2020-2021学年北京市朝阳区八年级（上）期末数学试卷（选用）

这是一份2020-2021学年北京市朝阳区八年级（上）期末数学试卷（选用），共23页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）新版《北京市生活垃圾管理条例》于2020年5月1日实施，条例规定生活垃圾应按照厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其他垃圾来分类，分别投入相应标识的收集容器．如图为某小区分类垃圾桶上的标识，其图标部分可以看作轴对称图形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a5B．（a3）2＝a5
C．（2ab2）3＝6a3b6D．3a2÷4a2＝a
3．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
4．（3分）下列因式分解变形正确的是（ ）
A．2a2﹣4a＝2（a2﹣2a）B．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2
C．﹣a2+4＝（a+2）（a﹣2）D．a2﹣5a﹣6＝（a﹣2）（a﹣3）
5．（3分）把分式方程﹣＝1化为整式方程正确的是（ ）
A．1﹣（1﹣x）＝1B．1+（1﹣x）＝1
C．1﹣（1﹣x）＝x﹣2D．1+（1﹣x）＝x﹣2
6．（3分）如图，为了测量池塘两岸相对的两点A，B之间的距离，小颖在池塘外取AB的垂线BF上两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使点E与A，C在同一条直线上，这时，可得△ABC≌△EDC，因此，测得DE的长就是AB的长．这里判定△ABC≌△EDC的依据是（ ）
A．ASAB．SASC．AASD．SSS
7．（3分）如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出（ ）
A．6个B．5个C．4个D．3个
8．（3分），，都有意义，下列等式①＝；②＝+；③＝；④＝中一定不成立的是（ ）
A．②④B．①④C．①②③④D．②
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9．（3分）分解因式：2x3﹣8x＝ ．
10．（3分）若分式有意义，则a的取值范围是 ．
11．（3分）若2a﹣b＝0，且b≠0，则分式的值为 ．
12．（3分）如图，两个阴影图形都是正方形，用两种方式表示这两个正方形的面积和，可以得到的等式为 ．
13．（3分）借助如图所示的“三等分角仪”能三等分某些度数的角，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE＝ °．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（2，0），若点A在第一象限内，且AB＝OB，∠A＝60°，则点A到y轴的距离为 ．
15．（3分）对于一个四边形的四个内角，下面四个结论中，
①可以四个角都是锐角；
②至少有两个角是锐角；
③至少有一个角是钝角；
④最多有三个角是钝角；
所有正确结论的序号是 ．
16．（3分）一个三角形的三条高的长都是整数，若其中两条高的长分别为4和12，则第三条高的长为 ．
三、解答题（本题共52分，第17-25题，每小题5分，第26题7分）
17．（5分）计算：a3•a+（﹣a2）3÷a2．
18．（5分）计算：﹣．
19．（5分）解方程：．
20．（5分）已知2x2﹣7x＝7，求代数式（2x﹣3）2﹣（x﹣3）（2x+1）的值．
21．（5分）如图，在△ABC中，AB＞AC＞BC，P为BC上一点（不与B，C重合）．在AB上找一点M，在AC上找一点N，使得△AMN与△PMN全等，以下是甲，乙两位同学的作法．
甲：连接AP，作线投AP的垂直平分线，分别交AB，AC于M，N两点，则M，N两点即为所求；
乙：过点P作PM∥AC，交AB于点M，过点P作PN∥AB，交AC于点N，则M，N两点即为所求．
（1）对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是 ；
A．两人都正确
B．甲正确，乙错误
C．甲错误，乙正确
（2）选择一种你认为正确的作法，补全图形并证明．
22．（5分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E．
求证：E为AB的中点．
23．（5分）2020年12月17日，中国研制的嫦娥五号返回器成功携带月球样品着陆地球，在接近大气层时，它的飞行速度接近第二宇宙速度，约为某列高铁全速行驶速度的112倍．如果以第二宇宙速度飞行560千米所用时间比该列高铁全速行驶10千米所用时间少50秒，那么第二宇宙速度是每秒多少千米？
24．（5分）已知a＝m2+n2，b＝m2，c＝mn，且m＞n＞0．
（1）比较a，b，c的大小；
（2）请说明以a，b，c为边长的三角形一定存在．
25．（5分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，直线BC上有一点P，M，N分别为点P关于直线AB，AC的对称点，连接AM，AN，BM．
（1）如图1，当点P在线段BC上时，求∠MAN和∠MBC的度数；
（2）如图2，当点P在线段BC的延长线上时，
①依题意补全图2；
②探究是否存在点P，使得＝3，若存在，直接写出满足条件时CP的长度；若不存在，说明理由．
26．（7分）在学习了“等边对等角”定理后．某数学兴趣小组的同学继续探究了同一个三角形中边与角的数量关系，得到了一个正确的结论：“在同一个三角形中，较长的边所对的角较大”．简称：“在同一个三角形中，大边对大角”．即，如图：当AB＞AC时，∠C＞∠B．
该兴趣小组的同学在此基础上对等腰三角形“三线合一”性质的一般情况，继续进行了深入的探究，请你补充完整：
（1）在△ABC中，AD是BC边上的高线．
①如图1，若AB＝AC，则∠BAD＝∠CAD；
②如图2，若AB≠AC，当AB＞AC时，∠BAD ∠CAD．（填“＞”，“＜”，“＝”）
证明：∵AD是BC边上的高线，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∴∠BAD＝90°﹣∠B，∠CAD＝90°﹣∠C．
∵AB＞AC，
∴ （在同一个三角形中，大边对大角）．
∴∠BAD ∠CAD．
（2）在△ABC中，AD是BC边上的中线．
①如图1，若AB＝AC，则∠BAD＝∠CAD；
②如图3，若AB≠AC，当AB＞AC时，∠BAD ∠CAD．（填“＞”，“＜”，“＝”）
证明：
2020-2021学年北京市朝阳区八年级（上）期末数学试卷（选用）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个.
1．（3分）新版《北京市生活垃圾管理条例》于2020年5月1日实施，条例规定生活垃圾应按照厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其他垃圾来分类，分别投入相应标识的收集容器．如图为某小区分类垃圾桶上的标识，其图标部分可以看作轴对称图形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
【解答】解：第一个图形可以看作轴对称图形；
第二个图形不可以看作轴对称图形；
第三个图形可以看作轴对称图形；
第四个图形不可以看作轴对称图形；
故选：B．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a5B．（a3）2＝a5
C．（2ab2）3＝6a3b6D．3a2÷4a2＝a
【分析】直接利用整式的除法运算法则、同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，故此选项正确；
B、（a3）2＝a6，故此选项错误；
C、（2ab2）3＝8a3b6，故此选项错误；
D、3a2÷4a2＝，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算、幂的乘方运算、整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°和外角和定理列出方程，然后求解即可．
【解答】解：设多边形的边数为n，
由题意得，（n﹣2）•180°＝2×360°，
解得n＝6，
所以，这个多边形是六边形．
故选：D．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．
4．（3分）下列因式分解变形正确的是（ ）
A．2a2﹣4a＝2（a2﹣2a）B．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2
C．﹣a2+4＝（a+2）（a﹣2）D．a2﹣5a﹣6＝（a﹣2）（a﹣3）
【分析】A提取公因式，B、C利用公式，D利用十字相乘法，先分解因式，再判断对错．
【解答】解：∵选项A提取公因式不彻底，2a2﹣4a＝2a（a﹣2），故A错误；
a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，故选项B正确；
﹣a2+4＝﹣（a2﹣4）＝﹣（a+2）（a﹣2）≠（a+2）（a﹣2），故选项C错误；
a2﹣5a﹣6＝（a﹣6）（a+1）≠（a﹣2）（a﹣3），故选项D错误．
故选：B．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法、十字相乘法是解决本题的关键．
5．（3分）把分式方程﹣＝1化为整式方程正确的是（ ）
A．1﹣（1﹣x）＝1B．1+（1﹣x）＝1
C．1﹣（1﹣x）＝x﹣2D．1+（1﹣x）＝x﹣2
【分析】分式方程变形后，两边乘以最简公分母（x﹣2）化简得到结果，即可作出判断．
【解答】解：方程变形得：+＝1，
去分母得：1+（1﹣x）＝x﹣2，
故选：D．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意要检验．
6．（3分）如图，为了测量池塘两岸相对的两点A，B之间的距离，小颖在池塘外取AB的垂线BF上两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使点E与A，C在同一条直线上，这时，可得△ABC≌△EDC，因此，测得DE的长就是AB的长．这里判定△ABC≌△EDC的依据是（ ）
A．ASAB．SASC．AASD．SSS
【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．
【解答】解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：BC＝CD，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD（对顶角相等），
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．
故选：A．
【点评】此题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时注意选择．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7．（3分）如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出（ ）
A．6个B．5个C．4个D．3个
【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解
【解答】解：如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称．
故选：A．
【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴．
8．（3分），，都有意义，下列等式①＝；②＝+；③＝；④＝中一定不成立的是（ ）
A．②④B．①④C．①②③④D．②
【分析】根据分式的基本性质逐项进行判断即可．
【解答】解：由，，都有意义，可得m≠0，m+n≠0，n≠0，
当m＝n≠0时，①＝＝1，④＝＝1，因此①④可能成立，故①④不符合题意；
根据分式的基本性质可得＝，因此③不符合题意；
若＝+成立，则有（m+n）2＝mn，即m2+mn+n2＝0，
关于m的一元二次方程m2+mn+n2＝0的根的判别式Δ＝n2﹣4×1×n2＝﹣3n2＜0，
因此不存在这样的m、n的值使原式成立，故②一定不成立，
因此，一定不成立的只有②，
故选：D．
【点评】本题考查分式的基本性质和分式有意义的条件，掌握分式的基本性质是正确判断的前提．
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9．（3分）分解因式：2x3﹣8x＝ 2x（x﹣2）（x+2） ．
【分析】先提取公因式2x，再对余下的项利用平方差公式分解因式．
【解答】解：2x3﹣8x，
＝2x（x2﹣4），
＝2x（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．
运用平方差公式进行因式分解的多项式的特征：（1）二项式；（2）两项的符号相反；（3）每项都能化成平方的形式．
10．（3分）若分式有意义，则a的取值范围是 a≠﹣1 ．
【分析】先根据分式有意义的条件列出关于a的不等式，求出a的取值范围即可．
【解答】解：∵分式有意义，
∴a+1≠0，解得a≠﹣1．
故答案为：a≠﹣1．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．
11．（3分）若2a﹣b＝0，且b≠0，则分式的值为 ﹣3 ．
【分析】直接利用已知代入分式化简得出答案．
【解答】解：∵2a﹣b＝0，且b≠0，
∴b＝2a，
则分式＝＝＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】此题主要考查了分式的值，正确将已知代入是解题关键．
12．（3分）如图，两个阴影图形都是正方形，用两种方式表示这两个正方形的面积和，可以得到的等式为 a2+b2＝（a+b）2﹣2ab ．
【分析】根据图形可以得到：两个正方形的面积和有两种计算方法，一种是根据正方形的面积等于边长的平方计算；另一种方法是图形中大正方形面积减去两个长方形的面积的和，即可得到等式．
【解答】解：①两个阴影部分正方形的面积和为：a2+b2，
②两个阴影部分正方形的面积和为：（a+b）2﹣2ab，
∴可以得到等式a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab．
【点评】此题考查完全平方公式的几何背景，利用面积、边的关系建立等量关系是解决问题的关键．
13．（3分）借助如图所示的“三等分角仪”能三等分某些度数的角，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE＝ 80 °．
【分析】由等腰三角形的性质可得∠O＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，由外角性质可得∠O＝25°，即可求解．
【解答】解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，
∵∠DCE＝∠O+∠CDO＝2∠O，
∴∠DEC＝2∠O，
∴∠BDE＝∠O+2∠DEC＝3∠O＝75°，
∴∠O＝25°，
∴∠DCE＝∠DEC＝50°，
∴∠CDE＝80°，
故答案为：80．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练运用这些性质进行推理是本题关键．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（2，0），若点A在第一象限内，且AB＝OB，∠A＝60°，则点A到y轴的距离为 1 ．
【分析】过A作AC⊥OB于C．首先证明△AOB是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出OC即可．
【解答】解：如图，过A作AC⊥OB于C．
∵点B的坐标为（2，0），
∴OB＝2．
∵AB＝OB，∠OAB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∵AC⊥OB，
∴OC＝CB＝OB＝1，
∴点A到y轴的距离为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，等边三角形的判定与性质，证明△AOB是等边三角形是解题的关键．
15．（3分）对于一个四边形的四个内角，下面四个结论中，
①可以四个角都是锐角；
②至少有两个角是锐角；
③至少有一个角是钝角；
④最多有三个角是钝角；
所有正确结论的序号是 ④ ．
【分析】根据四边形的定义，四边形的内角的定义，四边形的内角和定理对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：①一个四边形的四个内角，不可以四个角都是锐角，原来的结论错误；
②一个四边形的四个内角，可以四个角都是直角，原来的结论错误；
③一个四边形的四个内角，可以四个角都是直角，原来的结论错误；
④一个四边形的四个内角，最多有三个角是钝角是正确的．
故答案为：④．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，关键是熟悉四边形的内角和是360°，外角和也是360°．
16．（3分）一个三角形的三条高的长都是整数，若其中两条高的长分别为4和12，则第三条高的长为 4或5 ．
【分析】设三角形三边分别为a，b，c，面积为S，根据三角形面积公式分别用含S的代数式表示出a、b、c，根据三角形三边之间的关系得a﹣b＜c＜a+b，列出不等式后解不等式可得．
【解答】解：设三角形三边分别为a，b，c，第三条高为h，面积为S，
则a＝，b＝，c＝，
∵a﹣b＜c＜a+b，
∴﹣＜＜+，
解得：3＜h＜6，
故h＝4或5，
故答案为：4或5．
【点评】本题主要考查三角形面积及三边之间的关系，利用三角形的面积公式表示出三边长度是前提，根据三边间的关系列出不等式组是关键．
三、解答题（本题共52分，第17-25题，每小题5分，第26题7分）
17．（5分）计算：a3•a+（﹣a2）3÷a2．
【分析】根据同底数幂的乘法和除法的运算法则，幂的乘方的运算法则解答即可．
【解答】解：原式＝a4+（﹣a6）÷a2
＝a4﹣a6÷a2
＝a4﹣a4
＝0．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法和除法的运算法则，幂的乘方的运算法则，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
18．（5分）计算：﹣．
【分析】直接通分，再利用分式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝﹣
＝
＝
＝﹣．
【点评】此题主要考查了分式的加减，正确进行通分运算是解题关键．
19．（5分）解方程：．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：方程两边同乘（x﹣1）（x+2），得3+（x﹣1）（x+2）＝x（x+2），
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，（x﹣1）（x+2）＝0，故x＝1不是原分式方程的解，
则原分式方程无解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
20．（5分）已知2x2﹣7x＝7，求代数式（2x﹣3）2﹣（x﹣3）（2x+1）的值．
【分析】根据完全平方公式、多项式乘多项式的运算法则把原式化简，把2x2﹣7x＝7代入计算，得到答案．
【解答】解：（2x﹣3）2﹣（x﹣3）（2x+1）
＝4x2﹣12x+9﹣2x2﹣x+6x+3
＝2x2﹣7x+12，
当2x2﹣7x＝7时，原式＝7+12＝19．
【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
21．（5分）如图，在△ABC中，AB＞AC＞BC，P为BC上一点（不与B，C重合）．在AB上找一点M，在AC上找一点N，使得△AMN与△PMN全等，以下是甲，乙两位同学的作法．
甲：连接AP，作线投AP的垂直平分线，分别交AB，AC于M，N两点，则M，N两点即为所求；
乙：过点P作PM∥AC，交AB于点M，过点P作PN∥AB，交AC于点N，则M，N两点即为所求．
（1）对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是 A ；
A．两人都正确
B．甲正确，乙错误
C．甲错误，乙正确
（2）选择一种你认为正确的作法，补全图形并证明．
【分析】（1）结论两人都是正确的．
（2）根据全等三角形的判定分别证明即可．
【解答】解：（1）两人都正确，
故选A．
（2）甲：如图1中，
∵MN垂直平分线段PA，
∴MA＝MP，NA＝NP，
在△AMN和△PMN中，
，
∴△AMN≌△PMN（SSS）．
乙：如图2中，
∵PM∥AC，PN∥AB，
∴四边形AMPN是平行四边形，
∴AM＝PN，PM＝AN，
在△AMN和△PMN中，
，
∴△AMN≌△PNM（SSS）．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（5分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E．
求证：E为AB的中点．
【分析】根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，根据平行线的性质得到∠CAD＝∠ADE，等量代换得到∠BAD＝∠ADE，求得AE＝DE，推出∠ABD＝∠BDE，得到DE＝BE，于是得到E为AB的中点．
【解答】证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠CAD＝∠ADE，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∵AD⊥DB，
∴∠ADB＝90°，
∴∠EAD+∠ABD＝90°，∠ADE+∠BDE＝∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝∠BDE，
∴DE＝BE，
∴E为AB的中点．
【点评】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，关键是求出DE＝BE＝AE．
23．（5分）2020年12月17日，中国研制的嫦娥五号返回器成功携带月球样品着陆地球，在接近大气层时，它的飞行速度接近第二宇宙速度，约为某列高铁全速行驶速度的112倍．如果以第二宇宙速度飞行560千米所用时间比该列高铁全速行驶10千米所用时间少50秒，那么第二宇宙速度是每秒多少千米？
【分析】设某列高铁全速行驶速度为每秒x千米，则第二宇宙速度是每秒112x千米，由题意：以第二宇宙速度飞行560千米所用时间比该列高铁全速行驶10千米所用时间少50秒，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设某列高铁全速行驶速度为每秒x千米，则第二宇宙速度是每秒112x千米，
由题意得：＝﹣50，
解得：x＝0.1，
经检验，x＝0.1是原方程的解，
则112x＝11.2，
答：第二宇宙速度是每秒11.2千米．
【点评】本题考查了分式方程的应用；找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
24．（5分）已知a＝m2+n2，b＝m2，c＝mn，且m＞n＞0．
（1）比较a，b，c的大小；
（2）请说明以a，b，c为边长的三角形一定存在．
【分析】（1）根据代数式大小比较的方法进行比较即可求解；
（2）根据三角形两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可求解．
【解答】解：（1）∵a＝m2+n2，b＝m2，c＝mn，且m＞n＞0，
∴m2+n2＞m2＞mn，
∴a＞b＞c；
（2）∵m＞n＞0，
∴mn＞n2，
∴m2+mn＞m2+n2，
∴a，b，c为边长的三角形一定存在．
【点评】考查了三角形三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
25．（5分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，直线BC上有一点P，M，N分别为点P关于直线AB，AC的对称点，连接AM，AN，BM．
（1）如图1，当点P在线段BC上时，求∠MAN和∠MBC的度数；
（2）如图2，当点P在线段BC的延长线上时，
①依题意补全图2；
②探究是否存在点P，使得＝3，若存在，直接写出满足条件时CP的长度；若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据轴对称的性质求解即可．
（2）①根据要求画出图形即可．
②存在．设CP＝CN＝x，则BN＝2﹣x或x﹣2，BM＝PB＝2+x，构建方程求解即可．
【解答】解：（1）如图，连接AP．
∵∠C＝90°，CA＝CB，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵M，N分别为点P关于直线AB，AC的对称点，
∴∠PAC＝∠NAC，∠PAB＝∠MAB，∠ABP＝∠ABM＝45°，
∴∠MAN＝2（∠PAC+∠PAB）＝90°，∠MBC＝45°+45°＝90°．
（2）①图形如图2所示．
②存在．设CP＝CN＝x，则BN＝2﹣x或x﹣2，BM＝PB＝2+x，
∵＝3，
∴＝3或＝3，
∴x＝1或4．
∴PC＝1或4．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
26．（7分）在学习了“等边对等角”定理后．某数学兴趣小组的同学继续探究了同一个三角形中边与角的数量关系，得到了一个正确的结论：“在同一个三角形中，较长的边所对的角较大”．简称：“在同一个三角形中，大边对大角”．即，如图：当AB＞AC时，∠C＞∠B．
该兴趣小组的同学在此基础上对等腰三角形“三线合一”性质的一般情况，继续进行了深入的探究，请你补充完整：
（1）在△ABC中，AD是BC边上的高线．
①如图1，若AB＝AC，则∠BAD＝∠CAD；
②如图2，若AB≠AC，当AB＞AC时，∠BAD ＞ ∠CAD．（填“＞”，“＜”，“＝”）
证明：∵AD是BC边上的高线，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∴∠BAD＝90°﹣∠B，∠CAD＝90°﹣∠C．
∵AB＞AC，
∴ ∠C＞∠B （在同一个三角形中，大边对大角）．
∴∠BAD ＞ ∠CAD．
（2）在△ABC中，AD是BC边上的中线．
①如图1，若AB＝AC，则∠BAD＝∠CAD；
②如图3，若AB≠AC，当AB＞AC时，∠BAD ＜ ∠CAD．（填“＞”，“＜”，“＝”）
证明：
【分析】（1）①由AD是BC边上的高线知∠ADB＝∠ADC＝90°．据此得∠BAD＝90°﹣∠B，∠CAD＝90°﹣∠C，继而知AB＝AC，进一步可得∠C＝∠B，从而得证；
②先由三角形的高线得∠ADB＝∠ADC＝90°．则∠BAD＝90°﹣∠B，∠CAD＝90°﹣∠C．再由在同一个三角形中，大边对大角得∠C＞∠B，即可得出结论；
（2）①延长AD至E，使ED＝AD，连接CE，先证△ABD≌△ECD（SAS），得∠BAD＝∠E，AB＝EC，再证EC＝AC，得∠CAD＝∠E，即可得出结论；
②延长AD至E，使ED＝AD，连接CE，同①得：△ABD≌△ECD（SAS），则∠BAD＝∠E，AB＝EC，则证EC＞AC，则∠CAD＞∠E，即可得出结论．
【解答】（1）①证明：∵AD是BC边上的高线，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∴∠BAD＝90°﹣∠B，∠CAD＝90°﹣∠C．
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∴∠BAD＝∠CAD．
②解：∵AD是BC边上的高线，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∴∠BAD＝90°﹣∠B，∠CAD＝90°﹣∠C．
∵AB＞AC，
∴∠C＞∠B（在同一个三角形中，大边对大角）．
∴∠BAD＞∠CAD．
故答案为：∠C＞∠B，＞；
（2）①证明：延长AD至E，使ED＝AD，连接CE，如图1所示：
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
又∵∠ADB＝∠EDC，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴∠BAD＝∠E，AB＝EC，
∵AB＝AC，
∴EC＝AC，
∴∠CAD＝∠E，
∴∠BAD＝∠CAD；
②解：延长AD至E，使ED＝AD，连接CE，如图3所示：
同①得：△ABD≌△ECD（SAS），
∴∠BAD＝∠E，AB＝EC，
∵AB＞AC，
∴EC＞AC，
∴∠CAD＞∠E，
∴∠BAD＜∠CAD，
故答案为：＜．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、在同一个三角形中，大边对大角等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和在同一个三角形中，大边对大角的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
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日期：2021/12/1 23:25:13；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：36906111