2021-2022学年山东省滨州市阳信县九年级（上）期中数学试卷 解析版

这是一份2021-2022学年山东省滨州市阳信县九年级（上）期中数学试卷 解析版，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年山东省滨州市阳信县九年级（上）期中数学试卷
一、单选题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．
1．（3分）若⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，那么点A与⊙O的位置关系是（　　）
A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．不能确定
2．（3分）如图，点A、B、C是⊙O上的三个点，若∠AOB＝82°，则∠C的度数为（　　）

A．82° B．38° C．24° D．41°
3．（3分）一个不透明的箱子中有2个白球，3个黄球和4个红球，这些球除颜色不同外，其他完全相同．从箱子中随机摸出一个球，则它是红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．购买一张彩票，中奖
B．射击运动员射击一次，命中10环
C．任意画一个三角形，内角和为180°
D．在一个只装有白球的袋中摸出红球
5．（3分）下列图形中的角是圆周角的是（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将点P（4，3）绕原点O逆时针旋转90°得到点P'，则P'的坐标为（　　）

A．（﹣3，4） B．（3，﹣4） C．（4，﹣3） D．（﹣3，﹣4）
7．（3分）随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）已知AB是半径为6的圆的一条弦，则AB的长不可能是（　　）
A．8 B．10 C．12 D．14
9．（3分）下列语句中，一定正确的是（　　）
①过三点有且只有一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；④同弧或等弧所对的圆周角相等；⑤圆内接平行四边形是矩形．
A．①②③ B．①②④ C．②③⑤ D．③④⑤
10．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A＝25°，则∠D等于（　　）

A．20° B．30° C．40° D．50°
11．（3分）点P（3，2）关于原点O的对称点P'的坐标是（　　）
A．（3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（2，3）
12．（3分）如图，从圆外一点P引圆的两条切线PA，PB，A，B为切点，C为PB上的一点，连接CO交⊙O于点D，若CD∥PA，PA＝9，CD＝2，则⊙O的半径长是（　　）

A．2 B．2 C．4 D．3
二、填空题：本大题共6个小题，请写出正确的答案．
13．（4分）如图所示，正方形ABCD对角线交于O，点O是正方形A′B′C′O的一个顶点，如果两个正方形的边长也相等，正方形A′B′C′O绕O自由转动，设两个正方形重叠部分（阴影）的面积为S1，正方形ABCD的面积为S2，则S1与S2的关系是 　 　．

14．（4分）弦心距：圆心到 　 　的距离（即圆心到弦的垂线段的长度）．在直角三角形中，由勾股定理得：　 　2+半弦2＝半径2．

15．（4分）如图，若以AB为边长作⊙O的内接正多边形，则这个多边形是正　 　边形．

16．（4分）如图，在△AOB中，AO＝1，BO＝AB＝．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到ΔA'OB'，连接AA'．则线段AA'的长为 　 　．

17．（4分）数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用，如图是小明同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为6cm的正方形区域内．为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，估计黑色部分的总面积约为 　 　cm2．

18．（4分）已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则弦AB和CD之间的距离是　 　cm．
三、解答题：本大题共6个小题，解答时请写出必要的演推过程．
19．（6分）如图，方格纸中有三个格点A，B，C，要求作一个多边形使这三个点在这个多边形的边（包括顶点）上，且多边形的顶点在方格的顶点上．

（1）在图甲中作一个三角形是轴对称图形；
（2）在图乙中作一个四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；
（3）在图丙中作一个四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．
（注：图甲、图乙、图丙在答题纸上）
20．（8分）如图，一宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切于点C时，另一边与圆两个交点A和B的读数恰好为“2”和“8”（单位：cm）求该圆的半径．

21．（10分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，△AOB的顶点均在格点上，点O为原点，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．
（1）将△AOB向下平移2个单位后得到△A1O1B1，则点B1的坐标为 　 　；
（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A2OB2，请在图中作出△A2OB2，并求出这时点A2的坐标为 　 　；
（3）在（2）的旋转过程中，求线段OB扫过的图形的面积．

22．（10分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是上任意一点，过点C作⊙O的切线，分别与PA，PB相交于D，E两点，若PA＝PB＝5cm，求△PDE的周长．

23．（12分）为倡导“低碳出行”，每年9月22日为世界无车日，2020年9月22日，由中国城市公共交通协会联合清华大学中国城市研究院共同举办的第十四届“922绿色出行日”主题活动拉开序幕，环保部门对某城市居民出行使用交通方式的情况进行了问卷调查，将收回的问卷调查结果整理后，绘制了不完整的统计图，其中“骑自行车、电动车”所在的扇形的圆心角是162°．

请根据以上信息解答下列问题：
（1）请补全条形统计图．
（2）如果绿色出行是指“骑自行车、电动车”和“坐公交车”，计算绿色出行在所有交通方式中的频率，并在50万人口的城市中选择绿色出行的共有多少人．
（3）若参与问卷调查的人中选择“其他”交通方式的有两名女性，其余为男性，现从中随机选取两人进行跟踪调查，请借助树状图或者表格，求出恰好选到1男1女的概率．
24．（14分）如图，在△ABC中，经过A，B两点的⊙O与边BC交于点E，圆心O在BC上，过点O作OD⊥BC交⊙O于点D，连接AD交BC于点F，且AC＝FC．
（1）试判断AC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若FC＝，CE＝1．求图中阴影部分的面积（结果保留π）．


2021-2022学年山东省滨州市阳信县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．
1．（3分）若⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，那么点A与⊙O的位置关系是（　　）
A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．不能确定
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来判断，设点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【解答】解：∵点A到圆心O的距离为3cm，小于⊙O的半径4cm，
∴点A在⊙O内．
故选：A．
2．（3分）如图，点A、B、C是⊙O上的三个点，若∠AOB＝82°，则∠C的度数为（　　）

A．82° B．38° C．24° D．41°
【分析】利用圆周角定理即可解决问题．
【解答】解：∵∠C＝∠AOB，∠AOB＝82°，
∴∠C＝41°，
故选：D．
3．（3分）一个不透明的箱子中有2个白球，3个黄球和4个红球，这些球除颜色不同外，其他完全相同．从箱子中随机摸出一个球，则它是红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据概率公式，用红球的个数除以球的总个数即可．
【解答】解：∵从箱子中随机摸出一个球，共有9种等可能结果，其中是红球的有4种可能结果，
∴它是红球的概率是，
故选：C．
4．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．购买一张彩票，中奖
B．射击运动员射击一次，命中10环
C．任意画一个三角形，内角和为180°
D．在一个只装有白球的袋中摸出红球
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、购买一张彩票，中奖，是随机事件，不符合题意；
B、射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件，不符合题意；
C、任意画一个三角形，内角和为180°，是必然事件，符合题意；
D、在一个只装有白球的袋中摸出红球，是不可能事件，不符合题意；
故选：C．
5．（3分）下列图形中的角是圆周角的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据圆周角的定义判断即可．
【解答】解：根据圆周角的定义可知，选项A中的角是圆周角．
故选：A．
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将点P（4，3）绕原点O逆时针旋转90°得到点P'，则P'的坐标为（　　）

A．（﹣3，4） B．（3，﹣4） C．（4，﹣3） D．（﹣3，﹣4）
【分析】根据要求作出图形，利用图象法解决问题即可．
【解答】解：如图，点P′（﹣3，4）．

故选：A．
7．（3分）随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：选项A、C、D不能找到这样的一个点，使这些图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以它们不是中心对称图形；
选项B能找到这样的一个点，使这个图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以它是中心对称图形；
故选：B．
8．（3分）已知AB是半径为6的圆的一条弦，则AB的长不可能是（　　）
A．8 B．10 C．12 D．14
【分析】根据半径求得直径的长，然后利用圆内最长的弦是直径作出判断即可．
【解答】解：∵圆的半径为6，
∴直径为12，
∵AB是一条弦，
∴AB的长应该小于等于12，不可能为的14，
故选：D．
9．（3分）下列语句中，一定正确的是（　　）
①过三点有且只有一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；④同弧或等弧所对的圆周角相等；⑤圆内接平行四边形是矩形．
A．①②③ B．①②④ C．②③⑤ D．③④⑤
【分析】根据确定圆的条件对①进行判断；根据垂径定理的推论对②进行判断；根据三角形外心的性质对③进行判断；根据圆周角定理对④进行判断；根据平行四边形的性质、圆内接四边形的性质和矩形的判定方法对⑤进行判断．
【解答】解：过不在同一直线上的三点有且只有一个圆，所以①错误；
平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以②错误；
三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，所以③正确；
同弧或等弧所对的圆周角相等，所以④正确；
圆内接平行四边形的对角相等且互补，此时四边形是矩形，所以⑤正确．
故选：D．
10．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A＝25°，则∠D等于（　　）

A．20° B．30° C．40° D．50°
【分析】先连接BC，由于AB 是直径，可知∠BCA＝90°，而∠A＝25°，易求∠CBA，又DC是切线，利用弦切角定理可知∠DCB＝∠A＝25°，再利用三角形外角性质可求∠D．
【解答】解：如右图所示，连接BC，
∵AB 是直径，
∴∠BCA＝90°，
又∵∠A＝25°，
∴∠CBA＝90°﹣25°＝65°，
∵DC是切线，
∴∠BCD＝∠A＝25°，
∴∠D＝∠CBA﹣∠BCD＝65°﹣25°＝40°．
故选：C．

11．（3分）点P（3，2）关于原点O的对称点P'的坐标是（　　）
A．（3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（2，3）
【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．
【解答】解：点P（3，2）关于原点O的对称点P'的坐标是（﹣3，﹣2）．
故选：C．
12．（3分）如图，从圆外一点P引圆的两条切线PA，PB，A，B为切点，C为PB上的一点，连接CO交⊙O于点D，若CD∥PA，PA＝9，CD＝2，则⊙O的半径长是（　　）

A．2 B．2 C．4 D．3
【分析】由切线长定理可得PA＝PB＝9，∠BPO＝∠APO，∠OBC＝90°，由平行线的性质可证CP＝CO＝2+OD，由勾股定理可求解．
【解答】解：如图，连接OB，PO，

∵从圆外一点P引圆的两条切线PA，PB，A，B为切点，
∴PA＝PB＝9，∠BPO＝∠APO，∠OBC＝90°，
∵CD∥AP，
∴∠COP＝∠OPA＝∠OPB，
∴CP＝CO＝2+OD，
∴BC＝9﹣（2+OD）＝7﹣OD，
∵OC2＝OB2+BC2，
∴（7﹣OD）2+OD2＝（2+OD）2，
∴OD＝3，OD＝15（不合题意舍去），
∴⊙O的半径长是3，
故选：D．
二、填空题：本大题共6个小题，请写出正确的答案．
13．（4分）如图所示，正方形ABCD对角线交于O，点O是正方形A′B′C′O的一个顶点，如果两个正方形的边长也相等，正方形A′B′C′O绕O自由转动，设两个正方形重叠部分（阴影）的面积为S1，正方形ABCD的面积为S2，则S1与S2的关系是 　S1＝S2　．

【分析】根据正方形的性质得到OA＝OB，∠AOB＝∠A′OC′＝90°，∠BAO＝∠OBC＝45°，求得∠AOE＝∠BOF，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD和四边形A′B′C′O都是正方形，
∴OA＝OB，∠AOB＝∠A′OC′＝90°，∠BAO＝∠OBC＝45°，
∴∠AOB﹣∠BOE＝∠A′OC′﹣∠BOE，
即∠AOE＝∠BOF，
在△AOE与△BOF中，
，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴S1＝S△BOE+S△BOF＝S△BOE+S△AOE＝S△AOB＝S2，
故答案为：S1＝S2．

14．（4分）弦心距：圆心到 　弦　的距离（即圆心到弦的垂线段的长度）．在直角三角形中，由勾股定理得：　弦心距．　2+半弦2＝半径2．

【分析】由垂径定理和勾股定理求解即可．
【解答】解：弦心距：圆心到弦的距离（即圆心到弦的垂线段的长度）．
由题意得：OC⊥AB，
∴BC＝AC＝AB，
在Rt△OBC中，由勾股定理得：OC2+BC2＝OB2，
即弦心距2+半弦2＝半径2．
故答案为：弦，弦心距．

15．（4分）如图，若以AB为边长作⊙O的内接正多边形，则这个多边形是正　六　边形．

【分析】连接OB，由题意得到△AOB是等边三角形，于是得到结论．
【解答】解：连接OB，
∵AB＝OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴＝6，
故这个多边形是正六边形．
故答案为：六．

16．（4分）如图，在△AOB中，AO＝1，BO＝AB＝．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到ΔA'OB'，连接AA'．则线段AA'的长为 　　．

【分析】由旋转性质可判定△AOA'为等腰直角三角形，再由勾股定理可求得AA'的长．
【解答】解：由旋转性质可知，OA＝OA'＝1，∠AOA'＝90°，
则△AOA'为等腰直角三角形，
∴AA'＝＝＝．
故答案为．
17．（4分）数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用，如图是小明同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为6cm的正方形区域内．为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，估计黑色部分的总面积约为 　21.6　cm2．

【分析】先根据经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，可估计点落入黑色部分的概率为0.6，再乘以正方形的面积即可得出答案．
【解答】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
∴估计点落入黑色部分的概率为0.6，
∴估计黑色部分的总面积约为6×6×0.6＝21.6（cm2），
故答案为：21.6．
18．（4分）已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则弦AB和CD之间的距离是　2或14　cm．
【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可，小心别漏解．
【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，
∵AB＝16cm，CD＝12cm，
∴AE＝8cm，CF＝6cm，
∵OA＝OC＝10cm，
∴EO＝6cm，OF＝8cm，
∴EF＝OF﹣OE＝2cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，
∵AB＝16cm，CD＝12cm，
∴AF＝8cm，CE＝6cm，
∵OA＝OC＝10cm，
∴OF＝6cm，OE＝8cm，
∴EF＝OF+OE＝14cm．
∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm．
故答案为：2或14．


三、解答题：本大题共6个小题，解答时请写出必要的演推过程．
19．（6分）如图，方格纸中有三个格点A，B，C，要求作一个多边形使这三个点在这个多边形的边（包括顶点）上，且多边形的顶点在方格的顶点上．

（1）在图甲中作一个三角形是轴对称图形；
（2）在图乙中作一个四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；
（3）在图丙中作一个四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．
（注：图甲、图乙、图丙在答题纸上）
【分析】（1）根据要求作等腰直角△DEC即可．
（2）根据要求作平行四边形ABCD即可．
（3）根据要求作正方形AECD即可．
【解答】解：（1）如图甲中，△DEC即为所求作．
（2）如图乙中，四边形ABCD即为所求作．
（3）如图丙中，四边形AECD即为所求作．

20．（8分）如图，一宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切于点C时，另一边与圆两个交点A和B的读数恰好为“2”和“8”（单位：cm）求该圆的半径．

【分析】根据垂径定理得BE的长，再根据勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：作OE垂直AB于E，交⊙O于D，
设OB＝r，
∵AB＝8﹣2＝6cm，OE⊥AB，
∴BE＝AB＝×6＝3cm，
∴（r﹣2）2+9＝r2，解得r＝，
∴该圆的半径为cm．

21．（10分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，△AOB的顶点均在格点上，点O为原点，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．
（1）将△AOB向下平移2个单位后得到△A1O1B1，则点B1的坐标为 　（1，1）　；
（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A2OB2，请在图中作出△A2OB2，并求出这时点A2的坐标为 　（﹣2，3）　；
（3）在（2）的旋转过程中，求线段OB扫过的图形的面积．

【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律得到A1、O1、B1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A2、B2，从而得到△A2OB2，然后写点A2的坐标；
（3）先利用勾股定理计算出OB的长度，然后根据弧长公式计算线段OB扫过的图形的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1O1B1为所作，B1（1，1）；
故答案为（1，1）；
（2）如图，△A2OB2为所作，点A2的坐标为（﹣2，3）；
故答案为（﹣2，3）．

（3）∵，
∴线段OB扫过的图形的面积为．
22．（10分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是上任意一点，过点C作⊙O的切线，分别与PA，PB相交于D，E两点，若PA＝PB＝5cm，求△PDE的周长．

【分析】由PA、PB、DC、EC都为⊙O的切线，根据切线长定理得到PA＝PB＝5cm，DA＝DC，EC＝EB，然后把△PDE的周长＝PD+PE+DC+EC进行等线段代换得到△PDE的周长＝PA+PB，而PA＝PB＝5cm，即可得到△PDE的周长．
【解答】解：∵PA与PB分别切⊙O于A、B两点，DE切⊙O于C，
∴PA＝PB＝5cm，DA＝DC，EC＝EB，
∴△PDE的周长＝PD+PE+DC+EC＝PD+DA+PE+EB＝PA+PB＝10cm．
23．（12分）为倡导“低碳出行”，每年9月22日为世界无车日，2020年9月22日，由中国城市公共交通协会联合清华大学中国城市研究院共同举办的第十四届“922绿色出行日”主题活动拉开序幕，环保部门对某城市居民出行使用交通方式的情况进行了问卷调查，将收回的问卷调查结果整理后，绘制了不完整的统计图，其中“骑自行车、电动车”所在的扇形的圆心角是162°．

请根据以上信息解答下列问题：
（1）请补全条形统计图．
（2）如果绿色出行是指“骑自行车、电动车”和“坐公交车”，计算绿色出行在所有交通方式中的频率，并在50万人口的城市中选择绿色出行的共有多少人．
（3）若参与问卷调查的人中选择“其他”交通方式的有两名女性，其余为男性，现从中随机选取两人进行跟踪调查，请借助树状图或者表格，求出恰好选到1男1女的概率．
【分析】（1）根据坐公车的人数和所占的百分比求出总人数，用总人数乘以“骑自行车、电动车”的人数所占的百分比，求出“骑自行车、电动车”的人数，再用总人数减去其他使用交通工具的人数，求出其他人数，从而补全统计图；
（2）先求出绿色出行在所有交通方式中的频率，再乘以总人数即可；
（3）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好选到1男1女的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）抽取的总人数有：80÷40%＝200（人），
则“骑自行车、电动车”的人数为200×＝90（人），
其他的人数有：200﹣80﹣90﹣25＝5（人），
补全统计图如下：


（2）绿色出行在所有交通方式中的频率为：（80+90）÷200＝，
50万人口的城市中选择绿色出行的共有50×＝42.5（万人）；

（3）根据题意画图如下：

共有20种等可能的情况数，其中恰好选到1男1女的有12种，
则恰好选到1男1女的概率是＝．
24．（14分）如图，在△ABC中，经过A，B两点的⊙O与边BC交于点E，圆心O在BC上，过点O作OD⊥BC交⊙O于点D，连接AD交BC于点F，且AC＝FC．
（1）试判断AC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若FC＝，CE＝1．求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

【分析】（1）由CF＝CA，得∠CAF＝∠CFA，由AO＝DO，得∠D＝∠OAD，而∠OFD+∠ODF＝90°，等量代换即可得出∠CAF+∠OAF＝90°，从而证明结论；
（2）过A作AM⊥BC于M，设OA＝OE＝r，在Rt△CAO中，由勾股定理得：，解得r＝1，则，则有∠C＝30°，再根据S阴影部分＝S△AOB﹣S扇形AOB即可求出答案．
【解答】解：（1）AC与⊙O的相切，理由如下，
∵AO＝DO，
∴∠D＝∠OAD，
∵CF＝CA，
∴∠CAF＝∠CFA，
又∵∠CFA＝∠OFD，
∴∠CAF＝∠OFD，
∵OD⊥BC，
∴∠OFD+∠ODF＝90°，
∴∠CAF+∠OAF＝90°，
∴OA⊥AC，
∵OA是半径，
∴AC是⊙O的切线，
∴AC与⊙O的相切；
（2）过A作AM⊥BC于M，

设OA＝OE＝r，
∵，
在Rt△CAO中，由勾股定理得：
∴，
解得r＝1，
∴OC＝OE+EC＝2，
∴，
∴∠C＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝180﹣∠AOC＝120°，
在Rt△CAM中，，
∴S△AOB＝＝，
∴S扇形AOB＝，
∴S阴影部分＝S△AOB﹣S扇形AOB＝．