中考专区中考模拟课时练习

这是一份中考专区中考模拟课时练习，共35页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）数轴上与表示2的点距离为2个单位长度的点对应的数是（ ）
A．0B．4C．0或4D．2
2．（3分）如图是某种几何体的实物图，则与该几何体相对应的主视图是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）截止2021年4月17日，全国接种新冠病毒疫苗达到1.898×108剂次，则数据1.898×108表示的原数是（ ）
A．1898000B．18980000C．189800000D．1898000000
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2m2+2m2＝4m4B．（m﹣1）2＝m2﹣m+1
C．（3mn2）2＝6m2n4D．2m2n÷（﹣mn）＝﹣2m
5．（3分）在“博爱一日捐”活动中，某校初二级部50名教师参与献爱心，以下是捐款统计表：
则该校初二教师捐款金额的中位数、众数分别是（ ）
A．100，100B．100，150C．150，100D．150，150
6．（3分）如图，已知钝角△ABC中，∠B＝30°且AB＞AC．（1）以C为圆心，CA长为半径画弧；（2）以B为圆心，BA为半径画弧，交前弧于点E；（3）连接AE交BC的延长线于点D．下列叙述不一定正确的是（ ）
A．△ABE是等边三角形B．AC平分∠BAD
C．S△ABC＝BC•ADD．BD垂直平分AE
7．（3分）随着市场对新冠疫苗需求越来越大，为满足市场需求，某大型疫苗生产企业更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产10万份疫苗，现在生产500万份疫苗所需的时间与更新技术前生产400万份疫苗所需时间相同，设更新技术前每天生产x万份，依据题意得（ ）
A．＝B．＝
C．＝D．＝
8．（3分）如图，四边形ABCD是半径为2的⊙O的内接四边形，连接OA，OC．若∠AOC：∠ABC＝4：3，则的长为（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）现有下列命题：①对角线相等且互相平分的四边形是矩形；②有两条边长比值是3：4的两个直角三角形相似；③若一元二次方程x2+2x+3＝c有实数根，则c＞2；④若点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，且y1＞y2，则a的取值范围是﹣1＜a＜1．其中是真命题的是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
10．（3分）如图1，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝2AB，动点P以每秒1个单位的速度从点A出发沿线段AB运动到点B，同时动点Q以每秒4个单位的速度从点B出发，沿折线B﹣C﹣D运动到点D．图2是点P、Q运动时，△BPQ的面积S随运动时间t变化关系的图象，则a的值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）
11．（3分）函数中，自变量x的取值范围是 ．
12．（3分）如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为2cm的⊙O，的长为π，弓形ACB（阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为 ．
13．（3分）如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，﹣4），顶点C在x轴的正半轴上，函数y＝（x＞0）的图象经过顶点B，则k的值为 ．
14．（3分）如图，点A、B、C是⊙O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交⊙O于点F，则∠BAF等于 度．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，1）将△ABO绕A顺时针旋转得到△AB1P1，此时AP1＝；将△AP1B1绕点P1顺时针旋转得到△P1P2B2，此时AP2＝；将△P1P2B2绕点P2继续顺时针旋转，此时AP3＝；…按此规律继续旋转，直至得到点P100为止，则AP100＝ ．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（﹣3，0），点B在y轴上运动，以AB为边作等腰Rt△ABC，∠CAB＝90°（点A，B，C按照顺时针排列），当点B在y轴上运动时，点C也随之运动．在点C的运动过程中，OC+AC的最小值为 ．
三、解答题（本大题共8题，共72分．解答时要写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）
17．（8分）（1）解不等式组，并求出其整数解．
（2）先化简，再求值：，其中．
18．（6分）某中学开展了“师生共读”，营造“书香校园”的读书活动．为了了解学生在此次活动中的读书情况，现随机抽取部分学生进行调查，将收集到的数据整理，并绘制成如图所示不完整的折线统计图和扇形统计图．
（1）本次调查共随机抽取 名学生，阅读量为2本学生所在扇形的圆心角度数是 度，并补全折线统计图；
（2）根据调查情况，现决定在读书数量为1本和4本的学生中任选两名学生进行交流，请用树状图或列表法求这两名学生读书数量均为1本的概率．
19．（7分）A、B两地相距400千米，某人开车从A地匀速到B地，设小汽车的行驶时间为t小时，行驶速度为v千米/小时，且全程限速，速度不超过100千米/小时．
（1）写出v关于t的函数表达式；
（2）若某人开车的速度不超过每小时80千米，那么他从A地匀速行驶到B地至少要多长时间？
（3）若某人上午7点开车从A地出发，他能否在10点40分之前到达B地？请说明理由．
20．（9分）阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的三棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图1）．小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．小明：测得丙树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如图3）．身高是1.6m的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2m．
（1）在横线上直接填写甲树的高度为 米，乙树的高度为 米；
（2）请求出丙树的高度．
21．（9分）如图，点D、E在以AB为直径的⊙O上，AE与BC交于点F，∠DAC＝∠AED．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点E是上一点，BD＝AD＝，BE＝1，求DF的长．
22．（10分）某商店销售一种商品，小明经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）
（1）①求y关于x的函数解析式．（不要求写出自变量的取值范围）
②该商品进价是 元/件；当售价是 元/件时，周销售利润最大，最大利润是 元．
（2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过70元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1600元，求m的值．
23．（11分）如图，已知直线y＝2x+n与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，抛物线的顶点是A（1，﹣4），点B在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是y轴上一点，点N是坐标平面内一点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，求点M的坐标．
（3）在抛物线上是否存在点Q，使∠BAQ＝45°，若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，说明理由．
24．（12分）【问题发现】
（1）若四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE、CA，则BP与CE有怎样的数量关系？并说明理由；
【类比探究】
（2）若四边形ABCD是正方形，点P是射线BD上一动点，以AP为直角边在AP边的右侧作等腰Rt△APE，其中∠APE＝90°，AP＝PE，如图2．当点P在对角线BD上，点E恰好在CD边所在直线上时，则BP与CE之间的数量关系？并说明理由；
【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，如图3，在正方形ABCD中，AB＝，当P是对角线BD的延长线上一动点时，连接BE，若，求△BPE的面积．
2021年内蒙古鄂尔多斯市东胜区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题(本大题10个小题，每小题3分，共30分)
1．（3分）数轴上与表示2的点距离为2个单位长度的点对应的数是（ ）
A．0B．4C．0或4D．2
【分析】直观从数轴上找出与2的点距离2个单位长度的数．
【解答】解：如图．
由图知：原点O与A与表示2的点距离2个单位长度．
∴在数轴上表示与2的点距离2个单位长度的数是0或4．
故选：C．
2．（3分）如图是某种几何体的实物图，则与该几何体相对应的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看，底层是一个较大的矩形，上层是一个较小的矩形，且中间有一条纵向的实线．
故选：A．
3．（3分）截止2021年4月17日，全国接种新冠病毒疫苗达到1.898×108剂次，则数据1.898×108表示的原数是（ ）
A．1898000B．18980000C．189800000D．1898000000
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1.898×108＝189800000．
故选：C．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2m2+2m2＝4m4B．（m﹣1）2＝m2﹣m+1
C．（3mn2）2＝6m2n4D．2m2n÷（﹣mn）＝﹣2m
【分析】根据合并同类项的方法可以判断A，根据完全平方公式可以判断B，根据积的乘方可以判断C，根据单项式除以单项式的法则可以判断D．
【解答】解：2m2+2m2＝4m2，故选项A不符合题意；
（m﹣1）2＝m2﹣2m+1，故选项B不符合题意；
（3mn2）2＝9m2n4，故选项C不符合题意；
2m2n÷（﹣mn）＝﹣2m，故选项D符合题意；
故选：D．
5．（3分）在“博爱一日捐”活动中，某校初二级部50名教师参与献爱心，以下是捐款统计表：
则该校初二教师捐款金额的中位数、众数分别是（ ）
A．100，100B．100，150C．150，100D．150，150
【分析】根据中位数和众数的定义求解即可．
【解答】解：由表知，这组数据的第25、26个数据分别为150、150，
所以其中位数为＝150，众数为100，
故选：C．
6．（3分）如图，已知钝角△ABC中，∠B＝30°且AB＞AC．（1）以C为圆心，CA长为半径画弧；（2）以B为圆心，BA为半径画弧，交前弧于点E；（3）连接AE交BC的延长线于点D．下列叙述不一定正确的是（ ）
A．△ABE是等边三角形B．AC平分∠BAD
C．S△ABC＝BC•ADD．BD垂直平分AE
【分析】根据全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、三角形的面积、线段垂直平分线、等边三角形的判定解决此题．
【解答】解：A．由题意得：AC＝CE，AB＝BE．
在△ABC和△BEC中，
，
∴△ABC≌△BEC（SSS）．
∴∠ABC＝∠EBC＝30°．
∴∠AEB＝∠ABC+∠EBC＝60°．
∵AB＝BE，∠ABE＝60°，
∴△ABE是等边三角形．
故A正确．
B．由A中得∠ABC＝∠EBC，那么AC平分∠BAD，无法证得AC平分∠BAD，故B不一定正确．
C．在△ABD和△EBD中，
，
∴△ABD≌△EBD（SAS）．
∴AD＝ED，∠ADB＝∠EDB．
∵∠ADB+∠EDB＝180°，
∴∠ADB＝∠EDB＝90°．
∴．
故C正确．
D．以上得AD＝ED，∠ADB＝∠EDB＝90°．
∴BD垂直平分AE．
故D正确．
故选：B．
7．（3分）随着市场对新冠疫苗需求越来越大，为满足市场需求，某大型疫苗生产企业更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产10万份疫苗，现在生产500万份疫苗所需的时间与更新技术前生产400万份疫苗所需时间相同，设更新技术前每天生产x万份，依据题意得（ ）
A．＝B．＝
C．＝D．＝
【分析】更新技术后每天生产（x+10）万份疫苗，根据现在生产500万份疫苗所需时间与更新技术前生产400万份疫苗所需时间相同，即可得出关于x的分式方程．
【解答】解：设更新技术前每天生产x万份疫苗，则更新技术后每天生产（x+10）万份疫苗，
依题意得：＝，
故选：B．
8．（3分）如图，四边形ABCD是半径为2的⊙O的内接四边形，连接OA，OC．若∠AOC：∠ABC＝4：3，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用圆周角定理和圆内接四边形的性质求得∠AOC＝108°，结合弧长公式进行解答即可．
【解答】解：∵四边形内接于⊙O，∠AOC＝2∠ADC，
∴∠ADC+∠ABC＝∠AOC+∠ABC＝180°．
又∠AOC：∠ABC＝4：3
∴∠AOC＝144°．
∵⊙O的半径为2，
∴劣弧AC的长为＝π．
故选：D．
9．（3分）现有下列命题：①对角线相等且互相平分的四边形是矩形；②有两条边长比值是3：4的两个直角三角形相似；③若一元二次方程x2+2x+3＝c有实数根，则c＞2；④若点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，且y1＞y2，则a的取值范围是﹣1＜a＜1．其中是真命题的是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
【分析】利用矩形的判定方法、相似三角形的判定方法、一元二次方程根的判别式及反比例函数的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确，是真命题，符合题意；
②有两条边长比值是3：4的两个直角三角形，因为直角边还是斜边不确定，所以不一定相似，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
③若一元二次方程x2+2x+3＝c有实数根，则c≥2，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
④若点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，且y1＞y2，则a的取值范围是﹣1＜a＜1，正确，是真命题，符合题意，
真命题有①④，
故选：D．
10．（3分）如图1，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝2AB，动点P以每秒1个单位的速度从点A出发沿线段AB运动到点B，同时动点Q以每秒4个单位的速度从点B出发，沿折线B﹣C﹣D运动到点D．图2是点P、Q运动时，△BPQ的面积S随运动时间t变化关系的图象，则a的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由点P和点Q的运动可知，AB＝1×4＝4，BC＝8，当点Q在BC上时，即0≤t≤2时，BQ＝2t及当点Q在CD上时，即2＜t≤4时，分别表达出△BPQ的面积，分析可知当点Q到达点C时，S＝a，此时t＝2，再结合△BPQ的面积公式求解即可．
【解答】解：由图2得，t＝4时点P停止运动，
∴点P以每秒1个单位速度从点A运动到点B用了4秒，
∴AB＝1×4＝4，
∴BC＝2AB＝8，
由点P和点Q的运动可知，AP＝t，BP＝4﹣t，
当点Q在BC上时，即0≤t≤2时，BQ＝2t，过点P作PM⊥BC于点M，
∵∠B＝60°，
∴BM＝BP＝（4﹣t），PM＝（4﹣t），
此时△BPQ的面积＝BQ•PM＝•2t•（4﹣t）＝﹣t2+2t，
当点Q在CD上时，即2＜t≤4时，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴S△BPQ＝S△BPC＝BC•PM＝×8×（4﹣t）＝﹣2t+8，
由上可知，当点Q到达点C时，S＝a，
即当t＝2时，a＝﹣2×2+8＝4．
故选：A．
二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）
11．（3分）函数中，自变量x的取值范围是 x≤5且x≠3 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出5﹣x≥0且x﹣3≠0，再求出即可．
【解答】解：要使有意义，必须x﹣3≠0，解得：x≠3，
要使有意义，必须5﹣x≥0，解得：x≤5，
所以自变量x的取值范围是x≤5且x≠3，
故答案为：x≤5且x≠3．
12．（3分）如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为2cm的⊙O，的长为π，弓形ACB（阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为 （2+3π）cm2 ．
【分析】连接OA、OB，根据三角形的面积公式求出S△AOB，根据扇形面积公式求出扇形ACB的面积，计算即可．
【解答】解：连接OA、OB，
∵的长为π，
∴＝π，
∴n＝90，
∴∠AOB＝90°，
∴S△AOB＝×2×2＝2，
扇形ACB（阴影部分）＝＝3π（cm2），
则弓形ACB胶皮面积为（2+3π）cm2，
故答案为：（2+3π）cm2．
13．（3分）如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，﹣4），顶点C在x轴的正半轴上，函数y＝（x＞0）的图象经过顶点B，则k的值为 ﹣32 ．
【分析】根据菱形的性质和勾股定理求出菱形的边长，进而确定点B的坐标，再根据反比例函数图象上点坐标特征求出k即可．
【解答】解：延长BA交y轴于M，则BM⊥y轴，
在Rt△OAM中，由于A（3，﹣4），即AM＝3，OM＝4，
由勾股定理得，
OA＝＝5，
又∵四边形OABC是菱形，
∴OA＝AB＝BC＝OC＝5，
∴点B（8，﹣4），
又∵点B在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝8×（﹣4）＝﹣32，
故答案为：﹣32．
14．（3分）如图，点A、B、C是⊙O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交⊙O于点F，则∠BAF等于 15或75 度．
【分析】根据平行四边形的性质和圆的半径相等得到△AOB为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到∠BOF＝∠AOF＝30°，根据圆周角定理计算即可，当点F′在FO的延长线上时，∠BAF′＝75°．
【解答】解：连接OB，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴OC＝AB，又OA＝OB＝OC，
∴OA＝OB＝AB，
∴△AOB为等边三角形，
∵OF⊥OC，OC∥AB，
∴OF⊥AB，
∴∠BOF＝∠AOF＝30°，
由圆周角定理得∠BAF＝∠BOF＝15°，
当点F′在FO的延长线上时，∠BAF′＝75°，
故答案为：15或75．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，1）将△ABO绕A顺时针旋转得到△AB1P1，此时AP1＝；将△AP1B1绕点P1顺时针旋转得到△P1P2B2，此时AP2＝；将△P1P2B2绕点P2继续顺时针旋转，此时AP3＝；…按此规律继续旋转，直至得到点P100为止，则AP100＝ 199+100 ．
【分析】首先利用勾股定理得出AB的长，进而得出三角形的周长，进而求出p2，p5的横坐标，进而得出变化规律，即可得出答案．
【解答】解：由题意可得：∵AO＝BO＝1，
∴AB＝，
∴OA+AP1+P1P2＝1++1＝2+，
∴P2的横坐标为：2+＝（2+1）÷3×（2+），P5的横坐标为：2×（2+）＝（5+1）÷3×（2+），
∵（100+1）÷3＝99•••2，
∴OP100＝99×（2+）+2+＝200+100，
∴AP100＝OP100﹣1＝199+100，
故答案为199+100．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（﹣3，0），点B在y轴上运动，以AB为边作等腰Rt△ABC，∠CAB＝90°（点A，B，C按照顺时针排列），当点B在y轴上运动时，点C也随之运动．在点C的运动过程中，OC+AC的最小值为 3 ．
【分析】过C作CD⊥x轴于点D，依据△ABO≌△CAD（AAS），即可得到CD＝AO＝3，进而得出点的运动轨迹为直线y＝﹣3；设直线y＝﹣3与y轴的交点为E，作点O关于直线CE的对称点O'，则CO＝CO'；当A，C，O'在同一直线上时，AC+CO'的最小值等于AO'的长，利用勾股定理或两点间距离公式，即可得到AO'的长．
【解答】解：如图所示，过C作CD⊥x轴于点D，则∠ADC＝90°＝∠AOB，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝CA，∠BAC＝90°＝∠AOB，
∴∠BAO+∠CAD＝∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠CAD＝∠ABO，
∴△ABO≌△CAD（AAS），
∴CD＝AO＝3，
∴点C离x轴的距离为3，即点的运动轨迹为直线y＝﹣3，
设直线y＝﹣3与y轴的交点为E，作点O关于直线CE的对称点O'，则O'的坐标为（0，﹣6），
连接CO'，则CO＝CO'，
∴AC+CO＝AC+CO'，
当A，C，O'在同一直线上时，AC+CO'的最小值等于AO'的长，
此时，AO'＝＝3，
∴OC+AC的最小值为3，
故答案为：3．
三、解答题（本大题共8题，共72分．解答时要写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）
17．（8分）（1）解不等式组，并求出其整数解．
（2）先化简，再求值：，其中．
【分析】（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集；
（2）先计算括号内分式的减法，再将除法转化为乘法，继而约分即可化简原式，最后计算出x的值，代入计算即可．
【解答】解：（1）解不等式x≤5﹣x，得：x≤，
解不等式3（x+1）＜5x﹣1，得：x＞2，
则不等式组的解集为2＜x≤，
∴不等式组的整数解为3、4；
（2）原式＝÷（+）
＝÷
＝•
＝﹣，
当
＝4﹣（3﹣）﹣×2
＝4﹣3+﹣
＝1时，
原式＝﹣＝．
18．（6分）某中学开展了“师生共读”，营造“书香校园”的读书活动．为了了解学生在此次活动中的读书情况，现随机抽取部分学生进行调查，将收集到的数据整理，并绘制成如图所示不完整的折线统计图和扇形统计图．
（1）本次调查共随机抽取 50 名学生，阅读量为2本学生所在扇形的圆心角度数是 180 度，并补全折线统计图；
（2）根据调查情况，现决定在读书数量为1本和4本的学生中任选两名学生进行交流，请用树状图或列表法求这两名学生读书数量均为1本的概率．
【分析】（1）由读书数量为3本的学生人数除以所占百分比得出本次调查共随机抽取的学生人数，即可解决问题；
（2）画树状图，共有20种等可能的结果，所选两名学生读书数量均为1本的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次调查共随机抽取的学生人数为：20÷40%＝50（名），
∴阅读量为2本学生所在扇形的圆心角度数是360°×＝180°，阅读量为4本学生人数为：50﹣3﹣25﹣20＝2（名），
故答案为：50，180，
补全折线统计图如下：
（2）把读书数量为1本的3名学生记为A、B、C，读书数量为4本的2名学生记为D、E，
画树状图如下：
共有20种等可能的结果，所选两名学生读书数量均为1本的结果有6种，
∴所选两名学生读书数量均为1本的概率为＝．
19．（7分）A、B两地相距400千米，某人开车从A地匀速到B地，设小汽车的行驶时间为t小时，行驶速度为v千米/小时，且全程限速，速度不超过100千米/小时．
（1）写出v关于t的函数表达式；
（2）若某人开车的速度不超过每小时80千米，那么他从A地匀速行驶到B地至少要多长时间？
（3）若某人上午7点开车从A地出发，他能否在10点40分之前到达B地？请说明理由．
【分析】（1）根据题意列出函数表达式；
（2）根据函数表达式，求自变量的范围即可，求得t的最大值；
（3）根据函数表达式，求自变量的范围即可，求得t的最大值，再和实际情况比较即可．
【解答】解：（1）根据题意，路程为400，
设小汽车的行驶时间为t小时，行驶速度为v千米/小时，
则v关于t的函数表达式为v＝；
（2）设从A地匀速行驶到B地要t小时，则≤80，
解得：t≥5，
∴他从A地匀速行驶到B地至少要5小时；
（3）∵v≤100，
≤100，
解得：t≥4，
∴某人从A地出发最少用4个小时才能到达B地，
7点至10点40分，是3小时，
∴他不能在10点40分之前到达B地．
20．（9分）阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的三棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图1）．小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．小明：测得丙树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如图3）．身高是1.6m的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2m．
（1）在横线上直接填写甲树的高度为 5.1 米，乙树的高度为 4.2 米；
（2）请求出丙树的高度．
【分析】（1）直接利用相似比求甲树的高度．画出几何图形，把树高分成两个部分，其中一部分等于墙壁上的影长，另外一部分利用相似可求出乙树的高度．
（2）利用两个不同的相似比分别求出对应高，再求和．
【解答】解：（1）设甲树的高为x米，
则，
解得x＝5.1．
如图，
设AB为乙树的高度，BC＝2.4，
∵四边形AECD是平行四边形，
∴AE＝CD＝1.2
由题意得 ，
解得BE＝3，
故乙树的高度AB＝AE+BE＝4.2米；
故答案为：5.1，4.2；
（2）如图，
设AB为丙树的高度，BC＝2.4，CD＝3.2
∵四边形AECF是平行四边形∴AE＝CF
由题意得＝＝，解得BE＝3，
＝，
解得CF＝2.56，
∴AE＝CF＝2.56米，
故丙树的高度AB＝AE+BE＝BE+CF＝5.56米．
21．（9分）如图，点D、E在以AB为直径的⊙O上，AE与BC交于点F，∠DAC＝∠AED．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点E是上一点，BD＝AD＝，BE＝1，求DF的长．
【分析】（1）根据AB是⊙O的直径，可得∠ADB＝90°，证明∠CAB＝90°，即可得结论；
（2）根据圆周角定理得到∠BEF＝90°，根据相似三角形的性质得到＝＝，设EF＝x，则DF＝x，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DBA+∠DAB＝90°，
∵∠DBA＝∠DEA．∠DAC＝∠DEA，
∴∠DAC＝∠DBA，
∴∠DAC+∠DAB＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴AC⊥AB，
∵AB为⊙O的直径，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠BEF＝90°，
∴∠ADF＝∠BEF，
∵∠DAF＝∠EBF，
∴△ADF∽△BEF，
∴＝＝，
设EF＝x，则DF＝x，
∴BF＝﹣x，
∵EF2+BE2＝BF2，
∴x2+1＝（﹣x）2，
解得：x1＝，x2＝2（不合题意，舍去），
∴DF＝．
22．（10分）某商店销售一种商品，小明经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）
（1）①求y关于x的函数解析式．（不要求写出自变量的取值范围）
②该商品进价是 40 元/件；当售价是 75 元/件时，周销售利润最大，最大利润是 2450 元．
（2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过70元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1600元，求m的值．
【分析】（1）①设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，用待定系数法求解即可；
②该商品进价等于周销售利润除以周销售量，再减去进价；根据周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价），列出w关于x的二次函数，根据二次函数的性质可得答案；
（2）根据周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价），列出w关于x的二次函数，根据题意及二次函数的性质得出取得最大利润时的售价，再列出关于m的方程，求解即可．
【解答】解：（1）①设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，将（60，100），（70，80）分别代入得：
，
解得：．
∴y关于x的函数解析式为y＝﹣2x+220．
②该商品进价是60﹣2000÷100＝40（元/件）；
由题意得：
w＝y（x﹣40）
＝（﹣2x+220）（x﹣40）
＝﹣2x2+300x﹣8800
＝﹣2（x﹣75）2+2450，
∵二次项系数﹣2＜0，抛物线开口向下，
∴当售价是75元/件时，周销售利润最大，最大利润是2450元．
故答案为：40，75，2450．
（2）由题意得：
w＝（﹣2x+220）（x﹣40﹣m）
＝﹣2x2+（300+2m）x﹣8800﹣220m，
∵二次项系数﹣2＜0，抛物线开口向下，对称轴为：x＝﹣＝75+，
又∵x≤70，
∴当x＜75+时，w随x的增大而增大，
∴当x＝70时，
w有最大值：（﹣2×70+220）（70﹣40﹣m）＝1600
解得：m＝10．
∴周销售最大利润是1600元时，m的值为10．
23．（11分）如图，已知直线y＝2x+n与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，抛物线的顶点是A（1，﹣4），点B在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是y轴上一点，点N是坐标平面内一点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，求点M的坐标．
（3）在抛物线上是否存在点Q，使∠BAQ＝45°，若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）将点A代入直线，求出直线AB的表达式，进而求出点B的坐标，利用顶点式求出抛物线的表达式；
（2）此问需要分情况讨论，当AB为矩形的边和对角线时求解，为边时利用两点间距离公式，结合勾股定理进行求解；为对角线时借助圆的垂径定理进行求解．
（3）构造正方形ADBC，利用正方形的性质，对角线与边的夹角是45°，求出正方形各边所在的直线表达式，再与抛物线联立求解出满足条件点的坐标．
【解答】解：（1）将点A（1，﹣4）代入直线y＝2x+n得，
2+n＝﹣4，
∴n＝﹣6，
∴直线y＝2x﹣6，
当y＝0时，代入直线得：0＝2x﹣6，
解得：x＝3，
∴点B坐标（3，0），
设抛物线表达式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将点B代入抛物线得，
0＝4a﹣4，
解得：a＝1，
∴抛物线表达式y＝（x﹣1）2﹣4；
（2）当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，有两种情况：
①如图，当AB为边时，
设点M（0，m），
已知点A（1，﹣4），点B（3，0）
∴MA2＝12+（m+4）2，AB2＝（1﹣3）2+（﹣4﹣0）2＝20，BM2＝32+m2，
∴MB2＝AM2+AB2，即12+（m+4）2+20＝32+m2，
解得m＝﹣，
即点M的坐标（0，﹣）；
②如图，当AB为对角线时，
取线段AB的中点P，作辅助圆⊙P，与y轴交于点M1，M2，作PG⊥y轴于点G，
点P坐标（，），即（2，﹣2），
由①可得线段AB＝＝2，
∴⊙P半径，
在Rt△PM1G中，PM1＝，PG＝2，
M1G＝＝1，
根据垂径定理可得，M2G＝1，
∴点M1坐标（0，﹣1），点M2坐标（0，﹣3）；
综上所述，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，点M坐标为：（0，﹣），（0，﹣1），（0，﹣3）；
（3）存在点Q的横坐标为﹣2或，使∠BAQ＝45°．
理由如下：假设存在满足条件的点Q，如图，
当四边形ADBC为正方形，且点Q1，Q2分别在直线AD和直线AC上时，∠BAQ＝45°，
设过线段AB中点P，且与线段AB垂直的直线：y＝﹣+b，
将点P（2，﹣2）代入得：﹣2＝﹣1+b，
解得b＝﹣1，
∴直线为y＝﹣，
设点C点坐标（n，﹣n﹣1），
在Rt△ABD中，∠BAQ＝45°，AB＝2，
sin45°＝，
解得BD＝，
∴BD＝＝，
解得n1＝0，n2＝4，
∴点C坐标（0，﹣1），点D坐标（4，﹣3），
设直线AD表达式为：y＝qx+p，将点A（1，﹣4），点D（4，﹣3）代入得，
，
解得，
∴直线AD的表达式为y＝﹣，
同理可得直线AC的表达式为y＝﹣3x﹣1，
联立直线AD与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4可得，
﹣＝（x﹣1）2﹣4，
解得x1＝1，x2＝，
同理联立直线AC与抛物线可解得x3＝1，x4＝﹣2，
∴点Q的横坐标为﹣2或．
24．（12分）【问题发现】
（1）若四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE、CA，则BP与CE有怎样的数量关系？并说明理由；
【类比探究】
（2）若四边形ABCD是正方形，点P是射线BD上一动点，以AP为直角边在AP边的右侧作等腰Rt△APE，其中∠APE＝90°，AP＝PE，如图2．当点P在对角线BD上，点E恰好在CD边所在直线上时，则BP与CE之间的数量关系？并说明理由；
【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，如图3，在正方形ABCD中，AB＝，当P是对角线BD的延长线上一动点时，连接BE，若，求△BPE的面积．
【分析】（1）根据菱形的性质和等边三角形的性质证明△BAP≌△CAE（SAS）即可证得结论；
（2）由正方形的性质得出∠ABP＝∠ACE＝∠BAC＝45°，由等腰直角三角形的性质证出∠BAP＝∠CAE，证明△ABP∽△ACE，由相似三角形的性质得出，则可得出结论；
（3）连接AC交BD于点F，过点E作EG⊥BP交直线BP于点G，由直角三角形的性质求出BF＝2，证明△FAP≌△GPE（AAS），由全等三角形的性质得出FP＝EG，PG＝AF＝2，设FP＝EG＝x，由勾股定理得出方程，解方程可得出答案．
【解答】解：（1）BP＝CE．
理由如下：如图1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°；
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∴∠BAP＝∠CAE＝60°﹣∠PAC，
∴△BAP≌△CAE（SAS），
∴BP＝CE；
（2）CE＝BP．
理由：如图2，连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，AB＝DA，∠BAD＝∠ABC＝90°，
∴∠ABP＝∠ACE＝∠BAC＝45°，
∴cs∠BAC＝，
∵Rt△APE是等腰直角三角形，
∴∠PAE＝∠AEP＝45°，
∴∠BAC﹣∠CAP＝∠PAE﹣∠CAP，
∴∠BAP＝∠CAE，
∴△ABP∽△ACE，
∴，
∴．
即CE＝BP；
（3）如图3，连接AC交BD于点F，过点E作EG⊥BP交直线BP于点G，
∵四边形ABCD是正方形，AB＝2，
∴BC＝AB＝2，∠BAD＝90°，AC⊥BD，
∴∠ABD＝45°，∠AFB＝∠AFD＝90°，
∴∠BAC＝45°，∠FAP+∠APF＝90°，
∴AF＝BF，
∴BF＝AF＝AB•sin45°＝2，
在Rt△APE中，∠APE＝90°，AP＝PE，
∴∠APF+∠EPG＝90°，
∴∠FAP＝∠EPG，
∵EG⊥BG，
∴∠AFP＝∠PGE＝90°，
∴△FAP≌△GPE（AAS），
∴FP＝EG，PG＝AF＝2，
在Rt△EGB中，由勾股定理得，BE2＝BG2+EG2，
设FP＝EG＝x，
∴，
解得，x1＝4﹣2，x2＝﹣4﹣2（舍去），
∴S△BPE＝BP•EG＝＝16﹣4．
金额/元
50
100
150
200
300
人数
4
18
14
8
6
售价x（元/件）
60
70
80
周销售量y（件）
100
80
60
周销售利润w（元）
2000
2400
2400
金额/元
50
100
150
200
300
人数
4
18
14
8
6
售价x（元/件）
60
70
80
周销售量y（件）
100
80
60
周销售利润w（元）
2000
2400
2400