浙教版八年级上册5.5 一次函数的简单应用教学设计及反思

         《一次函数的简单应用（1）》教学设计       

一、教材分析：
    《一次函数的简单应用(1)》是浙教版八年级上册第五章第五节的第一课时，在此之前学生已完成了对一次函数概念及三种表示形式的学习，还结合函数图像完成了对基本性质的探究，这就为过渡到本节课的学习起到了铺垫作用。

二、学情分析：

    虽然学生也曾接触了对方程及不等式等的建模学习，但通过图像建构数学模型尚属首次。教学中让学生了解建立一次函数模型的一般过程，并会用一次函数的解析式和图像解决实际问题，从中体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型。

三、教学目标设置：
知识与技能目标：了解通过实验获得数据，然后根据数据建立一次函数模型的一般过程。体会建模思想，增强发现问题、分析问题和解决问题的能力。

过程与方法目标：通过对建模过程的分析获得完善建模过程的初步经验，理解分段函数的实际意义，加深领会数形结合的思想，发展学生综合应用所学知识的能力。

情感、态度与价值观：在解决问题的过程中，进一步体会函数问题来自生活又服务于生活，增强数学的应用意识。

四、教学重点难点：

重点：利用图像获得函数解析式的方法和基本步骤，教学中通过学生合作探究建立一次函数模型来突出重点。
难点：应用一次函数的知识解决实际问题，教学中通过增强学生的建模能力、识图能力来突破难点。

五、课时设计：1课时

六、教学策略：问题驱动、小组合作

七、教学过程设计：

第一环节  动手探究，感知建模

实验：某弹簧的自然长度为3cm。在弹性限度内，所挂物体的质量每增加1g，弹簧长度增加1cm。

(1) 计算所挂物体的质量分别为0g、1g、2g、3g、4g、5g时弹簧的长度，并填表：

学生活动：同桌合作，根据实验的表述填好表格，让学生意识到数据表实际上是y关于x的函数的一组对应值表。

（2）你能在直角坐标系内以各对应值为坐标描点，画出图像吗？

学生活动：描点的过程让学生自己在数学活动单上动手操作。

（3）通过观察图像，请你判断函数的类型，并说明理由。

学生活动：当学生在坐标系中描出相应的点后，引导学生直观的判断图像是否是一条直线。

（4）通过上述问题的解决，请你说说判断两变量间成一次函数关系的常用方法。

学生活动：让学生总结刚才经历的过程，说一说判断两个变量构成一次函数关系的基本步骤，然后教师进行总结归纳。

设计意图：学生的认知发展是由浅入深、循序渐进的过程，基于最近发展区的感知往往是学生认知发展的最佳切入点。教材直接给出了“通过图像建模的基本步骤”，显得太“唐突”。通过处理后，一开始给学生呈现一个比较简单的函数模型，学生在合作探究中起点较低，也容易接受。

    通过设置环环相扣的问题串，引导学生分析，帮助他们在问题解决的过程中去发现、提炼得到判断两变量间的函数关系的常用方法是利用图像法去获得经验公式。让学生亲身经历通过图像来建立函数模型（数据获得，描点，判断，求解，验证）的整个过程，最终来突出本节课的重点。同时为解决下一环节的课本例题做好铺垫。

第二环节   类比学习，理解建模

例：生物学家测得7条成熟的雄性鲸的全长y和吻尖到喷水孔的长度x的数据如下表：

（1）你能判断这两个变量间的函数关系吗？  

学生活动：通过前面的探究学习，学生已积累了一定的经验，但课本例1数据较复杂，教学中安排学生4人一组合作完成，教师加强指导。

（2）根据各点在坐标系中分布的特点，请说一说变量x，y可以看成是什么函数关系？为什么？

学生活动：让学生在数学活动单中的坐标系上描出这些点，然后让各小组交换活动单，根据其它组的描点画出图像，各组进行组际的交流，有些学生会有疑问，好像是一条直线，又好像不是，从而产生思维上的冲突，教师应及时进行引导，在有些实际问题中我们能用一次函数的图像近似地刻画x与y两个变量关系，从而只能判断图像大致是一条直线。

（3）怎样求它们间的函数关系式？取什么点代入求k，b更合理？

学生活动：用待定系数法求一次函数解析式，然后请各小组把求得的解析式写上黑板，再一次让学生产生思维上的冲突，让学生观察、分析有些解析式不一样的原因，最后教师说明，我们都可以认为是对的。在实际问题中，我们选择两点待定一次函数解析式时，一般选择数值较简单,尽量在直线上，但又不要靠得太近的两对，这样求得的函数解析式才能比较客观的反映实际问题。

（4）怎样检验所求解析式能否近似表示x、y两变量间的关系？

学生活动：把其余的5个点代入函数解析式进行检验，与小组内的同伴交流你所发现的问题。最后教师加以总结：1、由于在实际中测量数据不可能完全准确等原因，这样求得的一次函数解析式,只能近似地刻画x与y两个变量关系。2、由于选择不同的两对对应值，求得的一次函数解析式也可能会有差异。

设计意图：问题1的设置是要引起学生对判断两个变量的关系的常用方法的思考，并自然过渡到用图像法分析并解决问题的阶段，通过对建模过程的分析获得完善建模过程的初步经验，及时巩固上一环节研究的成果。

    在学习这道课本例题时，不仅要知道怎样做，更在于要知道为什么这样做，及时对解题方法和规律进行概括，同时与前面弹簧挂重物的问题进行类比，提高学生解决复杂问题的能力，有利于学生对知识的串联、累积、加工，最终来突破本节课的难点。

第三环节   综合应用，分段建模

    播放“龟兔赛跑”的动画，引出问题。

（1）两图中的________图比较符合传统寓言故事《龟兔赛跑》所描绘的情节。

学生活动：同桌交流，合作探究。

（2）根据甲图你能获取哪些信息，你是怎样看待函数图像的？

学生活动：引导学生交流后得到以下结论：乌龟的行进过程为一次函数；而兔子行进过程为分段函数的问题，即在第一段时间内是一次函数，在第二段时间内是常值函数，在第三段时间内仍是一次函数，特别要注意相应的自变量取值范围。

（3）根据乙图提供的信息，自编《新龟兔赛跑》故事。

学生活动：让学生充分发挥自己的想像力，踊跃发言。对说的精彩的学生及时给予掌声。

设计意图：数学教学的本质在于让学生通过数学学习学会思考，学会用数学的眼光看问题，用数学的方法解决问题。本环节以学生所熟知的龟兔赛跑为情境，激发学生学习的热情。同时对分段函数进行一些简单的探究活动，在教学中让学生接触这类问题，获得一些有益的经验，为后续学习整体建模过渡到分段建模打下伏笔。

    问题3关注的重点是增强学生对数学建模的应用意识，培养并发展学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。教学中尽可能多的为学生提供活动的机会，充分利用教学资源，分散难点，使知识与趣味并存，让学生体验成功的喜悦。

第四环节   梳理总结，提炼方法

一个知识点：利用图像判断两个变量构成一次函数关系的基本步骤。

两种思想方法：建模思想、数形结合思想。

学生活动：先让学生总结这节课的收获，然后教师再进行系统的归纳。

设计意图：对本节课知识性内容的总结，可把课堂教学传授的知识尽快转化为学生的素质；对数学思想方法的总结，可使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和作用。

八、课后反思：

（1）以生为本，创设建模情境

    学生是课堂教学的主体，教学活动的开展应准确把握学生学习的现状，由浅入深，循序渐进。本课设计中，第一环节创设的学习情境，既复习了前一阶段的内容，又在此基础上总结得到了判断两变量间函数关系的常用方法，进而引入通过图像建模的探究。始终把学生的探索和实验活动放在首位，让学生经历探索知识的过程，并在这个过程中得到发展。

（2）类比学习，开展建模实践

    学生的认知发展是由浅入深、循序渐进的过程，基于最近发展区的感知往往是学生认知发展的最佳切入点。本课设计中，第二环节学生活动的展开是基于上一环节已有的学习经验，从熟悉的问题设计引入，让学生觉得不那么陌生，同时激发学生的求知欲。既及时巩固了上一环节的研究成果，又通过对图像建模的分析完善了整个建模过程。

（3）着眼能力，拓展建模研究

    增强学生运用所学知识发现问题、解决问题的能力，提升其思维能力是数学教学的重要任务。本课设计中，第三环节对“龟兔赛跑”问题的探究，从整体建模到分段建模的拓展，集中体现了在问题解决中对转化、数形结合、函数等数学思想方法的渗透，在一次次的观察、对比、猜想、推理与验证中学生的思维逐步得到了发展，能力得到了提升。