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2021年内蒙古鄂尔多斯市杭锦旗中考数学二模试卷 解析版
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这是一份2021年内蒙古鄂尔多斯市杭锦旗中考数学二模试卷 解析版，共36页。试卷主要包含了单项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2021年内蒙古鄂尔多斯市杭锦旗中考数学二模试卷
一、单项选择题（本大题共10题，每题3分，共30分）
1．（3分）﹣5的相反数是（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣ D．
2．（3分）截至2021年2月3日24时，全国累计报告重点人群接种新冠病毒疫苗31240000剂次，则数据31240000用科学记数法表示为（ ）
A．3.124×106 B．3.124×107 C．31.24×106 D．0.3124×108
3．（3分）如图，已知圆锥的三视图所示，则这个圆锥的体积为（ ）cm3．
A．36π B．24π C．12π D．8π
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x6÷x3＝x3 B．2x+3y＝5xy C．（2x）3＝6x3 D．x2•x2＝2x4
5．（3分）将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（ ）
A．3cm B．6cm C．cm D．cm
6．（3分）学习全等三角形时，数学兴趣小组设计并组织了“生活中的全等”的比赛，全班同学的比赛结果统计如下表：
得分（分）
60
70
80
90
100
人数（人）
7
12
10
8
3
则得分的众数和中位数分别为（ ）
A．70分，70分 B．80分，80分 C．70分，80分 D．80分，70分
7．（3分）小军家距学校5千米，原来他骑自行车上学，学校为保障学生安全，新购进校车接送学生，若校车速度是他骑车速度的2倍，现在小军乘校车上学可以从家晚10分钟出发，结果与原来到校时间相同．设小军骑车的速度为x千米/小时，则所列方程正确的为（ ）
A．+＝ B．﹣＝ C．+10＝ D．﹣10＝
8．（3分）利用如图1的二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23+b×22+c×21+d×20，如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为0×23+1×22+0×21+1×20＝5，表示该生为5班学生．表示6班学生的识别图案是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，边长为的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，折痕DF交AC于点M，则OM的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，∠BOC＝60°，AD＝3，动点P从点A出发，沿折线AD﹣DO以每秒1个单位长的速度运动到点O停止．设运动时间为x秒，y＝S△POC，则y与x的函数关系大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）
11．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
12．（3分）在一个不透明的盒子中，装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为，则该盒子中装有黄色乒乓球的个数是 ．
13．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B、D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AD＝DE＝1，则EC的长度是 ．
14．（3分）如图，在菱形ABCD中，BC＝4，∠ADC＝120°，以A为圆心，AD为半径画弧，交AC于点E，过点E作EF∥AB交AD于点F，则阴影部分的面积为 ．（结果保留根号与π）
15．（3分）下列命题正确的是 ．（请直接填写序号）
①平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形；
②的算术平方根是6；
③三角形的内心到这个三角形三条边的距离相等；
④若甲数据的方差S甲2＝0.05，乙数据的方差S乙2＝0.1，则甲数据比乙数据稳定；
⑤如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是六边形．
16．（3分）如图，平面直角坐标系中，已知A点坐标（0，1），反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与直线y＝x相交于点B，P是x轴的动点，如果PA+PB的最小值是5，那么k的值是 ．
三.解答题（本大题共8题,共72分,解答时写出必要的文字说明,演算步骤或推证过程）
17．（9分）（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中x的值从不等式组的整数解中选取．
18．（9分）据某知名网站调查，2020年网民们最关注的热点话题分别有：消费、教育、环保、反腐及其他共五类．根据调查的部分相关数据，绘制的统计图表如图．
根据所给信息解答下列问题：
（1）求调查的总人数，并补全条形统计图，并在图中标明相应数据；
（2）求出扇形统计图中“环保”对应的圆心角的度数；
（3）在这次调查中，某单位共有甲、乙、丙、丁四人最关注教育问题，现准备从这四人中随机抽取两人进行座谈，试用列表或树形图的方法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．
19．（6分）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，AB⊥BC于点B，底座BC＝1.3米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝60°，点H在支架AF上，篮板底部支架EH∥BC．EF⊥EH于点E，已知AH＝米，HF＝米，HE＝1米．
（1）求篮板底部支架HE与支架AF所成的∠FHE的度数．
（2）求篮板底部点E到地面的距离，（精确到0.01米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）
20．（8分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2），过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N．
（1）求直线DE的解析式和点M的坐标；
（2）若反比例函数y＝的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；
（3）若反比例函数y＝（x＞0）的图象与△MNB有公共点，请直接写出k的取值范围；
（4）若将△MNB放置于平面直角坐标系中：使斜边在横轴上，直角顶点B在反比例函数y＝的图象上，试求出N点的坐标．
21．（9分）如图，在⊙O中，半径OD⊥直径AB，CD与⊙O相切于点D，连接AC交⊙O于点E，交OD于点G，连接CB并延长交⊙于点F，连接AD，EF．
（1）求证：∠ACD＝∠F；
（2）若tan∠F＝
①求证：四边形ABCD是平行四边形；
②连接DE，当⊙O的半径为3时，求DE的长．
22．（8分）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数且x≤80），每月的销售量为y条．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）设该店每月所获利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月所获利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从出售的每条裤子中捐出5元资助贫困学生．总捐款额不低于750元，求捐款后每月最大利润．
23．（11分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x＝1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．
24．（12分）【问题发现】如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B、C重合）将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BD与CE的数量关系是 ，位置关系是 ；
【探究证明】如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，BD与CE具有怎样的位置关系，并说明理由；
【拓展延伸】如图3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，将△ACD绕顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角∠CAE为α（0°＜α＜360°），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段BE的长度．
2021年内蒙古鄂尔多斯市杭锦旗中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共10题，每题3分，共30分）
1．（3分）﹣5的相反数是（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣ D．
【分析】根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：﹣5的相反数是5．
故选：B．
2．（3分）截至2021年2月3日24时，全国累计报告重点人群接种新冠病毒疫苗31240000剂次，则数据31240000用科学记数法表示为（ ）
A．3.124×106 B．3.124×107 C．31.24×106 D．0.3124×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：31240000＝3.124×107．
故选：B．
3．（3分）如图，已知圆锥的三视图所示，则这个圆锥的体积为（ ）cm3．
A．36π B．24π C．12π D．8π
【分析】根据三视图确定圆锥的地面半径和高，然后利用圆锥的体积计算公式求得答案即可．
【解答】解：观察三视图得：圆锥的底面半径为3cm，高为4cm，
所以圆锥的体积为πr2h＝π×32×4＝12πcm2．
故选：C．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x6÷x3＝x3 B．2x+3y＝5xy C．（2x）3＝6x3 D．x2•x2＝2x4
【分析】A：根据同底数的幂相除底数不变指数相减可的结果；
B：2x、3y不是同类项，不能合并，
C：2的立方是8；
D：根据同底数的幂相乘底数不变指数相加可的结果．
【解答】解：A：符合题意；
B：2x、3y不是同类项，不能合并，∴不符合题意；
C：原式＝8x3，∴不符合题意；
D：原式＝x4，∴不符合题意．
故选：A．
5．（3分）将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（ ）
A．3cm B．6cm C．cm D．cm
【分析】过另一个顶点C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，可求出有45°角的三角板的直角边，再由等腰直角三角形求出最大边．
【解答】解：过点C作CD⊥AD，∴CD＝3，
在直角三角形ADC中，
∵∠CAD＝30°，
∴AC＝2CD＝2×3＝6，
又∵三角板是有45°角的三角板，
∴AB＝AC＝6，
∴BC2＝AB2+AC2＝62+62＝72，
∴BC＝6，
故选：D．
6．（3分）学习全等三角形时，数学兴趣小组设计并组织了“生活中的全等”的比赛，全班同学的比赛结果统计如下表：
得分（分）
60
70
80
90
100
人数（人）
7
12
10
8
3
则得分的众数和中位数分别为（ ）
A．70分，70分 B．80分，80分 C．70分，80分 D．80分，70分
【分析】根据众数的定义，找到该组数据中出现次数最多的数即为众数；根据中位数定义，将该组数据按从小到大依次排列，处于中间位置的两个数的平均数即为中位数．
【解答】解：∵70分的有12人，人数最多，
∴众数为70分；
处于中间位置的数为第20、21两个数，都为80分，中位数为80分．
故选：C．
7．（3分）小军家距学校5千米，原来他骑自行车上学，学校为保障学生安全，新购进校车接送学生，若校车速度是他骑车速度的2倍，现在小军乘校车上学可以从家晚10分钟出发，结果与原来到校时间相同．设小军骑车的速度为x千米/小时，则所列方程正确的为（ ）
A．+＝ B．﹣＝ C．+10＝ D．﹣10＝
【分析】设小军骑车的速度为x千米/小时，则小车速度是2x千米/小时，根据“小军乘小车上学可以从家晚10分钟出发”列出方程解决问题．
【解答】解：设小军骑车的速度为x千米/小时，则小车速度是2x千米/小时，由题意得，
﹣＝．
故选：B．
8．（3分）利用如图1的二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23+b×22+c×21+d×20，如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为0×23+1×22+0×21+1×20＝5，表示该生为5班学生．表示6班学生的识别图案是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据规定的运算法则分别计算出每个选项第一行的数即可作出判断．
【解答】解：A、第一行数字从左到右依次为1、0、1、0，序号为1×23+0×22+1×21+0×20＝10，不符合题意；
B、第一行数字从左到右依次为0，1，1，0，序号为0×23+1×22+1×21+0×20＝6，符合题意；
C、第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，序号为1×23+0×22+0×21+1×20＝9，不符合题意；
D、第一行数字从左到右依次为0，1，1，1，序号为0×23+1×22+1×21+1×20＝7，不符合题意；
故选：B．
9．（3分）如图，边长为的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，折痕DF交AC于点M，则OM的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】正方形ABCD边长为，得出EF＝BE＝2﹣，借助△DOM∽△DEF，对应边成比例即可求出OM的长．
【解答】解：∵正方形ABCD边长为，
∴AC⊥BD，OC＝OD＝1，
由折叠知：DE＝CD＝，∠DEF＝∠DCF＝90°，
∴，
∵∠DBF＝45°，
∴EF＝BE＝2﹣，
∵AM∥EF，
∴△DOM∽△DEF，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
10．（3分）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，∠BOC＝60°，AD＝3，动点P从点A出发，沿折线AD﹣DO以每秒1个单位长的速度运动到点O停止．设运动时间为x秒，y＝S△POC，则y与x的函数关系大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】如图：根据矩形的性质，∠BOC＝60°，AD＝3可得OD＝OA＝AD，再根据直角三角形的性质，可得OF、OE、CG的长，S△POC要分类讨论，当0≤x＜3时，y＝S△POC＝S△ACD﹣S△APO﹣S△PDC，可得y与x的函数关系，当3＜x≤6时，y＝S△POC，可得y与x的函数关系．
【解答】解：作OE⊥DC，作OF⊥AD，作CG⊥DB，
∵矩形ABCD，AD＝3，
∴BC＝3，
∵矩形ABCD的对角线交于点O，∠BOC＝60°，
∴△BOC是等边三角形，OB＝OC＝BC＝3，
∵△BOC≌△AOD，
∴∠ADO＝∠AOD＝60°，DO＝AO＝3，
在Rt△OAF中，∠AOF＝30°，OA＝3，AF＝，
∴由勾股定理得OF＝，
在Rt△DOE中，∠ODE＝30°，OD＝3，
∴OE＝，
由勾股定理得DE＝，
∴DC＝2DE＝3，
在Rt△DCG中，∠CDG＝30°，DC＝3，
∴CG＝，
当0≤x＜3时，y＝S△POC＝S△ACD﹣S△APO﹣S△PDC
＝×3×﹣וx﹣×（3﹣x）
＝x，
即y是x的正比例函数，
当3＜x≤6时，y＝S△POC＝（6﹣x）•，
即y是x的一次函数，
故选：A．
二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）
11．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≥﹣ ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，2x+5≥0，
解得x≥﹣．
故答案为：x≥﹣．
12．（3分）在一个不透明的盒子中，装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为，则该盒子中装有黄色乒乓球的个数是 6 ．
【分析】直接利用摸到黄色乒乓球的概率为，利用总数乘以概率即可得出该盒子中装有黄色乒乓球的个数．
【解答】解：∵装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为，
∴该盒子中装有黄色乒乓球的个数是：16×＝6．
故答案为：6．
13．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B、D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AD＝DE＝1，则EC的长度是 ．
【分析】利用基本作图得到CE⊥AB，且BE＝DE，由AD＝DE＝1再根据等腰三角形的性质得到AC＝3，然后利用勾股定理计算EC的长．
【解答】解：由作图可知：CE⊥AB，且BE＝DE，
∵AD＝DE＝1，
∴BE＝1，AE＝2，
∴AC＝AB＝3，
在Rt△ACE中，EC＝．
14．（3分）如图，在菱形ABCD中，BC＝4，∠ADC＝120°，以A为圆心，AD为半径画弧，交AC于点E，过点E作EF∥AB交AD于点F，则阴影部分的面积为 ﹣ ．（结果保留根号与π）
【分析】过F作FH⊥AC于H，根据菱形的性质和已知条件得出∠DAC＝∠BAC，DC∥AB，AB＝BC＝4，求出∠DAC＝∠BAC＝30°，求出AE＝4，解直角三角形求出FH，再根据阴影部分的面积S＝S扇形DAE﹣S△FAE求出答案即可．
【解答】解：过F作FH⊥AC于H，
∵四边形ABCD是菱形，BC＝4，
∴∠DAC＝∠BAC，DC∥AB，AB＝BC＝4，
∴∠ADC+∠DAB＝180°，
∵∠ADC＝120°，
∴∠DAB＝60°，
∴∠DAC＝∠BAC＝30°，
∵以A为圆心，AD为半径画弧，交AC于点E，AB＝4，
∴AE＝4，
∵EF∥AB，
∴∠FEA＝∠BAC，
∵∠DAC＝∠BAC，
∴∠DAC＝∠FEA，
∴AF＝EF，
∵FH⊥AE，AE＝4，
∴AH＝EH＝2，
∵∠DAC＝30°，∠AHF＝90°，
∴AF＝2EF，
∴（2EF）2＝EF2+22，
解得：EF＝，
∴阴影部分的面积S＝S扇形DAE﹣S△FAE
＝﹣
＝﹣，
故答案为：﹣．
15．（3分）下列命题正确的是 ③④ ．（请直接填写序号）
①平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形；
②的算术平方根是6；
③三角形的内心到这个三角形三条边的距离相等；
④若甲数据的方差S甲2＝0.05，乙数据的方差S乙2＝0.1，则甲数据比乙数据稳定；
⑤如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是六边形．
【分析】利用平行四边形的对称性、算术平方根的定义、三角形的内心的性质、方差的意义及多边形的内角和定理分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，故错误，不符合题意；
②的算术平方根是，故错误，不符合题意；
③三角形的内心到这个三角形三条边的距离相等，正确，符合题意；
④若甲数据的方差S甲2＝0.05，乙数据的方差S乙2＝0.1，则甲数据比乙数据稳定，正确，符合题意；
⑤如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是八边形，故原命题错误，不符合题意，
故答案为：③④．
16．（3分）如图，平面直角坐标系中，已知A点坐标（0，1），反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与直线y＝x相交于点B，P是x轴的动点，如果PA+PB的最小值是5，那么k的值是 3 ．
【分析】首先解直线y＝x与反比例函数解析式组成的方程组，求得B的坐标，然后求得A关于x轴的对称点坐标，PA+PB的最小值就是A的对称点与B之间的距离，据此列方程求得k的值．
【解答】解：根据题意得：，
解得或（舍去），则B的坐标是（k，k）．
A关于x轴的对称点是（0，﹣1）．
则根据题意得k2+（k+1）2＝52，
解得：k＝3或﹣4（舍去）．
故答案是：3．
三.解答题（本大题共8题,共72分,解答时写出必要的文字说明,演算步骤或推证过程）
17．（9分）（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中x的值从不等式组的整数解中选取．
【分析】（1）根据零指数幂、特殊角的三角函数值、算术平方根、去绝对值的方法可以解答本题；
（2）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后求出的整数解，再将使得原分式有意义的整数值代入化简后的式子即可．
【解答】解：（1）
＝1+4×﹣2+3﹣
＝1+2﹣2+3﹣
＝4﹣；
（2）
＝
＝，
由，得﹣2≤x＜，
∴x可以取的整数时﹣2，﹣1，0，
∵x＝﹣1或﹣2时，原分式无意义，
∴x＝0，
当x＝0时，原式＝＝1．
18．（9分）据某知名网站调查，2020年网民们最关注的热点话题分别有：消费、教育、环保、反腐及其他共五类．根据调查的部分相关数据，绘制的统计图表如图．
根据所给信息解答下列问题：
（1）求调查的总人数，并补全条形统计图，并在图中标明相应数据；
（2）求出扇形统计图中“环保”对应的圆心角的度数；
（3）在这次调查中，某单位共有甲、乙、丙、丁四人最关注教育问题，现准备从这四人中随机抽取两人进行座谈，试用列表或树形图的方法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．
【分析】（1）根据消费类人数及其所占百分比求出总人数，总人数乘以教育类对应百分比求出其人数即可补全图形；
（2）用360°乘以关注环保问题的人数所占百分比即可得出答案；
（3）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）调查的总人数是：420÷30%＝1400（万人），
关注教育的人数是：1400×25%＝350（万人）．
补全统计图如下：
（2）扇形统计图中“环保”对应的圆心角的度数是360°×10%＝36°；
（3）画树形图得：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中抽取的两人恰好是甲和乙的有2种结果，
所以抽取的两人恰好是甲和乙的概率为＝．
19．（6分）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，AB⊥BC于点B，底座BC＝1.3米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝60°，点H在支架AF上，篮板底部支架EH∥BC．EF⊥EH于点E，已知AH＝米，HF＝米，HE＝1米．
（1）求篮板底部支架HE与支架AF所成的∠FHE的度数．
（2）求篮板底部点E到地面的距离，（精确到0.01米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）
【分析】（1）由cos∠FHE＝＝可得答案；
（2）延长FE交CB的延长线于M，过点A作AG⊥FM于G，过点H作HN⊥AG于N，据此知GM＝AB，HN＝EG，Rt△ABC中，求得AB＝BCtan60°＝1.3；Rt△ANH中，求得HN＝AHsin45°＝；根据EM＝EG+GM可得答案．
【解答】解：（1）在Rt△EFH中，cos∠FHE＝＝＝，
∴∠FHE＝45°．
答：篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为45°；
（2）延长FE交CB的延长线于M，过点A作AG⊥FM于G，过点H作HN⊥AG于N，
则四边形ABMG和四边形HNGE是矩形，
∴GM＝AB，HN＝EG，
在Rt△ABC中，∵tan∠ACB＝，
∴AB＝BCtan60°＝1.3×＝1.3（米），
∴GM＝AB＝1.3（米），
在Rt△ANH中，∠FAN＝∠FHE＝45°，
∴HN＝AHsin45°＝×＝（米），
∴EM＝EG+GM＝+1.3≈2.75（米）．
答：篮板底部点E到地面的距离大约是2.75米．
20．（8分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2），过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N．
（1）求直线DE的解析式和点M的坐标；
（2）若反比例函数y＝的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；
（3）若反比例函数y＝（x＞0）的图象与△MNB有公共点，请直接写出k的取值范围；
（4）若将△MNB放置于平面直角坐标系中：使斜边在横轴上，直角顶点B在反比例函数y＝的图象上，试求出N点的坐标．
【分析】（1）设直线DE的解析式是y＝kx+b，把D、E的坐标代入即可求出直线的解析式，把y＝2代入即可求出M的坐标．
（2）把M的坐标代入反比例函数解析式求出即可，把x＝4代入直线的解析式即可求出N的坐标．
（3）求出反比例函数的图象过B点的k值，即可求出答案．
（4）求出直角三角形MBN的斜边上的高BL，根据相似求出LN，即可求出N的坐标．
【解答】解：（1）设直线DE的解析式是y＝kx+b，
把D、E的坐标代入得：，
解得：k＝﹣，b＝3，
∴直线DE的解析式是：y＝﹣x+3，
∵矩形AOCB，B（4，2），
∴把y＝2代入y＝﹣x+3得：x＝2，
∴M的坐标是（2，2）．
（2）把M（2，2）代入y＝得：k＝4，
即反比例函数的解析式是y＝，
∵B（4，2），
∴把x＝4代入y＝﹣x+3得：y＝1，
∴N的坐标是（4，1），
把N的坐标代入y＝得：左边＝4，右边＝4，左边＝右边，
即点N在反比例函数的图象上．
（3）把B（4，2）代入y＝得：k＝8，
∵反比例函数y＝过M、N点，
∴若反比例函数y＝（x＞0）的图象与△MNB有公共点，k的取值范围是4≤k≤8．
（4）过B作BL⊥MN于L，
在△MNB中，BM＝4﹣2＝2，BN＝2﹣1＝1，
由勾股定理得：NM＝＝，
S△MNB＝BM×BN＝MN×BL，
∴2×1＝×BL，
∴BL＝，
如图所示：
∵直角顶点B在反比例函数图象上，
∴B的纵坐标是，代入y＝得：横坐标是2，
∴OL＝2，
∵△MNB是直角三角形，BL⊥MN于L，
∴△BLN∽△MBN，
∴＝，
∴＝，
∴LN＝，
∴ON＝OL+LN＝2+＝或ON＝OL﹣LN＝2﹣＝（此时N在M的左边），
∴N的坐标是（，0）或（，0）．
21．（9分）如图，在⊙O中，半径OD⊥直径AB，CD与⊙O相切于点D，连接AC交⊙O于点E，交OD于点G，连接CB并延长交⊙于点F，连接AD，EF．
（1）求证：∠ACD＝∠F；
（2）若tan∠F＝
①求证：四边形ABCD是平行四边形；
②连接DE，当⊙O的半径为3时，求DE的长．
【分析】（1）先利用切线的性质得到OD⊥CD，再证明AB∥CD，然后利用平行线的性质和圆周角定理得到结论；
（2）①设⊙O的半径为r，利用正切的定义得到OG＝r，则DG＝r，则CD＝3DG＝2r，然后根据平行线的判定得到结论；
②作直径DH，连接HE，如图，先计算出AG＝，CG＝2，再证明△CDE∽△CAD，然后利用相似比计算DE的长．
【解答】（1）证明：∵CD与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CD，
∵半径OD⊥直径AB，
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠CAB，
∵∠EAB＝∠F，
∴∠ACD＝∠F；
（2）①证明：∵∠ACD＝∠CAB＝∠F，
∴tan∠GCD＝tan∠GAO＝tan∠F＝，
设⊙O的半径为r，
在Rt△AOG中，tan∠GAO＝＝，
∴OG＝r，
∴DG＝r﹣r＝r，
在Rt△DGC中，tan∠DCG＝＝，
∴CD＝3DG＝2r，
∴DC＝AB，
而DC∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
②延长DO交⊙O于点H，连接HE，如图，OG＝1，AG＝＝，
CD＝6，DG＝2，CG＝＝2，
∵DH为直径，
∴∠HED＝90°，
∴∠H+∠HDE＝90°，
∵DH⊥DC，
∴∠CDE+∠HDE＝90°，
∴∠H＝∠CDE，
∵∠H＝∠DAE，
∴∠CDE＝∠DAC，
而∠DCE＝∠ACD，
∴△CDE∽△CAD，
∴＝，即＝，
∴DE＝．
22．（8分）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数且x≤80），每月的销售量为y条．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）设该店每月所获利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月所获利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从出售的每条裤子中捐出5元资助贫困学生．总捐款额不低于750元，求捐款后每月最大利润．
【分析】（1）直接利用销售单价每降1元，则每月可多销售5条得出y与x的函数关系式；
（2）利用销量×每件利润＝总利润进而得出函数关系式，根据二次函数的性质求出最值；
（3）根据x为正整数且x≤80和总捐款额不低于750元确定x的取值范围，再根据二次函数的性质即可得到答案．
【解答】解：（1）由题意可得：y＝100+5（80﹣x），
整理得 y＝﹣5x+500（x为正整数且x≤80）；
（2）由题意，得：
w＝（x﹣40）（﹣5x+500）
＝﹣5x2+700x﹣20000
＝﹣5（x﹣70）2+4500，
∵a＝﹣5＜0，
∴w有最大值，
即当x＝70时，w最大值＝4500，
∴应降价80﹣70＝10（元），
答：当降价10元时，每月获得最大利润为4500元；
（3）由题意，得：w＝（x﹣40﹣5）（﹣5x+500）
＝﹣5（x﹣72.5）2+3781.25，
由题意得，
解得x≤70，
∵﹣5＜0，
∴x＞72.5时，w随x的增大而减小，
∴x＝70时，w最大值＝﹣5（x﹣72.5）2+3781.25＝3750，
答：捐款后每月最大利润是3750元．
23．（11分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x＝1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．
【分析】方法一：
（1）先把C（0，4）代入y＝ax2+bx+c，得出c＝4①，再由抛物线的对称轴x＝﹣＝1，得到b＝﹣2a②，抛物线过点A（﹣2，0），得到0＝4a﹣2b+c③，然后由①②③可解得，a＝﹣，b＝1，c＝4，即可求出抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；
（2）假设存在满足条件的点F，连接BF、CF、OF，过点F作FH⊥x轴于点H，FG⊥y轴于点G．设点F的坐标为（t，﹣t2+t+4），则FH＝﹣t2+t+4，FG＝t，先根据三角形的面积公式求出S△OBF＝OB•FH＝﹣t2+2t+8，S△OFC＝OC•FG＝2t，再由S四边形ABFC＝S△AOC+S△OBF+S△OFC，得到S四边形ABFC＝﹣t2+4t+12．令﹣t2+4t+12＝17，即t2﹣4t+5＝0，由△＝（﹣4）2﹣4×5＝﹣4＜0，得出方程t2﹣4t+5＝0无解，即不存在满足条件的点F；
（3）先运用待定系数法求出直线BC的解析式为y＝﹣x+4，再求出抛物线y＝﹣x2+x+4的顶点D（1，），由点E在直线BC上，得到点E（1，3），于是DE＝﹣3＝．若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，因为DE∥PQ，只须DE＝PQ，设点P的坐标是（m，﹣m+4），则点Q的坐标是（m，﹣m2+m+4）．分两种情况进行讨论：①当0＜m＜4时，PQ＝（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，解方程﹣m2+2m＝，求出m的值，得到P1（3，1）；②当m＜0或m＞4时，PQ＝（﹣m+4）﹣（﹣m2+m+4）＝m2﹣2m，解方程m2﹣2m＝，求出m的值，得到P2（2+，2﹣），P3（2﹣，2+）．
方法二：
（1）略．
（2）利用水平底与铅垂高乘积的一半，可求出△BCF的面积函数，进而求出点F坐标，因为，所以无解．
（3）因为PQ∥DE，所以只需PQ＝AC即可，求出PQ的参数长度便可列式求解．
【解答】方法一：
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点C（0，4），
∴c＝4 ①．
∵对称轴x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a②．
∵抛物线过点A（﹣2，0），
∴0＝4a﹣2b+c③，
由①②③解得，a＝﹣，b＝1，c＝4，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；
（2）假设存在满足条件的点F，如图所示，连接BF、CF、OF，过点F作FH⊥x轴于点H，FG⊥y轴于点G．
设点F的坐标为（t，﹣t2+t+4），其中0＜t＜4，
则FH＝﹣t2+t+4，FG＝t，
∴S△OBF＝OB•FH＝×4×（﹣t2+t+4）＝﹣t2+2t+8，
S△OFC＝OC•FG＝×4×t＝2t，
∴S四边形ABFC＝S△AOC+S△OBF+S△OFC＝4﹣t2+2t+8+2t＝﹣t2+4t+12．
令﹣t2+4t+12＝17，
即t2﹣4t+5＝0，
则△＝（﹣4）2﹣4×5＝﹣4＜0，
∴方程t2﹣4t+5＝0无解，
故不存在满足条件的点F；
（3）设直线BC的解析式为y＝kx+n（k≠0），
∵B（4，0），C（0，4），
∴，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4．
由y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣1）2+，
∴顶点D（1，），
又点E在直线BC上，则点E（1，3），
于是DE＝﹣3＝．
若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，因为DE∥PQ，只须DE＝PQ，
设点P的坐标是（m，﹣m+4），则点Q的坐标是（m，﹣m2+m+4）．
①当0＜m＜4时，PQ＝（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，
由﹣m2+2m＝，
解得：m＝1或3．
当m＝1时，线段PQ与DE重合，m＝1舍去，
∴m＝3，P1（3，1）．
②当m＜0或m＞4时，PQ＝（﹣m+4）﹣（﹣m2+m+4）＝m2﹣2m，
由m2﹣2m＝，
解得m＝2±，经检验适合题意，
此时P2（2+，2﹣），P3（2﹣，2+）．
综上所述，满足题意的点P有三个，分别是P1（3，1），P2（2+，2﹣），P3（2﹣，2+）．
方法二：
（1）略．
（2）∵B（4，0），C（0，4），
∴lBC：y＝﹣x+4，
过F点作x轴垂线，交BC于H，设F（t，﹣t2+t+4），
∴H（t，﹣t+4），
∵S四边形ABFC＝S△ABC+S△BCF＝17，
∴（4+2）×4+（﹣t2+t+4+t﹣4）×4＝17，
∴t2﹣4t+5＝0，
∴△＝（﹣4）2﹣4×5＜0，
∴方程t2﹣4t+5＝0无解，故不存在满足条件的点F．
（3）∵DE∥PQ，
∴当DE＝PQ时，以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，
∵y＝﹣x2+x+4，
∴D（1，），
∵lBC：y＝﹣x+4，
∴E（1，3），
∴DE＝﹣3＝，
设点F的坐标是（m，﹣m+4），则点Q的坐标是（m，﹣m2+m+4），
∴|﹣m+4+m2﹣m﹣4|＝，
∴m2﹣2m＝或m2﹣2m＝﹣，
∴m＝1，m＝3，m＝2+，m＝2﹣，
经检验，当m＝1时，线段PQ与DE重合，故舍去．
∴P1（3，1），P2（2+，2﹣），P3（2﹣，2+）．
24．（12分）【问题发现】如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B、C重合）将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BD与CE的数量关系是 BD＝CE ，位置关系是 BD⊥CE ；
【探究证明】如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，BD与CE具有怎样的位置关系，并说明理由；
【拓展延伸】如图3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，将△ACD绕顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角∠CAE为α（0°＜α＜360°），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段BE的长度．
【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答；
（2）连接BD，根据全等三角形的判定和性质以及垂直的定义即可得到结论；
（3）如图3，过A作AF⊥EC，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠BCE＝45°+45°＝90°，
故答案为：BD＝CE，BD⊥CE；
（2）BD⊥CE，
理由：如图2，连接BD，
∵在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠AEC＝45°，
∵∠CAB＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AC＝AB，AE＝AD，
∴△CEA≌△BDA（SAS），
∴∠BDA＝∠AEC＝45°，
∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°，
∴BD⊥CE；
（3）如图3，过A作AF⊥EC，由题意可知Rt△ABC∽Rt△AED，∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴＝，即，
∵∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴∠BAE＝∠CAD，
∴△BAE∽△CAD，
∴∠ABE＝∠ACD，
∵∠BEC＝180°﹣（∠CBE+∠BCE）＝180°﹣（∠CBA+∠ABE+∠BCE）＝180°﹣（∠CBA+∠ACD+∠BCE）＝90°，
∴BE⊥CE，
在Rt△BCD中，BC＝2CD＝4，
∴BD＝＝＝2，
∵AC⊥BD，
∴S△BCD＝AC•BD＝BC•AC，
∴AC＝AE＝，AD＝，
∴AF＝，CE＝2CF＝2×＝，
∴BE＝＝＝．
2021年内蒙古鄂尔多斯市杭锦旗中考数学二模试卷
一、单项选择题（本大题共10题，每题3分，共30分）
1．（3分）﹣5的相反数是（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣ D．
2．（3分）截至2021年2月3日24时，全国累计报告重点人群接种新冠病毒疫苗31240000剂次，则数据31240000用科学记数法表示为（ ）
A．3.124×106 B．3.124×107 C．31.24×106 D．0.3124×108
3．（3分）如图，已知圆锥的三视图所示，则这个圆锥的体积为（ ）cm3．
A．36π B．24π C．12π D．8π
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x6÷x3＝x3 B．2x+3y＝5xy C．（2x）3＝6x3 D．x2•x2＝2x4
5．（3分）将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（ ）
A．3cm B．6cm C．cm D．cm
6．（3分）学习全等三角形时，数学兴趣小组设计并组织了“生活中的全等”的比赛，全班同学的比赛结果统计如下表：
得分（分）
60
70
80
90
100
人数（人）
7
12
10
8
3
则得分的众数和中位数分别为（ ）
A．70分，70分 B．80分，80分 C．70分，80分 D．80分，70分
7．（3分）小军家距学校5千米，原来他骑自行车上学，学校为保障学生安全，新购进校车接送学生，若校车速度是他骑车速度的2倍，现在小军乘校车上学可以从家晚10分钟出发，结果与原来到校时间相同．设小军骑车的速度为x千米/小时，则所列方程正确的为（ ）
A．+＝ B．﹣＝ C．+10＝ D．﹣10＝
8．（3分）利用如图1的二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23+b×22+c×21+d×20，如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为0×23+1×22+0×21+1×20＝5，表示该生为5班学生．表示6班学生的识别图案是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，边长为的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，折痕DF交AC于点M，则OM的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，∠BOC＝60°，AD＝3，动点P从点A出发，沿折线AD﹣DO以每秒1个单位长的速度运动到点O停止．设运动时间为x秒，y＝S△POC，则y与x的函数关系大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）
11．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
12．（3分）在一个不透明的盒子中，装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为，则该盒子中装有黄色乒乓球的个数是 ．
13．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B、D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AD＝DE＝1，则EC的长度是 ．
14．（3分）如图，在菱形ABCD中，BC＝4，∠ADC＝120°，以A为圆心，AD为半径画弧，交AC于点E，过点E作EF∥AB交AD于点F，则阴影部分的面积为 ．（结果保留根号与π）
15．（3分）下列命题正确的是 ．（请直接填写序号）
①平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形；
②的算术平方根是6；
③三角形的内心到这个三角形三条边的距离相等；
④若甲数据的方差S甲2＝0.05，乙数据的方差S乙2＝0.1，则甲数据比乙数据稳定；
⑤如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是六边形．
16．（3分）如图，平面直角坐标系中，已知A点坐标（0，1），反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与直线y＝x相交于点B，P是x轴的动点，如果PA+PB的最小值是5，那么k的值是 ．
三.解答题（本大题共8题,共72分,解答时写出必要的文字说明,演算步骤或推证过程）
17．（9分）（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中x的值从不等式组的整数解中选取．
18．（9分）据某知名网站调查，2020年网民们最关注的热点话题分别有：消费、教育、环保、反腐及其他共五类．根据调查的部分相关数据，绘制的统计图表如图．
根据所给信息解答下列问题：
（1）求调查的总人数，并补全条形统计图，并在图中标明相应数据；
（2）求出扇形统计图中“环保”对应的圆心角的度数；
（3）在这次调查中，某单位共有甲、乙、丙、丁四人最关注教育问题，现准备从这四人中随机抽取两人进行座谈，试用列表或树形图的方法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．
19．（6分）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，AB⊥BC于点B，底座BC＝1.3米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝60°，点H在支架AF上，篮板底部支架EH∥BC．EF⊥EH于点E，已知AH＝米，HF＝米，HE＝1米．
（1）求篮板底部支架HE与支架AF所成的∠FHE的度数．
（2）求篮板底部点E到地面的距离，（精确到0.01米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）
20．（8分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2），过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N．
（1）求直线DE的解析式和点M的坐标；
（2）若反比例函数y＝的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；
（3）若反比例函数y＝（x＞0）的图象与△MNB有公共点，请直接写出k的取值范围；
（4）若将△MNB放置于平面直角坐标系中：使斜边在横轴上，直角顶点B在反比例函数y＝的图象上，试求出N点的坐标．
21．（9分）如图，在⊙O中，半径OD⊥直径AB，CD与⊙O相切于点D，连接AC交⊙O于点E，交OD于点G，连接CB并延长交⊙于点F，连接AD，EF．
（1）求证：∠ACD＝∠F；
（2）若tan∠F＝
①求证：四边形ABCD是平行四边形；
②连接DE，当⊙O的半径为3时，求DE的长．
22．（8分）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数且x≤80），每月的销售量为y条．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）设该店每月所获利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月所获利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从出售的每条裤子中捐出5元资助贫困学生．总捐款额不低于750元，求捐款后每月最大利润．
23．（11分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x＝1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．
24．（12分）【问题发现】如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B、C重合）将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BD与CE的数量关系是 ，位置关系是 ；
【探究证明】如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，BD与CE具有怎样的位置关系，并说明理由；
【拓展延伸】如图3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，将△ACD绕顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角∠CAE为α（0°＜α＜360°），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段BE的长度．
2021年内蒙古鄂尔多斯市杭锦旗中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共10题，每题3分，共30分）
1．（3分）﹣5的相反数是（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣ D．
【分析】根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：﹣5的相反数是5．
故选：B．
2．（3分）截至2021年2月3日24时，全国累计报告重点人群接种新冠病毒疫苗31240000剂次，则数据31240000用科学记数法表示为（ ）
A．3.124×106 B．3.124×107 C．31.24×106 D．0.3124×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：31240000＝3.124×107．
故选：B．
3．（3分）如图，已知圆锥的三视图所示，则这个圆锥的体积为（ ）cm3．
A．36π B．24π C．12π D．8π
【分析】根据三视图确定圆锥的地面半径和高，然后利用圆锥的体积计算公式求得答案即可．
【解答】解：观察三视图得：圆锥的底面半径为3cm，高为4cm，
所以圆锥的体积为πr2h＝π×32×4＝12πcm2．
故选：C．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x6÷x3＝x3 B．2x+3y＝5xy C．（2x）3＝6x3 D．x2•x2＝2x4
【分析】A：根据同底数的幂相除底数不变指数相减可的结果；
B：2x、3y不是同类项，不能合并，
C：2的立方是8；
D：根据同底数的幂相乘底数不变指数相加可的结果．
【解答】解：A：符合题意；
B：2x、3y不是同类项，不能合并，∴不符合题意；
C：原式＝8x3，∴不符合题意；
D：原式＝x4，∴不符合题意．
故选：A．
5．（3分）将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（ ）
A．3cm B．6cm C．cm D．cm
【分析】过另一个顶点C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，可求出有45°角的三角板的直角边，再由等腰直角三角形求出最大边．
【解答】解：过点C作CD⊥AD，∴CD＝3，
在直角三角形ADC中，
∵∠CAD＝30°，
∴AC＝2CD＝2×3＝6，
又∵三角板是有45°角的三角板，
∴AB＝AC＝6，
∴BC2＝AB2+AC2＝62+62＝72，
∴BC＝6，
故选：D．
6．（3分）学习全等三角形时，数学兴趣小组设计并组织了“生活中的全等”的比赛，全班同学的比赛结果统计如下表：
得分（分）
60
70
80
90
100
人数（人）
7
12
10
8
3
则得分的众数和中位数分别为（ ）
A．70分，70分 B．80分，80分 C．70分，80分 D．80分，70分
【分析】根据众数的定义，找到该组数据中出现次数最多的数即为众数；根据中位数定义，将该组数据按从小到大依次排列，处于中间位置的两个数的平均数即为中位数．
【解答】解：∵70分的有12人，人数最多，
∴众数为70分；
处于中间位置的数为第20、21两个数，都为80分，中位数为80分．
故选：C．
7．（3分）小军家距学校5千米，原来他骑自行车上学，学校为保障学生安全，新购进校车接送学生，若校车速度是他骑车速度的2倍，现在小军乘校车上学可以从家晚10分钟出发，结果与原来到校时间相同．设小军骑车的速度为x千米/小时，则所列方程正确的为（ ）
A．+＝ B．﹣＝ C．+10＝ D．﹣10＝
【分析】设小军骑车的速度为x千米/小时，则小车速度是2x千米/小时，根据“小军乘小车上学可以从家晚10分钟出发”列出方程解决问题．
【解答】解：设小军骑车的速度为x千米/小时，则小车速度是2x千米/小时，由题意得，
﹣＝．
故选：B．
8．（3分）利用如图1的二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23+b×22+c×21+d×20，如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为0×23+1×22+0×21+1×20＝5，表示该生为5班学生．表示6班学生的识别图案是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据规定的运算法则分别计算出每个选项第一行的数即可作出判断．
【解答】解：A、第一行数字从左到右依次为1、0、1、0，序号为1×23+0×22+1×21+0×20＝10，不符合题意；
B、第一行数字从左到右依次为0，1，1，0，序号为0×23+1×22+1×21+0×20＝6，符合题意；
C、第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，序号为1×23+0×22+0×21+1×20＝9，不符合题意；
D、第一行数字从左到右依次为0，1，1，1，序号为0×23+1×22+1×21+1×20＝7，不符合题意；
故选：B．
9．（3分）如图，边长为的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，折痕DF交AC于点M，则OM的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】正方形ABCD边长为，得出EF＝BE＝2﹣，借助△DOM∽△DEF，对应边成比例即可求出OM的长．
【解答】解：∵正方形ABCD边长为，
∴AC⊥BD，OC＝OD＝1，
由折叠知：DE＝CD＝，∠DEF＝∠DCF＝90°，
∴，
∵∠DBF＝45°，
∴EF＝BE＝2﹣，
∵AM∥EF，
∴△DOM∽△DEF，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
10．（3分）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，∠BOC＝60°，AD＝3，动点P从点A出发，沿折线AD﹣DO以每秒1个单位长的速度运动到点O停止．设运动时间为x秒，y＝S△POC，则y与x的函数关系大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】如图：根据矩形的性质，∠BOC＝60°，AD＝3可得OD＝OA＝AD，再根据直角三角形的性质，可得OF、OE、CG的长，S△POC要分类讨论，当0≤x＜3时，y＝S△POC＝S△ACD﹣S△APO﹣S△PDC，可得y与x的函数关系，当3＜x≤6时，y＝S△POC，可得y与x的函数关系．
【解答】解：作OE⊥DC，作OF⊥AD，作CG⊥DB，
∵矩形ABCD，AD＝3，
∴BC＝3，
∵矩形ABCD的对角线交于点O，∠BOC＝60°，
∴△BOC是等边三角形，OB＝OC＝BC＝3，
∵△BOC≌△AOD，
∴∠ADO＝∠AOD＝60°，DO＝AO＝3，
在Rt△OAF中，∠AOF＝30°，OA＝3，AF＝，
∴由勾股定理得OF＝，
在Rt△DOE中，∠ODE＝30°，OD＝3，
∴OE＝，
由勾股定理得DE＝，
∴DC＝2DE＝3，
在Rt△DCG中，∠CDG＝30°，DC＝3，
∴CG＝，
当0≤x＜3时，y＝S△POC＝S△ACD﹣S△APO﹣S△PDC
＝×3×﹣וx﹣×（3﹣x）
＝x，
即y是x的正比例函数，
当3＜x≤6时，y＝S△POC＝（6﹣x）•，
即y是x的一次函数，
故选：A．
二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）
11．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≥﹣ ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，2x+5≥0，
解得x≥﹣．
故答案为：x≥﹣．
12．（3分）在一个不透明的盒子中，装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为，则该盒子中装有黄色乒乓球的个数是 6 ．
【分析】直接利用摸到黄色乒乓球的概率为，利用总数乘以概率即可得出该盒子中装有黄色乒乓球的个数．
【解答】解：∵装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为，
∴该盒子中装有黄色乒乓球的个数是：16×＝6．
故答案为：6．
13．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B、D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AD＝DE＝1，则EC的长度是 ．
【分析】利用基本作图得到CE⊥AB，且BE＝DE，由AD＝DE＝1再根据等腰三角形的性质得到AC＝3，然后利用勾股定理计算EC的长．
【解答】解：由作图可知：CE⊥AB，且BE＝DE，
∵AD＝DE＝1，
∴BE＝1，AE＝2，
∴AC＝AB＝3，
在Rt△ACE中，EC＝．
14．（3分）如图，在菱形ABCD中，BC＝4，∠ADC＝120°，以A为圆心，AD为半径画弧，交AC于点E，过点E作EF∥AB交AD于点F，则阴影部分的面积为 ﹣ ．（结果保留根号与π）
【分析】过F作FH⊥AC于H，根据菱形的性质和已知条件得出∠DAC＝∠BAC，DC∥AB，AB＝BC＝4，求出∠DAC＝∠BAC＝30°，求出AE＝4，解直角三角形求出FH，再根据阴影部分的面积S＝S扇形DAE﹣S△FAE求出答案即可．
【解答】解：过F作FH⊥AC于H，
∵四边形ABCD是菱形，BC＝4，
∴∠DAC＝∠BAC，DC∥AB，AB＝BC＝4，
∴∠ADC+∠DAB＝180°，
∵∠ADC＝120°，
∴∠DAB＝60°，
∴∠DAC＝∠BAC＝30°，
∵以A为圆心，AD为半径画弧，交AC于点E，AB＝4，
∴AE＝4，
∵EF∥AB，
∴∠FEA＝∠BAC，
∵∠DAC＝∠BAC，
∴∠DAC＝∠FEA，
∴AF＝EF，
∵FH⊥AE，AE＝4，
∴AH＝EH＝2，
∵∠DAC＝30°，∠AHF＝90°，
∴AF＝2EF，
∴（2EF）2＝EF2+22，
解得：EF＝，
∴阴影部分的面积S＝S扇形DAE﹣S△FAE
＝﹣
＝﹣，
故答案为：﹣．
15．（3分）下列命题正确的是 ③④ ．（请直接填写序号）
①平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形；
②的算术平方根是6；
③三角形的内心到这个三角形三条边的距离相等；
④若甲数据的方差S甲2＝0.05，乙数据的方差S乙2＝0.1，则甲数据比乙数据稳定；
⑤如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是六边形．
【分析】利用平行四边形的对称性、算术平方根的定义、三角形的内心的性质、方差的意义及多边形的内角和定理分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，故错误，不符合题意；
②的算术平方根是，故错误，不符合题意；
③三角形的内心到这个三角形三条边的距离相等，正确，符合题意；
④若甲数据的方差S甲2＝0.05，乙数据的方差S乙2＝0.1，则甲数据比乙数据稳定，正确，符合题意；
⑤如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是八边形，故原命题错误，不符合题意，
故答案为：③④．
16．（3分）如图，平面直角坐标系中，已知A点坐标（0，1），反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与直线y＝x相交于点B，P是x轴的动点，如果PA+PB的最小值是5，那么k的值是 3 ．
【分析】首先解直线y＝x与反比例函数解析式组成的方程组，求得B的坐标，然后求得A关于x轴的对称点坐标，PA+PB的最小值就是A的对称点与B之间的距离，据此列方程求得k的值．
【解答】解：根据题意得：，
解得或（舍去），则B的坐标是（k，k）．
A关于x轴的对称点是（0，﹣1）．
则根据题意得k2+（k+1）2＝52，
解得：k＝3或﹣4（舍去）．
故答案是：3．
三.解答题（本大题共8题,共72分,解答时写出必要的文字说明,演算步骤或推证过程）
17．（9分）（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中x的值从不等式组的整数解中选取．
【分析】（1）根据零指数幂、特殊角的三角函数值、算术平方根、去绝对值的方法可以解答本题；
（2）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后求出的整数解，再将使得原分式有意义的整数值代入化简后的式子即可．
【解答】解：（1）
＝1+4×﹣2+3﹣
＝1+2﹣2+3﹣
＝4﹣；
（2）
＝
＝，
由，得﹣2≤x＜，
∴x可以取的整数时﹣2，﹣1，0，
∵x＝﹣1或﹣2时，原分式无意义，
∴x＝0，
当x＝0时，原式＝＝1．
18．（9分）据某知名网站调查，2020年网民们最关注的热点话题分别有：消费、教育、环保、反腐及其他共五类．根据调查的部分相关数据，绘制的统计图表如图．
根据所给信息解答下列问题：
（1）求调查的总人数，并补全条形统计图，并在图中标明相应数据；
（2）求出扇形统计图中“环保”对应的圆心角的度数；
（3）在这次调查中，某单位共有甲、乙、丙、丁四人最关注教育问题，现准备从这四人中随机抽取两人进行座谈，试用列表或树形图的方法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．
【分析】（1）根据消费类人数及其所占百分比求出总人数，总人数乘以教育类对应百分比求出其人数即可补全图形；
（2）用360°乘以关注环保问题的人数所占百分比即可得出答案；
（3）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）调查的总人数是：420÷30%＝1400（万人），
关注教育的人数是：1400×25%＝350（万人）．
补全统计图如下：
（2）扇形统计图中“环保”对应的圆心角的度数是360°×10%＝36°；
（3）画树形图得：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中抽取的两人恰好是甲和乙的有2种结果，
所以抽取的两人恰好是甲和乙的概率为＝．
19．（6分）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，AB⊥BC于点B，底座BC＝1.3米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝60°，点H在支架AF上，篮板底部支架EH∥BC．EF⊥EH于点E，已知AH＝米，HF＝米，HE＝1米．
（1）求篮板底部支架HE与支架AF所成的∠FHE的度数．
（2）求篮板底部点E到地面的距离，（精确到0.01米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）
【分析】（1）由cos∠FHE＝＝可得答案；
（2）延长FE交CB的延长线于M，过点A作AG⊥FM于G，过点H作HN⊥AG于N，据此知GM＝AB，HN＝EG，Rt△ABC中，求得AB＝BCtan60°＝1.3；Rt△ANH中，求得HN＝AHsin45°＝；根据EM＝EG+GM可得答案．
【解答】解：（1）在Rt△EFH中，cos∠FHE＝＝＝，
∴∠FHE＝45°．
答：篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为45°；
（2）延长FE交CB的延长线于M，过点A作AG⊥FM于G，过点H作HN⊥AG于N，
则四边形ABMG和四边形HNGE是矩形，
∴GM＝AB，HN＝EG，
在Rt△ABC中，∵tan∠ACB＝，
∴AB＝BCtan60°＝1.3×＝1.3（米），
∴GM＝AB＝1.3（米），
在Rt△ANH中，∠FAN＝∠FHE＝45°，
∴HN＝AHsin45°＝×＝（米），
∴EM＝EG+GM＝+1.3≈2.75（米）．
答：篮板底部点E到地面的距离大约是2.75米．
20．（8分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2），过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N．
（1）求直线DE的解析式和点M的坐标；
（2）若反比例函数y＝的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；
（3）若反比例函数y＝（x＞0）的图象与△MNB有公共点，请直接写出k的取值范围；
（4）若将△MNB放置于平面直角坐标系中：使斜边在横轴上，直角顶点B在反比例函数y＝的图象上，试求出N点的坐标．
【分析】（1）设直线DE的解析式是y＝kx+b，把D、E的坐标代入即可求出直线的解析式，把y＝2代入即可求出M的坐标．
（2）把M的坐标代入反比例函数解析式求出即可，把x＝4代入直线的解析式即可求出N的坐标．
（3）求出反比例函数的图象过B点的k值，即可求出答案．
（4）求出直角三角形MBN的斜边上的高BL，根据相似求出LN，即可求出N的坐标．
【解答】解：（1）设直线DE的解析式是y＝kx+b，
把D、E的坐标代入得：，
解得：k＝﹣，b＝3，
∴直线DE的解析式是：y＝﹣x+3，
∵矩形AOCB，B（4，2），
∴把y＝2代入y＝﹣x+3得：x＝2，
∴M的坐标是（2，2）．
（2）把M（2，2）代入y＝得：k＝4，
即反比例函数的解析式是y＝，
∵B（4，2），
∴把x＝4代入y＝﹣x+3得：y＝1，
∴N的坐标是（4，1），
把N的坐标代入y＝得：左边＝4，右边＝4，左边＝右边，
即点N在反比例函数的图象上．
（3）把B（4，2）代入y＝得：k＝8，
∵反比例函数y＝过M、N点，
∴若反比例函数y＝（x＞0）的图象与△MNB有公共点，k的取值范围是4≤k≤8．
（4）过B作BL⊥MN于L，
在△MNB中，BM＝4﹣2＝2，BN＝2﹣1＝1，
由勾股定理得：NM＝＝，
S△MNB＝BM×BN＝MN×BL，
∴2×1＝×BL，
∴BL＝，
如图所示：
∵直角顶点B在反比例函数图象上，
∴B的纵坐标是，代入y＝得：横坐标是2，
∴OL＝2，
∵△MNB是直角三角形，BL⊥MN于L，
∴△BLN∽△MBN，
∴＝，
∴＝，
∴LN＝，
∴ON＝OL+LN＝2+＝或ON＝OL﹣LN＝2﹣＝（此时N在M的左边），
∴N的坐标是（，0）或（，0）．
21．（9分）如图，在⊙O中，半径OD⊥直径AB，CD与⊙O相切于点D，连接AC交⊙O于点E，交OD于点G，连接CB并延长交⊙于点F，连接AD，EF．
（1）求证：∠ACD＝∠F；
（2）若tan∠F＝
①求证：四边形ABCD是平行四边形；
②连接DE，当⊙O的半径为3时，求DE的长．
【分析】（1）先利用切线的性质得到OD⊥CD，再证明AB∥CD，然后利用平行线的性质和圆周角定理得到结论；
（2）①设⊙O的半径为r，利用正切的定义得到OG＝r，则DG＝r，则CD＝3DG＝2r，然后根据平行线的判定得到结论；
②作直径DH，连接HE，如图，先计算出AG＝，CG＝2，再证明△CDE∽△CAD，然后利用相似比计算DE的长．
【解答】（1）证明：∵CD与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CD，
∵半径OD⊥直径AB，
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠CAB，
∵∠EAB＝∠F，
∴∠ACD＝∠F；
（2）①证明：∵∠ACD＝∠CAB＝∠F，
∴tan∠GCD＝tan∠GAO＝tan∠F＝，
设⊙O的半径为r，
在Rt△AOG中，tan∠GAO＝＝，
∴OG＝r，
∴DG＝r﹣r＝r，
在Rt△DGC中，tan∠DCG＝＝，
∴CD＝3DG＝2r，
∴DC＝AB，
而DC∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
②延长DO交⊙O于点H，连接HE，如图，OG＝1，AG＝＝，
CD＝6，DG＝2，CG＝＝2，
∵DH为直径，
∴∠HED＝90°，
∴∠H+∠HDE＝90°，
∵DH⊥DC，
∴∠CDE+∠HDE＝90°，
∴∠H＝∠CDE，
∵∠H＝∠DAE，
∴∠CDE＝∠DAC，
而∠DCE＝∠ACD，
∴△CDE∽△CAD，
∴＝，即＝，
∴DE＝．
22．（8分）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数且x≤80），每月的销售量为y条．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）设该店每月所获利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月所获利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从出售的每条裤子中捐出5元资助贫困学生．总捐款额不低于750元，求捐款后每月最大利润．
【分析】（1）直接利用销售单价每降1元，则每月可多销售5条得出y与x的函数关系式；
（2）利用销量×每件利润＝总利润进而得出函数关系式，根据二次函数的性质求出最值；
（3）根据x为正整数且x≤80和总捐款额不低于750元确定x的取值范围，再根据二次函数的性质即可得到答案．
【解答】解：（1）由题意可得：y＝100+5（80﹣x），
整理得 y＝﹣5x+500（x为正整数且x≤80）；
（2）由题意，得：
w＝（x﹣40）（﹣5x+500）
＝﹣5x2+700x﹣20000
＝﹣5（x﹣70）2+4500，
∵a＝﹣5＜0，
∴w有最大值，
即当x＝70时，w最大值＝4500，
∴应降价80﹣70＝10（元），
答：当降价10元时，每月获得最大利润为4500元；
（3）由题意，得：w＝（x﹣40﹣5）（﹣5x+500）
＝﹣5（x﹣72.5）2+3781.25，
由题意得，
解得x≤70，
∵﹣5＜0，
∴x＞72.5时，w随x的增大而减小，
∴x＝70时，w最大值＝﹣5（x﹣72.5）2+3781.25＝3750，
答：捐款后每月最大利润是3750元．
23．（11分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x＝1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．
【分析】方法一：
（1）先把C（0，4）代入y＝ax2+bx+c，得出c＝4①，再由抛物线的对称轴x＝﹣＝1，得到b＝﹣2a②，抛物线过点A（﹣2，0），得到0＝4a﹣2b+c③，然后由①②③可解得，a＝﹣，b＝1，c＝4，即可求出抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；
（2）假设存在满足条件的点F，连接BF、CF、OF，过点F作FH⊥x轴于点H，FG⊥y轴于点G．设点F的坐标为（t，﹣t2+t+4），则FH＝﹣t2+t+4，FG＝t，先根据三角形的面积公式求出S△OBF＝OB•FH＝﹣t2+2t+8，S△OFC＝OC•FG＝2t，再由S四边形ABFC＝S△AOC+S△OBF+S△OFC，得到S四边形ABFC＝﹣t2+4t+12．令﹣t2+4t+12＝17，即t2﹣4t+5＝0，由△＝（﹣4）2﹣4×5＝﹣4＜0，得出方程t2﹣4t+5＝0无解，即不存在满足条件的点F；
（3）先运用待定系数法求出直线BC的解析式为y＝﹣x+4，再求出抛物线y＝﹣x2+x+4的顶点D（1，），由点E在直线BC上，得到点E（1，3），于是DE＝﹣3＝．若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，因为DE∥PQ，只须DE＝PQ，设点P的坐标是（m，﹣m+4），则点Q的坐标是（m，﹣m2+m+4）．分两种情况进行讨论：①当0＜m＜4时，PQ＝（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，解方程﹣m2+2m＝，求出m的值，得到P1（3，1）；②当m＜0或m＞4时，PQ＝（﹣m+4）﹣（﹣m2+m+4）＝m2﹣2m，解方程m2﹣2m＝，求出m的值，得到P2（2+，2﹣），P3（2﹣，2+）．
方法二：
（1）略．
（2）利用水平底与铅垂高乘积的一半，可求出△BCF的面积函数，进而求出点F坐标，因为，所以无解．
（3）因为PQ∥DE，所以只需PQ＝AC即可，求出PQ的参数长度便可列式求解．
【解答】方法一：
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点C（0，4），
∴c＝4 ①．
∵对称轴x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a②．
∵抛物线过点A（﹣2，0），
∴0＝4a﹣2b+c③，
由①②③解得，a＝﹣，b＝1，c＝4，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；
（2）假设存在满足条件的点F，如图所示，连接BF、CF、OF，过点F作FH⊥x轴于点H，FG⊥y轴于点G．
设点F的坐标为（t，﹣t2+t+4），其中0＜t＜4，
则FH＝﹣t2+t+4，FG＝t，
∴S△OBF＝OB•FH＝×4×（﹣t2+t+4）＝﹣t2+2t+8，
S△OFC＝OC•FG＝×4×t＝2t，
∴S四边形ABFC＝S△AOC+S△OBF+S△OFC＝4﹣t2+2t+8+2t＝﹣t2+4t+12．
令﹣t2+4t+12＝17，
即t2﹣4t+5＝0，
则△＝（﹣4）2﹣4×5＝﹣4＜0，
∴方程t2﹣4t+5＝0无解，
故不存在满足条件的点F；
（3）设直线BC的解析式为y＝kx+n（k≠0），
∵B（4，0），C（0，4），
∴，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4．
由y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣1）2+，
∴顶点D（1，），
又点E在直线BC上，则点E（1，3），
于是DE＝﹣3＝．
若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，因为DE∥PQ，只须DE＝PQ，
设点P的坐标是（m，﹣m+4），则点Q的坐标是（m，﹣m2+m+4）．
①当0＜m＜4时，PQ＝（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，
由﹣m2+2m＝，
解得：m＝1或3．
当m＝1时，线段PQ与DE重合，m＝1舍去，
∴m＝3，P1（3，1）．
②当m＜0或m＞4时，PQ＝（﹣m+4）﹣（﹣m2+m+4）＝m2﹣2m，
由m2﹣2m＝，
解得m＝2±，经检验适合题意，
此时P2（2+，2﹣），P3（2﹣，2+）．
综上所述，满足题意的点P有三个，分别是P1（3，1），P2（2+，2﹣），P3（2﹣，2+）．
方法二：
（1）略．
（2）∵B（4，0），C（0，4），
∴lBC：y＝﹣x+4，
过F点作x轴垂线，交BC于H，设F（t，﹣t2+t+4），
∴H（t，﹣t+4），
∵S四边形ABFC＝S△ABC+S△BCF＝17，
∴（4+2）×4+（﹣t2+t+4+t﹣4）×4＝17，
∴t2﹣4t+5＝0，
∴△＝（﹣4）2﹣4×5＜0，
∴方程t2﹣4t+5＝0无解，故不存在满足条件的点F．
（3）∵DE∥PQ，
∴当DE＝PQ时，以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，
∵y＝﹣x2+x+4，
∴D（1，），
∵lBC：y＝﹣x+4，
∴E（1，3），
∴DE＝﹣3＝，
设点F的坐标是（m，﹣m+4），则点Q的坐标是（m，﹣m2+m+4），
∴|﹣m+4+m2﹣m﹣4|＝，
∴m2﹣2m＝或m2﹣2m＝﹣，
∴m＝1，m＝3，m＝2+，m＝2﹣，
经检验，当m＝1时，线段PQ与DE重合，故舍去．
∴P1（3，1），P2（2+，2﹣），P3（2﹣，2+）．
24．（12分）【问题发现】如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B、C重合）将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BD与CE的数量关系是 BD＝CE ，位置关系是 BD⊥CE ；
【探究证明】如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，BD与CE具有怎样的位置关系，并说明理由；
【拓展延伸】如图3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，将△ACD绕顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角∠CAE为α（0°＜α＜360°），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段BE的长度．
【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答；
（2）连接BD，根据全等三角形的判定和性质以及垂直的定义即可得到结论；
（3）如图3，过A作AF⊥EC，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠BCE＝45°+45°＝90°，
故答案为：BD＝CE，BD⊥CE；
（2）BD⊥CE，
理由：如图2，连接BD，
∵在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠AEC＝45°，
∵∠CAB＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AC＝AB，AE＝AD，
∴△CEA≌△BDA（SAS），
∴∠BDA＝∠AEC＝45°，
∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°，
∴BD⊥CE；
（3）如图3，过A作AF⊥EC，由题意可知Rt△ABC∽Rt△AED，∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴＝，即，
∵∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴∠BAE＝∠CAD，
∴△BAE∽△CAD，
∴∠ABE＝∠ACD，
∵∠BEC＝180°﹣（∠CBE+∠BCE）＝180°﹣（∠CBA+∠ABE+∠BCE）＝180°﹣（∠CBA+∠ACD+∠BCE）＝90°，
∴BE⊥CE，
在Rt△BCD中，BC＝2CD＝4，
∴BD＝＝＝2，
∵AC⊥BD，
∴S△BCD＝AC•BD＝BC•AC，
∴AC＝AE＝，AD＝，
∴AF＝，CE＝2CF＝2×＝，
∴BE＝＝＝．
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