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2021年内蒙古鄂尔多斯市东胜区中考数学二模试卷 解析版
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这是一份2021年内蒙古鄂尔多斯市东胜区中考数学二模试卷 解析版，共30页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年内蒙古鄂尔多斯市东胜区中考数学二模试卷
一、单项选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）实数2的负倒数是（ ）
A． B．2 C． D．﹣2
2．（3分）世界上最小的动物是一种代号为h39的原生单细胞动物，最大直径长0.3微米，即0.000003米，只有在显微镜下才能看到．其中数字0.000003用科学记数法表示为（ ）
A．0.3×10﹣5 B．3×10﹣6 C．﹣3×105 D．3×10﹣5
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2ab+3ba＝5a2b2 B．（﹣2a2b）3＝﹣6a6b3
C．（a﹣b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2 D．2ab×3b2＝6ab3
4．（3分）如图是由几个大小相同的小正方体组合而成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的中线的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图，是小明绘制的他在一周内每天跑步圈数的折线统计图．下列结论正确的是（ ）
A．众数是9 B．中位数是8.5
C．平均数是9 D．方差是7
7．（3分）定义新运算：a⊕b＝，例如：3⊕5＝，3⊕（﹣5）＝﹣，则y＝3⊕x（x≠0）的图象是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
A．cm B．13cm C．cm D．cm
9．（3分）如图，已知所在圆的半径为4，弦AB长为，点C是上靠近点B的四等分点，将绕点A逆时针旋转120°后得到，则在该旋转过程中，线段CB扫过的面积是（ ）
A． B． C．π D．
10．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②a+b+c＝0；③ac+b+1＝0；④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2．其中正确的有（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）
11．（3分）计算：（）﹣1+|3﹣2|﹣2cos30°＝ ．
12．（3分）四张看上去无差别的卡片上分别印有正方形、正五边形、正六边形和圆，现将印有图形的一面朝下，混合均匀后从中随机抽取一张，则抽到的卡片上印有的图形是中心对称图形的概率为 ．
13．（3分）如图，△ABD内接于⊙O，∠ADB＝90°，∠ADB的角平分线DC交⊙O于C．若BD＝8，BC＝，则AD的长为 ．
14．（3分）下列命题中，是真命题的是 ．（填序号）
①代数式中x的取值范围是x≥；
②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③平面直角坐标系中，点P（4，2）关于y轴对称的点的坐标是（4，﹣2）；
④点A为直线a外一点，点B是直线a上一点，点A到直线a的距离为5，则线段AB的长度不小于5．
15．（3分）有一组数2、、、、……，则第n个数是 ．
16．（3分）如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，若AB＝，则AP+BP+DP的最小值为 ．
三、解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）（1）解不等式组，并把解集表示在数轴上．
（2）先化简，再求值：，其中x的值是一元二次方程x2+x﹣6＝0的解．
18．（8分）某校1800名学生参加“珍爱生命，远离毒品”为主题的知识竞赛活动．为了了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从中抽取了若干名学生的得分进行统计，制成如下的频数分布表和直方图．
成绩x（分）
频数
50≤x＜60
5
0.025
60≤x＜70
16
0.08
70≤x＜80
a
0.225
80≤x＜90
62
b
90≤x＜100
72
0.36
请你根据不完整的表格，回答下列问题：
（1）请直接写出a，b的值，并补全频数分布直方图；
（2）若得分等级为50≤x＜60的5名学生中，有3名男生和2名女生，现在要从5名学生中任选2名学生进行再教育，请用树状图或列表法求被选中的两名学生恰好为同一性别的概率．
19．（6分）某校一初三学生在学习了“锐角三角函数”的应用后，来到“孔子圣像”的雕像前，如图，想要用所学知识解决“孔子圣像”雕像AB的高度，他在雕像前C处用自制测角仪测得顶端A的仰角为60°，底端B的俯角为45°；又在同一水平线上的E处用自制测角仪测得顶端A的仰角为30°，已知DE＝6m，求雕像AB的高度．（结果保留根号）
20．（9分）如图，一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2＝的图象相交于A（1，4），B（4，1）两点，连接AO并延长AO交反比例函数图象于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出y1＞y2的自变量x的取值范围；
（3）连接OB，将直线AB向下平移，得到直线OM．在直线OM上找一点N，使△OAB≌△CON，求出满足条件的N点的坐标．
21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，点E是的中点，过点E作ED⊥AC，交AC的延长线于点D．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若BF＝2，sin∠CAB＝，求DE的长．
22．（10分）鄂尔多斯旅游业的发展带动了当地的餐饮和住宿消费，某酒店房间实行淡、旺季两种价格标准收费，旺季每间的价格比淡季上涨．据统计，淡季时该酒店平均每天有10间房空余，每天总收入为4800元；旺季时所有房间能全部住满，每天总收入为8000元．
（1）该酒店共有房间多少间？淡季时每间房的日租金是多少元？
（2）经市场调查发现，旺季每个房间的价格每上涨10元，每天入住的房间就会减少1间，请写出每日房间的入住数y间与每个房间涨价x元的关系式；
（3）在（2）的条件下，不考虑其它因素，每个房间上涨多少元时，该酒店的日收入最高？最高收入是多少元？
23．（11分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，且点D是它的顶点，在y轴上有一点C（0，﹣1）．
（1）求出抛物线的解析式及直线AB的解析式；
（2）点E在直线AB上运动，若△BCE是等腰三角形时，求点E的坐标；
（3）设点N是抛物线上一动点，若S△BDN＝S△BDO，求点N的坐标．
24．（12分）“隐圆”一般有如下呈现方式：定点定长定圆；定弦定角定圆．“隐圆”现身，“圆”来如此简单．
【小试牛刀】如图1，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠CAD＝70°，则∠DBC＝ 度．
【大显身手】如图2，△ACD是等腰直角三角形，∠CAD＝90°，过点A的直线a与CD平行，点B是直线a上的一个动点，且∠CBE＝90°．
（1）如图①，当BE与AD的交点P在边AD上时，试判断BC，BP的数量关系是 ；
（2）如图②，当BE与AD的交点P在AD的延长线上时，上述结论是否成立，请说明理由；
（3）如图③，当BE与AD的交点P在DA的延长线上，且BP＝，AD＝8时，求AB的长．
2021年内蒙古鄂尔多斯市东胜区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）实数2的负倒数是（ ）
A． B．2 C． D．﹣2
【分析】根据负数和倒数的定义解决此题．
【解答】解：根据负数和倒数的定义，实数2的负倒数为．
故选：C．
2．（3分）世界上最小的动物是一种代号为h39的原生单细胞动物，最大直径长0.3微米，即0.000003米，只有在显微镜下才能看到．其中数字0.000003用科学记数法表示为（ ）
A．0.3×10﹣5 B．3×10﹣6 C．﹣3×105 D．3×10﹣5
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.000003＝3×10﹣6．
故选：B．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2ab+3ba＝5a2b2 B．（﹣2a2b）3＝﹣6a6b3
C．（a﹣b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2 D．2ab×3b2＝6ab3
【分析】根据合并同类项的方法可以判断A，根据积的乘方可以判断B，根据平方差公式可以判断C，根据单项式乘单项式可以判断D．
【解答】解：2ab+3ba＝5ab，故选项A不符合题意；
（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3，故选项B不符合题意；
（a﹣b）（﹣a﹣b）＝b2﹣a2，故选项C不符合题意；
2ab•3b2＝6ab3，故选项D符合题意；
故选：D．
4．（3分）如图是由几个大小相同的小正方体组合而成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方形数目分别为2，3，1，据此可得出图形，从而求解．
【解答】解：观察图形可知，该几何体的主视图为：，
故选：B．
5．（3分）下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的中线的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形的中线的定义判断即可．
【解答】解：观察图象可知，选项A中，BD＝CD，故线段AD是△ABC的中线；
选项B中，AD⊥BC，故线段AD是△ABC的高线；
选项C中，∠BAD＝∠CAD，故线段AD是△ABC的角平分线；
选项D中，AD⊥AB，不是△的任何一条线段；
故选：A．
6．（3分）如图，是小明绘制的他在一周内每天跑步圈数的折线统计图．下列结论正确的是（ ）
A．众数是9 B．中位数是8.5
C．平均数是9 D．方差是7
【分析】由折线图得到一周内每天跑步圈数的数据，计算这组数据的平均数、中位数、众数、方差，然后判断得结论．
【解答】解：A．数据10出现的次数最多，即众数是10，故本选项错误；
B．排序后的数据中，最中间的数据为9，即中位数为9，故本选项错误；
C．平均数为：（7+8+9+9+10+10+10）＝9，故本选项正确；
D．方差为[（7﹣9）2+（8﹣9）2+（9﹣9）2+（9﹣9）2+（10﹣9）2+（10﹣9）2+（10﹣9）2]＝，故本选项错误；
故选：C．
7．（3分）定义新运算：a⊕b＝，例如：3⊕5＝，3⊕（﹣5）＝﹣，则y＝3⊕x（x≠0）的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题目中的新定义，可以写出y＝2⊕x函数解析式，从而可以得到相应的函数图象，本题得以解决．
【解答】解：由题意得：y＝3⊕x＝，
当x＞0时，反比例函数y＝在第一象限，
当x＜0时，反比例函数y＝﹣在第二象限，
又因为反比例函数图象是双曲线，因此D选项符合．
故选：D．
8．（3分）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
A．cm B．13cm C．cm D．cm
【分析】将容器侧面展开，作出A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
【解答】解：如图：
∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，
∴A′D＝5（cm），BD＝12﹣3+AE＝12（cm），
∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B＝＝＝13（cm）．
故选：B．
9．（3分）如图，已知所在圆的半径为4，弦AB长为，点C是上靠近点B的四等分点，将绕点A逆时针旋转120°后得到，则在该旋转过程中，线段CB扫过的面积是（ ）
A． B． C．π D．
【分析】根据线段CB扫过的面积＝扇形BAB′的面积﹣扇形CAC′的面积求得即可．
【解答】解：设所在圆的圆心为O，连接OC、OA、OB、AC、AC′，作OD⊥AB于D，
∴AD＝BD＝AB＝2，
∵OA＝4，
∴sin∠AOD＝＝＝，
∴∠AOD＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵点C是上靠近点B的四等分点，
∴∠AOC＝90°，
∴AC＝＝＝4，
∴线段CB扫过的面积＝S扇形ABB′﹣S扇形ACC′＝﹣＝16π﹣π＝π，
故选：B．
10．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②a+b+c＝0；③ac+b+1＝0；④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2．其中正确的有（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
【分析】利用抛物线开口方向得到a＜0，利用对称轴方程得到b＝﹣2a＞0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，则可对①进行判断；利用对称性可判断点B在（2，0）的右侧，则当x＝2时，4a+2b+c＞0，则可对②进行判断；利用C（0，c），OA＝OC得到A（﹣c，0），把A（﹣c，0）代入抛物线解析式可对③进行判断；根据P、Q到对称轴的距离可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵点A到直线x＝1的距离大于1，
∴点B到直线x＝1的距离大于1，
即点B在（2，0）的右侧，
∴当x＝2时，y＞0，
即4a+2b+c＞0，
∴a+b+c＞0，所以②错误；
∵C（0，c），OA＝OC，
∴A（﹣c，0），
∴ac2﹣bc+c＝0，即ac﹣b+1＝0，所以③错误；
若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，
∴＞1，
∴点P（x1，y1）到对称轴的距离小于点Q（x2，y2）到对称轴的距离，
∴y1＞y2，所以④正确．
故选：C．
二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）
11．（3分）计算：（）﹣1+|3﹣2|﹣2cos30°＝ ．
【分析】直接利用绝对值的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简，再利用实数的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝3+2﹣3﹣2×
＝3+2﹣3﹣
＝．
故答案为：．
12．（3分）四张看上去无差别的卡片上分别印有正方形、正五边形、正六边形和圆，现将印有图形的一面朝下，混合均匀后从中随机抽取一张，则抽到的卡片上印有的图形是中心对称图形的概率为 ．
【分析】混合均匀后从中随机抽取一张共有4种等可能结果，其中抽到的卡片上印有的图形是中心对称图形的有正方形、正六边形和圆这3种结果，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：将印有图形的一面朝下，混合均匀后从中随机抽取一张共有4种等可能结果，其中抽到的卡片上印有的图形是中心对称图形的有正方形、正六边形和圆这3种结果，
所以抽到的卡片上印有的图形是中心对称图形的概率为，
故答案为：．
13．（3分）如图，△ABD内接于⊙O，∠ADB＝90°，∠ADB的角平分线DC交⊙O于C．若BD＝8，BC＝，则AD的长为 6 ．
【分析】连接AC，根据圆周角定理得到AB为⊙O的直径，求得∠ACB＝90°，根据角平分线的定义得到∠ADC＝∠BDC，得到AC＝BC＝5，求得AB＝AC＝10，根据勾股定理即可得到答案．
【解答】解：连接AC，
∵∠ADB＝90°，
∴AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CD平分∠ADB，
∴∠ADC＝∠BDC，
∴＝，
∴AC＝BC＝5，
∴AB＝AC＝10，
∵BD＝8，
∴AD＝＝6，
故答案为：6．
14．（3分）下列命题中，是真命题的是 ①④ ．（填序号）
①代数式中x的取值范围是x≥；
②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③平面直角坐标系中，点P（4，2）关于y轴对称的点的坐标是（4，﹣2）；
④点A为直线a外一点，点B是直线a上一点，点A到直线a的距离为5，则线段AB的长度不小于5．
【分析】利用二次根式、分式有意义的条件、平行线的判定、关于坐标轴对称的点的坐标特点及垂线段的性质分别判断后即可确定正确的答案．
【解答】解：①代数式中x的取值范围是x≥，正确，是真命题，符合题意；
②平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
③平面直角坐标系中，点P（4，2）关于y轴对称的点的坐标是（﹣4，2），故原命题错误，是假命题，不符合题意；
④点A为直线a外一点，点B是直线a上一点，点A到直线a的距离为5，则线段AB的长度不小于5，正确，是真命题，符合题意，
真命题由①④，
故答案为：①④．
15．（3分）有一组数2、、、、……，则第n个数是 ．
【分析】通过观察这组数是分数形式以及分子后一项总是前一项+6，将2改写为，可知分数的分子是4，10＝4+6，16＝4+6×2，22＝4+6×3，28＝4+6×4，...，4+6（n﹣1），分母是2＝20+1，3＝21+1，5＝22+1，9＝23+1，17＝24+1，...，2n﹣1+1，即可求出答案．
【解答】解：首先观察序列是个分数，分子后一项总是前一项+6，
∴将这组数改写为：、、、、、……，
分子是4，10＝4+6，16＝4+6×2，22＝4+6×3，28＝4+6×4，...，4+6（n﹣1）＝6n﹣2，
分母是2＝20+1，3＝21+1，5＝22+1，9＝23+1，17＝24+1，...，2n﹣1+1，
故答案为：．
16．（3分）如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，若AB＝，则AP+BP+DP的最小值为 2+2 ．
【分析】将△ABP绕点A顺时针旋转60°得△AB'P'，连接PP'，可得△APP'、△ABB'都是等边三角形，AP+BP+DP的最小值为DB'的长，利用勾股定理求出DB'的长即可．
【解答】解：将△ABP绕点A顺时针旋转60°得△AB'P'，连接PP'，
∴AP＝AP，AB＝AB'，∠PAP'＝∠BAB'，BP＝B'P'，
∴△APP'、△ABB'都是等边三角形，
∴AP＝PP'，
∴AP+BP+DP＝PP'+B'P'+PD，
∴AP+BP+DP的最小值为DB'的长，
过点B'作B'N⊥CD于N，交AB于M，
∴AM＝，
由勾股定理得B'M＝，
在Rt△B'DN中，DB'＝＝＝2+2，
∴AP+BP+DP的最小值为2+2，
故答案为：2+2．
三、解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）（1）解不等式组，并把解集表示在数轴上．
（2）先化简，再求值：，其中x的值是一元二次方程x2+x﹣6＝0的解．
【分析】（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集；
（2）先计算括号内分式的加法，再将除法转化为乘法，最后约分即可化简原式，继而根据方程的解的概念得出x2+x＝6，代入计算即可．
【解答】解：（1）解不等式3（x+2）≥2x+5，得：x≥﹣1，
解不等式＜，得：x＜3，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜3，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
（2）原式＝（+）÷
＝•
＝﹣x（x+1）
＝﹣x2﹣x，
∵x2+x﹣6＝0，
∴x2+x＝6，
则原式＝﹣（x2+x）＝﹣6．
18．（8分）某校1800名学生参加“珍爱生命，远离毒品”为主题的知识竞赛活动．为了了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从中抽取了若干名学生的得分进行统计，制成如下的频数分布表和直方图．
成绩x（分）
频数
50≤x＜60
5
0.025
60≤x＜70
16
0.08
70≤x＜80
a
0.225
80≤x＜90
62
b
90≤x＜100
72
0.36
请你根据不完整的表格，回答下列问题：
（1）请直接写出a，b的值，并补全频数分布直方图；
（2）若得分等级为50≤x＜60的5名学生中，有3名男生和2名女生，现在要从5名学生中任选2名学生进行再教育，请用树状图或列表法求被选中的两名学生恰好为同一性别的概率．
【分析】（1）由成绩为60≤x＜70的频数除以频率求出抽取的学生人数，即可解决问题；
（2）画树状图，共有20种等可能的结果，被选中的两名学生恰好为同一性别的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）抽取的学生人数为：16÷0.08＝200（人），
∴a＝200﹣5﹣16﹣62﹣72＝45，b＝62÷200＝0.31，
补全频数分布直方图如下：
（2）画树状图如下：
共有20种等可能的结果，被选中的两名学生恰好为同一性别的结果有8种，
∴被选中的两名学生恰好为同一性别的概率为＝．
19．（6分）某校一初三学生在学习了“锐角三角函数”的应用后，来到“孔子圣像”的雕像前，如图，想要用所学知识解决“孔子圣像”雕像AB的高度，他在雕像前C处用自制测角仪测得顶端A的仰角为60°，底端B的俯角为45°；又在同一水平线上的E处用自制测角仪测得顶端A的仰角为30°，已知DE＝6m，求雕像AB的高度．（结果保留根号）
【分析】设CD＝xm，解Rt△ACD与Rt△DCB，用含x的代数式表示出AD、DB，然后根据△ADE是含30度角的直角三角形列出方程，解方程即可求x的值，进而可得AB．
【解答】解：设CD＝xm，
∵∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，
∴AD＝x•tan60＝x（m），DB＝x•tan45°＝x（m），
∵∠AED＝30°，DE＝6m，
∴AD＝DE•tan30°＝6×＝2（m），
∴x＝2，
解得x＝2（m），
∴AB＝AD+DB＝x+x＝（2+2）m．
答：雕像AB的高度为（2+2）m．
20．（9分）如图，一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2＝的图象相交于A（1，4），B（4，1）两点，连接AO并延长AO交反比例函数图象于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出y1＞y2的自变量x的取值范围；
（3）连接OB，将直线AB向下平移，得到直线OM．在直线OM上找一点N，使△OAB≌△CON，求出满足条件的N点的坐标．
【分析】（1）将A（1，4），B（4，1）两点代入y＝ax+b，解方程组即可；
（2）观察图象即可得出答案；
（3）使△OAB≌△CON，只要ON＝AB，即可得出点N的坐标．
【解答】解：（1）将A（1，4），B（4，1）两点代入y＝ax+b，得：
，
解得：，
∴一次函数的解析式为：y＝﹣x+5，
将A（1，4）代入反比例函数y＝得：
∴k＝4，
∴反比例函数的解析式为：y＝；
（2）由图象可知，当y1＞y2时，自变量x的取值范围为：1＜x＜4；
（3）∵A（1，4），B（4，1），
∴AB＝，
∵AB∥OM，
∴∠COM＝∠OAB，
且直线OM的解析式为：y＝﹣x，
∵△OAB≌△CON，
∴ON＝AB＝3，
设N（m，﹣m），
∴m＝3，
∴m＝3，
∴N（3，﹣3）．
21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，点E是的中点，过点E作ED⊥AC，交AC的延长线于点D．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若BF＝2，sin∠CAB＝，求DE的长．
【分析】（1）连接OE，根据圆周角定理得到∠BAD＝∠CAD，根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠ODA，求得∠CAD＝∠ODA，得到OD∥AE，根据平行线的性质得到DE⊥OD，根据切线的判定定理得到DF是⊙O的切线；
（2）设EF＝4x，则OF＝5x，由锐角三角函数的定义可得出x＝1，求出DF，EF的长，则可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵D是的中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OE是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：∵AD∥OE，
∴∠CAB＝∠EOF，
∴tan∠CAB＝∠EOF＝＝，
设EF＝4x，则OF＝5x，
∴OE＝3x，
∵BF＝2，
∴，
∴x＝1，
∴AF＝AB+BF＝8，EF＝4，
∴，
∴DF＝，
∴DE＝DF﹣EF＝．
22．（10分）鄂尔多斯旅游业的发展带动了当地的餐饮和住宿消费，某酒店房间实行淡、旺季两种价格标准收费，旺季每间的价格比淡季上涨．据统计，淡季时该酒店平均每天有10间房空余，每天总收入为4800元；旺季时所有房间能全部住满，每天总收入为8000元．
（1）该酒店共有房间多少间？淡季时每间房的日租金是多少元？
（2）经市场调查发现，旺季每个房间的价格每上涨10元，每天入住的房间就会减少1间，请写出每日房间的入住数y间与每个房间涨价x元的关系式；
（3）在（2）的条件下，不考虑其它因素，每个房间上涨多少元时，该酒店的日收入最高？最高收入是多少元？
【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，进而求得该酒店房间数和淡季每间的价格；
（2）根据题意直接写出y与x的函数关系式；
（3）根据总收入＝每日入住房间数×房间的价格．列出函数关系式，再根据函数的性质求函数最值．
【解答】解：（1）设淡季每间的价格为a元，酒店房间有b间，
由题意，得：，
解得：，
答：该酒店有房间50间，淡季每间房的日租金是120元；
（2）设每个房间价格上涨x元，根据题意得，
y＝50﹣＝﹣x+50，
∴每日房间的入住数y间与每个房间涨价x元的关系式为y＝﹣x+50；
（3）设该酒店的每日总收入为w元，由题意得：
w＝（×120+x）（50﹣）＝﹣x2+34x+8000＝﹣（x﹣170）2+10890，
∵﹣＜0，
∴当x＝170时，y有最大值，最大值为10890，
∴每个房间上涨170元时，该酒店的日收入最高，最高收入是10890元．
23．（11分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，且点D是它的顶点，在y轴上有一点C（0，﹣1）．
（1）求出抛物线的解析式及直线AB的解析式；
（2）点E在直线AB上运动，若△BCE是等腰三角形时，求点E的坐标；
（3）设点N是抛物线上一动点，若S△BDN＝S△BDO，求点N的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法即可得出答案；
（2）先设出点E的坐标，然后分BC＝BE，BC＝EC，BE＝CE三种情况讨论即可；
（3）先求出直线BD的解析式，然后设出点N的坐标，过点N作NH平行x轴交BD于H点，根据三角形的面积公式即可得出答案．
【解答】解：（1）把A（﹣4，﹣4），B（0，4）代入抛物线的解析式，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+4，
设直线AB的解析式为y＝mx+n，把A（﹣4，﹣4），B（0，4）代入直线AB的解析式，
得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝2x+4；
（2）设E（x，2x+4），
若BC＝BE，
则（4﹣2x﹣4）2+（0﹣x）2＝52，
解得x＝或x＝，
∴E（﹣，）或（，2+4），
若BC＝EC，
则x2+（﹣1﹣2x﹣4）2＝52，
解得x＝﹣4或x＝0（舍），
∴E（﹣4，﹣4），
若BE＝CE，
则x2+（2x）2＝x2+（2x+5）2，
解得x＝﹣，
∴E（﹣，），
综上，E的坐标为（﹣，）或（，2+4）或（﹣4，﹣4）或（﹣，）；
（3）设点N的坐标为（a，﹣a2﹣2a+4），由（1）知D（﹣1，5），
∴，
∴，
∵点D（﹣1，5），B（0，4），
∴直线BD的解析式为y＝﹣x+4，
过点N作NH平行x轴，交BD于H，
则H（a2+2a，﹣a2﹣2a+4），
∴NH＝a2+a，
∴＝＝3，
解得a＝﹣3或a＝2，
当a＝﹣3时，﹣a2﹣2a+4＝1，
当a＝2时，﹣a2﹣2a+4＝﹣4，
∴N（﹣3，1）或（2，﹣4）．
24．（12分）“隐圆”一般有如下呈现方式：定点定长定圆；定弦定角定圆．“隐圆”现身，“圆”来如此简单．
【小试牛刀】如图1，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠CAD＝70°，则∠DBC＝ 35 度．
【大显身手】如图2，△ACD是等腰直角三角形，∠CAD＝90°，过点A的直线a与CD平行，点B是直线a上的一个动点，且∠CBE＝90°．
（1）如图①，当BE与AD的交点P在边AD上时，试判断BC，BP的数量关系是 BC＝BP ；
（2）如图②，当BE与AD的交点P在AD的延长线上时，上述结论是否成立，请说明理由；
（3）如图③，当BE与AD的交点P在DA的延长线上，且BP＝，AD＝8时，求AB的长．
【分析】【小试牛刀】根据AB＝AC＝AD，得点B、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上，再根据圆周角定理即可；
（1）根据∠CBP＝∠CAP＝90°，得点A、B、C、P在以CP为直径的圆上，则有∠BPC＝∠BAC＝45°，即可证明；
（2）由（1）同理可证∠BCP＝45°，从而证明结论；
（3）连接PC，取PC的中点O，连接OB，OA，作PH⊥AB于H，由（1）同理可证∠PCB＝∠BPC＝45°，得BC＝PB＝5，由△PAH是等腰直角三角形即可解决问题．
【解答】解：【小试牛刀】∵AB＝AC＝AD，
∴点B、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上，
∴∠DBC＝∠DAC＝70°＝35°，
故答案为：35；
（1）BC＝BP，理由如下：
∵a∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
∵△ACD是等腰直角三角形，
∴∠ACD＝45°，
∴∠BAC＝45°，
∵∠CBP＝∠CAP＝90°，
∴点A、B、C、P在以CP为直径的圆上，
∴∠BPC＝∠BAC＝45°，
∴△BCP是等腰直角三角形，
∴BC＝BP，
故答案为：BC＝BP；
（2）成立，理由如下：
如图②，连接PC，
同理可得：点A、B、C、P在以CP为直径的圆上，
∴∠BCP＝∠BAP，
∵a∥CD，
∴∠BAP＝∠ADC＝45°，
∴∠BCP＝45°，
∴△BCP是等腰直角三角形，
∴BC＝BP；
（3）如图③，连接PC，取PC的中点O，连接OB，OA，作PH⊥AB于H，
∵∠CBP＝∠CAP＝90°，OP＝OC，
∴OB＝OP＝OC＝OA，
∴A、C、B、P四点共圆，
∴∠BCP＝∠BAP，
∵AB∥CD，
∴∠BAP＝∠D＝45°，
∴∠PCB＝∠BPC＝45°，
∴BC＝PB＝5，
∴PC＝＝10，
∵AD＝AC＝8，
∴PA＝＝6，
∵∠PAH＝45°，∠PHA＝90°，
∴PH＝AH＝3，
在Rt△PBH中，
BH＝＝4，
∴AB＝BH+AH＝7．
2021年内蒙古鄂尔多斯市东胜区中考数学二模试卷
一、单项选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）实数2的负倒数是（ ）
A． B．2 C． D．﹣2
2．（3分）世界上最小的动物是一种代号为h39的原生单细胞动物，最大直径长0.3微米，即0.000003米，只有在显微镜下才能看到．其中数字0.000003用科学记数法表示为（ ）
A．0.3×10﹣5 B．3×10﹣6 C．﹣3×105 D．3×10﹣5
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2ab+3ba＝5a2b2 B．（﹣2a2b）3＝﹣6a6b3
C．（a﹣b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2 D．2ab×3b2＝6ab3
4．（3分）如图是由几个大小相同的小正方体组合而成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的中线的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图，是小明绘制的他在一周内每天跑步圈数的折线统计图．下列结论正确的是（ ）
A．众数是9 B．中位数是8.5
C．平均数是9 D．方差是7
7．（3分）定义新运算：a⊕b＝，例如：3⊕5＝，3⊕（﹣5）＝﹣，则y＝3⊕x（x≠0）的图象是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
A．cm B．13cm C．cm D．cm
9．（3分）如图，已知所在圆的半径为4，弦AB长为，点C是上靠近点B的四等分点，将绕点A逆时针旋转120°后得到，则在该旋转过程中，线段CB扫过的面积是（ ）
A． B． C．π D．
10．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②a+b+c＝0；③ac+b+1＝0；④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2．其中正确的有（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）
11．（3分）计算：（）﹣1+|3﹣2|﹣2cos30°＝ ．
12．（3分）四张看上去无差别的卡片上分别印有正方形、正五边形、正六边形和圆，现将印有图形的一面朝下，混合均匀后从中随机抽取一张，则抽到的卡片上印有的图形是中心对称图形的概率为 ．
13．（3分）如图，△ABD内接于⊙O，∠ADB＝90°，∠ADB的角平分线DC交⊙O于C．若BD＝8，BC＝，则AD的长为 ．
14．（3分）下列命题中，是真命题的是 ．（填序号）
①代数式中x的取值范围是x≥；
②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③平面直角坐标系中，点P（4，2）关于y轴对称的点的坐标是（4，﹣2）；
④点A为直线a外一点，点B是直线a上一点，点A到直线a的距离为5，则线段AB的长度不小于5．
15．（3分）有一组数2、、、、……，则第n个数是 ．
16．（3分）如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，若AB＝，则AP+BP+DP的最小值为 ．
三、解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）（1）解不等式组，并把解集表示在数轴上．
（2）先化简，再求值：，其中x的值是一元二次方程x2+x﹣6＝0的解．
18．（8分）某校1800名学生参加“珍爱生命，远离毒品”为主题的知识竞赛活动．为了了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从中抽取了若干名学生的得分进行统计，制成如下的频数分布表和直方图．
成绩x（分）
频数
50≤x＜60
5
0.025
60≤x＜70
16
0.08
70≤x＜80
a
0.225
80≤x＜90
62
b
90≤x＜100
72
0.36
请你根据不完整的表格，回答下列问题：
（1）请直接写出a，b的值，并补全频数分布直方图；
（2）若得分等级为50≤x＜60的5名学生中，有3名男生和2名女生，现在要从5名学生中任选2名学生进行再教育，请用树状图或列表法求被选中的两名学生恰好为同一性别的概率．
19．（6分）某校一初三学生在学习了“锐角三角函数”的应用后，来到“孔子圣像”的雕像前，如图，想要用所学知识解决“孔子圣像”雕像AB的高度，他在雕像前C处用自制测角仪测得顶端A的仰角为60°，底端B的俯角为45°；又在同一水平线上的E处用自制测角仪测得顶端A的仰角为30°，已知DE＝6m，求雕像AB的高度．（结果保留根号）
20．（9分）如图，一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2＝的图象相交于A（1，4），B（4，1）两点，连接AO并延长AO交反比例函数图象于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出y1＞y2的自变量x的取值范围；
（3）连接OB，将直线AB向下平移，得到直线OM．在直线OM上找一点N，使△OAB≌△CON，求出满足条件的N点的坐标．
21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，点E是的中点，过点E作ED⊥AC，交AC的延长线于点D．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若BF＝2，sin∠CAB＝，求DE的长．
22．（10分）鄂尔多斯旅游业的发展带动了当地的餐饮和住宿消费，某酒店房间实行淡、旺季两种价格标准收费，旺季每间的价格比淡季上涨．据统计，淡季时该酒店平均每天有10间房空余，每天总收入为4800元；旺季时所有房间能全部住满，每天总收入为8000元．
（1）该酒店共有房间多少间？淡季时每间房的日租金是多少元？
（2）经市场调查发现，旺季每个房间的价格每上涨10元，每天入住的房间就会减少1间，请写出每日房间的入住数y间与每个房间涨价x元的关系式；
（3）在（2）的条件下，不考虑其它因素，每个房间上涨多少元时，该酒店的日收入最高？最高收入是多少元？
23．（11分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，且点D是它的顶点，在y轴上有一点C（0，﹣1）．
（1）求出抛物线的解析式及直线AB的解析式；
（2）点E在直线AB上运动，若△BCE是等腰三角形时，求点E的坐标；
（3）设点N是抛物线上一动点，若S△BDN＝S△BDO，求点N的坐标．
24．（12分）“隐圆”一般有如下呈现方式：定点定长定圆；定弦定角定圆．“隐圆”现身，“圆”来如此简单．
【小试牛刀】如图1，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠CAD＝70°，则∠DBC＝ 度．
【大显身手】如图2，△ACD是等腰直角三角形，∠CAD＝90°，过点A的直线a与CD平行，点B是直线a上的一个动点，且∠CBE＝90°．
（1）如图①，当BE与AD的交点P在边AD上时，试判断BC，BP的数量关系是 ；
（2）如图②，当BE与AD的交点P在AD的延长线上时，上述结论是否成立，请说明理由；
（3）如图③，当BE与AD的交点P在DA的延长线上，且BP＝，AD＝8时，求AB的长．
2021年内蒙古鄂尔多斯市东胜区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）实数2的负倒数是（ ）
A． B．2 C． D．﹣2
【分析】根据负数和倒数的定义解决此题．
【解答】解：根据负数和倒数的定义，实数2的负倒数为．
故选：C．
2．（3分）世界上最小的动物是一种代号为h39的原生单细胞动物，最大直径长0.3微米，即0.000003米，只有在显微镜下才能看到．其中数字0.000003用科学记数法表示为（ ）
A．0.3×10﹣5 B．3×10﹣6 C．﹣3×105 D．3×10﹣5
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.000003＝3×10﹣6．
故选：B．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2ab+3ba＝5a2b2 B．（﹣2a2b）3＝﹣6a6b3
C．（a﹣b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2 D．2ab×3b2＝6ab3
【分析】根据合并同类项的方法可以判断A，根据积的乘方可以判断B，根据平方差公式可以判断C，根据单项式乘单项式可以判断D．
【解答】解：2ab+3ba＝5ab，故选项A不符合题意；
（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3，故选项B不符合题意；
（a﹣b）（﹣a﹣b）＝b2﹣a2，故选项C不符合题意；
2ab•3b2＝6ab3，故选项D符合题意；
故选：D．
4．（3分）如图是由几个大小相同的小正方体组合而成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方形数目分别为2，3，1，据此可得出图形，从而求解．
【解答】解：观察图形可知，该几何体的主视图为：，
故选：B．
5．（3分）下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的中线的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形的中线的定义判断即可．
【解答】解：观察图象可知，选项A中，BD＝CD，故线段AD是△ABC的中线；
选项B中，AD⊥BC，故线段AD是△ABC的高线；
选项C中，∠BAD＝∠CAD，故线段AD是△ABC的角平分线；
选项D中，AD⊥AB，不是△的任何一条线段；
故选：A．
6．（3分）如图，是小明绘制的他在一周内每天跑步圈数的折线统计图．下列结论正确的是（ ）
A．众数是9 B．中位数是8.5
C．平均数是9 D．方差是7
【分析】由折线图得到一周内每天跑步圈数的数据，计算这组数据的平均数、中位数、众数、方差，然后判断得结论．
【解答】解：A．数据10出现的次数最多，即众数是10，故本选项错误；
B．排序后的数据中，最中间的数据为9，即中位数为9，故本选项错误；
C．平均数为：（7+8+9+9+10+10+10）＝9，故本选项正确；
D．方差为[（7﹣9）2+（8﹣9）2+（9﹣9）2+（9﹣9）2+（10﹣9）2+（10﹣9）2+（10﹣9）2]＝，故本选项错误；
故选：C．
7．（3分）定义新运算：a⊕b＝，例如：3⊕5＝，3⊕（﹣5）＝﹣，则y＝3⊕x（x≠0）的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题目中的新定义，可以写出y＝2⊕x函数解析式，从而可以得到相应的函数图象，本题得以解决．
【解答】解：由题意得：y＝3⊕x＝，
当x＞0时，反比例函数y＝在第一象限，
当x＜0时，反比例函数y＝﹣在第二象限，
又因为反比例函数图象是双曲线，因此D选项符合．
故选：D．
8．（3分）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
A．cm B．13cm C．cm D．cm
【分析】将容器侧面展开，作出A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
【解答】解：如图：
∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，
∴A′D＝5（cm），BD＝12﹣3+AE＝12（cm），
∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B＝＝＝13（cm）．
故选：B．
9．（3分）如图，已知所在圆的半径为4，弦AB长为，点C是上靠近点B的四等分点，将绕点A逆时针旋转120°后得到，则在该旋转过程中，线段CB扫过的面积是（ ）
A． B． C．π D．
【分析】根据线段CB扫过的面积＝扇形BAB′的面积﹣扇形CAC′的面积求得即可．
【解答】解：设所在圆的圆心为O，连接OC、OA、OB、AC、AC′，作OD⊥AB于D，
∴AD＝BD＝AB＝2，
∵OA＝4，
∴sin∠AOD＝＝＝，
∴∠AOD＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵点C是上靠近点B的四等分点，
∴∠AOC＝90°，
∴AC＝＝＝4，
∴线段CB扫过的面积＝S扇形ABB′﹣S扇形ACC′＝﹣＝16π﹣π＝π，
故选：B．
10．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②a+b+c＝0；③ac+b+1＝0；④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2．其中正确的有（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
【分析】利用抛物线开口方向得到a＜0，利用对称轴方程得到b＝﹣2a＞0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，则可对①进行判断；利用对称性可判断点B在（2，0）的右侧，则当x＝2时，4a+2b+c＞0，则可对②进行判断；利用C（0，c），OA＝OC得到A（﹣c，0），把A（﹣c，0）代入抛物线解析式可对③进行判断；根据P、Q到对称轴的距离可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵点A到直线x＝1的距离大于1，
∴点B到直线x＝1的距离大于1，
即点B在（2，0）的右侧，
∴当x＝2时，y＞0，
即4a+2b+c＞0，
∴a+b+c＞0，所以②错误；
∵C（0，c），OA＝OC，
∴A（﹣c，0），
∴ac2﹣bc+c＝0，即ac﹣b+1＝0，所以③错误；
若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，
∴＞1，
∴点P（x1，y1）到对称轴的距离小于点Q（x2，y2）到对称轴的距离，
∴y1＞y2，所以④正确．
故选：C．
二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）
11．（3分）计算：（）﹣1+|3﹣2|﹣2cos30°＝ ．
【分析】直接利用绝对值的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简，再利用实数的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝3+2﹣3﹣2×
＝3+2﹣3﹣
＝．
故答案为：．
12．（3分）四张看上去无差别的卡片上分别印有正方形、正五边形、正六边形和圆，现将印有图形的一面朝下，混合均匀后从中随机抽取一张，则抽到的卡片上印有的图形是中心对称图形的概率为 ．
【分析】混合均匀后从中随机抽取一张共有4种等可能结果，其中抽到的卡片上印有的图形是中心对称图形的有正方形、正六边形和圆这3种结果，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：将印有图形的一面朝下，混合均匀后从中随机抽取一张共有4种等可能结果，其中抽到的卡片上印有的图形是中心对称图形的有正方形、正六边形和圆这3种结果，
所以抽到的卡片上印有的图形是中心对称图形的概率为，
故答案为：．
13．（3分）如图，△ABD内接于⊙O，∠ADB＝90°，∠ADB的角平分线DC交⊙O于C．若BD＝8，BC＝，则AD的长为 6 ．
【分析】连接AC，根据圆周角定理得到AB为⊙O的直径，求得∠ACB＝90°，根据角平分线的定义得到∠ADC＝∠BDC，得到AC＝BC＝5，求得AB＝AC＝10，根据勾股定理即可得到答案．
【解答】解：连接AC，
∵∠ADB＝90°，
∴AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CD平分∠ADB，
∴∠ADC＝∠BDC，
∴＝，
∴AC＝BC＝5，
∴AB＝AC＝10，
∵BD＝8，
∴AD＝＝6，
故答案为：6．
14．（3分）下列命题中，是真命题的是 ①④ ．（填序号）
①代数式中x的取值范围是x≥；
②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③平面直角坐标系中，点P（4，2）关于y轴对称的点的坐标是（4，﹣2）；
④点A为直线a外一点，点B是直线a上一点，点A到直线a的距离为5，则线段AB的长度不小于5．
【分析】利用二次根式、分式有意义的条件、平行线的判定、关于坐标轴对称的点的坐标特点及垂线段的性质分别判断后即可确定正确的答案．
【解答】解：①代数式中x的取值范围是x≥，正确，是真命题，符合题意；
②平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
③平面直角坐标系中，点P（4，2）关于y轴对称的点的坐标是（﹣4，2），故原命题错误，是假命题，不符合题意；
④点A为直线a外一点，点B是直线a上一点，点A到直线a的距离为5，则线段AB的长度不小于5，正确，是真命题，符合题意，
真命题由①④，
故答案为：①④．
15．（3分）有一组数2、、、、……，则第n个数是 ．
【分析】通过观察这组数是分数形式以及分子后一项总是前一项+6，将2改写为，可知分数的分子是4，10＝4+6，16＝4+6×2，22＝4+6×3，28＝4+6×4，...，4+6（n﹣1），分母是2＝20+1，3＝21+1，5＝22+1，9＝23+1，17＝24+1，...，2n﹣1+1，即可求出答案．
【解答】解：首先观察序列是个分数，分子后一项总是前一项+6，
∴将这组数改写为：、、、、、……，
分子是4，10＝4+6，16＝4+6×2，22＝4+6×3，28＝4+6×4，...，4+6（n﹣1）＝6n﹣2，
分母是2＝20+1，3＝21+1，5＝22+1，9＝23+1，17＝24+1，...，2n﹣1+1，
故答案为：．
16．（3分）如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，若AB＝，则AP+BP+DP的最小值为 2+2 ．
【分析】将△ABP绕点A顺时针旋转60°得△AB'P'，连接PP'，可得△APP'、△ABB'都是等边三角形，AP+BP+DP的最小值为DB'的长，利用勾股定理求出DB'的长即可．
【解答】解：将△ABP绕点A顺时针旋转60°得△AB'P'，连接PP'，
∴AP＝AP，AB＝AB'，∠PAP'＝∠BAB'，BP＝B'P'，
∴△APP'、△ABB'都是等边三角形，
∴AP＝PP'，
∴AP+BP+DP＝PP'+B'P'+PD，
∴AP+BP+DP的最小值为DB'的长，
过点B'作B'N⊥CD于N，交AB于M，
∴AM＝，
由勾股定理得B'M＝，
在Rt△B'DN中，DB'＝＝＝2+2，
∴AP+BP+DP的最小值为2+2，
故答案为：2+2．
三、解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）（1）解不等式组，并把解集表示在数轴上．
（2）先化简，再求值：，其中x的值是一元二次方程x2+x﹣6＝0的解．
【分析】（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集；
（2）先计算括号内分式的加法，再将除法转化为乘法，最后约分即可化简原式，继而根据方程的解的概念得出x2+x＝6，代入计算即可．
【解答】解：（1）解不等式3（x+2）≥2x+5，得：x≥﹣1，
解不等式＜，得：x＜3，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜3，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
（2）原式＝（+）÷
＝•
＝﹣x（x+1）
＝﹣x2﹣x，
∵x2+x﹣6＝0，
∴x2+x＝6，
则原式＝﹣（x2+x）＝﹣6．
18．（8分）某校1800名学生参加“珍爱生命，远离毒品”为主题的知识竞赛活动．为了了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从中抽取了若干名学生的得分进行统计，制成如下的频数分布表和直方图．
成绩x（分）
频数
50≤x＜60
5
0.025
60≤x＜70
16
0.08
70≤x＜80
a
0.225
80≤x＜90
62
b
90≤x＜100
72
0.36
请你根据不完整的表格，回答下列问题：
（1）请直接写出a，b的值，并补全频数分布直方图；
（2）若得分等级为50≤x＜60的5名学生中，有3名男生和2名女生，现在要从5名学生中任选2名学生进行再教育，请用树状图或列表法求被选中的两名学生恰好为同一性别的概率．
【分析】（1）由成绩为60≤x＜70的频数除以频率求出抽取的学生人数，即可解决问题；
（2）画树状图，共有20种等可能的结果，被选中的两名学生恰好为同一性别的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）抽取的学生人数为：16÷0.08＝200（人），
∴a＝200﹣5﹣16﹣62﹣72＝45，b＝62÷200＝0.31，
补全频数分布直方图如下：
（2）画树状图如下：
共有20种等可能的结果，被选中的两名学生恰好为同一性别的结果有8种，
∴被选中的两名学生恰好为同一性别的概率为＝．
19．（6分）某校一初三学生在学习了“锐角三角函数”的应用后，来到“孔子圣像”的雕像前，如图，想要用所学知识解决“孔子圣像”雕像AB的高度，他在雕像前C处用自制测角仪测得顶端A的仰角为60°，底端B的俯角为45°；又在同一水平线上的E处用自制测角仪测得顶端A的仰角为30°，已知DE＝6m，求雕像AB的高度．（结果保留根号）
【分析】设CD＝xm，解Rt△ACD与Rt△DCB，用含x的代数式表示出AD、DB，然后根据△ADE是含30度角的直角三角形列出方程，解方程即可求x的值，进而可得AB．
【解答】解：设CD＝xm，
∵∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，
∴AD＝x•tan60＝x（m），DB＝x•tan45°＝x（m），
∵∠AED＝30°，DE＝6m，
∴AD＝DE•tan30°＝6×＝2（m），
∴x＝2，
解得x＝2（m），
∴AB＝AD+DB＝x+x＝（2+2）m．
答：雕像AB的高度为（2+2）m．
20．（9分）如图，一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2＝的图象相交于A（1，4），B（4，1）两点，连接AO并延长AO交反比例函数图象于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出y1＞y2的自变量x的取值范围；
（3）连接OB，将直线AB向下平移，得到直线OM．在直线OM上找一点N，使△OAB≌△CON，求出满足条件的N点的坐标．
【分析】（1）将A（1，4），B（4，1）两点代入y＝ax+b，解方程组即可；
（2）观察图象即可得出答案；
（3）使△OAB≌△CON，只要ON＝AB，即可得出点N的坐标．
【解答】解：（1）将A（1，4），B（4，1）两点代入y＝ax+b，得：
，
解得：，
∴一次函数的解析式为：y＝﹣x+5，
将A（1，4）代入反比例函数y＝得：
∴k＝4，
∴反比例函数的解析式为：y＝；
（2）由图象可知，当y1＞y2时，自变量x的取值范围为：1＜x＜4；
（3）∵A（1，4），B（4，1），
∴AB＝，
∵AB∥OM，
∴∠COM＝∠OAB，
且直线OM的解析式为：y＝﹣x，
∵△OAB≌△CON，
∴ON＝AB＝3，
设N（m，﹣m），
∴m＝3，
∴m＝3，
∴N（3，﹣3）．
21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，点E是的中点，过点E作ED⊥AC，交AC的延长线于点D．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若BF＝2，sin∠CAB＝，求DE的长．
【分析】（1）连接OE，根据圆周角定理得到∠BAD＝∠CAD，根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠ODA，求得∠CAD＝∠ODA，得到OD∥AE，根据平行线的性质得到DE⊥OD，根据切线的判定定理得到DF是⊙O的切线；
（2）设EF＝4x，则OF＝5x，由锐角三角函数的定义可得出x＝1，求出DF，EF的长，则可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵D是的中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OE是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：∵AD∥OE，
∴∠CAB＝∠EOF，
∴tan∠CAB＝∠EOF＝＝，
设EF＝4x，则OF＝5x，
∴OE＝3x，
∵BF＝2，
∴，
∴x＝1，
∴AF＝AB+BF＝8，EF＝4，
∴，
∴DF＝，
∴DE＝DF﹣EF＝．
22．（10分）鄂尔多斯旅游业的发展带动了当地的餐饮和住宿消费，某酒店房间实行淡、旺季两种价格标准收费，旺季每间的价格比淡季上涨．据统计，淡季时该酒店平均每天有10间房空余，每天总收入为4800元；旺季时所有房间能全部住满，每天总收入为8000元．
（1）该酒店共有房间多少间？淡季时每间房的日租金是多少元？
（2）经市场调查发现，旺季每个房间的价格每上涨10元，每天入住的房间就会减少1间，请写出每日房间的入住数y间与每个房间涨价x元的关系式；
（3）在（2）的条件下，不考虑其它因素，每个房间上涨多少元时，该酒店的日收入最高？最高收入是多少元？
【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，进而求得该酒店房间数和淡季每间的价格；
（2）根据题意直接写出y与x的函数关系式；
（3）根据总收入＝每日入住房间数×房间的价格．列出函数关系式，再根据函数的性质求函数最值．
【解答】解：（1）设淡季每间的价格为a元，酒店房间有b间，
由题意，得：，
解得：，
答：该酒店有房间50间，淡季每间房的日租金是120元；
（2）设每个房间价格上涨x元，根据题意得，
y＝50﹣＝﹣x+50，
∴每日房间的入住数y间与每个房间涨价x元的关系式为y＝﹣x+50；
（3）设该酒店的每日总收入为w元，由题意得：
w＝（×120+x）（50﹣）＝﹣x2+34x+8000＝﹣（x﹣170）2+10890，
∵﹣＜0，
∴当x＝170时，y有最大值，最大值为10890，
∴每个房间上涨170元时，该酒店的日收入最高，最高收入是10890元．
23．（11分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，且点D是它的顶点，在y轴上有一点C（0，﹣1）．
（1）求出抛物线的解析式及直线AB的解析式；
（2）点E在直线AB上运动，若△BCE是等腰三角形时，求点E的坐标；
（3）设点N是抛物线上一动点，若S△BDN＝S△BDO，求点N的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法即可得出答案；
（2）先设出点E的坐标，然后分BC＝BE，BC＝EC，BE＝CE三种情况讨论即可；
（3）先求出直线BD的解析式，然后设出点N的坐标，过点N作NH平行x轴交BD于H点，根据三角形的面积公式即可得出答案．
【解答】解：（1）把A（﹣4，﹣4），B（0，4）代入抛物线的解析式，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+4，
设直线AB的解析式为y＝mx+n，把A（﹣4，﹣4），B（0，4）代入直线AB的解析式，
得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝2x+4；
（2）设E（x，2x+4），
若BC＝BE，
则（4﹣2x﹣4）2+（0﹣x）2＝52，
解得x＝或x＝，
∴E（﹣，）或（，2+4），
若BC＝EC，
则x2+（﹣1﹣2x﹣4）2＝52，
解得x＝﹣4或x＝0（舍），
∴E（﹣4，﹣4），
若BE＝CE，
则x2+（2x）2＝x2+（2x+5）2，
解得x＝﹣，
∴E（﹣，），
综上，E的坐标为（﹣，）或（，2+4）或（﹣4，﹣4）或（﹣，）；
（3）设点N的坐标为（a，﹣a2﹣2a+4），由（1）知D（﹣1，5），
∴，
∴，
∵点D（﹣1，5），B（0，4），
∴直线BD的解析式为y＝﹣x+4，
过点N作NH平行x轴，交BD于H，
则H（a2+2a，﹣a2﹣2a+4），
∴NH＝a2+a，
∴＝＝3，
解得a＝﹣3或a＝2，
当a＝﹣3时，﹣a2﹣2a+4＝1，
当a＝2时，﹣a2﹣2a+4＝﹣4，
∴N（﹣3，1）或（2，﹣4）．
24．（12分）“隐圆”一般有如下呈现方式：定点定长定圆；定弦定角定圆．“隐圆”现身，“圆”来如此简单．
【小试牛刀】如图1，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠CAD＝70°，则∠DBC＝ 35 度．
【大显身手】如图2，△ACD是等腰直角三角形，∠CAD＝90°，过点A的直线a与CD平行，点B是直线a上的一个动点，且∠CBE＝90°．
（1）如图①，当BE与AD的交点P在边AD上时，试判断BC，BP的数量关系是 BC＝BP ；
（2）如图②，当BE与AD的交点P在AD的延长线上时，上述结论是否成立，请说明理由；
（3）如图③，当BE与AD的交点P在DA的延长线上，且BP＝，AD＝8时，求AB的长．
【分析】【小试牛刀】根据AB＝AC＝AD，得点B、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上，再根据圆周角定理即可；
（1）根据∠CBP＝∠CAP＝90°，得点A、B、C、P在以CP为直径的圆上，则有∠BPC＝∠BAC＝45°，即可证明；
（2）由（1）同理可证∠BCP＝45°，从而证明结论；
（3）连接PC，取PC的中点O，连接OB，OA，作PH⊥AB于H，由（1）同理可证∠PCB＝∠BPC＝45°，得BC＝PB＝5，由△PAH是等腰直角三角形即可解决问题．
【解答】解：【小试牛刀】∵AB＝AC＝AD，
∴点B、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上，
∴∠DBC＝∠DAC＝70°＝35°，
故答案为：35；
（1）BC＝BP，理由如下：
∵a∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
∵△ACD是等腰直角三角形，
∴∠ACD＝45°，
∴∠BAC＝45°，
∵∠CBP＝∠CAP＝90°，
∴点A、B、C、P在以CP为直径的圆上，
∴∠BPC＝∠BAC＝45°，
∴△BCP是等腰直角三角形，
∴BC＝BP，
故答案为：BC＝BP；
（2）成立，理由如下：
如图②，连接PC，
同理可得：点A、B、C、P在以CP为直径的圆上，
∴∠BCP＝∠BAP，
∵a∥CD，
∴∠BAP＝∠ADC＝45°，
∴∠BCP＝45°，
∴△BCP是等腰直角三角形，
∴BC＝BP；
（3）如图③，连接PC，取PC的中点O，连接OB，OA，作PH⊥AB于H，
∵∠CBP＝∠CAP＝90°，OP＝OC，
∴OB＝OP＝OC＝OA，
∴A、C、B、P四点共圆，
∴∠BCP＝∠BAP，
∵AB∥CD，
∴∠BAP＝∠D＝45°，
∴∠PCB＝∠BPC＝45°，
∴BC＝PB＝5，
∴PC＝＝10，
∵AD＝AC＝8，
∴PA＝＝6，
∵∠PAH＝45°，∠PHA＝90°，
∴PH＝AH＝3，
在Rt△PBH中，
BH＝＝4，
∴AB＝BH+AH＝7．
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