2023-2024学年山东省济宁市金乡县八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省济宁市金乡县八年级（上）期中数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了点M等内容，欢迎下载使用。

1．下列微信表情图标属于轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．点M（﹣5，2）关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣5，﹣2）B．（5，﹣2）C．（5，2）D．（﹣5，2）
3．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（ ）
A．85°B．75°C．65°D．55°
4．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠CB．∠A﹣∠B＝∠C
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3D．∠A＝∠B＝3∠C
5．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的底角为（ ）
A．40°B．70°C．40°或100°D．40°或70°
6．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（ ）
A．∠B＝∠CB．BE＝CDC．BD＝CED．AD＝AE
7．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝55°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB＝（ ）
A．40°B．30°C．20°D．10°
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（ ）
A．15B．30C．45D．60
9．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠ECP的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作直线EF交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，有下列四个结论：①∠BOC＝90°﹣∠A；②∠BOC＝90°+∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn，其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．三角形的三边长分别为5，1+2x，8，则x的取值范围是 ．
12．在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝2∠B，则∠B＝ ．
13．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝ ．
14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则它的顶角为 ．
15．△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v为 厘米/秒．
三.解答题（本大题共7个小题，满分55分）
16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，2）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）求出△ABC的面积；
（3）在y轴上找一点P，使得PB＝PC．（不写作法，保留作图痕迹）
17．一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，求这个多边形对角线的条数．
18．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DEC，其中点A，点B的对应点分别是点D，点E，延长AB交DE于F，连接FC．
（1）探究AF和DE的位置关系，并说明理由；
（2）求证：FC平分∠EFA．
19．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∠ABC的角平分线BE交AC于点E．点D为AB上一点，且AD＝AC，CD，BE交于点M．
（1）求∠DMB的度数；
（2）若CH⊥BE于点H，AB＝16，求MH的长．
20．如图所示，一轮船由西向东航行，在A处测得小岛P在北偏东75°的方向上，轮船行驶40海里后到达B处，此时测得小岛P在北偏东60°的方向上．
（1）求BP的距离；
（2）已知小岛周围22海里内有暗礁，若轮船仍向前航行，有无触礁的危险．
21．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．
（1）若BC＝10，求△ADE的周长．
（2）若∠BAC＝115°，求∠DAE的度数．
（3）设直线DM、EN交于点O，试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由．
22．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点．
参考答案
一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列微信表情图标属于轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】结合轴对称图形的概念求解即可．
解：A、不是轴对称图形，本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，本选项不合题意；
C、是轴对称图形，本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．点M（﹣5，2）关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣5，﹣2）B．（5，﹣2）C．（5，2）D．（﹣5，2）
【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出答案．
解：点M（﹣5，2）关于y轴对称的点的坐标是：（5，2）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
3．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（ ）
A．85°B．75°C．65°D．55°
【分析】由题意可得∠A＝30°，∠ABC＝45°，直接利用三角形的外角性质即可求解．
解：如图，
由题意得：∠A＝30°，∠ABC＝45°，
∴∠α＝∠A+∠ABC＝75°．
故选：B．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
4．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠CB．∠A﹣∠B＝∠C
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3D．∠A＝∠B＝3∠C
【分析】由三角形内角和为180°求得三角形的每一个角，再判断形状．
解：A选项，∠A+∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，为直角三角形，不符合题意；
B选项，∠A﹣∠B＝∠C，即2∠A＝180°，∠A＝90°，为直角三角形，不符合题意；
C选项，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，即∠A+∠B＝∠C，同A选项，不符合题意；
D选项，∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形，符合题意．
故选：D．
【点评】注意直角三角形中有一个内角为90°．
5．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的底角为（ ）
A．40°B．70°C．40°或100°D．40°或70°
【分析】由于不明确40°的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分40°的角是顶角和底角两种情况讨论．
解：当40°的角为等腰三角形的顶角时，
底角的度数＝＝70°；
当40°的角为等腰三角形的底角时，其底角为40°，
故它的底角的度数是70°或40°．
故选：D．
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，由于不明确40°的角是等腰三角形的底角还是顶角，所以要采用分类讨论的思想．
6．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（ ）
A．∠B＝∠CB．BE＝CDC．BD＝CED．AD＝AE
【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB＝AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．
解：∵AB＝AC，∠A为公共角，
A、如添加∠B＝∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；
B、如添BE＝CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件；
C、如添BD＝CE，等量关系可得AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
D、如添AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD．
故选：B．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理．
7．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝55°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB＝（ ）
A．40°B．30°C．20°D．10°
【分析】在直角三角形ABC中，由∠ACB与∠A的度数，利用三角形的内角和定理求出∠B的度数，再由折叠的性质得到∠CA′D＝∠A，而∠CA′D为三角形A′BD的外角，利用三角形的外角性质即可求出∠A′DB的度数．
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝55°，
∴∠B＝180°﹣90°﹣55°＝35°，
由折叠可得：∠CA′D＝∠A＝55°，
又∵∠CA′D为△A′BD的外角，
∴∠CA′D＝∠B+∠A′DB，
则∠A′DB＝55°﹣35°＝20°．
故选：C．
【点评】此题考查了直角三角形的性质，三角形的外角性质，以及折叠的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（ ）
A．15B．30C．45D．60
【分析】判断出AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，
又∵∠C＝90°，
∴DE＝CD，
∴△ABD的面积＝AB•DE＝×15×4＝30．
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质以及角平分线的画法，熟记性质是解题的关键．
9．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠ECP的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【分析】连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC＝∠PCB＝30°，即可解决问题．
解：如图，连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴PC＝PB，
∴PE+PC＝PB+PE≥BE，
即BE就是PE+PC的最小值，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCE＝60°，
∵BA＝BC，AE＝EC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠EBC＝30°，
∵PB＝PC，
∴∠PCB＝∠PBC＝30°，
∴∠ECP＝30°，
故选：A．
【点评】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作直线EF交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，有下列四个结论：①∠BOC＝90°﹣∠A；②∠BOC＝90°+∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn，其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据三角形的内角和与角平分线的性质可得∠BOC＝90°+∠A；根据角平分线的性质可知OM＝ON＝OD；将△AEF的面积分成△AOE的面积加上△AOF的面积即可得出结论．
解：在△ABC中，∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝，∠OCB＝，
∴∠OBC+∠OCB＝+＝＝＝90°﹣，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（90°﹣）＝90°+，
∴①不正确，②正确；
过点O作ON⊥BC于点N，过点O作OM⊥AB于点M，连接OA，
∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴OM＝ON，
又∵OD⊥AC，
∴OD＝ON，
∴OM＝ON＝OD，
∴③正确，
∵，，
∴S△AEF＝S△AOE+S△AOF＝，
设OD＝m，AE+AF＝n，
则，
∴④正确．
∴正确的有②③④，
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质和三角形的内角和，熟练掌握角平分线的性质并且灵活运用是解决本题的关键．
二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．三角形的三边长分别为5，1+2x，8，则x的取值范围是 1＜x＜6 ．
【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
解：由题意，有8﹣5＜1+2x＜8+5，
解得：1＜x＜6．
【点评】考查了三角形的三边关系，还要熟练解不等式．
12．在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝2∠B，则∠B＝ 30° ．
【分析】设∠B为x度，根据∠C＝2∠B，则∠C＝2x，根据三角形内角和定理得到关于x的方程，解出方程的解即可得到∠B．
解：设∠B为x度，
∵∠C＝2∠B，
∴∠C为2x度，
根据三角形内角和定理得：90+x+2x＝180，
即：3x＝90，
解得：x＝30，
则∠B＝30°．
故答案为：30°．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，解题的关键是要设出未知数，根据内角和定理列出正确的方程来求解．
13．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝ 55° ．
【分析】求出∠BAD＝∠EAC，证△BAD≌△CAE，推出∠2＝∠ABD＝30°，根据三角形的外角性质求出即可．
解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠EAC，
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠2＝∠ABD＝30°，
∵∠1＝25°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°，
故答案为：55°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质的应用，解此题的关键是推出△BAD≌△CAE．
14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则它的顶角为 60°或120° ．
【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论．
解：当高在三角形内部时，顶角是60°；
当高在三角形外部时，顶角是120°．
故答案为：60°或120°．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出120°一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题．
15．△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v为 2或3 厘米/秒．
【分析】设运动时间是t秒，求出AD＝BD＝6厘米，BP＝2t厘米，CP＝（6﹣2t）厘米，CQ＝vt厘米，根据全等三角形的性质得出两个情况：①BD＝CP，BP＝CQ，②BD＝CQ，CP＝BP，代入后先求出t，再求出v即可．
解：设运动时间是t秒，
∵点D为AB的中点，AB＝12厘米，
∴AD＝BD＝6厘米，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
所以要使△BPD和△CQP全等，有两种情况：
①BD＝CP，BP＝CQ，
即6＝8﹣2t，
解得：t＝1，
∵BP＝CQ，
∴2×1＝1×v，
解得：v＝2；
②BD＝CQ，CP＝BP，
∵BC＝8厘米，
∴CP＝BP＝BC＝4厘米，
即运动时间t＝＝2，
∵BD＝CQ，
∴6＝2v，
解得：v＝3；
所以v＝2或3，
故答案为：2或3．
【点评】本题考查了全等三角形的性质定理和等腰三角形的性质，能根据全等三角形的性质定理得出两种情况是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等．
三.解答题（本大题共7个小题，满分55分）
16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，2）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）求出△ABC的面积；
（3）在y轴上找一点P，使得PB＝PC．（不写作法，保留作图痕迹）
【分析】（1）根据轴对称的性质即可写出点A，B，C关于y轴的对称点A′，B′，C′的坐标；
（2）根据网格利用割补法即可求出△ABC的面积；
（3）作线段BC的垂直平分线交y轴于一点，即为点P，因为到两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，则PB＝PC，即可作答．
解：（1）解：△A1B1C1如图所示：
（2）依题意，
；
（3）点P如图所示：
【点评】本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路线问题，垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
17．一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，求这个多边形对角线的条数．
【分析】由n边形的对角线条数是，即可求解．
解：设这个多边形的边数是n，
由题意得：（n﹣2）×180°＝360°×2+180°，
∴n＝7，
∴这个多边形对角线的条数是＝＝14．
【点评】本题考查多边形的有关知识，关键是掌握n边形的对角线条数是．
18．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DEC，其中点A，点B的对应点分别是点D，点E，延长AB交DE于F，连接FC．
（1）探究AF和DE的位置关系，并说明理由；
（2）求证：FC平分∠EFA．
【分析】（1）由旋转的性质得∠A＝∠D，再利用三角形内角和定理得∠DFB＝∠ACB＝90°，即可得出结论；
（2）过点C作CG⊥AF于G，CH⊥DE于H，由旋转的性质得△ACB≌△DCE，则CG＝CH，再利用角平分线的性质可得结论．
【解答】（1）解：AF⊥DE，理由如下：
∵将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DEC，
∴∠A＝∠D，
∵∠ABC＝∠DBF，
∴∠DFB＝∠ACB＝90°，
∴AF⊥DE；
（2）证明：过点C作CG⊥AF于G，CH⊥DE于H，
∵将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DEC，
∴△ACB≌△DCE，
∴CG＝CH，
∵CH⊥DE，CG⊥AB，
∴FC平分∠EFA．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
19．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∠ABC的角平分线BE交AC于点E．点D为AB上一点，且AD＝AC，CD，BE交于点M．
（1）求∠DMB的度数；
（2）若CH⊥BE于点H，AB＝16，求MH的长．
【分析】（1）根据直角三角形的两锐角互余可得∠ABC的度数，根据角平分线的定义可得∠ABE的度数，根据等边对等角以及三角形的内角和定理可得∠ADC的度数，进而根据三角形的外角性质可得∠DMB的度数；
（2）根据含30度角的直角三角形的性质，可得AB＝2BC，BC＝2CH，根据等腰直角三角形的性质可得CH＝MH，进而即可得出AB＝4MH，即可得出答案．
解：（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠ABE＝∠CBE＝30°，
∵∠A＝30°，AC＝AD，
∴，
∴∠DMB＝∠ADC﹣∠ABE＝45°；
（2）∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC，
∵CH⊥BE，∠CBE＝30°，
∴BC＝2CH，
∴AB＝4CH，
∵∠CMH＝∠DMB＝45°，
在Rt△CHM中，∠HCM＝90°﹣∠CMH＝45°，
∴∠CMH＝∠HCM，
∴CH＝MH，
∴AB＝4MH．
∵AB＝16，
∴．
【点评】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，角平分线的定义，等边对等角以及三角形的内角和定理、三角形的外角性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
20．如图所示，一轮船由西向东航行，在A处测得小岛P在北偏东75°的方向上，轮船行驶40海里后到达B处，此时测得小岛P在北偏东60°的方向上．
（1）求BP的距离；
（2）已知小岛周围22海里内有暗礁，若轮船仍向前航行，有无触礁的危险．
【分析】（1）通过计算得到∠PAB＝∠APB＝15°，得到BP＝AB，从而得解；
（2）作PD⊥AC于点D，解得PD＝PB＝40×＝20＜22，进而判定即可；
解：（1）∵∠PAB＝90°﹣75°＝15°，∠PBC＝90°﹣60°＝30°，
又∵∠PBC＝∠PAB+∠APB，
∴∠PAB＝∠APB＝15°，
∴BP＝AB＝40（海里），
（2）作PD⊥AC于点D，
在直角△PBC中，PD＝PB＝40×＝20＜22，
答：若轮船仍向前航行有触礁的危险．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方位角问题，掌握直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半是解决本题的关键．
21．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．
（1）若BC＝10，求△ADE的周长．
（2）若∠BAC＝115°，求∠DAE的度数．
（3）设直线DM、EN交于点O，试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得DB＝DA，EA＝EC，然后利用三角形的周长公式以及等量代换可得△ADE的周长＝BC，即可解答；
（2）根据三角形内角和定理可得∠B+∠C＝65°，再利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC，从而可得∠DAB+∠EAC＝65°，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答；
（3）连接OA，OB，OC，根据线段垂直平分线的性质可得OA＝OB，OA＝OC，从而可得OB＝OC，然后利用线段垂直平分线性质定理的逆定理即可解答．
解：（1）∵DM是AB的垂直平分线，EN是AC的垂直平分线，
∴DB＝DA，EA＝EC，
∵BC＝10，
∴△ADE的周长＝AD+DE+AE
＝BD+DE+EC
＝BC
＝10，
∴△ADE的周长为10；
（2）∵∠BAC＝115°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝65°，
∵DA＝DB，EA＝EC，
∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC，
∴∠DAB+∠EAC＝∠B+∠C＝65°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝50°，
∴∠DAE的度数为50°；
（3）点O在BC的垂直平分线上，
理由：如图：连接OA，OB，OC，
∵OM是AB的垂直平分线，ON是AC的垂直平分线，
∴OA＝OB，OA＝OC，
∴OB＝OC，
∴点O在BC的垂直平分线上．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点．
【分析】（1）由条件可证明△ABD≌△CAE，可得DA＝CE，AE＝BD，可得DE＝BD+CE；
（2）由条件可知∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，且∠DBA+∠BAD＝180°﹣α，可得∠DBA＝∠CAE，结合条件可证明△ABD≌△CAE，同（1）可得出结论；
（3）由条件可知EM＝AH＝GN，可得EM＝GN，结合条件可证明△EMI≌△GNI，可得出结论I是EG的中点．
解：（1）如图1，
∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）DE＝BD+CE．
如图2，
证明如下：
∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，
∴∠DBA＝∠CAE，
在△ADB和△CEA中．
．
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE
（3）如图3，
过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N．
∴∠EMI＝GNI＝90°
由（1）和（2）的结论可知EM＝AH＝GN
∴EM＝GN
在△EMI和△GNI中，
，
∴△EMI≌△GNI（AAS），
∴EI＝GI，
∴I是EG的中点．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到BD＝AE、CE＝AD是解题的关键．