀速行驶，司机突然发现前方同轨道上相距x处有另一火车乙沿同方向以速度v2（对地，且v1> v2）做匀速运动。司机立即以加速度a紧急刹车。要使两车不相撞，a的大小应满足什么条件？
题型三 追者匀速，被追者匀加速
例10、一步行者以6.0 m/s的速度跑去追赶被红灯阻停的公共汽车，在跑到距汽车25 m处时，绿灯亮了，汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进，则( )
A．人能追上公共汽车，追赶过程中人跑了36 m
B．人不能追上公共汽车，人、车最近距离为7 m
C．人能追上公共汽车，追上车前人共跑了43 m
D．人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离越来越远
题型四 追者匀速，被追者匀减速
例11、如图所示，A、B两物体相距x＝7 m，物体A以vA＝4 m/s的速度向右匀速运动，而物体B此时的速度vB＝10 m/s，只在摩擦力作用下向右做匀减速运动，加速度a＝－2 m/s2。那么物体A追上物体B所用的时间为（ ）
A．7s B．8s C．9s D．10s
题型五 追者匀加速，被追者匀速
例12、一辆执勤的警车停在空路边，当警员发现从他旁边以v=8m/s的速度匀速行驶的货车有违章行为时，决定前去追赶，经2.5秒，警车发动起来，以加速度做匀加速运动，试问：
（1）警车发动后要多长时间才能追上违章的车？
（2）在警车追上货车之前，两车间的最大距离是多大？
题型六 追者匀加速，被追者匀减速
例13、2016年世界中学生五人制足球锦标赛落下帷幕，代表中国参赛的河南男队和河北女队取得了优异成绩。五人制足球的赛场长40 m，宽20 m，如图所示。在比赛中，攻方队员在中线附近突破防守队员，将足球沿边路向前踢出，足球的运动可视为初速度为v1＝6 m/s的匀减速直线运动，加速度大小为a1＝1 m/s2。该队员将足球踢出后立即由静止开始追赶足球，他的运动可视为匀加速直线运动，最大加速度为a2＝1 m/s2，能达到的最大速度为v2＝4 m/s。该队员至少经过多长时间能追上足球？
题型七 追及与图象
例14、（多选）两辆游戏赛车a、b在两条平行的直车道上行驶．t＝0时两车都在同一计时线处，此时比赛开始．它们在四次比赛中的v－t图如图所示．则下列图对应的比赛中，有一辆赛车能够追上另一辆的是（ ）
变式9、（多选）甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动，t＝0时刻同时经过公路旁的同一路标．如图是描述两车运动的v－t图线，折线ABC和折线OBD分别描述了甲、乙两车在0～20 s内的运动情况．关于甲、乙两车的运动，下列说法正确的是（ ）
A．在0～10 s内，两车逐渐靠近 B．在t＝10 s时，两车相遇
C．在10 s～20 s内，两车逐渐远离 D．在0～20 s内，两车最远距离为100 m
变式10、（多选）甲、乙两车在一平直道路上同向运动，其v－t图象如图所示，图中△OPQ和△OQT的面积分别为s1和s2（s2>s1）。初始时，甲车在乙车前方s0处，则下列判断正确的是（ ）
A．若s0＝s2，两车相遇1次 B．若s0
【方法提炼】
1．分析追及问题的方法技巧可概括为“一个临界条件”、“两个等量关系”．
（1）一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点；
（2）两个等量关系：时间关系和位移关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口．
2．能否追上的判断方法
物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距s0。若vA＝vB时，sA＋s0
3．若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断追上前该物体是否已经停止运动．
4．仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，往往对应一个临界状态，要满足相应的临界条件
5．在分析追及与相遇问题时，可用以下方法：
（1）临界条件法：当二者速度相等时，二者相距最远（最近）．
（2）图象法：画出s－t图象或v－t图象，然后利用图象进行分析求解．
（3）数学判别式法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ<0，说明追不上或不能相遇．
【能力展示】
【小试牛刀】
1．质点做直线运动的v－t图象如图所示，规定向右为正方向，则该质点在前8 s内平均速度的大小和方向分别为 （ ）
A．0.25 m/s 向右 B．0.25 m/s 向左
C．1 m/s 向右 D．1 m/s 向左
2．（多选）（2018年全国II卷）甲、乙两汽车同一条平直公路上同向运动，其速度—时间图像分别如图中甲、乙两条曲线所示。已知两车在t2时刻并排行驶，下列说法正确的是（ ）
A．两车在t1时刻也并排行驶 B．t1时刻甲车在后，乙车在前
C．甲车的加速度大小先增大后减小 D．乙车的加速度大小先减小后增大
3．（多选）甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶．在t＝0到t＝t1的时间内，它们的v－t图象如图所示．在这段时间内（ ）
A．汽车甲的平均速度比乙的大
B．汽车乙的平均速度小于eq \f(v1＋v2,2)
C．甲、乙两汽车的位移相同
D．汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大
4．亚丁湾索马里海域六艘海盗快艇试图靠近中国海军护航编队保护的商船，中国特战队员发射爆震弹成功将其驱离．假如其中一艘海盗快艇在海面上运动的v－t图象如图所示，设运动过程中海盗快艇所受阻力不变．则下列说法正确的是 （ ）
A．海盗快艇在0～66 s内从静止出发做加速度增大的加速直线运动
B．海盗快艇在66 s末离商船最近
C．海盗快艇在96 s末开始调头逃离
D．海盗快艇在96 s～116 s内做匀减速直线运动
5．两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后匀速行驶，速度均为v0，若前车突然以恒定的加速度刹车，在它刚停住时，后车以前车刹车时的加速度开始刹车。已知前车在刹车过程中所行的距离为S，若要保证两辆车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少应为（ ）
A．S B．2S C．3S D．4S
6．汽车甲沿平直公路以速度v0做匀速直线运动，当它经过某处的另一辆静止的汽车乙时，乙开始做初速度为零的匀加速直线运动去追甲。据上述条件（ ）
A．可求出乙追上甲时的速度 B．可求出乙追上甲时乙所走过的路程
C．可求出乙追上甲所用的时间 D．不能求出上述三者中的任何一个物理量
7．甲、乙两辆汽车以相同的速率v0在水平地面上相向做匀速直线运动，某时刻乙车先以大小为a的加速度做匀减速运动，当速率减小到0时，甲车也以大小为a的加速度做匀减速运动。为了避免碰车，在乙车开始做匀减速运动时，甲、乙两车的距离至少应为（ ）
A． B． C． D．
8．（多选）（2016年全国课标卷I）甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v-t图象如图所示。已知两车在t=3s时并排行驶，则（ ）
广州卓越教育培训中心
李咏华作图
v / m·s-1
t /s
甲
乙
0 1 2 3
10
20
30
A．在t=1s时，甲车在乙车后
B．在t=0时，甲车在乙车前7.5m
C．两车另一次并排行驶的时刻是t=2s
D．甲、乙两车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40m
9．（多选）（2018年全国III卷）甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动。甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图所示。下列说法正确的是（ ）
A．在t1时刻两车速度相等
B．从0到t1时间内，两车走过的路程相等
C．从t1到t2时间内，两车走过的路程相等
D．从t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等
10．一乒乓球运动员在一次近台抛发球技术练习中，将一乒乓球靠近球台边缘竖直向上抛出，球拍没有与球接触，经一段时间后落到地面，取竖直向上为正方向，空气阻力不能忽略，且大小不变．则下面最能反映乒乓球运动过程的速度—时间图线是 （ ）
11．甲、乙两个物体从同一地点、沿同一直线同时做直线运动，其v－t图象如图所示，则 （ ）
A．1 s时甲和乙相遇 B．0～6 s内甲、乙相距最大距离为1 m
C．2 s～6 s内甲相对乙做匀速直线运动 D．4 s时乙的加速度方向反向
12．一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以10 m/s的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过5.5 s后警车发动起来，并以2.5 m/s2的加速度做匀加速运动，但警车的行驶速度必须控制在90 km/h以内。问：
（1）警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离是多少？
（2）警车发动后要多长时间才能追上货车？
【大显身手】
13．甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动，t＝0时刻同时经过公路旁的同一个路标．在描述两车运动的v－t图象中，直线a、b分别描述了甲、乙两车在0～20 s的运动情况，如图所示．关于两车之间的位置关系，下列说法正确的是（ ）
A．在0～10 s内两车逐渐靠近 B．在10 s～20 s内两车逐渐远离
C．在5 s～15 s内两车的位移相等 D．在t＝10 s时两车在公路上相遇
14．某质点做直线运动，运动速率的倒数eq \f(1,v)与位移x的关系如图所示，关于质点的运动，下列说法正确的是( )
A．质点做匀加速直线运动
B．eq \f(1,v) x图线斜率等于质点运动加速度
C．四边形AA′B′B的面积可表示质点从C到C′所用的运动时间
D．四边形BB′C′C的面积可表示质点从C到C′所用的运动时间
15．（2016年江苏卷）小球从一定高度处由静止下落，与地面碰撞后回到原高度再次下落，重复上述运动，取小球的落地点为原点建立坐标系，竖直向上为正方向，下列速度v和位置x的关系图象中，能描述该过程的是（ ）
16．某物体做直线运动的v-t图象如图所示，据此判断下列四个选项中正确的是（F表示物体所受合力，x表示物体的位移）（ ）
17．如图所示，滑块以初速度v0沿表面粗糙且足够长的固定斜面，从顶端下滑，直至速度为零。对于该运动过程，若用h、s、v、a分别表示滑块的下降高度、位移、 速度和加速度的大小，t表示时间，则下列图象最能正确描述这一运动规律的是( )
18．甲、乙两车在公路上沿同一方向做直线运动，它们的v-t图象如图所示。两图象在t=t1时相交于P点，P在横轴上的投影为Q，△OPQ的面积为S。在t=0时刻，乙车在甲车前面，相距为d。已知此后两车相遇两次，且第一次相遇的时刻为t′，则下面四组t′和d的组合可能是（ ）
A． t′＝t1 ，d=S B． t′=
C．t′ D． t′=
19．（多选）甲、乙两物体由同一位置出发沿一直线运动，其速度－时间图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．甲做匀速直线运动，乙做匀变速直线运动
B．两物体两次相遇的时刻分别是在2 s末和6 s末
C．乙在头2 s内做匀加速直线运动，2 s后做匀减速直线运动
D．2 s后，甲、乙两物体的速度方向相反
20．一个物体以初速度v0沿光滑斜面向上运动，其速度v随时间t变化的规律如图所示，在连续两段时间m和n内对应面积均为S，则经过b时刻的速度大小为( )
A．eq \f(m－nS,mn) B．eq \f(mnm2＋n2S,m＋n) C．eq \f(m2＋n2S,m＋nmn) D．eq \f(m2＋n2S,mn)
21．（多选）在平直轨道上甲、乙两物体相距为s，同向同时开始运动，乙在前，甲在后。甲以初速度v1、加速度a1做匀加速运动，乙做初速度为零，加速度为a2的匀加速运动，假定甲能从乙旁通过而不受影响，下列情况可能发生的是（ ）
A．当a1> a2时，甲、乙可能相遇两次 B． 当a1=a2时，甲、乙只能相遇一次
C．当a1> a2时，甲、乙只能相遇一次 D．当a1< a2时，甲、乙可能相遇两次
22．从地面上以初速度2v0竖直上抛物体A，相隔Δt时间后再以初速度v0竖直上抛物体B。要使A、B在空中相遇，Δt应满足什么条件？
23．在h高处，小球A由静止开始自由落下，与此同时在A正下方地面上以初速v0竖直向上抛出另一小球B。求A、B在空中相遇的时间与地点，并讨论A、B相遇的条件。不计空气阻力作用。
24．滑雪度假村某段雪地赛道可等效为长L=36m，倾角为θ的斜坡。已知滑道的积雪与不同滑板之间的动摩擦因数不同，若甲先滑下时加速度为a甲=2m/s2，乙后滑下时加速度为a乙=4m/s2。已知甲和乙均可看作质点，且滑行方向平行，相遇时不会相撞。若乙比甲晚出发Δt=1s，为追上甲，有人从后面给乙一个瞬时作用使乙获得初速度V0=1m/s，通过计算分析乙能否在甲到达坡底前追上甲；若能追上求出两者在追上前相距的最远距离，若不能追上求出两者到达坡底的时间差。
第3讲 运动图象 追及和相遇问题
答案
例1、BCD 例2、ABD 变式1、BD 变式2、CD
例3、B 变式3、BD 变式4、C 例4、AD
例5、BC 变式5、BD 变式6、C
例6、A 例7、B 例8、 例9、B
变式7、会发生 变式8、
例10、B 例11、B 例12、（1）10s （2）36m
例13、6.5 s 例14、AC 变式9、CD 变式10、BCD
【能力展示】
1、B 2、BD 3、AB 4、C 5、B 6、A 7、D 8、BD 9、CD 10、A
11、C 12、（1）75m （2）12s
13、C 14、D 15、A 16、B 17、B 18、D 19、BC 20、C 21、BCD
22、
23、解：设相遇时间为t，相遇处离地面为y，则二球相遇必在同一位置，具有相同的位移y，
所以 即v0t=h
所以相遇时间为
将t代入y的表达式得 即为相遇点离地面的高度。
讨论：A、B能在空中相遇，则y>0，即
所以，即，即为A、B在空中相遇的条件。
当在B球的最高点相遇时，应有，且，解得
因而当时，在B球下降过程中两球相遇；
当时，恰在B球上升到最高点时，两球相遇；
当时，在B球上升过程中两球相遇。
24、解析：设甲、乙到达坡底时间分别为t甲和t乙
L=a甲t甲2 得 t甲=6s
L=v0t乙＋a乙t乙2 得 t乙=4s
t乙＋△t＜t甲 故可以追上
设甲出发后经t1，乙与甲达到共同速度v，则：
V= a甲t1= v0＋a乙(t1－△t) 解得：t1=1.5s
X甲= a甲t12=m X乙= v0(t1－△t)＋a乙(t1－△t)2=1m
∴ △x= X甲－X乙=1.25m
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