江西省宜春市上高二中2022届高三上学期第四次月考试题数学（理）含答案

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 2022届高三第四次月考数学（理科）试题11.29  一、单选题1．若集合，，则＝（    ）A． B． C． D．或2．已知命题p：，总有，则为（    ）A．，使得 B．，使得C．，总有 D．，总有3．若，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为其终边上的一点，将角逆时针旋转30°，交单位圆于点，则的值是（    ）A． B． C． D．5．已知，求的值（    ）A． B． C．或 D．6．如图所示的曲线为函数（，，）的部分图象，将图象上的所有点的横坐标伸长到原来的，再将所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ）A．函数在上单调递减 B．点为图象的一个对称中心C．直线为图象的一条对称轴 D．函数在上单调递增7．函数的部分图象大致是（    ）A． B．C． D．8．区间是关于的一元二次不等式的解集，则的最小值为（    ）A． B． C．6 D．9．已知菱形ABCD的边长为4，点M是线段CD的中点，，则=（    ）A． B． C． D．10．已知，则（    ）A． B．C． D．11．已知定义在上的可导函数，对任意的实数x，都有，且当时，恒成立，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．12．已知函数，若，，则实数a的最小值为（    ）A． B． C． D．  二、填空题13．已知实数，满足则的最大值为_______．14．已知向量，，，则实数k的值为______．15．如图是2021年9月17日13：34神州十二号返回舱(图中C)接近地面的场景.伞面是表面积为1200m2的半球面(不含底面圆)，伞顶B与返回舱底端C的距离为半球半径的5倍，直线BC与水平地面垂直于D，D和观测点A在同一水平线上.在A测得点B的仰角∠(DAB＝30°，且BC的视角∠BAC满足sin∠BAC＝，则此时返回舱底端离地面距离CD＝____________.(π＝3.14，sin∠ACB＝，计算过程中，球半径四舍五入保留整数，长度单位：m).16．已知函数，，若函数有3个不同的零点，，，且，则的取值范围是_____________. 三、解答题17．已知直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．(Ⅰ) 求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；(Ⅱ) 设直线与曲线相交于两点，求的值．18．已知函数．（1）若，求不等式的解集；（2）若存在，不等式成立，求实数的取值范围．19．在中，内角所对的边分别为，若，，且.（1）求角的大小;（2）在①成等差数列，②成等差数列，③成等差数列这三个条件中任选一个作为已知条件，求的面积.(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)20．已知函数.（1）当时，为R上的增函数，求a的最小值；（2）若，，，求x的取值范围.21．如图，四边形是正方形，平面，，．（1）证明：平面平面；（2）若与平面所成角为，求二面角的余弦值．22．已知函数．（1）当时，判断的单调性，并求在上的最值；（2），，求a的取值范围．参考答案1．D【分析】解出集合中的不等式可得答案.【详解】∵,或，∴AB＝或，故选：D．2．B【分析】由含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】因为命题p：，总有是全称量词命题，所以其否定为存在量词命题，即，使得，故选：B3．A【分析】充分性可通过举例子确定；不必要性可通过解确定，对于命题可通过对分类讨论求解.【详解】当时，有.当时，，，取，有.充分性成立若，当时，，不符合题意，舍去；当时，由，得有解，所以，解得；当时，由，得有解，所以，解得；综上可得，或.必要性不成立故选：A.4．A【分析】根据角的终边上一点，得到，进而得到，然后利用三角函数的定义结合两角和的正弦求解.【详解】因为角的终边上一点，所以，将角逆时针旋转，得，所以，故选：A5．D【分析】由正弦的和角公式与同角三角函数的基本关系求解即可【详解】,故选：D6．D【分析】先由函数的图象求出的解析式，再结合题意求出，结合正弦函数的图象性质即可求解【详解】由图象知，又，所以的一个最低点为，而的最小正周期为，所以又，则，所以,即，又，所以，所以，将函数图象上的所有点的横坐标伸长到原来的得的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度得，即.由得，所以在上单调递增，在上单调递减，当时，可知在递增，在递减，所以错误；因为，所以不是图象的一个对称中心，故B错误；因为，所以直线不是图象的一条对称轴，故C错误；因为在上单调递增，所以函数在上单调递增，故正确；故选：.7．D【分析】根据函数的解析式可判断函数为奇函数，再根据和时函数值的符号可得正确的选项.【详解】因为，所以为奇函数，图象关于原点对称，故排除A,当时，，当时，，故排除B、C．故选：D．【点睛】本题考查函数图象的识别，一般根据函数的奇偶性、单调性和函数在一定范围上的函数值的符号来判断，本题属于中档题.8．A【分析】由已知条件可得、是方程的实数根，由根与系数的关系可得，所以，再由基本不等式即可求解.【详解】区间是关于的一元二次不等式的解集，所以、是方程的实数根，且；由韦达定理知，，所以，且，，所以，所以，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为．故选：A．9．A【分析】用基向量，表示相关向量，再结合向量加法、减法和数量积运算的结合律、交换律，即得解【详解】∵而∴故选：A【点睛】本题考查了向量的线性运算和向量数量积在平面几何中的应用，考查了学生综合分析，数形结合、数学运算能力，属于中档题10．C【分析】构造函数，，利用导数研究函数的单调性，得出，的单调性，得出，令，可得出，再由得出的，令，得出，从而得出结果．【详解】解：先证，令，则，可知在上单调递增，所以，即，令，则，所以；再证即证，令，则，所以在上单调递增，所以，即，令，则，所以，从而．故选：C.11．D【分析】由题意可得，令，根据奇偶性的定义，可得为偶函数，利用导数可得的单调性，将题干条件化简可得，即，根据的单调性和奇偶性，计算求解，即可得答案.【详解】由，得，记，则有，即为偶函数，又当时，恒成立，所以在上单调递增，所以由，得，即，所以，即，解得，故选：D.12．D【分析】原问题转化为恒成立，令，利用导数求其最小值为，只需满足即可求解.【详解】由函数，得，若，，即恒成立，令，，当时，若时，，若时，，所以时函数取得最小值，所以成立，故时，，恒成立．故选：D13．5【分析】本题考查简单的线性规划，属基础题，根据约束条件画出可行域，将目标函数看成直线，直线经过可行域内的点，观察可得何时目标值取得要求的最值，进而得解.【详解】解：根据方程组画出可行域如图所示，可以求得B(1,1),当直线经过点B时取得最大值为5，故答案为：5.14．【分析】根据两个向量垂直其数量积为，列出等式求解即可.【详解】因为，所以，即，又因为，，所以，，所以，解得 故答案为：15．【分析】在中，由正弦定理得即可求解．【详解】设半球半径为，则，∴，∴．在中，由正弦定理得，∴，．故答案为：16．【分析】根据导数可求得的极小值为，由题可得函数的零点即方程和的根，讨论和时可求得结果.【详解】，时，，时，的极小值为.令，即，解得方程两根为和，函数的零点即方程和的根.函数有3个不同的零点需满足：当时，且，；当时，且，，综上：的范围为.【点睛】本题考查利用导数解决函数的零点问题，属于较难题.17．(1) ;(2)4.【详解】分析：（1）利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化；（2）代入建立一元二次方程，利用根和系数的关系求出结果.详解：(1)∵直线的参数方程为（为参数），∴直线的普通方程为，即，∴直线的极坐标方程：，又∵曲线的极坐标方程为，，，∴，即，∴曲线的直角坐标方程为.(2)∵将直线：代入曲线的极坐标方程：得：，设直线与曲线的两交点的极坐标分别为，，∴， ∴．点睛：本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用.18．（1）；（2）或．【分析】（1）代入，可得，然后使用零点分段法分类讨论即可.（2）得到，利用绝对值三角不等式计算即可.【详解】解：（1）若，，，当时，，即，当时，恒成立，即，当时，，即综上：不等式解集为．（2）存在，不等式成立，只需要，，即，等号成立条件为，当时，，，或，当时，，，，综上：或．19．条件选择见解析（1）；（2）.【分析】（1）由得到，进而用正弦定理进行角化边，再用余弦定理即可得到答案；（2）若选①，根据基本不等式得到，进而得到，结合题目条件可得，进而得到答案；若选②，根据题意有结合（1）消去b，进而化简即可得到，进而得到答案；若选③，根据题意有结合（1）消去b，进而化简即可得到，进而得到答案.【详解】（1）因为所以，由正弦定理可得，即，又，所以.（2）若选①，由基本不等式可知：，所以，所以，当且仅当a=c时取“=” .又所以，即则所以.又，所以是正三角形，所以.若选，由条件可知，，所以，所以，所以，所以.又，所以是正三角形，所以.若选③，由题意可知，，所以，所以，所以又，所以是正三角形，所以.20．（1）（2）【分析】（1）代入，由于函数为R上的增函数，所以导数大于或等于零恒成立，利用基本不等式求出最小值，令其大于或等于零即可求出的最小值；（2）根据导数可判断函数为增函数，根据函数单调性解不等式.（1）当时，，∴对恒成立，则，∵，当且仅当即时取等号，∴，则a的最小值为.（2）∵，∴.∵，∴，，，∴，所以为R上的增函数.∵，∴，∴.∵，∴，故x的取值范围为.21．（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）连接与交于点O，易得 平面，取的中点M，易得为平行四边形，即，得到平面，然后利用面面垂直的判定定理证明； （2）以A为坐标原点，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设，根据与平面所成角为，由，解得，然后分别求得平面的一个法向量，平面的一个法向量，由求解.【详解】（1）如图所示：连接与交于点O，因为为正方形，故，又平面，故，由，故平面，取的中点M，连接，注意到为的中位线，故，且，因此，且，故为平行四边形，即，因此平面，而平面，故平面平面．（2）以A为坐标原点，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设，则，由（1）可知平面，因此平面的一个法向量为，而，由与平面所成角为，得，即，解得；则，设平面的一个法向量为，则得令，则，故．设平面的一个法向量，则得令，则，，故．所以，注意到二面角为钝二面角，故二面角的余弦值为．22．（1）增函数，最大值为，最小值为；（2）．【分析】（1）利用导数证明在上为增函数，即得函数在上的最值；（2）转化为，令，再利用导数证明，转化为，记，，利用导数求出，即得解.【详解】（1）当时，，定义域为．．设，则，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，则．所以在上为增函数．故在上的最大值为，最小值为．（2）不等式可转化为．令，则．当时，．在上单调递减；当时，．在上单调递增．所以，于是，记，，则，因为在上恒成立，所以在上单调递减，在上单调递增．所以，从而．故的取值范围是．【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调性和最值，考查利用导数研究不等式的存在性问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.