2022-2023学年广东省深圳市南山外国语学校九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省深圳市南山外国语学校九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    方程的解是(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

2.    如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，转盘停止后，指针落在区域的概率是(    )

A.
B.
C.
D.

3.    若且，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4.    如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，以下说法中错误的是(    )

A. ∽ B. 点、点、点三点在同一直线上
C. ：： D.

5.    四边形的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是(    )

A.  B.  C.  D.

6.    用配方法解一元二次方程，此方程可变形为(    )

A.  B.  C.  D.

7.    下列命题正确的是(    )

A. 如果线段被点黄金分割，那么与的比叫做黄金比
B. 对角线相等且垂直的四边形是正方形
C. 顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所形成的图形是菱形
D. 各边对应成比例的两个多边形相似

8.    如图，在菱形中，对角线与相交于点，在的延长线上取一点，连接交于点已知，，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

9.    若关于的方程满足，称此方程为“月亮”方程．已知方程是“月亮”方程，求的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在正方形中，的顶点，分别在，边上，高与正方形的边长相等，连接分别交，于点，，下列说法：
    ；
    连接，，则为直角三角形；
    ；
    若，，则的长为其中正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 分解因式：______．
12. 一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小天为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中．不断重复上述过程．小天共摸了次，其中有次摸到白球．因此小天估计口袋中的红球大约有______个．
13. 如图，，点在上，与交于点，，，则的长为______．

14. 对于实数，，先定义一种运算“”如下：，若，则实数的值为______．
15. 如图，在中，，平分，若，，则线段的长为______．

三、解答题（本大题共7小题，共53.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    计算：．
17. 本小题分
    解方程：
    ；
    ．
18. 本小题分
    某学校创办“耕耘文学社”以来，关注度逐年上升．学校为了了解学生对“耕耘文学社”的关注度，采用了随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图所示的两幅尚不完整的统计图．其中表示“关注”；表示“不关注”；表示“非常关注”；表示“关注很少”．
    
    请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
    ______；所在扇形的圆心角的度数为______；
    请补全条形统计图；
    该校现有学生名，请估计这名学生中“非常关注”的学生人数；
    在一次交流活动中，老师决定从本次调查回答“不关注”的同学中随机选取名同学来谈谈他们的想法，而本次调查回答“不关注”的这些同学中只有一名男同学，请用画树状图或列表的方法求选取到两名同学中刚好有这位男同学的概率．
19. 本小题分
    如图，在菱形中，，将一个的的顶点放在点处，并绕点旋转，当与交于点，同时与交于点时．
    求证：是等边三角形；
    当等于多少时，的面积最大，请说明理由．

20. 本小题分
    某超市销售一种衬衫．平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售、增加盈利，该超市准备适当降价，经过一段时间测算，发现每件衬衫每降低元，平均每天可多售出件．
    在每件盈利不少于元的前提下，要使该衬衫每天销售获利为元，问每件衬衫应降价多少元？
    小明的观点：“该衬衫每天的销售获利能达到元”，你同意小明的观点吗？若同意，请求出每件衬衫应降价多少元？若不同意，请说明理由．
21. 本小题分
    如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，交于点，．
    求证：∽；
    求证：；
    的值等于______直接写出结果，无需解答过程

22. 本小题分
    如图，正方形的边长为，点，分别在边，上，且，的延长线交的延长线于点，的延长线交的延长线于点，连接，，．
    填空： ______；填“”或“”或“”
    线段，，什么关系？请说明理由；
    设，
    的面积有变化吗？如果变化，请求出与的函数关系式；如果不变化，请求出定值．
    请直接写出使是等腰三角形的值．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
开方得：，
故或，
故选：．
直接开方即可得出方程的解．
此题主要考查了直接开方法求一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意可得，指针落在区域的概率是．
故选：．
用区域所在扇形圆心角度数除以周角度数即可．
本题主要考查几何概率，随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，，．
．
故选：．
根据比例的性质解决此题．
本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解决本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，
则∽，本选项说法正确，不符合题意；
B、与是位似图形，
、、三点在同一直线上，本选项说法正确，不符合题意；
C、∽，相似比为：，
：：，
：：，本选项说法错误，符合题意；
D、与是位似图形，
，本选项说法正确，不符合题意；
故选：．
根据位似图形的概念、相似三角形的性质判断即可．
本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似的两个图形是相似形、对应点的连线都经过同一点、对应边平行是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：可添加，
四边形的对角线互相平分，
四边形是平行四边形，
，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，
四边形是矩形．
故选：．
四边形的对角线互相平分，则说明四边形是平行四边形，由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等．
此题主要考查了矩形的判定，关键是矩形的判定：
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
有三个角是直角的四边形是矩形；
对角线相等的平行四边形是矩形．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
移项，得，
配方，得，
即，
故选：．
方程移项后，配方得到结果，即可作出判断．
本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、如果线段被点黄金分割，那么与的比叫做黄金比，故原命题错误，不符合题意；
B、对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，故原命题错误，不符合题意；
C、顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所形成的图形是菱形，正确，符合题意；
D、各边对应成比例且对应角相等的两个多边形相似，故原命题错误，不符合题意；
故选：．
利用黄金比的定义、正方形的判定方法、菱形的判定方法及相似形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是有关定义及判定方法，难度不大．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，作交于点，
四边形是菱形，且，
，，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
的长为，
故选：．
作交于点，根据平行线分线段成比例定理证明，根据菱形的性质可得，则是的中位线，可求出、和的长，再求出的长，由可得∽，根据相似三角形的对应边成比例即可求出的长．
此题考查菱形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形的中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意得“月亮”方程的一个解为，
方程是“月亮”方程，
，
，，
．
故选：．
利用新定义得到“月亮”方程的一个解为，则，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法可简化计算．
 

10.【答案】 

【解析】解：在和中，
，
≌．
，，
同理，，，
，
故正确；
连将绕点顺时针旋转至位置，得到图，连接，
由旋转知：，，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
又，
≌，

四边形是正方形，

由旋转知：，，
，
，

≌，
．
在和中，
，
≌．
，
同理，

为直角三角形，
故正确；
，
，，
，
，
，
，
故正确；
，，，，
，
设正方形的边长为，则，，
，
，
解得，
，
，
作于，则，
，
，
，
，
，
故正确．
综上正确结论的个数是个，
故选：．
根据正方形的性质和全等三角形的判定方法证明≌和≌，由全等三角形的性质即可求出；
由旋转知：，，由旋转知：，，所以，所以，所以；根据全等三角形的方法指定≌得出，同理，即可证得，根据勾股定理的逆定理即可证得为直角三角形；
通过证得，根据，即可证得；
通过勾股定理求得正方形的边长，进而求得斜边上的高，然后根据相似三角形的性质即可证得．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，通过证得三角形全等求得线段相等是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
根据公式法因式分解即可．
本题考查了运用公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：设小天估计口袋中的红球大约有个，根据题意得：
，
解得：，
经检验是原方程的解，
答：小天估计口袋中的红球大约有个．
故答案为：．
设小天估计口袋中的红球大约有个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可，解答此题的关键是要计算出口袋中白色球所占的比例．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，即，
，
，即，
，得，
，
解得：．
故答案为：．
根据平行线分线段成比例定理，由，得出，由，得出，将两个式子相加，即可求出的长．
本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练运用等式的性质进行计算．本题难度适中．
 

14.【答案】 

【解析】解：分两种情况：
当时，
，
，
，
，
或，
舍去，，
当时，
，
，
舍去，
综上所述：，
故答案为：．
分两种情况：当时，当时，然后按照定义新运算，进行计算即可解答．
此题主要考查了实数的运算，正确分情况讨论是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：作，过点作于，如图，
平分，
，
，，
，
而，
，
，，
∽，
，
设，则，
，
，
，
即平分，
，
，
在中，，
，解得，
即，
在中，，
，
．
故答案为．
作，过点作于，如图，先证明得到，再证明∽，则，设，则，，接着利用得到，即平分，根据角平分线定理得到，于是可计算出，再利用勾股定理计算出，从而得到，然后利用勾股定理计算，从而得到的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．
 

16.【答案】解：原式
． 

【解析】直接利用二次根式的性质、绝对值的性质、负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

17.【答案】解：，
，
，
，
，
，；
，
，
或，
，． 

【解析】利用配方法求解即可；
利用因式分解法求解即可．
本题考查了解一元二次方程配方法、因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解决问题的关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：“非常关注”的有人，占，
调查的学生共有：人；
，即；
所在扇形的圆心角的度数为：，
故答案为：，；

关注很少的人数有：人，
补全统计图如下：


根据题意得：
人，
答：估计这名学生中“非常关注”的学生人数有人；

由题意列树状图：

由树状图可知，所有等可能的结果有 种，选取到两名同学中刚好有这位男同学的结果有种，
选取到两名同学中刚好有这位男同学的概率为．
首先求出总人数，再由的人数即可求出的值，用乘以所占的百分比，即可得出所在扇形的圆心角的度数；
先求出关注很少的人数，再补全统计图即可；
用该校的总人数乘以“非常关注”的学生人数所占的百分比即可；
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选取到两名同学中刚好有这位男同学的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

19.【答案】解：是等边三角形，
理由：连接，

四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
是等边三角形；
由知≌，
四边形的面积恒等于的面积，
，，
，
若的面积最大，即求面积最小值，
又面积等于，
当最小时，面积最小，此时的面积最大．
当时，最短，
是等边三角形，
也是最短的．
是边长为等边的高，
，，
面积．
面积的最大值为． 

【解析】利用菱形的性质首先得出是等边三角形，进而得出≌，即可得出是等边三角形；
利用当时最短，由是等边三角形，也是最短的，求出的面积的最小值，即可得出周长的最大值．
此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
 

20.【答案】解：设每件衬衫应降价元，
根据题意，得，
解得，舍去．
答：每件衬衫应降价元；
不同意，理由如下：
设每件衬衫应降价元，能使商场每天盈利元，
根据题意，得，
化简得，
，
原方程没有实数解，
商场每天的盈利不可能达到元． 

【解析】设每件衬衫应降价元，根据能使商场每天盈利元列一元二次方程，求解即可；
设每件衬衫应降价元，根据商场每天盈利元列一元二次方程，求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】证明：垂直平分，
，
，
，
，
∽；
证明：垂直平分，
，
∽，
，
，
，
，
；
解：如图，过点作，交的延长线于点，

垂直平分，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，
，
故答案为：．
由垂直平分线的性质得出，进而得出，由等腰三角形的性质得出，即可证明∽；
由垂直平分，得出，由相似三角形的性质得出，进而得出，由，得出，即可得出；
过点作，交的延长线于点，由垂直平分，得出，证明∽，得出，由，即可得出，再证明∽，得出，进而得出，由，得出，即可得出．
本题考查了线段的垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：如图，四边形是边长为的正方形，
，，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
，
理由：如图，，，
，
，
∽，
，
．
不变化，
如图，，
，
，
，
的面积为定值，这个定值是．
如图，是等腰三角形，且，
，
，
，
，
≌，
，
，
∽，
，
；
如图，是等腰三角形，且，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
∽，
，
，
，
；
如图，是等腰三角形，且，
，，
≌，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
∽，
，
，
，
综上所述，的值为或或．
由四边形是边长为的正方形得，，所以，，则；
先证明，由得，则∽，得，所以；
因为，，所以，可知的面积为定值，这个定值是；
分三种情况，一是是等腰三角形，且，先证明≌，得，再证明∽，则，所以；二是是等腰三角形，且，先证明≌，得，再证明∽，则，所以，于是，所以；三是是等腰三角形，且，先证明≌，得，则，再证明≌，则，可证明，于是，即可由∽得，所以．
此题重点考查正方形的性质、同角的余角相等、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题难度较大，属于考试压轴题．