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山东省济宁市金乡县2021-2022学年上学期八年级期中数学试卷 （word版 含答案）
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这是一份山东省济宁市金乡县2021-2022学年上学期八年级期中数学试卷 （word版 含答案），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年山东省济宁市金乡县八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形是（ ）
A． B． C． D．
2．已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A．5 B．6 C．12 D．16
3．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，S△ABC＝4平方厘米，则S△BEF的值为（ ）
A．2平方厘米 B．1平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米
4．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点F、G，若FG＝2，ED＝6，则DB+EC的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．9
5．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
6．妈妈问小欣现在几点了，小欣瞧见了镜子里的挂钟如右图所示（分针正好指向整点位置），她就立刻告诉了妈妈正确的时间，请问正确的时间是（ ）
A．6点20分 B．5点20分 C．6点40分 D．5点40分
7．如图，把长方形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠AEF＝110°，则∠1＝（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
8．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（ ）
A．90° B．180° C．270° D．360°
9．已知，如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意点，PD⊥OA，PE⊥OB，下列条件中：①∠AOC＝∠BOC，②PD＝PE，③OD＝OE，④∠DPO＝∠EPO，能判定OC是∠AOB的角平分线的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在正方形ABCD中，点P是AB的中点，BE⊥DP的延长线于点E，连接AE，过点A作FA⊥AE交DP于点F，连接BF、FC．下列结论中：①△ABE≌△ADF；②PF＝EP+EB；③△BCF是等边三角形；④∠ADF＝∠DCF；⑤S△APF＝S△CDF．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②④⑤ D．①③⑤
二、填空题（每空3分，共15分）
11．已知点M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围是 ．
12．如图，AB＝AC＝20cm，线段AB的垂直平分线交AB于M，交AC于D，连接BD，若BC＝12cm，则△DBC的周长为 cm．
13．如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC＝4，则PD＝ ．
14．等腰三角形的一个底角是70°，则它的顶角的度数是 ．
15．如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，∠E＝∠F＝90°，BE＝CF．BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，∠EAC＝∠FAB．有下列结论：①∠B＝∠C；②CD＝DN；③CM＝BN；④△ACN≌△ABM．其中正确结论的序号是 ．
三、解答题（共8小题，共55分）
16．一个多边形的内角和比外角和的3倍少180°，求
（1）这个多边形的边数；
（2）该多边形共有多少条对角线．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1．
（2）画出△A1B1C1沿x轴向右平移4个单位长度后得到的△A2B2C2．
（3）如果AC上有一点M（a，b）经过上述两次变换，那么对应A2C2上的点M2的坐标是 ．
（4）△ABC的面积为 ．
18．如图，在△ABC中，D在AC上，E在AB上，且AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝BE，求∠A的度数．
19．如图，B、C、D、E在同一条直线上，AB∥EF，BC＝DE，AB＝EF，求证：AC＝DF．
20．如图，已知AD∥BC一点E为CD上一点，AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA，BE交AD的延长线于点F．
（1）求证：△ABE≌△AFE；
（2）求证：AD+BC＝AB．
21．（1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8．求AC边上的中线BD的取值范围．小聪同学是这样思考的延长BD至E使DE＝BD连接CE利用全等将边AB转化到CE，在△BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是 ；中线BD的取值范围是 ．
（2）问题解决：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，点M在AB边上，点N在BC边上，若DM⊥DN．求证：AM+CN＞MN．
22．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，
①求证：△BCE≌△ACD；
②判断△CFH的形状并说明理由．
23．如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上一个动点（D与B、C均不重合），AD＝AE，∠DAE＝60°，连接CE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若AB＝2，当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长．
参考答案
一、选择题（每题3分，共30分）
1．在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形是（ ）
A． B． C． D．
【分析】据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意．
故选：B．
2．已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A．5 B．6 C．12 D．16
【分析】设第三边的长为x，再由三角形的三边关系即可得出结论．
解：设第三边的长为x，
∵三角形两边的长分别是4和10，
∴10﹣4＜x＜10+4，即6＜x＜14．
故选：C．
3．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，S△ABC＝4平方厘米，则S△BEF的值为（ ）
A．2平方厘米 B．1平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米
【分析】根据三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形得：由D为BC的中点，S△ABD＝S△ADC＝2，同理得：
S△BEC＝S△BDE+S△DEC＝1+1＝2，再由F是EC的中点，可得结论．
解：∵D为BC的中点，
∴S△ABD＝S△ADC＝S△ABC＝×4＝2，
∵E是AD的中点，
∴S△BDE＝S△ABD＝×2＝1，
S△DEC＝S△ADC＝×2＝1，
∴S△BEC＝S△BDE+S△DEC＝1+1＝2，
∵F是EC的中点，
∴S△BEF＝S△BFC，
∴S△BEF＝S△BEC＝×2＝1，
故选：B．
4．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点F、G，若FG＝2，ED＝6，则DB+EC的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．9
【分析】根据平行线的性质和等腰三角形的判定证得EG＝EB，DF＝DC即可求得结果．
解：∵ED∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，∠EGC＝∠GCB，
∵∠DBF＝∠FBC，∠ECG＝∠GCB，
∴∠DFB＝∠DBF，∠ECG＝∠EGC，
∴BD＝DF，CE＝GE，
∵FG＝2，ED＝6，
∴DB+EC＝DF+GE＝ED﹣FG＝6﹣2＝4，
故选：B．
5．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
【分析】过E作EM∥BC，交AD于N，连接CM交AD于F，连接EF，推出M为AB中点，求出E和M关于AD对称，根据等边三角形性质求出∠ACM，即可求出答案．
解：
过E作EM∥BC，交AD于N，
∵AC＝4，AE＝2，
∴EC＝2＝AE，
∴AM＝BM＝2，
∴AM＝AE，
∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，
∴AD⊥BC，
∵EM∥BC，
∴AD⊥EM，
∵AM＝AE，
∴E和M关于AD对称，
连接CM交AD于F，连接EF，
则此时EF+CF的值最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AC＝BC，
∵AM＝BM，
∴∠ECF＝∠ACB＝30°，
故选：C．
6．妈妈问小欣现在几点了，小欣瞧见了镜子里的挂钟如右图所示（分针正好指向整点位置），她就立刻告诉了妈妈正确的时间，请问正确的时间是（ ）
A．6点20分 B．5点20分 C．6点40分 D．5点40分
【分析】利用对称的性质判断即可．
解：根据对称性质得：正确的时间是5点40分，
故选：D．
7．如图，把长方形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠AEF＝110°，则∠1＝（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
【分析】先根据平行线的性质求出∠BFE的度数，再由图形翻折变换的性质求出∠EFG的度数，根据平角的定义即可得出∠1的度数．
解：∵AD∥BC，∠AEF＝110°，
∴BFE＝180°﹣∠AEF＝180°﹣110°＝70°，
∵长方形ABCD沿EF对折后使两部分重合，
∴∠EFG＝∠BFE＝70°，
∴∠1＝180°﹣∠BFE﹣∠EFG＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
故选：C．
8．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（ ）
A．90° B．180° C．270° D．360°
【分析】连接CE，根据三角形内角和定理求出∠A+∠B＝∠1+∠2，再根据三角形内角和定理求出即可．
解：
连接CE，
∵∠1+∠2+∠COE＝180°，∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠AOB＝∠COE，
∴∠A+∠B＝∠1+∠2，
∵∠D+∠DCE+∠DEC＝180°，
∴∠A+∠B+∠DCB+∠D+∠DEA＝180°，
故选：B．
9．已知，如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意点，PD⊥OA，PE⊥OB，下列条件中：①∠AOC＝∠BOC，②PD＝PE，③OD＝OE，④∠DPO＝∠EPO，能判定OC是∠AOB的角平分线的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据角平分线的性质、全等三角形的判定定理和性质定理判断即可．
解：∵∠AOC＝∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，①符合题意；
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，
∴OC是∠AOB的角平分线，②符合题意；
在Rt△POD和Rt△POE中，
，
∴Rt△POD≌Rt△POE，
∴∠AOC＝∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，③符合题意；
同理，△POD≌△POE，
∴∠AOC＝∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，④符合题意，
故选：D．
10．如图，在正方形ABCD中，点P是AB的中点，BE⊥DP的延长线于点E，连接AE，过点A作FA⊥AE交DP于点F，连接BF、FC．下列结论中：①△ABE≌△ADF；②PF＝EP+EB；③△BCF是等边三角形；④∠ADF＝∠DCF；⑤S△APF＝S△CDF．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②④⑤ D．①③⑤
【分析】根据正方形的性质可得AB＝AD，再根据同角的余角相等求出∠BAE＝∠DAF，再根据等角的余角相等求出∠ABE＝∠ADF，然后利用“角边角”证明△ABE≌△ADF；根据全等三角形对应边相等可得AE＝AF，判断出△AEF是等腰直角三角形，过点A作AM⊥EF于M，根据等腰直角三角形点的性质可得AM＝MF，再根据点P是AB的中点得到AP＝BP，然后利用“角角边”证明△APM和△BPE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE＝AM，EP＝MP，然后求出PF＝EP+EB；根据全等三角形对应边相等求出DF＝BE＝AM，再根据同角的余角相等求出∠DAM＝∠CDF，然后利用“边角边”证明△ADM和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADF＝∠DCF，∠CFD＝∠DMA＝90°；再求出CD≠CF，判定△BCF不是等边三角形；求出CF＞FP，AM＝DF，然后求出S△APF＜S△CDF．
解：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠DAF+∠BAF＝90°，
∵FA⊥AE，
∴∠BAE+∠BAF＝90°，
∴∠BAE＝∠DAF，
∵BE⊥DP，
∴∠ABE+∠BPE＝90°，
又∵∠ADF+∠APD＝90°，∠BPE＝∠APD（对顶角相等），
∴∠ABE＝∠ADF，
∵在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（ASA），故①正确；
∴AE＝AF，BE＝DF，
∴△AEF是等腰直角三角形，
过点A作AM⊥EF于M，则AM＝MF，
∵点P是AB的中点，
∴AP＝BP，
∵在△APM和△BPE中，
，
∴△APM≌△BPE（AAS），
∴BE＝AM，EP＝MP，
∴PF＝MF+PM＝BE+EP，故②正确；
∵BE＝DF，FM＝AM＝BE，
∴AM＝DF，
又∵∠ADM+∠DAM＝90°，∠ADM+∠CDF＝90°，
∴∠DAM＝∠CDF，
∵在△ADM和△DCF，
，
∴△ADM≌△DCF（SAS），
∴CF＝DM，∠ADF＝∠DCF，∠CFD＝∠DMA＝90°，故④正确；
在Rt△CDF中，CD＞CF，
∵BC＝CD，
∴CF≠BC，
∴△BCF不是等边三角形，故③错误；
∵CF＝DM＝DF+FM＝EM+FM＝EF≠FP，
又∵AM＝DF，
∴S△APF＜S△CDF，故⑤错误；
综上所述，正确的有①②④．
故选：B．
二、填空题（每空3分，共15分）
11．已知点M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围是 m＜ ．
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出M点位置，进而得出答案．
解：∵点M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，
∴点M在第四象限，
∴，
解得：m＜．
故答案为：m＜．
12．如图，AB＝AC＝20cm，线段AB的垂直平分线交AB于M，交AC于D，连接BD，若BC＝12cm，则△DBC的周长为 32 cm．
【分析】依据线段垂直平分线的性质可得到BD＝AD，然后将△BCD的周长转化为BC+AC的长求解即可．
解：∵线段AB的垂直平分线交AB于M，交AC于D，
∴AD＝BD．
∴AD+DC＝BD+DC＝AC＝20cm．
∴△BCD的周长＝DC+BD+BC＝AC+BC＝20+12＝32cm．
故答案为：32．
13．如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC＝4，则PD＝ 2 ．
【分析】作PE⊥OB于E，根据角平分线的性质可得PE＝PD，根据平行线的性质可得∠BCP＝∠AOB＝30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．
解：作PE⊥OB于E，
∵∠BOP＝∠AOP，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE＝PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵∠BOP＝∠AOP＝15°，
∴∠AOB＝30°，
∵PC∥OA，
∴∠BCP＝∠AOB＝30°，
∴在Rt△PCE中，PE＝PC＝×4＝2（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴PD＝PE＝2，
故答案是：2．
14．等腰三角形的一个底角是70°，则它的顶角的度数是 40° ．
【分析】已知给出了一个底角为70°，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°即可解本题．
解：因为其底角为70°，
所以其顶角＝180°﹣70°×2＝40°．
故答案为：40°．
15．如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，∠E＝∠F＝90°，BE＝CF．BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，∠EAC＝∠FAB．有下列结论：①∠B＝∠C；②CD＝DN；③CM＝BN；④△ACN≌△ABM．其中正确结论的序号是 ①③④ ．
【分析】只要证明△ABE≌△ACF，△ACN≌△ABM即可判断．
解：∵∠EAC＝∠FAB，
∴∠EAB＝∠CAF，
在△ABE和△ACF，
，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴∠B＝∠C．AE＝AF
由△AEB≌△AFC知：∠B＝∠C，AC＝AB；
在△ACN和△ABM，
，
∴△ACN≌△ABM（ASA）；（故④正确）
∴CM＝BN，
由于条件不足，无法证得②CD＝DN；
故答案为：①③④
三、解答题（共8小题，共55分）
16．一个多边形的内角和比外角和的3倍少180°，求
（1）这个多边形的边数；
（2）该多边形共有多少条对角线．
【分析】（1）任意多边形的外角和均为360°，然后依据多边形的内角和公式列方程求解即可；
（2）多边形的对角线公式为：．
解：（1）设这个多边形的边数为n．
根据题意得：180°×（n﹣2）＝360°×3﹣180°，
解得：n＝7；
（2）＝＝14．
答：（1）该多边形为七边形；（2）七边形共有14条对角线．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1．
（2）画出△A1B1C1沿x轴向右平移4个单位长度后得到的△A2B2C2．
（3）如果AC上有一点M（a，b）经过上述两次变换，那么对应A2C2上的点M2的坐标是 （a+4，﹣b） ．
（4）△ABC的面积为 3 ．
【分析】（1）根据轴对称的性质即可作出△A1B1C1；
（2）根据平移的性质即可作出△A2B2C2；
（3）结合（1）（2）可得AC上有一点M（a，b）的横坐标加4，纵坐标互为相反数，即可得对应A2C2上的点M2的坐标．
（4）根据网格即可求出△ABC的面积．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）点M2的坐标是（a+4，﹣b）．
故答案为：（a+4，﹣b）．
（4）△ABC的面积为：2×4﹣1×4﹣1×2﹣2×2＝8﹣2﹣1﹣2＝3．
故答案为：3．
18．如图，在△ABC中，D在AC上，E在AB上，且AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝BE，求∠A的度数．
【分析】首先根据等腰三角形以及三角形外角的性质得出∠AED＝2x°，进而得出∠BDC＝3x，由内角和180°得：2x+3x+3x＝180，即可得出答案．
解：设∠EBD＝x°，
∵BE＝DE，
∴∠EDB＝∠EBD＝x°，
∴∠AED＝2x°，
∵AD＝DE，
∴∠A＝∠AED＝2x°，
∴∠BDC＝3x°，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠C＝3x°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝3x°，
在△ABC中，由内角和180°得：
2x+3x+3x＝180，
解得：x＝22.5，
∴∠A＝45°．
19．如图，B、C、D、E在同一条直线上，AB∥EF，BC＝DE，AB＝EF，求证：AC＝DF．
【分析】根据平行线的性质得出∠B＝∠E，利用SAS证明△ACB≌△FDE，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：∵AB∥EF，
∴∠B＝∠E，
在△ACB和△FDE中，
，
∴△ACB≌△FDE（SAS），
∴AC＝DF．
20．如图，已知AD∥BC一点E为CD上一点，AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA，BE交AD的延长线于点F．
（1）求证：△ABE≌△AFE；
（2）求证：AD+BC＝AB．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据两直线平行，内错角相等可得∠2＝∠F，然后求出∠1＝∠F，再利用“角角边”证明△ABE和△AFE全等即可；
（2）根据全等三角形对应边相等可得BE＝FE，然后利用“角边角”证明△BCE和△FDE全等，根据全等三角形对应边相等可得BC＝DF，然后根据AD+BC整理即可得证．
【解答】（1）证明：如图，∵AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵AD∥BC，
∴∠2＝∠F，∠1＝∠F，
在△ABE和△AFE中，
，
∴△ABE≌△AFE（AAS）；
（2）证明：∵△ABE≌△AFE，
∴BE＝EF，
在△BCE和△FDE中，
，
∴△BCE≌△FDE（ASA），
∴BC＝DF，
∴AD+BC＝AD+DF＝AF＝AB，
即AD+BC＝AB．
21．（1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8．求AC边上的中线BD的取值范围．小聪同学是这样思考的延长BD至E使DE＝BD连接CE利用全等将边AB转化到CE，在△BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是 SAS ；中线BD的取值范围是 1＜BD＜9 ．
（2）问题解决：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，点M在AB边上，点N在BC边上，若DM⊥DN．求证：AM+CN＞MN．
【分析】（1）由SAS证明△ABD≌△CED得出CE＝AB＝10，在△CBE中，由三角形的三边关系即可得出结论；
（2）延长ND至点F，使FD＝ND，连接AF、MF，同（1）得：△AFD≌△CND，由全等三角形的性质得出AF＝CN，由线段垂直平分线的性质得出MF＝MN，在△AFM中，由三角形的三边关系即可得出结论；
【解答】（1）解：∵BD是AC边上的中线，
∴AD＝CD，
在△ABD和△CED中，
，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴CE＝AB＝10，
在△CBE中，由三角形的三边关系得：CE﹣BC＜BE＜CE﹣BC，
∴10﹣8＜AE＜10+8，即2＜BE＜18，
∴1＜BD＜9；
故答案为：SAS；1＜BD＜9；
（2）证明：延长ND至点F，使FD＝ND，连接AF、MF，如图2所示：
同（1）得：△AFD≌△CND（SAS），
∴AF＝CN，
∵DM⊥DN，FD＝ND，
∴MF＝MN，
在△AFM中，由三角形的三边关系得：AM+AF＞MF，
∴AM+CN＞MN
22．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，
①求证：△BCE≌△ACD；
②判断△CFH的形状并说明理由．
【分析】①利用等边三角形的性质得出条件，可证明：△BCE≌△ACD；
②利用△BCE≌△ACD得出∠CBF＝∠CAH，再运用平角定义得出∠BCF＝∠ACH进而得出△BCF≌△ACH因此CF＝CH，由CF＝CH和∠ACH＝60°根据“有一个角是60°的三角形是等边三角形可得△CFH是等边三角形．
【解答】①证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴∠BCA＝∠DCE＝60°，BC＝AC，CE＝CD
∴∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS）；
②△CFH是等边三角形．
理由如下：
∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBF＝∠CAH．
∵∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACH＝60°．
∴∠BCF＝∠ACH，
在△BCF和△ACH中，
，
∴△BCF≌△ACH（ASA），
∴CF＝CH；
∵CF＝CH，∠ACH＝60°，
∴△CFH是等边三角形．
23．如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上一个动点（D与B、C均不重合），AD＝AE，∠DAE＝60°，连接CE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若AB＝2，当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长．
【分析】（1）由于AB＝AC，AD＝AE，所以只需证∠BAD＝∠CAE即可得结论；
（2）根据全等三角形的性质可得AB＝BC＝AC＝2，将四边形ADCE的周长用AD表示，AD最小时就是四边形ADCE的周长最小，根据垂线段最短原理，当AD⊥BC时，AD最小，此时BD就是BC的一半．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵∠DAE＝60°，
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
（2）解：∵△ABD≌△ACE，
∴CE＝BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝2，
∴四边形ADCE的周长＝CE+DC+AD+AE＝BD+DC+2AD＝2+2AD，
根据垂线段最短，当AD⊥BC时，AD值最小，四边形ADCE的周长取最小值，
∵AB＝AC，
∴BD＝BC＝×2＝1．
2021-2022学年山东省济宁市金乡县八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形是（ ）
A． B． C． D．
2．已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A．5 B．6 C．12 D．16
3．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，S△ABC＝4平方厘米，则S△BEF的值为（ ）
A．2平方厘米 B．1平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米
4．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点F、G，若FG＝2，ED＝6，则DB+EC的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．9
5．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
6．妈妈问小欣现在几点了，小欣瞧见了镜子里的挂钟如右图所示（分针正好指向整点位置），她就立刻告诉了妈妈正确的时间，请问正确的时间是（ ）
A．6点20分 B．5点20分 C．6点40分 D．5点40分
7．如图，把长方形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠AEF＝110°，则∠1＝（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
8．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（ ）
A．90° B．180° C．270° D．360°
9．已知，如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意点，PD⊥OA，PE⊥OB，下列条件中：①∠AOC＝∠BOC，②PD＝PE，③OD＝OE，④∠DPO＝∠EPO，能判定OC是∠AOB的角平分线的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在正方形ABCD中，点P是AB的中点，BE⊥DP的延长线于点E，连接AE，过点A作FA⊥AE交DP于点F，连接BF、FC．下列结论中：①△ABE≌△ADF；②PF＝EP+EB；③△BCF是等边三角形；④∠ADF＝∠DCF；⑤S△APF＝S△CDF．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②④⑤ D．①③⑤
二、填空题（每空3分，共15分）
11．已知点M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围是 ．
12．如图，AB＝AC＝20cm，线段AB的垂直平分线交AB于M，交AC于D，连接BD，若BC＝12cm，则△DBC的周长为 cm．
13．如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC＝4，则PD＝ ．
14．等腰三角形的一个底角是70°，则它的顶角的度数是 ．
15．如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，∠E＝∠F＝90°，BE＝CF．BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，∠EAC＝∠FAB．有下列结论：①∠B＝∠C；②CD＝DN；③CM＝BN；④△ACN≌△ABM．其中正确结论的序号是 ．
三、解答题（共8小题，共55分）
16．一个多边形的内角和比外角和的3倍少180°，求
（1）这个多边形的边数；
（2）该多边形共有多少条对角线．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1．
（2）画出△A1B1C1沿x轴向右平移4个单位长度后得到的△A2B2C2．
（3）如果AC上有一点M（a，b）经过上述两次变换，那么对应A2C2上的点M2的坐标是 ．
（4）△ABC的面积为 ．
18．如图，在△ABC中，D在AC上，E在AB上，且AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝BE，求∠A的度数．
19．如图，B、C、D、E在同一条直线上，AB∥EF，BC＝DE，AB＝EF，求证：AC＝DF．
20．如图，已知AD∥BC一点E为CD上一点，AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA，BE交AD的延长线于点F．
（1）求证：△ABE≌△AFE；
（2）求证：AD+BC＝AB．
21．（1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8．求AC边上的中线BD的取值范围．小聪同学是这样思考的延长BD至E使DE＝BD连接CE利用全等将边AB转化到CE，在△BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是 ；中线BD的取值范围是 ．
（2）问题解决：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，点M在AB边上，点N在BC边上，若DM⊥DN．求证：AM+CN＞MN．
22．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，
①求证：△BCE≌△ACD；
②判断△CFH的形状并说明理由．
23．如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上一个动点（D与B、C均不重合），AD＝AE，∠DAE＝60°，连接CE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若AB＝2，当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长．
参考答案
一、选择题（每题3分，共30分）
1．在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形是（ ）
A． B． C． D．
【分析】据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意．
故选：B．
2．已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A．5 B．6 C．12 D．16
【分析】设第三边的长为x，再由三角形的三边关系即可得出结论．
解：设第三边的长为x，
∵三角形两边的长分别是4和10，
∴10﹣4＜x＜10+4，即6＜x＜14．
故选：C．
3．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，S△ABC＝4平方厘米，则S△BEF的值为（ ）
A．2平方厘米 B．1平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米
【分析】根据三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形得：由D为BC的中点，S△ABD＝S△ADC＝2，同理得：
S△BEC＝S△BDE+S△DEC＝1+1＝2，再由F是EC的中点，可得结论．
解：∵D为BC的中点，
∴S△ABD＝S△ADC＝S△ABC＝×4＝2，
∵E是AD的中点，
∴S△BDE＝S△ABD＝×2＝1，
S△DEC＝S△ADC＝×2＝1，
∴S△BEC＝S△BDE+S△DEC＝1+1＝2，
∵F是EC的中点，
∴S△BEF＝S△BFC，
∴S△BEF＝S△BEC＝×2＝1，
故选：B．
4．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点F、G，若FG＝2，ED＝6，则DB+EC的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．9
【分析】根据平行线的性质和等腰三角形的判定证得EG＝EB，DF＝DC即可求得结果．
解：∵ED∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，∠EGC＝∠GCB，
∵∠DBF＝∠FBC，∠ECG＝∠GCB，
∴∠DFB＝∠DBF，∠ECG＝∠EGC，
∴BD＝DF，CE＝GE，
∵FG＝2，ED＝6，
∴DB+EC＝DF+GE＝ED﹣FG＝6﹣2＝4，
故选：B．
5．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
【分析】过E作EM∥BC，交AD于N，连接CM交AD于F，连接EF，推出M为AB中点，求出E和M关于AD对称，根据等边三角形性质求出∠ACM，即可求出答案．
解：
过E作EM∥BC，交AD于N，
∵AC＝4，AE＝2，
∴EC＝2＝AE，
∴AM＝BM＝2，
∴AM＝AE，
∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，
∴AD⊥BC，
∵EM∥BC，
∴AD⊥EM，
∵AM＝AE，
∴E和M关于AD对称，
连接CM交AD于F，连接EF，
则此时EF+CF的值最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AC＝BC，
∵AM＝BM，
∴∠ECF＝∠ACB＝30°，
故选：C．
6．妈妈问小欣现在几点了，小欣瞧见了镜子里的挂钟如右图所示（分针正好指向整点位置），她就立刻告诉了妈妈正确的时间，请问正确的时间是（ ）
A．6点20分 B．5点20分 C．6点40分 D．5点40分
【分析】利用对称的性质判断即可．
解：根据对称性质得：正确的时间是5点40分，
故选：D．
7．如图，把长方形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠AEF＝110°，则∠1＝（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
【分析】先根据平行线的性质求出∠BFE的度数，再由图形翻折变换的性质求出∠EFG的度数，根据平角的定义即可得出∠1的度数．
解：∵AD∥BC，∠AEF＝110°，
∴BFE＝180°﹣∠AEF＝180°﹣110°＝70°，
∵长方形ABCD沿EF对折后使两部分重合，
∴∠EFG＝∠BFE＝70°，
∴∠1＝180°﹣∠BFE﹣∠EFG＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
故选：C．
8．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（ ）
A．90° B．180° C．270° D．360°
【分析】连接CE，根据三角形内角和定理求出∠A+∠B＝∠1+∠2，再根据三角形内角和定理求出即可．
解：
连接CE，
∵∠1+∠2+∠COE＝180°，∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠AOB＝∠COE，
∴∠A+∠B＝∠1+∠2，
∵∠D+∠DCE+∠DEC＝180°，
∴∠A+∠B+∠DCB+∠D+∠DEA＝180°，
故选：B．
9．已知，如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意点，PD⊥OA，PE⊥OB，下列条件中：①∠AOC＝∠BOC，②PD＝PE，③OD＝OE，④∠DPO＝∠EPO，能判定OC是∠AOB的角平分线的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据角平分线的性质、全等三角形的判定定理和性质定理判断即可．
解：∵∠AOC＝∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，①符合题意；
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，
∴OC是∠AOB的角平分线，②符合题意；
在Rt△POD和Rt△POE中，
，
∴Rt△POD≌Rt△POE，
∴∠AOC＝∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，③符合题意；
同理，△POD≌△POE，
∴∠AOC＝∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，④符合题意，
故选：D．
10．如图，在正方形ABCD中，点P是AB的中点，BE⊥DP的延长线于点E，连接AE，过点A作FA⊥AE交DP于点F，连接BF、FC．下列结论中：①△ABE≌△ADF；②PF＝EP+EB；③△BCF是等边三角形；④∠ADF＝∠DCF；⑤S△APF＝S△CDF．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②④⑤ D．①③⑤
【分析】根据正方形的性质可得AB＝AD，再根据同角的余角相等求出∠BAE＝∠DAF，再根据等角的余角相等求出∠ABE＝∠ADF，然后利用“角边角”证明△ABE≌△ADF；根据全等三角形对应边相等可得AE＝AF，判断出△AEF是等腰直角三角形，过点A作AM⊥EF于M，根据等腰直角三角形点的性质可得AM＝MF，再根据点P是AB的中点得到AP＝BP，然后利用“角角边”证明△APM和△BPE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE＝AM，EP＝MP，然后求出PF＝EP+EB；根据全等三角形对应边相等求出DF＝BE＝AM，再根据同角的余角相等求出∠DAM＝∠CDF，然后利用“边角边”证明△ADM和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADF＝∠DCF，∠CFD＝∠DMA＝90°；再求出CD≠CF，判定△BCF不是等边三角形；求出CF＞FP，AM＝DF，然后求出S△APF＜S△CDF．
解：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠DAF+∠BAF＝90°，
∵FA⊥AE，
∴∠BAE+∠BAF＝90°，
∴∠BAE＝∠DAF，
∵BE⊥DP，
∴∠ABE+∠BPE＝90°，
又∵∠ADF+∠APD＝90°，∠BPE＝∠APD（对顶角相等），
∴∠ABE＝∠ADF，
∵在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（ASA），故①正确；
∴AE＝AF，BE＝DF，
∴△AEF是等腰直角三角形，
过点A作AM⊥EF于M，则AM＝MF，
∵点P是AB的中点，
∴AP＝BP，
∵在△APM和△BPE中，
，
∴△APM≌△BPE（AAS），
∴BE＝AM，EP＝MP，
∴PF＝MF+PM＝BE+EP，故②正确；
∵BE＝DF，FM＝AM＝BE，
∴AM＝DF，
又∵∠ADM+∠DAM＝90°，∠ADM+∠CDF＝90°，
∴∠DAM＝∠CDF，
∵在△ADM和△DCF，
，
∴△ADM≌△DCF（SAS），
∴CF＝DM，∠ADF＝∠DCF，∠CFD＝∠DMA＝90°，故④正确；
在Rt△CDF中，CD＞CF，
∵BC＝CD，
∴CF≠BC，
∴△BCF不是等边三角形，故③错误；
∵CF＝DM＝DF+FM＝EM+FM＝EF≠FP，
又∵AM＝DF，
∴S△APF＜S△CDF，故⑤错误；
综上所述，正确的有①②④．
故选：B．
二、填空题（每空3分，共15分）
11．已知点M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围是 m＜ ．
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出M点位置，进而得出答案．
解：∵点M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，
∴点M在第四象限，
∴，
解得：m＜．
故答案为：m＜．
12．如图，AB＝AC＝20cm，线段AB的垂直平分线交AB于M，交AC于D，连接BD，若BC＝12cm，则△DBC的周长为 32 cm．
【分析】依据线段垂直平分线的性质可得到BD＝AD，然后将△BCD的周长转化为BC+AC的长求解即可．
解：∵线段AB的垂直平分线交AB于M，交AC于D，
∴AD＝BD．
∴AD+DC＝BD+DC＝AC＝20cm．
∴△BCD的周长＝DC+BD+BC＝AC+BC＝20+12＝32cm．
故答案为：32．
13．如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC＝4，则PD＝ 2 ．
【分析】作PE⊥OB于E，根据角平分线的性质可得PE＝PD，根据平行线的性质可得∠BCP＝∠AOB＝30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．
解：作PE⊥OB于E，
∵∠BOP＝∠AOP，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE＝PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵∠BOP＝∠AOP＝15°，
∴∠AOB＝30°，
∵PC∥OA，
∴∠BCP＝∠AOB＝30°，
∴在Rt△PCE中，PE＝PC＝×4＝2（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴PD＝PE＝2，
故答案是：2．
14．等腰三角形的一个底角是70°，则它的顶角的度数是 40° ．
【分析】已知给出了一个底角为70°，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°即可解本题．
解：因为其底角为70°，
所以其顶角＝180°﹣70°×2＝40°．
故答案为：40°．
15．如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，∠E＝∠F＝90°，BE＝CF．BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，∠EAC＝∠FAB．有下列结论：①∠B＝∠C；②CD＝DN；③CM＝BN；④△ACN≌△ABM．其中正确结论的序号是 ①③④ ．
【分析】只要证明△ABE≌△ACF，△ACN≌△ABM即可判断．
解：∵∠EAC＝∠FAB，
∴∠EAB＝∠CAF，
在△ABE和△ACF，
，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴∠B＝∠C．AE＝AF
由△AEB≌△AFC知：∠B＝∠C，AC＝AB；
在△ACN和△ABM，
，
∴△ACN≌△ABM（ASA）；（故④正确）
∴CM＝BN，
由于条件不足，无法证得②CD＝DN；
故答案为：①③④
三、解答题（共8小题，共55分）
16．一个多边形的内角和比外角和的3倍少180°，求
（1）这个多边形的边数；
（2）该多边形共有多少条对角线．
【分析】（1）任意多边形的外角和均为360°，然后依据多边形的内角和公式列方程求解即可；
（2）多边形的对角线公式为：．
解：（1）设这个多边形的边数为n．
根据题意得：180°×（n﹣2）＝360°×3﹣180°，
解得：n＝7；
（2）＝＝14．
答：（1）该多边形为七边形；（2）七边形共有14条对角线．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1．
（2）画出△A1B1C1沿x轴向右平移4个单位长度后得到的△A2B2C2．
（3）如果AC上有一点M（a，b）经过上述两次变换，那么对应A2C2上的点M2的坐标是 （a+4，﹣b） ．
（4）△ABC的面积为 3 ．
【分析】（1）根据轴对称的性质即可作出△A1B1C1；
（2）根据平移的性质即可作出△A2B2C2；
（3）结合（1）（2）可得AC上有一点M（a，b）的横坐标加4，纵坐标互为相反数，即可得对应A2C2上的点M2的坐标．
（4）根据网格即可求出△ABC的面积．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）点M2的坐标是（a+4，﹣b）．
故答案为：（a+4，﹣b）．
（4）△ABC的面积为：2×4﹣1×4﹣1×2﹣2×2＝8﹣2﹣1﹣2＝3．
故答案为：3．
18．如图，在△ABC中，D在AC上，E在AB上，且AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝BE，求∠A的度数．
【分析】首先根据等腰三角形以及三角形外角的性质得出∠AED＝2x°，进而得出∠BDC＝3x，由内角和180°得：2x+3x+3x＝180，即可得出答案．
解：设∠EBD＝x°，
∵BE＝DE，
∴∠EDB＝∠EBD＝x°，
∴∠AED＝2x°，
∵AD＝DE，
∴∠A＝∠AED＝2x°，
∴∠BDC＝3x°，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠C＝3x°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝3x°，
在△ABC中，由内角和180°得：
2x+3x+3x＝180，
解得：x＝22.5，
∴∠A＝45°．
19．如图，B、C、D、E在同一条直线上，AB∥EF，BC＝DE，AB＝EF，求证：AC＝DF．
【分析】根据平行线的性质得出∠B＝∠E，利用SAS证明△ACB≌△FDE，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：∵AB∥EF，
∴∠B＝∠E，
在△ACB和△FDE中，
，
∴△ACB≌△FDE（SAS），
∴AC＝DF．
20．如图，已知AD∥BC一点E为CD上一点，AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA，BE交AD的延长线于点F．
（1）求证：△ABE≌△AFE；
（2）求证：AD+BC＝AB．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据两直线平行，内错角相等可得∠2＝∠F，然后求出∠1＝∠F，再利用“角角边”证明△ABE和△AFE全等即可；
（2）根据全等三角形对应边相等可得BE＝FE，然后利用“角边角”证明△BCE和△FDE全等，根据全等三角形对应边相等可得BC＝DF，然后根据AD+BC整理即可得证．
【解答】（1）证明：如图，∵AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵AD∥BC，
∴∠2＝∠F，∠1＝∠F，
在△ABE和△AFE中，
，
∴△ABE≌△AFE（AAS）；
（2）证明：∵△ABE≌△AFE，
∴BE＝EF，
在△BCE和△FDE中，
，
∴△BCE≌△FDE（ASA），
∴BC＝DF，
∴AD+BC＝AD+DF＝AF＝AB，
即AD+BC＝AB．
21．（1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8．求AC边上的中线BD的取值范围．小聪同学是这样思考的延长BD至E使DE＝BD连接CE利用全等将边AB转化到CE，在△BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是 SAS ；中线BD的取值范围是 1＜BD＜9 ．
（2）问题解决：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，点M在AB边上，点N在BC边上，若DM⊥DN．求证：AM+CN＞MN．
【分析】（1）由SAS证明△ABD≌△CED得出CE＝AB＝10，在△CBE中，由三角形的三边关系即可得出结论；
（2）延长ND至点F，使FD＝ND，连接AF、MF，同（1）得：△AFD≌△CND，由全等三角形的性质得出AF＝CN，由线段垂直平分线的性质得出MF＝MN，在△AFM中，由三角形的三边关系即可得出结论；
【解答】（1）解：∵BD是AC边上的中线，
∴AD＝CD，
在△ABD和△CED中，
，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴CE＝AB＝10，
在△CBE中，由三角形的三边关系得：CE﹣BC＜BE＜CE﹣BC，
∴10﹣8＜AE＜10+8，即2＜BE＜18，
∴1＜BD＜9；
故答案为：SAS；1＜BD＜9；
（2）证明：延长ND至点F，使FD＝ND，连接AF、MF，如图2所示：
同（1）得：△AFD≌△CND（SAS），
∴AF＝CN，
∵DM⊥DN，FD＝ND，
∴MF＝MN，
在△AFM中，由三角形的三边关系得：AM+AF＞MF，
∴AM+CN＞MN
22．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，
①求证：△BCE≌△ACD；
②判断△CFH的形状并说明理由．
【分析】①利用等边三角形的性质得出条件，可证明：△BCE≌△ACD；
②利用△BCE≌△ACD得出∠CBF＝∠CAH，再运用平角定义得出∠BCF＝∠ACH进而得出△BCF≌△ACH因此CF＝CH，由CF＝CH和∠ACH＝60°根据“有一个角是60°的三角形是等边三角形可得△CFH是等边三角形．
【解答】①证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴∠BCA＝∠DCE＝60°，BC＝AC，CE＝CD
∴∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS）；
②△CFH是等边三角形．
理由如下：
∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBF＝∠CAH．
∵∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACH＝60°．
∴∠BCF＝∠ACH，
在△BCF和△ACH中，
，
∴△BCF≌△ACH（ASA），
∴CF＝CH；
∵CF＝CH，∠ACH＝60°，
∴△CFH是等边三角形．
23．如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上一个动点（D与B、C均不重合），AD＝AE，∠DAE＝60°，连接CE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若AB＝2，当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长．
【分析】（1）由于AB＝AC，AD＝AE，所以只需证∠BAD＝∠CAE即可得结论；
（2）根据全等三角形的性质可得AB＝BC＝AC＝2，将四边形ADCE的周长用AD表示，AD最小时就是四边形ADCE的周长最小，根据垂线段最短原理，当AD⊥BC时，AD最小，此时BD就是BC的一半．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵∠DAE＝60°，
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
（2）解：∵△ABD≌△ACE，
∴CE＝BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝2，
∴四边形ADCE的周长＝CE+DC+AD+AE＝BD+DC+2AD＝2+2AD，
根据垂线段最短，当AD⊥BC时，AD值最小，四边形ADCE的周长取最小值，
∵AB＝AC，
∴BD＝BC＝×2＝1．
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