2018-2019学年北京市东城区九年级（上）期末数学试卷

这是一份2018-2019学年北京市东城区九年级（上）期末数学试卷，共38页。试卷主要包含了三象限D．第二等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2分）反比例函数y＝的图象位于（ ）
A．第一、二象限B．第一、三象限
C．第二、三象限D．第二、四象限
4．（2分）如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOB＝72°，则∠ACB的度数为（ ）
A．18°B．30°C．36°D．72°
5．（2分）在平面直角坐标系xy中，△OAB各顶点的坐标分别为：O（0，0），A（1，2），B（3，0），以原点O为位似中心，相似比为2，将△OAB放大，若B点的对应点B′的坐标为（﹣6，0），则A点的对应点A′坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣4）B．（﹣4，﹣2）C．（﹣1，﹣4）D．（1，﹣4）
6．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在DC边上，连接AE，交BD于点F，若DE：EC＝3：1，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A．3：4B．9：16C．9：1D．3：1
7．（2分）将抛物线y＝+1绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣2x2+1B．y＝﹣2x2﹣1C．D．
8．（2分）下表显示的是某种大豆在相同条件下的发芽试验结果：
下面有三个推断：
①当n为400时，发芽的大豆粒数为382，发芽的频率为0.955，所以大豆发芽的概率是0.955；
②随着试验时大豆的粒数的增加，大豆发芽的频率总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计大豆发芽的概率是0.95；
③若大豆粒数n为4000，估计大豆发芽的粒数大约为3800粒．
其中推断合理的是（ ）
A．①②③B．①②C．①③D．②③
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）港珠澳大桥于2018年10月24日正式通车．大桥在设计理念、建造技术、施工组织、管理模式等方面进行一系列创新，标志着我国岛隧工程设计施工管理水平走在了世界前列．大桥全长近55km．汽车行驶完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的关系式为
10．（2分）如图，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2米，在同一时刻，一棵大树的影长为8米，则这棵树的高度为 米．
（2分）请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与y轴的交点坐标为（0，3）．此二次函数的解析式可以是 ．
12．（2分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝8，OE＝3，则⊙O的半径为 ．
13．（2分）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为18cm，BD的长为9cm，则的长为 cm．
14．（2分）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC＝105°，则∠C的度数是 ．
15．（2分）如图，以等边△ABC的一边AB为直径的半圆O交AC于点D，交BC于点E，若AB＝4，则阴影部分的面积是 ．
16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，N是A'B'的中点，连接MN，若BC＝4，∠ABC＝60°，则线段MN的最大值为 ．
三.解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.0或1
17．（5分）计算：4sin30°﹣cs45°﹣tan30°+2sin60°
18．（5分）下面是小明设计的“作平行四边形的高”的尺规作图过程
已知：平行四边形ABCD．
求作：AE⊥BC，垂足为点E．
作法：如图，
①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；
②作直线PQ，交AB于点O；
③以点O为圆心，OA长为半径做圆，交线段BC于点E；
④连接AE．
所以线段AE就是所求作的高．
根据小明设计的尺规作图过程
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明
证明：∵AP＝BP，AQ＝ ，
∴PQ为线段AB的垂直平分线．
∴O为AB中点．
∵AB为直径，⊙O与线段BC交于点E，
∴∠AEB＝ °． （ ）（填推理的依据）
∴AE⊥BC．
19．（5分）如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD，
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）若AD＝2，AB＝5．求AC的长．
20．（5分）京剧脸谱是京剧艺术独特的表现形式．京剧表演中，经常用脸谱象征人物的性格，品质，甚至角色和命运．如红脸代表忠心耿直，黑脸代表强悍勇猛．现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“红脸”，另外一张卡片的正面图案为“黑脸”，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．
请用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率．（图案为“红脸”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“黑脸”的卡片记为B）
21．（5分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）自变量x的部分取值及对应的函数值y如表所示：
（1）写出此二次函数图象的对称轴；
（2）求此二次函数的表达式．
22．（5分）如图，一次函数y＝x+4的图象与反比例函数y＝（k为常数且k≠0）的图象交于A（﹣1，a），B两点，与x轴交于点C．
（1）求a，k的值及点B的坐标；
（2）若点P在x轴上，且S△ACP＝S△BOC，直接写出点P的坐标．
23．（6分）某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长为1.5米．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为3米．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间近似满足函数关系y＝ax2+x+c（a≠0）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）求水流喷出的最大高度．
24．（6分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB上一点，以AE为直径作⊙O与BC相切于点D，连接ED并延长交AC的延长线于点F．
（1）求证：AE＝AF；
（2）若AE＝5，AC＝4，求BE的长．
25．（6分）有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究．
下面是小彤探究的过程，请补充完整：
（1）函数y＝的自变量x的取值范围是 ；
（2）下表是y与x的几组对应值：
则m的值为 ；
（3）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；
（4）观察图象，写出该函数的一条性质 ；
（5）若函数y＝的图象上有三个点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），且x1＜3＜x2＜x3，则y1、y2、y3之间的大小关系为 ；
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的表达式为y＝﹣2x2+4mx﹣2m2+2m，线段AB的两个端点分别为A（1，2），B（3，2）．
（1）若抛物线经过原点，求出m的值；
（2）求抛物线顶点C的坐标（用含有m的代数式表示）；
（3）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求出m的取值范围．
27．（7分）如图，M为正方形ABCD内一点，点N在AD边上，且∠BMN＝90°，MN＝2MB．点E为MN的中点，点P为DE的中点，连接MP并延长到点F，使得PF＝PM，连接DF．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：DF＝BM；
（3）连接AM，用等式表示线段PM和AM的数量关系并证明．
28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的图形M及以原点为圆心，1为半径的⊙O，给出如下定义：
P为图形M上任意一点，Q为⊙O上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M到⊙O的“圆距离”，记作d（M﹣O）
（1）记线段AB为图形M，其中A（﹣1，2），B（1，2），求d（M﹣O）；
（2）记函数y＝kx+4（k＞0）的图象为图形M，且d（M﹣O）≥1，直接写出k的取值范围；
（3）记△CDE为图形M，其中C（t﹣2，﹣2），D（t+2，﹣2），E（t，4），且d（M﹣O）＝1，直接写出t的值．
2018-2019学年北京市东城区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1．（2分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解即可．
【解答】解：A、不是中心对称图形，本选项错误；
B、不是中心对称图形，本选项错误；
C、不是中心对称图形，本选项错误；
D、是中心对称图形，本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．（2分）三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，即sinA＝∠A的对边除以斜边．
【解答】解：由图可得，直角三角形的斜边长＝＝5，
∴sinα＝，
故选：A．
【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义，我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
3．（2分）反比例函数y＝的图象位于（ ）
A．第一、二象限B．第一、三象限
C．第二、三象限D．第二、四象限
【分析】直接根据反比例函数的性质进行解答即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝中k＝6＞0，
∴此函数的图象位于一、三象限．
故选：B．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小．
4．（2分）如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOB＝72°，则∠ACB的度数为（ ）
A．18°B．30°C．36°D．72°
【分析】根据圆周角定理，由∠AOB＝72°，即可推出结果．
【解答】解：∵∠AOB＝72°，
∴∠ACB＝36°．
故选：C．
【点评】本题主要考查圆周角定理，关键在于运用数形结合的思想进行认真分析．
5．（2分）在平面直角坐标系xy中，△OAB各顶点的坐标分别为：O（0，0），A（1，2），B（3，0），以原点O为位似中心，相似比为2，将△OAB放大，若B点的对应点B′的坐标为（﹣6，0），则A点的对应点A′坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣4）B．（﹣4，﹣2）C．（﹣1，﹣4）D．（1，﹣4）
【分析】利用位似图形的性质得出对应点坐标，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：
∵相似比为2，
∴A'（﹣2，﹣4），
故选：A．
【点评】此题主要考查了位似变换，根据图形变换的性质得出对应点坐标是解题关键．
6．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在DC边上，连接AE，交BD于点F，若DE：EC＝3：1，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A．3：4B．9：16C．9：1D．3：1
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴△DEF∽△BAF，
∵DE：EC＝3：1，
∴DE+DC＝DE：AB＝3：4，
∴＝（）2＝．
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．（2分）将抛物线y＝+1绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣2x2+1B．y＝﹣2x2﹣1C．D．
【分析】先确定抛物线线y＝+1的顶点坐标为（0，1），再利用关于原点对称的点的坐标特征得到点（0，1）变换后所得对应点的坐标为（0，﹣1），然后利用顶点式写出旋转后抛物线．
【解答】解：抛物线y＝+1的顶点坐标为（0，1），点关于原点O的对称点的坐标为（0，﹣1），此时旋转后抛物线的开口方向相反，所以旋转后的抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
8．（2分）下表显示的是某种大豆在相同条件下的发芽试验结果：
下面有三个推断：
①当n为400时，发芽的大豆粒数为382，发芽的频率为0.955，所以大豆发芽的概率是0.955；
②随着试验时大豆的粒数的增加，大豆发芽的频率总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计大豆发芽的概率是0.95；
③若大豆粒数n为4000，估计大豆发芽的粒数大约为3800粒．
其中推断合理的是（ ）
A．①②③B．①②C．①③D．②③
【分析】根据表中信息，当每批粒数足够大时，频率逐渐接近于0.950，由于试验次数较多，可以用频率估计概率．
【解答】解：①当n＝400时，发芽的大豆粒数为382，发芽的频率为0.955，所以大豆发芽的概率大约是0.955，此推断错误；
②根据上表当每批粒数足够大时，频率逐渐接近于0.950，所以估计大豆发芽的概率是0.95，此推断正确；
③若n为4000，估计大豆发芽的粒数大约为4000×0.950＝3800粒，此结论正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）港珠澳大桥于2018年10月24日正式通车．大桥在设计理念、建造技术、施工组织、管理模式等方面进行一系列创新，标志着我国岛隧工程设计施工管理水平走在了世界前列．大桥全长近55km．汽车行驶完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的关系式为
【分析】依据行程问题中的关系：时间＝路程÷速度，即可得到汽车行驶完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的关系式．
【解答】解：∵大桥全长近55km，
∴汽车行驶完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的关系式为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了函数关系式，用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．
10．（2分）如图，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2米，在同一时刻，一棵大树的影长为8米，则这棵树的高度为 6.4 米．
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
【解答】解：∵同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，
＝，
∴＝，
∴BC＝6.4米．
故答案为6.4．
【点评】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
11．（2分）请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与y轴的交点坐标为（0，3）．此二次函数的解析式可以是 y＝﹣x2+3（答案不唯一） ．
【分析】根据二次函数的性质可得出a＜0，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出c＝3，取a＝﹣1，b＝0即可得出结论．
【解答】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c．
∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），
∴c＝3．
取a＝﹣1，b＝0时，二次函数的解析式为y＝﹣x2+3．
故答案为：y＝﹣x2+3（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出a＜0，c＝3是解题的关键．
12．（2分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝8，OE＝3，则⊙O的半径为 5 ．
【分析】连接OD，根据垂径定理求出DE，根据勾股定理求出OD即可．
【解答】解：连接OD，
∵CD⊥AB于点E，直径AB过O，
∴DE＝CE＝CD＝×8＝4，∠OED＝90°，
由勾股定理得：OD＝＝＝5，
即⊙O的半径为5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，能根据垂径定理求出DE的长是解此题的关键．
13．（2分）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为18cm，BD的长为9cm，则的长为 π cm．
【分析】利用弧长公式计算即可．
【解答】解：∵AB＝18cm，BD＝9cm，
∴AD＝9cm，
∴的长＝＝．
故答案为．
【点评】本题考查弧长公式：l＝（n为扇形的圆心角，r为扇形的半径），解题的关键是记住弧长公式，属于中考常考题型．
14．（2分）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC＝105°，则∠C的度数是 45° ．
【分析】先根据∠AOC的度数和∠BOC的度数，可得∠AOB的度数，再根据△AOD中，AO＝DO，可得∠A的度数，进而得出△ABO中∠B的度数，可得∠C的度数．
【解答】解：∵∠AOC的度数为105°，
由旋转可得∠AOD＝∠BOC＝40°，
∴∠AOB＝105°﹣40°＝65°，
∵△AOD中，AO＝DO，
∴∠A＝（180°﹣40°）＝70°，
∴△ABO中，∠B＝180°﹣70°﹣65°＝45°，
由旋转可得，∠C＝∠B＝45°，
故答案为：45°．
【点评】本题考查旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用旋转的性质解答．
15．（2分）如图，以等边△ABC的一边AB为直径的半圆O交AC于点D，交BC于点E，若AB＝4，则阴影部分的面积是 ．
【分析】如图，连接OD，OE，DE．证明S阴＝S△CDE即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OD，OE，DE．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，
∵OA＝OD＝OB＝OE＝2，
∴△AOD，∠EOB都是等边三角形，
∴∠AOD＝∠EOB＝60°，
∴∠DOE＝60°，△DOE是等边三角形，
∴∠DOE＝∠EOB，
∴弓形DE与弓形BE的面积相等，
∵CD＝DE＝CE＝2，
∴△CDE是等边三角形，
∴S阴＝S△CDE＝×22＝，
故答案为．
【点评】本题考查圆周角定理，扇形的面积公式，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，N是A'B'的中点，连接MN，若BC＝4，∠ABC＝60°，则线段MN的最大值为 6 ．
【分析】连接CN．根据直角三角形斜边中线的性质求出CN＝A′B′＝4，利用三角形的三边关系即可解决问题．
【解答】解：连接CN．
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝4，∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∴AB＝A′B′＝2BC＝8，
∵NB′＝NA′，
∴CN＝A′B′＝4，
∵CM＝BM＝2，
∴MN≤CN+CM＝6，
∴MN的最大值为6，
故答案为6．
【点评】本题考查旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三.解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.0或1
17．（5分）计算：4sin30°﹣cs45°﹣tan30°+2sin60°
【分析】依据30°、45°、60°角的各种三角函数值，代入计算即可．
【解答】解：4sin30°﹣cs45°﹣tan30°+2sin60°
＝4×﹣×﹣×+2×
＝2﹣1﹣1+
＝．
【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
18．（5分）下面是小明设计的“作平行四边形的高”的尺规作图过程
已知：平行四边形ABCD．
求作：AE⊥BC，垂足为点E．
作法：如图，
①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；
②作直线PQ，交AB于点O；
③以点O为圆心，OA长为半径做圆，交线段BC于点E；
④连接AE．
所以线段AE就是所求作的高．
根据小明设计的尺规作图过程
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明
证明：∵AP＝BP，AQ＝ BQ ，
∴PQ为线段AB的垂直平分线．
∴O为AB中点．
∵AB为直径，⊙O与线段BC交于点E，
∴∠AEB＝ 90 °． （ 直径所对的圆周角是直角 ）（填推理的依据）
∴AE⊥BC．
【分析】（1）根据要求画出图形即可解决问题；
（2）只要证明OA＝OB即可解决问题；
【解答】解：（1）图形如图所示：
（2）理由：连接AQ，BQ，AP，BP．
∵AP＝BP，AQ＝BQ，
∴PQ为线段AB的垂直平分线，
∴O为AB中点，
∵AB为直径，⊙O与线段BC交于点E，
∴∠AEB＝90°． （直径所对的圆周角是直角），
∴AE⊥BC．
故答案为：BQ，90，（直径所对的圆周角是直角）．
【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，作图﹣复杂作图等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19．（5分）如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD，
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）若AD＝2，AB＝5．求AC的长．
【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出答案．
（2）根据相似三角形的性质即可求出答案．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝∠ACD，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ACD
（2）解：△ABC∽△ACD
∴，
∵AD＝2，AB＝5，
∴，
∴AC＝．
【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．
20．（5分）京剧脸谱是京剧艺术独特的表现形式．京剧表演中，经常用脸谱象征人物的性格，品质，甚至角色和命运．如红脸代表忠心耿直，黑脸代表强悍勇猛．现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“红脸”，另外一张卡片的正面图案为“黑脸”，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．
请用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率．（图案为“红脸”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“黑脸”的卡片记为B）
【分析】根据题意画出树状图，求出所有的情况数和两次抽取的卡片上都是“红脸”的情况数，再根据概率公式计算即可．
【解答】解：画树状图为：
由树状图可知，所有可能出现的结果共有9种，其中两次抽取的卡片上都是“红脸”的结果有4种，所以P（两张都是“红脸”）＝，
答：抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率是．
【点评】此题主要考查了概率的求法．用到的知识点为数状图和概率，概率＝所求情况数与总情况数之比，关键是根据题意画出树状图．
21．（5分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）自变量x的部分取值及对应的函数值y如表所示：
（1）写出此二次函数图象的对称轴；
（2）求此二次函数的表达式．
【分析】（1）由当x＝﹣2和x＝0时y值相等，利用二次函数的性质即可求出二次函数图象的对称轴；
（2）根据表格中的数据找出点的坐标，再利用待定系数法即可求出二次函数表达式．
【解答】解：（1）∵当x＝﹣2时，y＝3；当x＝0时，y＝3，
∴二次函数图象的对称轴为直线x＝，即x＝﹣1．
（2）将（﹣1，2），（0，3），（1，6）代入y＝ax2+bx+c，得：，
解得：，
∴此二次函数的表达式为y＝x2+2x+3．
【点评】本题考查了二次函数的性质以及待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是：（1）利用二次函数图象的对称性找出二次函数图象的对称轴；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式．
22．（5分）如图，一次函数y＝x+4的图象与反比例函数y＝（k为常数且k≠0）的图象交于A（﹣1，a），B两点，与x轴交于点C．
（1）求a，k的值及点B的坐标；
（2）若点P在x轴上，且S△ACP＝S△BOC，直接写出点P的坐标．
【分析】（1）利用点A在y＝﹣x+4上求a，进而代入反比例函数y＝求k，然后联立方程求出交点，
（2）设出点P坐标表示三角形面积，求出P点坐标．
【解答】解：（1）把点A（﹣1，a）代入y＝x+4，得a＝3，
∴A（﹣1，3）
把A（﹣1，3）代入反比例函数y＝
∴k＝﹣3；
∴反比例函数的表达式为y＝﹣
联立两个函数的表达式得
解得或
∴点B的坐标为B（﹣3，1）；
（2）当y＝x+4＝0时，得x＝﹣4
∴点C（﹣4，0）
设点P的坐标为（x，0）
∵S△ACP＝S△BOC，
∴×3×|x+4|＝××4×1
解得x1＝﹣6，x2＝﹣2
∴点P（﹣6，0）或（﹣2，0）．
【点评】本题是一次函数和反比例函数综合题，考查利用方程思想求函数解析式，通过联立方程求交点坐标以及在数形结合基础上的面积表达．
23．（6分）某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长为1.5米．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为3米．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间近似满足函数关系y＝ax2+x+c（a≠0）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）求水流喷出的最大高度．
【分析】（1）由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），把上述两个点坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2），故当x＝1时，y取得最大值．
【解答】解：（1）由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），
把上述两个点坐标代入二次函数表达式得：，
解得：，
则函数表达式为：y＝﹣x2+x+；
（2）
a＝﹣＜0，故函数有最大值，
∴当x＝1时，y取得最大值，此时y＝2，
答：水流喷出的最大高度为2米．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
24．（6分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB上一点，以AE为直径作⊙O与BC相切于点D，连接ED并延长交AC的延长线于点F．
（1）求证：AE＝AF；
（2）若AE＝5，AC＝4，求BE的长．
【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到OD⊥BC，根据平行线的判定定理得到OD∥AC，求得∠ODE＝∠F，根据等腰三角形的性质得到∠OED＝∠ODE，等量代换得到∠OED＝∠F，于是得到结论；
（2）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】证明：（1）连接OD，
∵BC切⊙O于点D，
∴OD⊥BC，
∴∠ODC＝90°，
又∵∠ACB＝90°，
∴OD∥AC，
∴∠ODE＝∠F，
∵OE＝OD，
∴∠OED＝∠ODE，
∴∠OED＝∠F，
∴AE＝AF；
（2）∵OD∥AC
∴△BOD∽△BAC，
∴，
∵AE＝5，AC＝4，
即，
∴BE＝．
【点评】本题考查了切线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
25．（6分）有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究．
下面是小彤探究的过程，请补充完整：
（1）函数y＝的自变量x的取值范围是 x≠3 ；
（2）下表是y与x的几组对应值：
则m的值为 ；
（3）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；
（4）观察图象，写出该函数的一条性质 当x＞3时y随x的增大而减小（答案不唯一） ；
（5）若函数y＝的图象上有三个点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），且x1＜3＜x2＜x3，则y1、y2、y3之间的大小关系为 y1＜y3＜y2 ；
【分析】（1）依据函数表达式中分母不等于0，即可得到自变量x的取值范围；
（2）把x＝﹣1代入函数解析式，即可得到m的值；
（3）依据各点的坐标描点连线，即可得到函数图象；
（4）依据函数图象，即可得到函数的增减性；
（5）依据函数图象，即可得到当x1＜3时，y1＜1；当0＜x2＜x3时，1＜y3＜y2．
【解答】解：（1）∵x﹣3≠0，
∴x≠3；
（2）当x＝﹣1时，y＝＝＝；
（3）如图所示：
（4）由图象可得，当x＞3时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；
（5）由图象可得，当x1＜3时，y1＜1；当0＜x2＜x3时，1＜y3＜y2．
∴y1、y2、y3之间的大小关系为y1＜y3＜y2．
故答案为：x≠3；；当x＞3时，y随x的增大而减小；y1＜y3＜y2．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的表达式为y＝﹣2x2+4mx﹣2m2+2m，线段AB的两个端点分别为A（1，2），B（3，2）．
（1）若抛物线经过原点，求出m的值；
（2）求抛物线顶点C的坐标（用含有m的代数式表示）；
（3）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求出m的取值范围．
【分析】（1）将x＝0，y＝0代入y＝﹣2x2+4mx﹣2m2+2m，得到关于m的方程，解方程即可求出m的值；
（2）利用配方法将抛物线的一般式化为顶点式，进而求出顶点C的坐标；
（3）由（2）所求顶点C的坐标可知，抛物线的顶点C在直线y＝2x上移动．分别求出抛物线过点A、点B时，m的值，画出此时函数的图象，结合图象即可求出m的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣2x2+4mx﹣2m2+2m经过原点，
∴﹣2m2+2m＝0，
解得m1＝0，m2＝1；
（2）∵y＝﹣2x2+4mx﹣2m2+2m＝﹣2（x2﹣2mx+m2）+2m＝﹣2（x﹣m）2+2m，
∴顶点C的坐标为（m，2m）；
（3）由顶点C的坐标可知，抛物线的顶点C在直线y＝2x上移动．
当抛物线过点A时，m＝2或1；
当抛物线过点B时，m＝2或5．
所以m＝2时，抛物线与线段AB有两个公共点，不符合题意．
结合函数的图象可知，m的取值范围为1≤m≤5且m≠2．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，直线与抛物线的位置关系，提现了转化思想和数形结合思想的应用．
27．（7分）如图，M为正方形ABCD内一点，点N在AD边上，且∠BMN＝90°，MN＝2MB．点E为MN的中点，点P为DE的中点，连接MP并延长到点F，使得PF＝PM，连接DF．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：DF＝BM；
（3）连接AM，用等式表示线段PM和AM的数量关系并证明．
【分析】（1）根据题意可以画出完整的图形；
（2）由MN＝2MB，点E为MN的中点可知，要证明DF＝BM，只要证明DF＝EM即可，要证明DF＝EM，只要证明△MPE≌△FPD即可，然后根据题目中的条件和全等三角形的判定即可证明结论成立；
（3）首先写出线段PM和AM的数量关系，然后根据题意作出合适的辅助线，利用全等三角形的判定和性质、正方形的性质即可证明结论成立．
【解答】解：（1）如右图所示；
（2）∵点P为线段DE的中点，
∴DP＝EP
在△MPE和△FPD中，
∴△MPE≌△FPD（SAS），
∴DF＝EM，
∵E为MN的中点，
∴MN＝2ME，
∵MN＝2MB，
∴MB＝ME＝DF，
∴DF＝BM；
（3）结论：，
证明：连接AF，
由（2）可知：△MPE≌△FPD，
∴∠DFP＝∠EMP，
∴DF∥ME，
∴∠FDN＝∠MND，
在正方形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝90°，
又∵∠BMN＝90°，
∴∠MBA+∠MNA＝180°，
又∵∠MNA+∠MND＝180°，
∴∠MBA＝∠MND，
∴∠FDN＝∠MBA，
在△FAD和△MAB中，
，
∴△FAD≌△MAB（SAS），
∴∠FAD＝∠MAB，FA＝MA，
∴∠FAM＝∠DAB＝90°，
∴△FAM为等腰直角三角形，
∴
又∵FM＝2PM，
∴．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的图形M及以原点为圆心，1为半径的⊙O，给出如下定义：
P为图形M上任意一点，Q为⊙O上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M到⊙O的“圆距离”，记作d（M﹣O）
（1）记线段AB为图形M，其中A（﹣1，2），B（1，2），求d（M﹣O）；
（2）记函数y＝kx+4（k＞0）的图象为图形M，且d（M﹣O）≥1，直接写出k的取值范围；
（3）记△CDE为图形M，其中C（t﹣2，﹣2），D（t+2，﹣2），E（t，4），且d（M﹣O）＝1，直接写出t的值．
【分析】（1）如下图所示，由题意得：点A、点B关于y轴对称，即可求解；
（2）如下图所示，当d（M﹣O）＝1时，过点O作OP⊥MN，交圆于点Q，则：PQ＝1，则OP＝2，即可求解；
（3）分t＜0、t＞0、t＝0三种情况，求解即可．
【解答】解：（1）如下图所示
由题意得：点A、点B关于y轴对称，
则：PQ＝1，
即：d（M﹣O）＝1；
（2）如下图所示，当d（M﹣O）＝1时，
过点O作OP⊥MN，交圆于点Q，
由题意得：OM＝4，即：PQ＝1，则OP＝2，
sin∠OMP＝＝，即：∠NMO＝30°，
则ON＝OM•tan30°＝，
点N的坐标为（﹣，0），
把点N的坐标代入直线表达式得：0＝﹣k+4，
解得：k＝，而k＞0，
故：；
（3）①当t＜0时，如下图所示，
过点O作OP⊥ED交于点D，过点E作x轴的垂线交于点G、交CD于点N，
则DN＝2，EN＝6，tan∠NED＝＝，即：∠DEN＝30°，
∴∠EDN＝∠EHG＝60°＝∠OHP，
由题意得：OP＝2，OH＝＝，
则：HG＝﹣﹣t，GE＝4，
tan∠EHG＝＝＝，
解得：t＝﹣，
②当t＞0时，
同理可得：t＝，
③当t＝0时，d（M﹣O）＝1，
即当d（M﹣O）＝1时，t的值为0或﹣或．
【点评】本题为圆的综合题，属于阅读理解型题目，关键是通过正确画图，确定图形间的位置关系．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/10/24 15:29:42；用户：金雨教育；邮箱：309593466@qq.cm；学号：335385每批粒数n
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