北师大版初中数学九年级上学期第三次月考快速提分卷（九年级下册1-2章）

北师大版初中数学九年级上学期第三次月考快速提分卷（九年级下册1-2章）

考试时间：120分钟 满分：120分

姓名：__________ 班级：__________考号：__________

一、单选题（共10题；共30分）

1. ( 3分 ) 某班的同学想测量一教楼AB的高度.如图，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为16米，它的坡度 .在离C点45米的D处，测得一教楼顶端 的仰角为 ，则一教楼AB的高度约（    ）米（结果精确到0.1米）（参考数据： ， ， ， ） 

A. 44.1   B. 39.8     C. 36.1    D. 25.9

2. ( 3分 ) 如图所示,△DEF中,∠DEF=90°,∠D=30°,DF=16,B是斜边DF上一动点,过B作AB⊥DF于B,交边DE(或边EF)于点A,设BD=x,△ABD的面积为y,则y与x之间的函数图象大致为（   ）

A.                                  

B. 
C.                                  

D. 

3. ( 3分 ) 如图为二次函数y=ax2+bx+c  (a≠0)的图象，则下列说法：①a>0  ②2a+b=0  ③a+b+c>0 ④ 当-1<x<3时，y>0  其中正确的个数为（   ）

A. 1   B. 2   C. 3     D. 4

4. ( 3分 ) 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多 米，当他把绳子的下端拉开 米后，发现绳子拉直且下端刚好接触地面，则旗杆的高是（   ）．           

A.  米         B.  米     C.  米      D.  米

5. ( 3分 ) 在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是

A.                                    B. 
C.                                  

D. 

6. ( 3分 ) 如图，在△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则 等于（   ）

A.      B.     C.       D. 

7. ( 3分 ) 设ab≠0，且函数f1（x）=x2+2ax+4b与f2（x）=x2+4ax+2b有相同的最小值u；函数f3（x）=﹣x2+2bx+4a与f4（x）=﹣x2+4bx+2a有相同的最大值v；则u+v的值（　　）

A. 必为正数      B. 必为负数     C. 必为0     D. 符号不能确定

8. ( 3分 ) 2cos60°的值等于（   ）           

A. 1      B.     C.     D. 2

9. ( 3分 ) 如图，已知l1∥l2∥l3  ， 相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰△ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，若∠ACB＝90°，则sinα的值是（    ） 

A.        B.     C.      D. 

10. ( 3分 ) 足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线. 不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：

下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线 ；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m. 其中正确结论的个数是（     ）

A. 1   B. 2     C. 3    D. 4

二、填空题（共10题；共22分）

11. ( 2分 ) 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2 ，BC＝ .将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB′C′，连结B′C，则sin ∠ACB′＝       ．  

12. ( 2分 ) 在直角坐标平面中，将抛物线 先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，那么平移后的抛物线表达式是________．   

13. ( 2分 ) 在平面直角坐标系中，点 为原点，抛物线 与 轴交于点 ，以 为一边向左作正方形 ，点 为抛物线的顶点，当 是锐角三角形时， 的取值范围是________．   

14. ( 2分 ) 已知x=2m+n+2和x=m+2n时，多项式x2+4x+6的值相等，且m﹣n+2≠0，则当x=3（m+n+1）时，多项式x2+4x+6的值等于________．   

15. ( 2分 ) 如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2-2x+2上运动.过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为      .

16. ( 2分 ) 若 、 、 为二次函数 的图象上的三个点，则请你用“<”连接 得________．   

17. ( 4分 ) 如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则 的值=________，tan∠APD的值=________． 

18. ( 2分 ) 将抛物线y=x2的图象向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式为       ．   

19. ( 2分 ) 如图，在直角 中， ， ，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若要使 是等腰三角形且 是直角三角形，则AQ＝________.

20. ( 2分 ) 计算：2cos45°=________．   

三、计算题（共1题；共8分）

21. ( 8分 ) 计算：（﹣ ）﹣2﹣| ﹣2|+（π﹣2016）0﹣ ﹣tan60°．   

四、作图题（共1题；共10分）

22. ( 10分 ) 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的8×10网格中，点A  ， B  ， C均为网格线的交点． 

（1）用无刻度的直尺作BC边上的中线AD（不写作法，保留作图痕迹）；   

（2）①在给定的网格中，以A为位似中心将△ABC缩小为原来的 ，得到△AB′C′，请画出△AB′C′． 

②填空：tan∠AD′C'＝________．

五、解答题（共3题；共50分）

23. ( 15分 ) 如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2.25m，喷出水流的运动路线是抛物线．水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3m．求水流的落地点C到水枪底部B的距离． 

24. ( 15分 ) 如图是把一个抛物线形桥拱，量得两个数据，画在纸上的情形.小明说只要建立适当的坐标系，就能求出此抛物线的表达式.你认为他的说法符合题意吗？如果不符合题意，请说明理由；如果符合题意，请你帮小明求出该抛物线的表达式. 

25. ( 20分 ) 如图，在一个坡度（或坡比） 的山坡 上发现有一棵古树 .测得古树底端C到山脚点A的距离 米，在距山脚点A水平距离4米的点E处，测得古树顶端D的仰角 （古树 与山坡 的剖面、点E在同一平面上，古树 与直线 垂直），求古树 的高度.（结果保留两位小数）（参考数据： ） 

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】 C  

【解析】延长AB交直线DC于点F.

∵在Rt△BCF中， ，

∴设BF=k，则CF= k，BC=2k.

又∵BC=16，

∴k=8，

∴BF=8，CF=8 .

∵DF=DC+CF，

∴DF=45+8 .

∵在Rt△ADF中，tan∠ADF= ，

∴AF=tan37°×（45+8 ）≈44.13（米），

∵AB=AF-BF，

∴AB=44.13-8≈36.1米.

2.【答案】 B  

【解析】如图1和图2，过点E作EH⊥DF于点H，

∵在△DEF中，∠DEF=90°，∠D=30°，DF=16，

∴EF=8，DE= ,EH= ，DH=12，HF=4，

（ 1 ）如图1，当点A在DE上时，此时点B在DH上，即 ，

∵AB⊥DF于点B，∠D=30°，BD= ，

∴AB=BD·tan∠D= ，

∴此时y=S△ABD= = ，即 ，

∴当 时，y有最大值，此时点A与E重合；

（ 2 ）如图2，当点A在EF上时，此时点B在HF上，即 ，

∵AB⊥DF于点B，∠D=30°，BD= ，

∴BF= ，∠ABF=90°，∠F=60°，

∴AB=BF·tan∠F= ，

∴此时y=S△ABD= BD·AB=  ，即y= ；

综上所述，结合二次函数的图象特征可知y随x变化而变化的图象应该是B选项中的图象.

3.【答案】 C  

【解析】①由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，可知a＜0，故错误；

②由二次函数与x轴的交点的坐标为（-1，0），（3，0），可知对称轴为x= =1，即- =1，

因此可得b=-2a，即2a+b=0，故正确；

③由函数的顶点在第一象限，因此可知，当x=1时，y=a+b+c＞0，故正确；

④由二次函数与x轴的交点的坐标为（-1，0），（3，0），图象开口向下，因此当-1＜x＜3时，y＞0，故正确．

共3个正确的．

4.【答案】 C  

【解析】如图所示：

根据题意 ，

设 ，则 ．

在 中，

解得 ，

∴ ．

5.【答案】 C  

【解析】∵当x=0时，两个函数的函数值y=b，∴两个函数图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；
由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，∴a＞0。
根据一次函数图象与系数的关系，一次函数y=ax+b经过第一三象限。
∴A选项错误，C选项正确。

6.【答案】 A  

【解析】解：∵sinA= ，设a=3x，则c=5x，结合a2+b2=c2得b=4x；

∴tanA= = = = ，故答案为：A．

7.【答案】 C  

【解析】解：∵f1（x）=x2+2ax+4b=（x+a）2+4b﹣a2≥4b﹣a2  ，

f2（x）=x2+4ax+2b=（x+2a）2+2b﹣4a2≥2b﹣4a2  ，

已知4b﹣a2=u=2b﹣4a2  ， 得﹣2b=3a2①

∵ab≠0，

∴b＜0，

又∵f3（x）=﹣（x﹣b）2+4a+b2≤4a+b2  ，

f4（x）=﹣（x﹣2b）2+2a+4b2≤2a+4b2；

已知4a+b2=v=2a+4b2  ， 得2a=3b2  ， ②

∵ab≠0，

∴a＞0，

∴3a﹣3b+2＞0，

∴②﹣①得，2（a+b）=3（b2﹣a2），

解得a+b=0或b-a=（舍去），

当a+b=0时，2（u+v）=（6b﹣5a2）+（6a+5b2）=（a+b）[6+5（b﹣a）]=0，

∴u+v=0，

8.【答案】 A  

【解析】解：2cos60°=2× =1． 

9.【答案】 D  

【解析】解：如图，过点A作AD⊥l1于D，过点B作BE⊥l1于E，设l1  ， l2  ， l3间的距离为1，

∵∠CAD+∠ACD＝90°，

∠BCE+∠ACD＝90°，

∴∠CAD＝∠BCE，

在等腰直角△ABC中，AC＝BC，

在△ACD和△CBE中，∠CAD=∠BCE，∠ADC=∠BEC=90°，AC=BC，

∴△ACD≌△CBE（AAS），

∴CD＝BE＝1，

在Rt△ACD中，AC＝

在等腰直角△ABC中，AB＝ AC＝ ，

∴sinα＝ ．

10.【答案】 B  

【解析】由题意，抛物线的解析式为h=at（t﹣9），
把（1，8）代入可得a=﹣1，∴h=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，
∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，
∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确，
∵t=9时，h=0，
∴足球被踢出9s时落地，故③正确，
∵t=1.5时，h=11.25，故④错误，
∴正确的有②③，

二、填空题

11.【答案】   

【解析】在Rt△ABC中，由勾股定理得：  

过C作CM⊥AB′于M，过A作AN⊥CB′于N，

∵根据旋转得出

即∠CMA=∠MAB=∠B=90°，

∴

∴

在Rt△B′MC中，由勾股定理得：

∴

解得：AN=4，

12.【答案】 y=2x2+1  

【解析】解：根据二次函数图像平移的特征：函数平移遵循“上加下减，左加右减”

则抛物线 平移后为：

13.【答案】 -2＜c＜-1或1＜c＜2  

【解析】∵

∴顶点A的坐标为

令PB与对称轴相交于点H，如图所示

∴PH=AH，即△AHP为等腰直角三角形

∴当 是锐角三角形时， ，

∴BP=OP，P（0，c）

∴ 或

14.【答案】 3  

【解析】解：∵x=2m+n+2和x=m+2n时，多项式x2+4x+6的值相等，

∴二次函数y=x2+4x+6的对称轴为直线x= = ，

又∵二次函数y=x2+4x+6的对称轴为直线x=﹣2，

∴ =﹣2，

∴3m+3n+2=﹣4，m+n=﹣2，

∴当x=3（m+n+1）=3（﹣2+1）=﹣3时，

x2+4x+6=（﹣3）2+4×（﹣3）+6=3．

15.【答案】 1  

【解析】∵y=x2-2x+2=(x-1)2+1，

∴抛物线的顶点坐标是（1，1），

∵四边形ABCD是矩形，

∴BD=AC，

∵AC⊥x轴，

∴AC的长等于顶点的纵坐标，

∴当点A是顶点时，AC的长最小为1，

故BD的最小值为1.

16.【答案】 y2<y3<y1  

【解析】∵抛物线 ，

∴抛物线的对称轴开口向下，且对称轴为直线 ，

∵ 、 、 三点到对称轴 的距离由远到近依次是B、C、A，

∴ .

17.【答案】 3；2  

【解析】解: ∵四边形BCED是正方形，

∴DB∥AC，

∴△DBP∽△CAP，

∴ = =3，

连接BE，

∵四边形BCED是正方形，

∴DF=CF= CD，BF= BE，CD=BE，BE⊥CD，

∴BF=CF，

根据题意得：AC∥BD，

∴△ACP∽△BDP，

∴DP：CP=BD：AC=1：3，

∴DP：DF=1：2，

∴DP=PF= CF= BF，

在Rt△PBF中，tan∠BPF= =2，

∵∠APD=∠BPF，

∴tan∠APD=2，

18.【答案】 y=x2+1  

【解析】解：∵抛物线y=x2的图象向上平移1个单位， 

∴平移后的抛物线的解析式为y=x2+1．

19.【答案】 或   

【解析】解： ，

， ，

由题意，分以下两种情况：

①如图1，当 时， 是直角三角形

则要使 是等腰三角形，只能是

设 ，则

在 中， ，即

解得

经检验， 是所列分式方程的解

即

②如图2，

当 时， 是直角三角形

则要使 是等腰三角形，只能是

设 ，则

在 中， ，即

解得

经检验， 是所列分式方程的解

即

综上， 或

20.【答案】

【解析】原式=2× = ．

三、计算题

21.【答案】 解：原式=4﹣2+ +1﹣4﹣v=﹣1  

【解析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，算术平方根，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．

四、作图题

22.【答案】 （1）解：先得到BC的中点D，然后连接AD，画图结果如图所示： 

（2）解：①利用网格特点确定AB、AC的中点 、 ，则 即为所求，如图所示： ；4  

【解析】（2）②

是直角三角形，且

由位似的性质得

故答案为：4.

（1）先利用正方形的性质得到BC的中点D，然后连接AD即可；（2）①利用网格特点确定AB、AC的中点 、 即可；②利用勾股定理的逆定理得到 ，利用正切的定义得到 ，然后利用相似的性质得到 .

五、解答题

23.【答案】 解：如图，以点B为原点，AB为y轴，BC为x轴建立平面直角坐标系 

∵最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3m．

∴抛物线的顶点P（1，3）

∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3，

∵A（0，2.25）

∴a(0-1)2+3=2.25，

解得：a＝﹣0.75

∴y＝﹣0.75（x﹣1）2+3

令y＝0

﹣0.75（x﹣1）2+3＝0

解得x1＝3，x2＝﹣1（舍）

∴BC＝3．

答：水流的落地点C到水枪底部B的距离为3m．

【解析】如图，以点B为原点，AB为y轴，BC为x轴建立平面直角坐标系，根据点P到x轴、y轴的距离可得点P坐标，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3，把A点坐标代入可求出a值，可得抛物线的解析式，把y=0代入求出x的值即可得答案.

24.【答案】 解：抛物线依坐标系所建不同而各异，如下图.(仅举两例) 

①如图1建立坐标系，

∵顶点在原点，

∴设函数解析式为y=ax2  ，

∵图像过（20，6），

∴6=a×202  ，

解得：a=- ，

∴抛物线的表达式为y=- x2.

②如图2建立坐标系，

∵图像相当于图1的图像向上平移6，

∴抛物线的表达式为y=- x2+6.

故符合题意，抛物线表达式为y=- x2或y=- x2+6.

【解析】根据桥拱的对称性和已知数据，以对称轴为纵轴、水面为横轴建立坐标系，使拱顶在坐标原点最简单．

25.【答案】 解：如图，设 与 交于 ， 

  ，

设 ， ，

，

，

， ，

，

，

，

，

，

，

答：古树 的高度约为12.76米.

【解析】设CD与EA交于点F，利用坡度的定义，可得到CF与AF的比值，由此设CF=5k，AF=12k，利用勾股定理表示出AC的长，利用AC=13，可求出k的值；再求出EF的长，利用解直角三角形求出DF的长，然后根据CD=DF-CF，代入计算可求解.